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Theorem caratheodorylem1 38347
Description: Lemma used to prove that Caratheodory's construction is sigma-additive. This is the proof of the statement in the middle of Step (e) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caratheodorylem1.o  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
caratheodorylem1.s  |-  S  =  (CaraGen `  O )
caratheodorylem1.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caratheodorylem1.e  |-  ( ph  ->  E : Z --> S )
caratheodorylem1.dj  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  Z  ( E `  n )
)
caratheodorylem1.g  |-  G  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ i  e.  ( M ... n ) ( E `  i
) )
caratheodorylem1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
caratheodorylem1  |-  ( ph  ->  ( O `  ( G `  N )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... N ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
Distinct variable groups:    i, E, n    i, G, n    i, M, n    i, N, n   
i, O, n    n, Z    ph, i, n
Allowed substitution hints:    S( i, n)    Z( i)

Proof of Theorem caratheodorylem1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caratheodorylem1.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11807 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 id 22 . 2  |-  ( ph  ->  ph )
5 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  ( G `  j )  =  ( G `  M ) )
65fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  ( O `  ( G `  j ) )  =  ( O `  ( G `  M )
) )
7 oveq2 6298 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  ( M ... j )  =  ( M ... M
) )
87mpteq1d 4484 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  =  ( n  e.  ( M ... M )  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
98fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... M )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
106, 9eqeq12d 2466 . . . 4  |-  ( j  =  M  ->  (
( O `  ( G `  j )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <->  ( O `  ( G `  M
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... M )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) ) )
1110imbi2d 318 . . 3  |-  ( j  =  M  ->  (
( ph  ->  ( O `
 ( G `  j ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( O `
 ( G `  M ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... M ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) ) )
12 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  ( G `  j )  =  ( G `  i ) )
1312fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( j  =  i  ->  ( O `  ( G `  j ) )  =  ( O `  ( G `  i )
) )
14 oveq2 6298 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  ( M ... j )  =  ( M ... i
) )
1514mpteq1d 4484 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  =  ( n  e.  ( M ... i )  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
1615fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( j  =  i  ->  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... i )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
1713, 16eqeq12d 2466 . . . 4  |-  ( j  =  i  ->  (
( O `  ( G `  j )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <->  ( O `  ( G `  i
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... i )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) ) )
1817imbi2d 318 . . 3  |-  ( j  =  i  ->  (
( ph  ->  ( O `
 ( G `  j ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( O `
 ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) ) )
19 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  ( G `  j )  =  ( G `  ( i  +  1 ) ) )
2019fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  ( O `  ( G `  j ) )  =  ( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) ) )
21 oveq2 6298 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  ( M ... j )  =  ( M ... (
i  +  1 ) ) )
2221mpteq1d 4484 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  =  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
2322fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
2420, 23eqeq12d 2466 . . . 4  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  (
( O `  ( G `  j )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <->  ( O `  ( G `  (
i  +  1 ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) ) )
2524imbi2d 318 . . 3  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( O `
 ( G `  j ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( O `
 ( G `  ( i  +  1 ) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) ) )
26 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  ( G `  j )  =  ( G `  N ) )
2726fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  ( O `  ( G `  j ) )  =  ( O `  ( G `  N )
) )
28 oveq2 6298 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( M ... j )  =  ( M ... N
) )
2928mpteq1d 4484 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  =  ( n  e.  ( M ... N )  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
3029fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... N )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
3127, 30eqeq12d 2466 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( O `  ( G `  j )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <->  ( O `  ( G `  N
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... N )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) ) )
3231imbi2d 318 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  (
( ph  ->  ( O `
 ( G `  j ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( O `
 ( G `  N ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... N ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) ) )
33 eluzel2 11164 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
341, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
35 fzsn 11840 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3634, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ... M
)  =  { M } )
3736mpteq1d 4484 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... M ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) )  =  ( n  e.  { M }  |->  ( O `  ( E `  n ) ) ) )
3837fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... M ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  { M }  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) ) )
39 caratheodorylem1.o . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
4039adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  O  e. OutMeas )
41 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  U. dom  O  =  U. dom  O
42 caratheodorylem1.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  (CaraGen `  O )
4342caragenss 38325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( O  e. OutMeas  ->  S  C_  dom  O )
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  S  C_  dom  O )
45 caratheodorylem1.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E : Z --> S )
4645adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  E : Z --> S )
47 elsni 3993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  { M }  ->  n  =  M )
4847adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  n  =  M )
49 uzid 11173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5034, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
51 caratheodorylem1.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5250, 51syl6eleqr 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
5352adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  M  e.  Z )
5448, 53eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  n  e.  Z )
5546, 54ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  -> 
( E `  n
)  e.  S )
5644, 55sseldd 3433 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  -> 
( E `  n
)  e.  dom  O
)
57 elssuni 4227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E `  n )  e.  dom  O  -> 
( E `  n
)  C_  U. dom  O
)
5856, 57syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  -> 
( E `  n
)  C_  U. dom  O
)
5940, 41, 58omecl 38324 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  -> 
( O `  ( E `  n )
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
60 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  { M }  |->  ( O `  ( E `  n )
) )  =  ( n  e.  { M }  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
6159, 60fmptd 6046 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  { M }  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) : { M } --> ( 0 [,] +oo ) )
6234, 61sge0sn 38221 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  { M }  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )  =  ( ( n  e.  { M }  |->  ( O `  ( E `  n ) ) ) `  M
) )
63 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  { M }  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e. 
