Theorem caratheodorylem2 38467

Description: Caratheodory's construction is sigma-additive. Main part of Step (e) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caratheodorylem2.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
caratheodorylem2.x	|- X = U. dom O
caratheodorylem2.s	|- S = (CaraGen ` O )
caratheodorylem2.e	|- ( ph -> E : NN --> S )
caratheodorylem2.5	|- ( ph -> Disj n e. NN ( E ` n ) )
caratheodorylem2.g	|- G = ( k e. NN |-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )

Assertion

Ref	Expression
caratheodorylem2	|- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, E, n   n, G   k, O, n   n, X   ph, k, n

Allowed substitution hints:   S( k, n)   G( k)   X( k)

Proof of Theorem caratheodorylem2

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caratheodorylem2.o	. . 3 |- ( ph -> O e. OutMeas )
2		caratheodorylem2.x	. . 3 |- X = U. dom O
3		caratheodorylem2.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = (CaraGen ` O )
4	3	caragenss 38444	. . . . . . . . . 10 |- ( O e. OutMeas -> S C_ dom O )
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S C_ dom O )
6	5	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S C_ dom O )
7		caratheodorylem2.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E : NN --> S )
8	7	ffvelrnda 6037	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) e. S )
9	6, 8	sseldd 3419	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) e. dom O )
10		elssuni 4219	. . . . . . 7 |- ( ( E ` n ) e. dom O -> ( E ` n ) C_ U. dom O )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) C_ U. dom O )
12	11, 2	syl6sseqr 3465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) C_ X )
13	12	ralrimiva 2809	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN ( E ` n ) C_ X )
14		iunss 4310	. . . 4 |- ( U_ n e. NN ( E ` n ) C_ X <-> A. n e. NN ( E ` n ) C_ X )
15	13, 14	sylibr 217	. . 3 |- ( ph -> U_ n e. NN ( E ` n ) C_ X )
16	1, 2, 15	omexrcl 38447	. 2 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) e. RR* )
17		nnex 10637	. . . 4 |- NN e. _V
18	17	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> NN e. _V )
19	1	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> O e. OutMeas )
20	19, 2, 12	omecl 38443	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
21		eqid 2471	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
22	20, 21	fmptd 6061	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
23	18, 22	sge0xrcl 38341	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
24		nfv 1769	. . 3 |- F/ n ph
25		nfcv 2612	. . 3 |- F/_ n E
26		nnuz 11218	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27	1, 2, 3	caragensspw 38449	. . . 4 |- ( ph -> S C_ ~P X )
28	7, 27	fssd 5750	. . 3 |- ( ph -> E : NN --> ~P X )
29	24, 25, 1, 2, 26, 28	omeiunle 38457	. 2 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
30		elpwinss 37446	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> x C_ NN )
31	30	resmptd 5162	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) = ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
32	31	fveq2d 5883	. . . . . 6 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) = (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
33	32	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) = (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
34		1zzd 10992	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> 1 e. ZZ )
35	30	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> x C_ NN )
36		elinel2 3611	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> x e. Fin )
37	36	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
38	34, 26, 35, 37	uzfissfz 37636	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> E. k e. NN x C_ ( 1 ... k ) )
39		vex 3034	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> x e. _V )
41	1	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> O e. OutMeas )
42	28	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> E : NN --> ~P X )
43		fz1ssnn 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 ... k ) C_ NN
44		ssel2 3413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x C_ ( 1 ... k ) /\ n e. x ) -> n e. ( 1 ... k ) )
45	43, 44	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x C_ ( 1 ... k ) /\ n e. x ) -> n e. NN )
46	45	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> n e. NN )
47	42, 46	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> ( E ` n ) e. ~P X )
48		elpwi 3951	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E ` n ) e. ~P X -> ( E ` n ) C_ X )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> ( E ` n ) C_ X )
50	41, 2, 49	omecl 38443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
51		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
52	50, 51	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
53	40, 52	sge0xrcl 38341	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
54	53	3adant2 1049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
55		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... k ) e. _V
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ... k ) e. _V )
57		elfznn 11854	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
58	57, 20	sylan2 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
59		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
60	58, 59	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : ( 1 ... k ) --> ( 0 [,] +oo ) )
61	56, 60	sge0xrcl 38341	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
62	61	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
63	16	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) e. RR* )
64	55	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> ( 1 ... k ) e. _V )
65		simpl1 1033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ph )
66	57	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN )
67	65, 66, 20	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
68		simp3 1032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> x C_ ( 1 ... k ) )
69	64, 67, 68	sge0lessmpt 38355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
70	1	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> O e. OutMeas )
71	7	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> E : NN --> S )
72		caratheodorylem2.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Disj n e. NN ( E ` n ) )
73	72	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> Disj n e. NN ( E ` n ) )
74		caratheodorylem2.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- G = ( k e. NN |-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )
75		nfiu1 4299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n )
76		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m )
77		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = m -> ( E ` n ) = ( E ` m ) )
78	77	cbviunv 4308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) = U_ m e. ( 1 ... k ) ( E ` m )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) = U_ m e. ( 1 ... k ) ( E ` m ) )
80		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( 1 ... k ) = ( 1 ... n ) )
81	80	iuneq1d 4294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> U_ m e. ( 1 ... k ) ( E ` m ) = U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
82	79, 81	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) = U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
83	75, 76, 82	cbvmpt 4487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN |-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) ) = ( n e. NN |-> U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
84	74, 83	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G = ( n e. NN |-> U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
85		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> k e. NN )
86	85, 26	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
87	86	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
88	70, 3, 26, 71, 73, 84, 87	caratheodorylem1 38466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( O ` ( G ` k ) ) = (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
89	88	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = ( O ` ( G ` k ) ) )
90	15	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. NN ( E ` n ) C_ X )
91		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E ` n ) e. _V
92	55, 91	iunex 6792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) e. _V
93	74	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) e. _V ) -> ( G ` k ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )
94	85, 92, 93	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )
95	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( 1 ... k ) C_ NN )
96		iunss1 4281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 ... k ) C_ NN -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
98	94, 97	eqsstrd 3452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
99	98	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
100	70, 2, 90, 99	omessle 38438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( O ` ( G ` k ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
101	89, 100	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
102	101	3adant3 1050	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
103	54, 62, 63, 69, 102	xrletrd 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
104	103	3exp 1230	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. NN -> ( x C_ ( 1 ... k ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) ) )
105	104	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> ( k e. NN -> ( x C_ ( 1 ... k ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) ) )
106	105	rexlimdv 2870	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> ( E. k e. NN x C_ ( 1 ... k ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) )
107	38, 106	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
108	33, 107	eqbrtrd 4416	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
109	108	ralrimiva 2809	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ~P NN i^i Fin ) (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
110	18, 22, 16	sge0lefi 38354	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) <-> A. x e. ( ~P NN i^i Fin ) (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) )
111	109, 110	mpbird 240	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
112	16, 23, 29, 111	xrletrid 11475	1 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   <_ cle 9694   NNcn 10631   ZZ>=cuz 11182   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  Σ^{^}csumge0 38318  OutMeascome 38429  CaraGenccaragen 38431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319  df-ome 38430  df-caragen 38432

This theorem is referenced by:  caratheodory  38468