Theorem card1 5983

Description: A set has cardinality one iff it is a singleton.

Assertion

Ref	Expression
card1	|- ((card` A) = 1o <-> E.x A = {x})

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem card1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 5187	. . . . . 6 |- 1o =/= (/)
2		df-ne 2019	. . . . . 6 |- (1o =/= (/) <-> -. 1o = (/))
3	1, 2	mpbi 206	. . . . 5 |- -. 1o = (/)
4		eqeq1 1890	. . . . 5 |- ((card` A) = 1o -> ((card` A) = (/) <-> 1o = (/)))
5	3, 4	mtbiri 785	. . . 4 |- ((card` A) = 1o -> -. (card` A) = (/))
6		fvprc 4678	. . . 4 |- (-. A e. _V -> (card` A) = (/))
7	5, 6	nsyl2 133	. . 3 |- ((card` A) = 1o -> A e. _V)
8		relen 5431	. . . 4 |- Rel ~~
9	8	brrelexi 4029	. . 3 |- (A ~~ 1o -> A e. _V)
10		1onn 5310	. . . . 5 |- 1o e. om
11		carden 5981	. . . . 5 |- ((A e. _V /\ 1o e. om) -> ((card` A) = (card` 1o) <-> A ~~ 1o))
12	10, 11	mpan2 760	. . . 4 |- (A e. _V -> ((card` A) = (card` 1o) <-> A ~~ 1o))
13		cardnn 5870	. . . . . 6 |- (1o e. om -> (card` 1o) = 1o)
14	10, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- (card` 1o) = 1o
15	14	eqeq2i 1894	. . . 4 |- ((card` A) = (card` 1o) <-> (card` A) = 1o)
16	12, 15	syl5bbr 593	. . 3 |- (A e. _V -> ((card` A) = 1o <-> A ~~ 1o))
17	7, 9, 16	pm5.21nii 743	. 2 |- ((card` A) = 1o <-> A ~~ 1o)
18		en1 5485	. 2 |- (A ~~ 1o <-> E.x A = {x})
19	17, 18	bitri 190	1 |- ((card` A) = 1o <-> E.x A = {x})

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  {csn 3044   class class class wbr 3338  omcom 3949  ` cfv 3998  1oc1o 5172   ~~ cen 5423  cardccrd 5859

This theorem is referenced by:  cardsn 5984

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-1o 5177  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-card 5862

Copyright terms: Public domain