Theorem caratheodorylem2 38171

Description: Caratheodory's construction is sigma-additive. Main part of Step (e) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 21 (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caratheodorylem2.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
caratheodorylem2.x	|- X = U. dom O
caratheodorylem2.s	|- S = (CaraGen ` O )
caratheodorylem2.e	|- ( ph -> E : NN --> S )
caratheodorylem2.5	|- ( ph -> Disj n e. NN ( E ` n ) )
caratheodorylem2.g	|- G = ( k e. NN |-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )

Assertion

Ref	Expression
caratheodorylem2	|- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, E, n   n, G   k, O, n   n, X   ph, k, n

Allowed substitution hints:   S( k, n)   G( k)   X( k)

Proof of Theorem caratheodorylem2

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caratheodorylem2.o	. . 3 |- ( ph -> O e. OutMeas )
2		caratheodorylem2.x	. . 3 |- X = U. dom O
3		caratheodorylem2.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = (CaraGen ` O )
4	3	caragenss 38148	. . . . . . . . . 10 |- ( O e. OutMeas -> S C_ dom O )
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S C_ dom O )
6	5	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S C_ dom O )
7		caratheodorylem2.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E : NN --> S )
8	7	ffvelrnda 6035	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) e. S )
9	6, 8	sseldd 3466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) e. dom O )
10		elssuni 4246	. . . . . . 7 |- ( ( E ` n ) e. dom O -> ( E ` n ) C_ U. dom O )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) C_ U. dom O )
12	11, 2	syl6sseqr 3512	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) C_ X )
13	12	ralrimiva 2840	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN ( E ` n ) C_ X )
14		iunss 4338	. . . 4 |- ( U_ n e. NN ( E ` n ) C_ X <-> A. n e. NN ( E ` n ) C_ X )
15	13, 14	sylibr 216	. . 3 |- ( ph -> U_ n e. NN ( E ` n ) C_ X )
16	1, 2, 15	omexrcl 38151	. 2 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) e. RR* )
17		nnex 10617	. . . 4 |- NN e. _V
18	17	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> NN e. _V )
19	1	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> O e. OutMeas )
20	19, 2, 12	omecl 38147	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
21		eqid 2423	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
22	20, 21	fmptd 6059	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
23	18, 22	sge0xrcl 38059	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
24		nfv 1752	. . 3 |- F/ n ph
25		nfcv 2585	. . 3 |- F/_ n E
26		nnuz 11196	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27	1, 2, 3	caragensspw 38153	. . . 4 |- ( ph -> S C_ ~P X )
28	7, 27	fssd 5753	. . 3 |- ( ph -> E : NN --> ~P X )
29	24, 25, 1, 2, 26, 28	omeiunle 38161	. 2 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
30		elpwinss 37293	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> x C_ NN )
31	30	resmptd 5173	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) = ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
32	31	fveq2d 5883	. . . . . 6 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) = (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
33	32	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) = (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
34		1zzd 10970	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> 1 e. ZZ )
35	30	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> x C_ NN )
36		elinel2 3653	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> x e. Fin )
37	36	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
38	34, 26, 35, 37	uzfissfz 37435	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> E. k e. NN x C_ ( 1 ... k ) )
39		vex 3085	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> x e. _V )
41	1	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> O e. OutMeas )
42	28	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> E : NN --> ~P X )
43		fz1ssnn 11832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 ... k ) C_ NN
44		ssel2 3460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x C_ ( 1 ... k ) /\ n e. x ) -> n e. ( 1 ... k ) )
45	43, 44	sseldi 3463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x C_ ( 1 ... k ) /\ n e. x ) -> n e. NN )
46	45	adantll 719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> n e. NN )
47	42, 46	ffvelrnd 6036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> ( E ` n ) e. ~P X )
48		elpwi 3989	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E ` n ) e. ~P X -> ( E ` n ) C_ X )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> ( E ` n ) C_ X )
50	41, 2, 49	omecl 38147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
51		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
52	50, 51	fmptd 6059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
53	40, 52	sge0xrcl 38059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
54	53	3adant2 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
55		ovex 6331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... k ) e. _V
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ... k ) e. _V )
57		elfznn 11830	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
58	57, 20	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
59		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
60	58, 59	fmptd 6059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : ( 1 ... k ) --> ( 0 [,] +oo ) )
61	56, 60	sge0xrcl 38059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
62	61	3ad2ant1 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
