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Theorem caratheodorylem2 38348
Description: Caratheodory's construction is sigma-additive. Main part of Step (e) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caratheodorylem2.o  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
caratheodorylem2.x  |-  X  = 
U. dom  O
caratheodorylem2.s  |-  S  =  (CaraGen `  O )
caratheodorylem2.e  |-  ( ph  ->  E : NN --> S )
caratheodorylem2.5  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  NN  ( E `  n )
)
caratheodorylem2.g  |-  G  =  ( k  e.  NN  |->  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( E `  n ) )
Assertion
Ref Expression
caratheodorylem2  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, E, n    n, G    k, O, n    n, X    ph, k, n
Allowed substitution hints:    S( k, n)    G( k)    X( k)

Proof of Theorem caratheodorylem2
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caratheodorylem2.o . . 3  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
2 caratheodorylem2.x . . 3  |-  X  = 
U. dom  O
3 caratheodorylem2.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  (CaraGen `  O )
43caragenss 38325 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e. OutMeas  ->  S  C_  dom  O )
51, 4syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  dom  O )
65adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  C_  dom  O )
7 caratheodorylem2.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E : NN --> S )
87ffvelrnda 6022 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  e.  S )
96, 8sseldd 3433 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  e. 
dom  O )
10 elssuni 4227 . . . . . . 7  |-  ( ( E `  n )  e.  dom  O  -> 
( E `  n
)  C_  U. dom  O
)
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  C_  U.
dom  O )
1211, 2syl6sseqr 3479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  C_  X )
1312ralrimiva 2802 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( E `  n ) 
C_  X )
14 iunss 4319 . . . 4  |-  ( U_ n  e.  NN  ( E `  n )  C_  X  <->  A. n  e.  NN  ( E `  n ) 
C_  X )
1513, 14sylibr 216 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) 
C_  X )
161, 2, 15omexrcl 38328 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )  e. 
RR* )
17 nnex 10615 . . . 4  |-  NN  e.  _V
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
191adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  O  e. OutMeas )
2019, 2, 12omecl 38324 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O `
 ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
21 eqid 2451 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
2220, 21fmptd 6046 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
2318, 22sge0xrcl 38227 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR* )
24 nfv 1761 . . 3  |-  F/ n ph
25 nfcv 2592 . . 3  |-  F/_ n E
26 nnuz 11194 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
271, 2, 3caragensspw 38330 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ~P X
)
287, 27fssd 5738 . . 3  |-  ( ph  ->  E : NN --> ~P X
)
2924, 25, 1, 2, 26, 28omeiunle 38338 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
30 elpwinss 37387 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  x  C_  NN )
3130resmptd 5156 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  |`  x )  =  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n ) ) ) )
3231fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  (Σ^ `  (
( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  |`  x )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
3332adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  |`  x )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
34 1zzd 10968 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  1  e.  ZZ )
3530adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  NN )
36 elinel2 3620 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
3736adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
3834, 26, 35, 37uzfissfz 37549 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  E. k  e.  NN  x  C_  (
1 ... k ) )
39 vex 3048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  x  e.  _V )
411ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  O  e. OutMeas )
4228ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  E : NN --> ~P X )
43 fz1ssnn 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... k )  C_  NN
44 ssel2 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... k )  /\  n  e.  x )  ->  n  e.  ( 1 ... k ) )
4543, 44sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... k )  /\  n  e.  x )  ->  n  e.  NN )
4645adantll 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  n  e.  NN )
4742, 46ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  ( E `  n )  e.  ~P X )
48 elpwi 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E `  n )  e.  ~P X  -> 
( E `  n
)  C_  X )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  ( E `  n )  C_  X )
5041, 2, 49omecl 38324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  x )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
51 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  x  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
5250, 51fmptd 6046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n ) ) ) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
5340, 52sge0xrcl 38227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e. 
RR* )
54533adant2 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e. 
RR* )
55 ovex 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... k )  e. 
