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Theorem caratheodorylem2 38171
Description: Caratheodory's construction is sigma-additive. Main part of Step (e) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 21 (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caratheodorylem2.o  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
caratheodorylem2.x  |-  X  = 
U. dom  O
caratheodorylem2.s  |-  S  =  (CaraGen `  O )
caratheodorylem2.e  |-  ( ph  ->  E : NN --> S )
caratheodorylem2.5  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  NN  ( E `  n )
)
caratheodorylem2.g  |-  G  =  ( k  e.  NN  |->  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( E `  n ) )
Assertion
Ref Expression
caratheodorylem2  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, E, n    n, G    k, O, n    n, X    ph, k, n
Allowed substitution hints:    S( k, n)    G( k)    X( k)

Proof of Theorem caratheodorylem2
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caratheodorylem2.o . . 3  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
2 caratheodorylem2.x . . 3  |-  X  = 
U. dom  O
3 caratheodorylem2.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  (CaraGen `  O )
43caragenss 38148 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e. OutMeas  ->  S  C_  dom  O )
51, 4syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  dom  O )
65adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  C_  dom  O )
7 caratheodorylem2.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E : NN --> S )
87ffvelrnda 6035 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  e.  S )
96, 8sseldd 3466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  e. 
dom  O )
10 elssuni 4246 . . . . . . 7  |-  ( ( E `  n )  e.  dom  O  -> 
( E `  n
)  C_  U. dom  O
)
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  C_  U.
dom  O )
1211, 2syl6sseqr 3512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  C_  X )
1312ralrimiva 2840 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( E `  n ) 
C_  X )
14 iunss 4338 . . . 4  |-  ( U_ n  e.  NN  ( E `  n )  C_  X  <->  A. n  e.  NN  ( E `  n ) 
C_  X )
1513, 14sylibr 216 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) 
C_  X )
161, 2, 15omexrcl 38151 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )  e. 
RR* )
17 nnex 10617 . . . 4  |-  NN  e.  _V
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
191adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  O  e. OutMeas )
2019, 2, 12omecl 38147 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O `
 ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
21 eqid 2423 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
2220, 21fmptd 6059 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
2318, 22sge0xrcl 38059 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR* )
24 nfv 1752 . . 3  |-  F/ n ph
25 nfcv 2585 . . 3  |-  F/_ n E
26 nnuz 11196 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
271, 2, 3caragensspw 38153 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ~P X
)
287, 27fssd 5753 . . 3  |-  ( ph  ->  E : NN --> ~P X
)
2924, 25, 1, 2, 26, 28omeiunle 38161 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
30 elpwinss 37293 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  x  C_  NN )
3130resmptd 5173 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  |`  x )  =  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n ) ) ) )
3231fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  (Σ^ `  (
( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  |`  x )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
3332adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  |`  x )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
34 1zzd 10970 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  1  e.  ZZ )
3530adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  NN )
36 elinel2 3653 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
3736adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
3834, 26, 35, 37uzfissfz 37435 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  E. k  e.  NN  x  C_  (
1 ... k ) )
39 vex 3085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  x  e.  _V )
411ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  O  e. OutMeas )
4228ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  E : NN --> ~P X )
43 fz1ssnn 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... k )  C_  NN
44 ssel2 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... k )  /\  n  e.  x )  ->  n  e.  ( 1 ... k ) )
4543, 44sseldi 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... k )  /\  n  e.  x )  ->  n  e.  NN )
4645adantll 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  n  e.  NN )
4742, 46ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  ( E `  n )  e.  ~P X )
48 elpwi 3989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E `  n )  e.  ~P X  -> 
( E `  n
)  C_  X )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  ( E `  n )  C_  X )
5041, 2, 49omecl 38147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
51 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  x  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
5250, 51fmptd 6059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n ) ) ) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
5340, 52sge0xrcl 38059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e. 
RR* )
54533adant2 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e. 
RR* )
55 ovex 6331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... k )  e. 
_V
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1 ... k
)  e.  _V )
57 elfznn 11830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
5857, 20sylan2 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
59 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... k
)  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
6058, 59fmptd 6059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) : ( 1 ... k ) --> ( 0 [,] +oo ) )
6156, 60sge0xrcl 38059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e. 
