Theorem caratheodorylem2 38348

Description: Caratheodory's construction is sigma-additive. Main part of Step (e) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caratheodorylem2.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
caratheodorylem2.x	|- X = U. dom O
caratheodorylem2.s	|- S = (CaraGen ` O )
caratheodorylem2.e	|- ( ph -> E : NN --> S )
caratheodorylem2.5	|- ( ph -> Disj n e. NN ( E ` n ) )
caratheodorylem2.g	|- G = ( k e. NN |-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )

Assertion

Ref	Expression
caratheodorylem2	|- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, E, n   n, G   k, O, n   n, X   ph, k, n

Allowed substitution hints:   S( k, n)   G( k)   X( k)

Proof of Theorem caratheodorylem2

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caratheodorylem2.o	. . 3 |- ( ph -> O e. OutMeas )
2		caratheodorylem2.x	. . 3 |- X = U. dom O
3		caratheodorylem2.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = (CaraGen ` O )
4	3	caragenss 38325	. . . . . . . . . 10 |- ( O e. OutMeas -> S C_ dom O )
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S C_ dom O )
6	5	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S C_ dom O )
7		caratheodorylem2.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E : NN --> S )
8	7	ffvelrnda 6022	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) e. S )
9	6, 8	sseldd 3433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) e. dom O )
10		elssuni 4227	. . . . . . 7 |- ( ( E ` n ) e. dom O -> ( E ` n ) C_ U. dom O )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) C_ U. dom O )
12	11, 2	syl6sseqr 3479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) C_ X )
13	12	ralrimiva 2802	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN ( E ` n ) C_ X )
14		iunss 4319	. . . 4 |- ( U_ n e. NN ( E ` n ) C_ X <-> A. n e. NN ( E ` n ) C_ X )
15	13, 14	sylibr 216	. . 3 |- ( ph -> U_ n e. NN ( E ` n ) C_ X )
16	1, 2, 15	omexrcl 38328	. 2 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) e. RR* )
17		nnex 10615	. . . 4 |- NN e. _V
18	17	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> NN e. _V )
19	1	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> O e. OutMeas )
20	19, 2, 12	omecl 38324	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
21		eqid 2451	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
22	20, 21	fmptd 6046	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
23	18, 22	sge0xrcl 38227	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
24		nfv 1761	. . 3 |- F/ n ph
25		nfcv 2592	. . 3 |- F/_ n E
26		nnuz 11194	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27	1, 2, 3	caragensspw 38330	. . . 4 |- ( ph -> S C_ ~P X )
28	7, 27	fssd 5738	. . 3 |- ( ph -> E : NN --> ~P X )
29	24, 25, 1, 2, 26, 28	omeiunle 38338	. 2 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
30		elpwinss 37387	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> x C_ NN )
31	30	resmptd 5156	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) = ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
32	31	fveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) = (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
33	32	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) = (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
34		1zzd 10968	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> 1 e. ZZ )
35	30	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> x C_ NN )
36		elinel2 3620	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> x e. Fin )
37	36	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
38	34, 26, 35, 37	uzfissfz 37549	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> E. k e. NN x C_ ( 1 ... k ) )
39		vex 3048	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> x e. _V )
41	1	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> O e. OutMeas )
42	28	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> E : NN --> ~P X )
43		fz1ssnn 11830	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 ... k ) C_ NN
44		ssel2 3427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x C_ ( 1 ... k ) /\ n e. x ) -> n e. ( 1 ... k ) )
45	43, 44	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x C_ ( 1 ... k ) /\ n e. x ) -> n e. NN )
46	45	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> n e. NN )
47	42, 46	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> ( E ` n ) e. ~P X )
48		elpwi 3960	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E ` n ) e. ~P X -> ( E ` n ) C_ X )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> ( E ` n ) C_ X )
50	41, 2, 49	omecl 38324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
51		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
52	50, 51	fmptd 6046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
53	40, 52	sge0xrcl 38227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
54	53	3adant2 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
55		ovex 6318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... k ) e. _V
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ... k ) e. _V )
57		elfznn 11828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
58	57, 20	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
59		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
60	58, 59	fmptd 6046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : ( 1 ... k ) --> ( 0 [,] +oo ) )
61	56, 60	sge0xrcl 38227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
62	61	3ad2ant1 1029	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
63	16	3ad2ant1 1029	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) e. RR* )
64	55	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> ( 1 ... k ) e. _V )
65		simpl1 1011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ph )
66	57	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN )
67	65, 66, 20	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
68		simp3 1010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> x C_ ( 1 ... k ) )
69	64, 67, 68	sge0lessmpt 38241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
70	1	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> O e. OutMeas )
71	7	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> E : NN --> S )
72		caratheodorylem2.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Disj n e. NN ( E ` n ) )
73	72	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> Disj n e. NN ( E ` n ) )
74		caratheodorylem2.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- G = ( k e. NN |-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )
75		nfiu1 4308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n )
76		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m )
77		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = m -> ( E ` n ) = ( E ` m ) )
78	77	cbviunv 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) = U_ m e. ( 1 ... k ) ( E ` m )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) = U_ m e. ( 1 ... k ) ( E ` m ) )
80		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( 1 ... k ) = ( 1 ... n ) )
81	80	iuneq1d 4303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> U_ m e. ( 1 ... k ) ( E ` m ) = U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
82	79, 81	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) = U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
83	75, 76, 82	cbvmpt 4494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN |-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) ) = ( n e. NN |-> U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
84	74, 83	eqtri 2473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G = ( n e. NN |-> U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
85		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> k e. NN )
86	85, 26	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
87	86	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
88	70, 3, 26, 71, 73, 84, 87	caratheodorylem1 38347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( O ` ( G ` k ) ) = (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
89	88	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = ( O ` ( G ` k ) ) )
90	15	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. NN ( E ` n ) C_ X )
91		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E ` n ) e. _V
92	55, 91	iunex 6773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) e. _V
93	74	fvmpt2 5957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) e. _V ) -> ( G ` k ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )
94	85, 92, 93	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )
95	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( 1 ... k ) C_ NN )
96		iunss1 4290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 ... k ) C_ NN -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
98	94, 97	eqsstrd 3466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
99	98	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
100	70, 2, 90, 99	omessle 38319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( O ` ( G ` k ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
101	89, 100	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
102	101	3adant3 1028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
103	54, 62, 63, 69, 102	xrletrd 11459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
104	103	3exp 1207	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. NN -> ( x C_ ( 1 ... k ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) ) )
105	104	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> ( k e. NN -> ( x C_ ( 1 ... k ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) ) )
106	105	rexlimdv 2877	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> ( E. k e. NN x C_ ( 1 ... k ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) )
107	38, 106	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
108	33, 107	eqbrtrd 4423	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
109	108	ralrimiva 2802	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ~P NN i^i Fin ) (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
110	18, 22, 16	sge0lefi 38240	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) <-> A. x e. ( ~P NN i^i Fin ) (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) )
111	109, 110	mpbird 236	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
112	16, 23, 29, 111	xrletrid 11452	1 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   U_ciun 4278  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   0cc0 9539   1c1 9540   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   <_ cle 9676   NNcn 10609   ZZ>=cuz 11159   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  Σ^{^}csumge0 38204  OutMeascome 38310  CaraGenccaragen 38312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-sumge0 38205  df-ome 38311  df-caragen 38313

This theorem is referenced by:  caratheodory  38349