_V
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1 ... k
)  e.  _V )
57 elfznn 11828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
5857, 20sylan2 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
59 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... k
)  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
6058, 59fmptd 6046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) : ( 1 ... k ) --> ( 0 [,] +oo ) )
6156, 60sge0xrcl 38227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e. 
RR* )
62613ad2ant1 1029 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e. 
RR* )
63163ad2ant1 1029 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n )
)  e.  RR* )
6455a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  ( 1 ... k )  e.  _V )
65 simpl1 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ph )
6657adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  NN )
6765, 66, 20syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  ( 1 ... k
) )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
68 simp3 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  x  C_  (
1 ... k ) )
6964, 67, 68sge0lessmpt 38241 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
701adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  O  e. OutMeas )
717adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E : NN
--> S )
72 caratheodorylem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  NN  ( E `  n )
)
7372adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  -> Disj  n  e.  NN  ( E `  n
) )
74 caratheodorylem2.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  G  =  ( k  e.  NN  |->  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( E `  n ) )
75 nfiu1 4308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n U_ n  e.  (
1 ... k ) ( E `  n )
76 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k U_ m  e.  (
1 ... n ) ( E `  m )
77 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( E `  n )  =  ( E `  m ) )
7877cbviunv 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  =  U_ m  e.  ( 1 ... k ) ( E `  m )
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  =  U_ m  e.  ( 1 ... k ) ( E `  m ) )
80 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
1 ... k )  =  ( 1 ... n
) )
8180iuneq1d 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  U_ m  e.  ( 1 ... k
) ( E `  m )  =  U_ m  e.  ( 1 ... n ) ( E `  m ) )
8279, 81eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  =  U_ m  e.  ( 1 ... n ) ( E `  m ) )
8375, 76, 82cbvmpt 4494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  |->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  U_ m  e.  ( 1 ... n ) ( E `  m ) )
8474, 83eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  U_ m  e.  ( 1 ... n ) ( E `  m ) )
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
8685, 26syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8786adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8870, 3, 26, 71, 73, 84, 87caratheodorylem1 38347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( O `
 ( G `  k ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
8988eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  ( O `  ( G `  k )
) )
9015adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  NN  ( E `  n )  C_  X
)
91 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E `
 n )  e. 
_V
9255, 91iunex 6773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  e.  _V
9374fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( E `  n )  e.  _V )  -> 
( G `  k
)  =  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n ) )
9485, 92, 93sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( E `  n
) )
9543a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1 ... k )  C_  NN )
96 iunss1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... k ) 
C_  NN  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  C_  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( E `  n )  C_  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )
9894, 97eqsstrd 3466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  C_ 
U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )
9998adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  C_  U_ n  e.  NN  ( E `  n )
)
10070, 2, 90, 99omessle 38319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( O `
 ( G `  k ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
10189, 100eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
1021013adant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( 1 ... k ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
10354, 62, 63, 69, 102xrletrd 11459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN  /\  x  C_  (
1 ... k ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
1041033exp 1207 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  ( x  C_  (
1 ... k )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) ) ) )
105104adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  NN  ->  ( x  C_  ( 1 ... k )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  x  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) ) ) )
106105rexlimdv 2877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  ( E. k  e.  NN  x  C_  ( 1 ... k )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  x  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) ) )
10738, 106mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  x  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
10833, 107eqbrtrd 4423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  |`  x )
)  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
109108ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  x
) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
11018, 22, 16sge0lefi 38240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )  <->  A. x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  x
) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) ) )
111109, 110mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <_  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) ) )
11216, 23, 29, 111xrletrid 11452 1  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  NN  ( E `  n ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   U_ciun 4278  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   0cc0 9539   1c1 9540   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    <_ cle 9676   NNcn 10609   ZZ>=cuz 11159   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  Σ^csumge0 38204  OutMeascome 38310  CaraGenccaragen 38312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-sumge0 38205  df-ome 38311  df-caragen 38313
This theorem is referenced by:  caratheodory  38349
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