RR* )
62613ad2ant1 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e. 
RR* )
63163ad2ant1 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n )
)  e.  RR* )
6455a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  ( 1 ... k )  e.  _V )
65 simpl1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ph )
6657adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  NN )
6765, 66, 20syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
68 simp3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  x  C_  (
1 ... k ) )
6964, 67, 68sge0lessmpt 38073 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
701adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  O  e. OutMeas )
717adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E : NN
--> S )
72 caratheodorylem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  NN  ( E `  n )
)
7372adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  -> Disj  n  e.  NN  ( E `  n
) )
74 caratheodorylem2.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  G  =  ( k  e.  NN  |->  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( E `  n ) )
75 nfiu1 4327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n U_ n  e.  (
1 ... k ) ( E `  n )
76 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k U_ m  e.  (
1 ... n ) ( E `  m )
77 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( E `  n )  =  ( E `  m ) )
7877cbviunv 4336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  =  U_ m  e.  ( 1 ... k ) ( E `  m )
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  =  U_ m  e.  ( 1 ... k ) ( E `  m ) )
80 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
1 ... k )  =  ( 1 ... n
) )
8180iuneq1d 4322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  U_ m  e.  ( 1 ... k
) ( E `  m )  =  U_ m  e.  ( 1 ... n ) ( E `  m ) )
8279, 81eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  =  U_ m  e.  ( 1 ... n ) ( E `  m ) )
8375, 76, 82cbvmpt 4513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  |->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  U_ m  e.  ( 1 ... n ) ( E `  m ) )
8474, 83eqtri 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  U_ m  e.  ( 1 ... n ) ( E `  m ) )
85 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
8685, 26syl6eleq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8786adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8870, 3, 26, 71, 73, 84, 87caratheodorylem1 38170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( O `
 ( G `  k ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
8988eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  ( O `  ( G `  k )
) )
9015adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  NN  ( E `  n )  C_  X
)
91 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E `
 n )  e. 
_V
9255, 91iunex 6785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  e.  _V
9374fvmpt2 5971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( E `  n )  e.  _V )  -> 
( G `  k
)  =  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n ) )
9485, 92, 93sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( E `  n
) )
9543a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1 ... k )  C_  NN )
96 iunss1 4309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... k ) 
C_  NN  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  C_  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  C_  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )
9894, 97eqsstrd 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  C_ 
U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )
9998adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  C_  U_ n  e.  NN  ( E `  n )
)
10070, 2, 90, 99omessle 38142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( O `
 ( G `  k ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
10189, 100eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
1021013adant3 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
10354, 62, 63, 69, 102xrletrd 11461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
1041033exp 1205 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  ( x  C_  (
1 ... k )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) ) ) )
105104adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  NN  ->  ( x  C_  ( 1 ... k )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) ) ) )
106105rexlimdv 2916 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  ( E. k  e.  NN  x  C_  ( 1 ... k )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  x  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) ) )
10738, 106mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  x  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
10833, 107eqbrtrd 4442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  |`  x )
)  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
109108ralrimiva 2840 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  x
) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
11018, 22, 16sge0lefi 38072 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )  <->  A. x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  x
) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) ) )
111109, 110mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
11216, 23, 29, 111xrletrid 11454 1  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    i^i cin 3436    C_ wss 3437   ~Pcpw 3980   U.cuni 4217   U_ciun 4297  Disj wdisj 4392   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   dom cdm 4851    |` cres 4853   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   0cc0 9541   1c1 9542   +oocpnf 9674   RR*cxr 9676    <_ cle 9678   NNcn 10611   ZZ>=cuz 11161   [,]cicc 11640   ...cfz 11786  Σ^csumge0 38036  OutMeascome 38133  CaraGenccaragen 38135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-ac2 8895  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-acn 8379  df-ac 8549  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-xadd 11412  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-sumge0 38037  df-ome 38134  df-caragen 38136
This theorem is referenced by:  caratheodory  38172
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