Theorem card0 8240

Description: The cardinality of the empty set is the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
card0	|- ( card ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem card0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4881	. . 3 |- (/) e. On
2		cardonle 8239	. . 3 |- ( (/) e. On -> ( card ` (/) ) C_ (/) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( card ` (/) ) C_ (/)
4		ss0b 3776	. 2 |- ( ( card ` (/) ) C_ (/) <-> ( card ` (/) ) = (/) )
5	3, 4	mpbi 208	1 |- ( card ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1370   e. wcel 1758   C_ wss 3437   (/)c0 3746   Oncon0 4828   ` cfv 5527   cardccrd 8217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-en 7422  df-card 8221

This theorem is referenced by:  cardidm  8241  cardnueq0  8246  alephcard  8352  ackbij2lem2  8521  cf0  8532  cardcf  8533  cardeq0  8828