63	16	3ad2ant1 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) e. RR* )
64	55	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> ( 1 ... k ) e. _V )
65		simpl1 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ph )
66	57	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN )
67	65, 66, 20	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
68		simp3 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> x C_ ( 1 ... k ) )
69	64, 67, 68	sge0lessmpt 38073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
70	1	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> O e. OutMeas )
71	7	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> E : NN --> S )
72		caratheodorylem2.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Disj n e. NN ( E ` n ) )
73	72	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> Disj n e. NN ( E ` n ) )
74		caratheodorylem2.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- G = ( k e. NN |-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )
75		nfiu1 4327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n )
76		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m )
77		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = m -> ( E ` n ) = ( E ` m ) )
78	77	cbviunv 4336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) = U_ m e. ( 1 ... k ) ( E ` m )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) = U_ m e. ( 1 ... k ) ( E ` m ) )
80		oveq2 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( 1 ... k ) = ( 1 ... n ) )
81	80	iuneq1d 4322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> U_ m e. ( 1 ... k ) ( E ` m ) = U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
82	79, 81	eqtrd 2464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) = U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
83	75, 76, 82	cbvmpt 4513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN |-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) ) = ( n e. NN |-> U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
84	74, 83	eqtri 2452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G = ( n e. NN |-> U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
85		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> k e. NN )
86	85, 26	syl6eleq 2521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
87	86	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
88	70, 3, 26, 71, 73, 84, 87	caratheodorylem1 38170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( O ` ( G ` k ) ) = (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
89	88	eqcomd 2431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = ( O ` ( G ` k ) ) )
90	15	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. NN ( E ` n ) C_ X )
91		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E ` n ) e. _V
92	55, 91	iunex 6785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) e. _V
93	74	fvmpt2 5971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) e. _V ) -> ( G ` k ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )
94	85, 92, 93	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )
95	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( 1 ... k ) C_ NN )
96		iunss1 4309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 ... k ) C_ NN -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
98	94, 97	eqsstrd 3499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
99	98	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
100	70, 2, 90, 99	omessle 38142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( O ` ( G ` k ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
101	89, 100	eqbrtrd 4442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
102	101	3adant3 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
103	54, 62, 63, 69, 102	xrletrd 11461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
104	103	3exp 1205	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. NN -> ( x C_ ( 1 ... k ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) ) )
105	104	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> ( k e. NN -> ( x C_ ( 1 ... k ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) ) )
106	105	rexlimdv 2916	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> ( E. k e. NN x C_ ( 1 ... k ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) )
107	38, 106	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
108	33, 107	eqbrtrd 4442	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
109	108	ralrimiva 2840	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ~P NN i^i Fin ) (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
110	18, 22, 16	sge0lefi 38072	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) <-> A. x e. ( ~P NN i^i Fin ) (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) )
111	109, 110	mpbird 236	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
112	16, 23, 29, 111	xrletrid 11454	1 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082   i^i cin 3436   C_ wss 3437   ~Pcpw 3980   U.cuni 4217   U_ciun 4297  Disj wdisj 4392   class class class wbr 4421   |-> cmpt 4480   dom cdm 4851   |` cres 4853   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   0cc0 9541   1c1 9542   +oocpnf 9674   RR*cxr 9676   <_ cle 9678   NNcn 10611   ZZ>=cuz 11161   [,]cicc 11640   ...cfz 11786  Σ^{^}csumge0 38036  OutMeascome 38133  CaraGenccaragen 38135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-ac2 8895  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-acn 8379  df-ac 8549  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-xadd 11412  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-sumge0 38037  df-ome 38134  df-caragen 38136

This theorem is referenced by:  caratheodory  38172