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Theorem caratheodorylem2 38467
Description: Caratheodory's construction is sigma-additive. Main part of Step (e) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caratheodorylem2.o  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
caratheodorylem2.x  |-  X  = 
U. dom  O
caratheodorylem2.s  |-  S  =  (CaraGen `  O )
caratheodorylem2.e  |-  ( ph  ->  E : NN --> S )
caratheodorylem2.5  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  NN  ( E `  n )
)
caratheodorylem2.g  |-  G  =  ( k  e.  NN  |->  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( E `  n ) )
Assertion
Ref Expression
caratheodorylem2  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, E, n    n, G    k, O, n    n, X    ph, k, n
Allowed substitution hints:    S( k, n)    G( k)    X( k)

Proof of Theorem caratheodorylem2
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caratheodorylem2.o . . 3  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
2 caratheodorylem2.x . . 3  |-  X  = 
U. dom  O
3 caratheodorylem2.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  (CaraGen `  O )
43caragenss 38444 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e. OutMeas  ->  S  C_  dom  O )
51, 4syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  dom  O )
65adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  C_  dom  O )
7 caratheodorylem2.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E : NN --> S )
87ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  e.  S )
96, 8sseldd 3419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  e. 
dom  O )
10 elssuni 4219 . . . . . . 7  |-  ( ( E `  n )  e.  dom  O  -> 
( E `  n
)  C_  U. dom  O
)
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  C_  U.
dom  O )
1211, 2syl6sseqr 3465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  C_  X )
1312ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( E `  n ) 
C_  X )
14 iunss 4310 . . . 4  |-  ( U_ n  e.  NN  ( E `  n )  C_  X  <->  A. n  e.  NN  ( E `  n ) 
C_  X )
1513, 14sylibr 217 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) 
C_  X )
161, 2, 15omexrcl 38447 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )  e. 
RR* )
17 nnex 10637 . . . 4  |-  NN  e.  _V
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
191adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  O  e. OutMeas )
2019, 2, 12omecl 38443 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O `
 ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
21 eqid 2471 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
2220, 21fmptd 6061 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
2318, 22sge0xrcl 38341 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR* )
24 nfv 1769 . . 3  |-  F/ n ph
25 nfcv 2612 . . 3  |-  F/_ n E
26 nnuz 11218 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
271, 2, 3caragensspw 38449 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ~P X
)
287, 27fssd 5750 . . 3  |-  ( ph  ->  E : NN --> ~P X
)
2924, 25, 1, 2, 26, 28omeiunle 38457 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
30 elpwinss 37446 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  x  C_  NN )
3130resmptd 5162 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  |`  x )  =  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n ) ) ) )
3231fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  (Σ^ `  (
( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  |`  x )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
3332adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  |`  x )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
34 1zzd 10992 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  1  e.  ZZ )
3530adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  NN )
36 elinel2 3611 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
3736adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
3834, 26, 35, 37uzfissfz 37636 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  E. k  e.  NN  x  C_  (
1 ... k ) )
39 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  x  e.  _V )
411ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  O  e. OutMeas )
4228ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  E : NN --> ~P X )
43 fz1ssnn 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... k )  C_  NN
44 ssel2 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... k )  /\  n  e.  x )  ->  n  e.  ( 1 ... k ) )
4543, 44sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... k )  /\  n  e.  x )  ->  n  e.  NN )
4645adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  n  e.  NN )
4742, 46ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  ( E `  n )  e.  ~P X )
48 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E `  n )  e.  ~P X  -> 
( E `  n
)  C_  X )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  ( E `  n )  C_  X )
5041, 2, 49omecl 38443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
51 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  x  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
5250, 51fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n ) ) ) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
5340, 52sge0xrcl 38341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e. 
RR* )
54533adant2 1049 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e. 
RR* )
55 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... k )  e. 
_V
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1 ... k
)  e.  _V )
57 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
5857, 20sylan2 482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
59 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... k
)  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
6058, 59fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) : ( 1 ... k ) --> ( 0 [,] +oo ) )
6156, 60sge0xrcl 38341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e. 
RR* )
62613ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e. 
RR* )
63163ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n )
)  e.  RR* )
6455a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  ( 1 ... k )  e.  _V )
65 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ph )
6657adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  NN )
6765, 66, 20syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
68 simp3 1032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  x  C_  (
1 ... k ) )
6964, 67, 68sge0lessmpt 38355 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
701adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  O  e. OutMeas )
717adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E : NN
--> S )
72 caratheodorylem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  NN  ( E `  n )
)
7372adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  -> Disj  n  e.  NN  ( E `  n
) )
74 caratheodorylem2.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  G  =  ( k  e.  NN  |->  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( E `  n ) )
75 nfiu1 4299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n U_ n  e.  (
1 ... k ) ( E `  n )
76 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k U_ m  e.  (
1 ... n ) ( E `  m )
77 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( E `  n )  =  ( E `  m ) )
7877cbviunv 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  =  U_ m  e.  ( 1 ... k ) ( E `  m )
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  =  U_ m  e.  ( 1 ... k ) ( E `  m ) )
80 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
1 ... k )  =  ( 1 ... n
) )
8180iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  U_ m  e.  ( 1 ... k
) ( E `  m )  =  U_ m  e.  ( 1 ... n ) ( E `  m ) )
8279, 81eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  =  U_ m  e.  ( 1 ... n ) ( E `  m ) )
8375, 76, 82cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  |->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  U_ m  e.  ( 1 ... n ) ( E `  m ) )
8474, 83eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  U_ m  e.  ( 1 ... n ) ( E `  m ) )
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
8685, 26syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8786adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8870, 3, 26, 71, 73, 84, 87caratheodorylem1 38466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( O `
 ( G `  k ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
8988eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  ( O `  ( G `  k )
) )
9015adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  NN  ( E `  n )  C_  X
)
91 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E `
 n )  e. 
_V
9255, 91iunex 6792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  e.  _V
9374fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( E `  n )  e.  _V )  -> 
( G `  k
)  =  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n ) )
9485, 92, 93sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( E `  n
) )
9543a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1 ... k )  C_  NN )
96 iunss1 4281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... k ) 
C_  NN  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  C_  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  C_  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )
9894, 97eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  C_ 
U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )
9998adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  C_  U_ n  e.  NN  ( E `  n )
)
10070, 2, 90, 99omessle 38438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( O `
 ( G `  k ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
10189, 100eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
1021013adant3 1050 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
10354, 62, 63, 69, 102xrletrd 11482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
1041033exp 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  ( x  C_  (
1 ... k )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) ) ) )
105104adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  NN  ->  ( x  C_  ( 1 ... k )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) ) ) )
106105rexlimdv 2870 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  ( E. k  e.  NN  x  C_  ( 1 ... k )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  x  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) ) )
10738, 106mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  x  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
10833, 107eqbrtrd 4416 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  |`  x )
)  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
109108ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  x
) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
11018, 22, 16sge0lefi 38354 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )  <->  A. x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  x
) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) ) )
111109, 110mpbird 240 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
11216, 23, 29, 111xrletrid 11475 1  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    <_ cle 9694   NNcn 10631   ZZ>=cuz 11182   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  Σ^csumge0 38318  OutMeascome 38429  CaraGenccaragen 38431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319  df-ome 38430  df-caragen 38432
This theorem is referenced by:  caratheodory  38468
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