Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caratheodorylem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem caratheodorylem2 38467
 Description: Caratheodory's construction is sigma-additive. Main part of Step (e) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caratheodorylem2.o OutMeas
caratheodorylem2.x
caratheodorylem2.s CaraGen
caratheodorylem2.e
caratheodorylem2.5 Disj
caratheodorylem2.g
Assertion
Ref Expression
caratheodorylem2 Σ^
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()

Proof of Theorem caratheodorylem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caratheodorylem2.o . . 3 OutMeas
2 caratheodorylem2.x . . 3
3 caratheodorylem2.s . . . . . . . . . . 11 CaraGen
43caragenss 38444 . . . . . . . . . 10 OutMeas
51, 4syl 17 . . . . . . . . 9
65adantr 472 . . . . . . . 8
7 caratheodorylem2.e . . . . . . . . 9
87ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8
96, 8sseldd 3419 . . . . . . 7
10 elssuni 4219 . . . . . . 7
119, 10syl 17 . . . . . 6
1211, 2syl6sseqr 3465 . . . . 5
1312ralrimiva 2809 . . . 4
14 iunss 4310 . . . 4
1513, 14sylibr 217 . . 3
161, 2, 15omexrcl 38447 . 2
17 nnex 10637 . . . 4
1817a1i 11 . . 3
191adantr 472 . . . . 5 OutMeas
2019, 2, 12omecl 38443 . . . 4
21 eqid 2471 . . . 4
2220, 21fmptd 6061 . . 3
2318, 22sge0xrcl 38341 . 2 Σ^
24 nfv 1769 . . 3
25 nfcv 2612 . . 3
26 nnuz 11218 . . 3
271, 2, 3caragensspw 38449 . . . 4
287, 27fssd 5750 . . 3
2924, 25, 1, 2, 26, 28omeiunle 38457 . 2 Σ^
30 elpwinss 37446 . . . . . . . 8
3130resmptd 5162 . . . . . . 7
3231fveq2d 5883 . . . . . 6 Σ^ Σ^
3332adantl 473 . . . . 5 Σ^ Σ^
34 1zzd 10992 . . . . . . 7
3530adantl 473 . . . . . . 7
36 elinel2 3611 . . . . . . . 8
3736adantl 473 . . . . . . 7
3834, 26, 35, 37uzfissfz 37636 . . . . . 6
39 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
411ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 OutMeas
4228ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43 fz1ssnn 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44 ssel2 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4543, 44sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4742, 46ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15
48 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . . 15
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
5041, 2, 49omecl 38443 . . . . . . . . . . . . 13
51 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
5250, 51fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12
5340, 52sge0xrcl 38341 . . . . . . . . . . 11 Σ^
54533adant2 1049 . . . . . . . . . 10 Σ^
55 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
57 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . 14
5857, 20sylan2 482 . . . . . . . . . . . . 13
59 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
6058, 59fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12
6156, 60sge0xrcl 38341 . . . . . . . . . . 11 Σ^
62613ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10 Σ^
63163ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10
6455a1i 11 . . . . . . . . . . 11
65 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . 12
6657adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
6765, 66, 20syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
68 simp3 1032 . . . . . . . . . . 11
6964, 67, 68sge0lessmpt 38355 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^
701adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 OutMeas
717adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
72 caratheodorylem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 Disj
7372adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 Disj
74 caratheodorylem2.g . . . . . . . . . . . . . . 15
75 nfiu1 4299 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16
77 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7877cbviunv 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
80 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8180iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8279, 81eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8375, 76, 82cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . . . 15
8474, 83eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8685, 26syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . 15
8786adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
8870, 3, 26, 71, 73, 84, 87caratheodorylem1 38466 . . . . . . . . . . . . 13 Σ^
8988eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12 Σ^
9015adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
91 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9255, 91iunex 6792 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9374fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9485, 92, 93sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15
9543a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
96 iunss1 4281 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
9894, 97eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . 14
9998adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
10070, 2, 90, 99omessle 38438 . . . . . . . . . . . 12
10189, 100eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . 11 Σ^
1021013adant3 1050 . . . . . . . . . 10 Σ^
10354, 62, 63, 69, 102xrletrd 11482 . . . . . . . . 9 Σ^
1041033exp 1230 . . . . . . . 8 Σ^
105104adantr 472 . . . . . . 7 Σ^
106105rexlimdv 2870 . . . . . 6 Σ^
10738, 106mpd 15 . . . . 5 Σ^
10833, 107eqbrtrd 4416 . . . 4 Σ^
109108ralrimiva 2809 . . 3 Σ^
11018, 22, 16sge0lefi 38354 . . 3 Σ^ Σ^
111109, 110mpbird 240 . 2 Σ^
11216, 23, 29, 111xrletrid 11475 1 Σ^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  cpw 3942  cuni 4190  ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc0 9557  c1 9558   cpnf 9690  cxr 9692   cle 9694  cn 10631  cuz 11182  cicc 11663  cfz 11810  Σ^csumge0 38318  OutMeascome 38429  CaraGenccaragen 38431 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319  df-ome 38430  df-caragen 38432 This theorem is referenced by:  caratheodory  38468
 Copyright terms: Public domain W3C validator