Theorem card0 8252

Description: The cardinality of the empty set is the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
card0	|- ( card ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem card0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4845	. . 3 |- (/) e. On
2		cardonle 8251	. . 3 |- ( (/) e. On -> ( card ` (/) ) C_ (/) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( card ` (/) ) C_ (/)
4		ss0b 3742	. 2 |- ( ( card ` (/) ) C_ (/) <-> ( card ` (/) ) = (/) )
5	3, 4	mpbi 208	1 |- ( card ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1399   e. wcel 1826   C_ wss 3389   (/)c0 3711   Oncon0 4792   ` cfv 5496   cardccrd 8229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-en 7436  df-card 8233

This theorem is referenced by:  cardidm  8253  cardnueq0  8258  alephcard  8364  ackbij2lem2  8533  cf0  8544  cardcf  8545  cardeq0  8840