{ M }  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )
6436iuneq1d 4303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `  i
)  =  U_ i  e.  { M }  ( E `  i )
)
65 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  M  ->  ( E `  i )  =  ( E `  M ) )
6665iunxsng 4360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Z  ->  U_ i  e.  { M }  ( E `  i )  =  ( E `  M ) )
6752, 66syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  { M }  ( E `  i )  =  ( E `  M ) )
68 eqidd 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E `  M
)  =  ( E `
 M ) )
6964, 67, 683eqtrrd 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E `  M
)  =  U_ i  e.  ( M ... M
) ( E `  i ) )
7069adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( E `  M )  =  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `  i
) )
71 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( E `  n )  =  ( E `  M ) )
7271adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( E `  n )  =  ( E `  M ) )
73 caratheodorylem1.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ i  e.  ( M ... n ) ( E `  i
) )
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  Z  |->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i ) ) )
75 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  M  ->  ( M ... n )  =  ( M ... M
) )
7675iuneq1d 4303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i )  =  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `
 i ) )
7776adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i )  =  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `
 i ) )
78 ovex 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M ... M )  e. 
_V
79 fvex 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E `
 i )  e. 
_V
8078, 79iunex 6773 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ i  e.  ( M ... M
) ( E `  i )  e.  _V
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `  i
)  e.  _V )
8274, 77, 52, 81fvmptd 5954 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  =  U_ i  e.  ( M ... M
) ( E `  i ) )
8382adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( G `  M )  =  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `  i
) )
8470, 72, 833eqtr4d 2495 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( E `  n )  =  ( G `  M ) )
8584fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  =  ( O `  ( G `  M )
) )
86 snidg 3994 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  Z  ->  M  e.  { M } )
8752, 86syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  { M } )
88 fvex 5875 . . . . . . 7  |-  ( O `
 ( G `  M ) )  e. 
_V
8988a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  ( G `  M )
)  e.  _V )
9063, 85, 87, 89fvmptd 5954 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
{ M }  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) `  M )  =  ( O `  ( G `  M ) ) )
9138, 62, 903eqtrrd 2490 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( G `  M )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... M ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
9291a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( O `  ( G `  M )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... M ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) )
93 simp3 1010 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  /\  ph )  ->  ph )
94 simp1 1008 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  /\  ph )  -> 
i  e.  ( M..^ N ) )
95 id 22 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) )
9695imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  /\  ph )  -> 
( O `  ( G `  i )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
97963adant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  /\  ph )  -> 
( O `  ( G `  i )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
98 elfzoel1 11918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  M  e.  ZZ )
99 elfzoelz 11920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  e.  ZZ )
10099peano2zd 11043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( i  +  1 )  e.  ZZ )
10198, 100, 1003jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  e.  ZZ ) )
10298zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  M  e.  RR )
103100zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( i  +  1 )  e.  RR )
10499zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  e.  RR )
105 elfzole1 11928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  i )
106104ltp1d 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  <  ( i  +  1 ) )
107102, 104, 103, 105, 106lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <  ( i  +  1 ) )
108102, 103, 107ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  ( i  +  1 ) )
109 leid 9729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  +  1 )  e.  RR  ->  (
i  +  1 )  <_  ( i  +  1 ) )
110103, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( i  +  1 )  <_ 
( i  +  1 ) )
111101, 108, 110jca32 538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  (
i  +  1 )  e.  ZZ  /\  (
i  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  ( i  +  1 )  /\  ( i  +  1 )  <_  ( i  +  1 ) ) ) )
112 elfz2 11791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  (
i  +  1 )  e.  ZZ  /\  (
i  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  ( i  +  1 )  /\  ( i  +  1 )  <_  ( i  +  1 ) ) ) )
113111, 112sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( i  +  1 )  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )
114113adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) )
115 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  ( E `  j )  =  ( E `  ( i  +  1 ) ) )
116115ssiun2s 4322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  ->  ( E `  ( i  +  1 ) ) 
C_  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
) )
117114, 116syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E `  ( i  +  1 ) )  C_  U_ j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) ( E `  j ) )
118 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  j  ->  ( E `  i )  =  ( E `  j ) )
119118cbviunv 4317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i )  =  U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `
 j )
120119mpteq2i 4486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Z  |->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i ) )  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `  j
) )
12173, 120eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `  j
) )
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  G  =  ( n  e.  Z  |->  U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `
 j ) ) )
123 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( i  +  1 )  ->  ( M ... n )  =  ( M ... (
i  +  1 ) ) )
124123iuneq1d 4303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( i  +  1 )  ->  U_ j  e.  ( M ... n
) ( E `  j )  =  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `
 j ) )
125124adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  =  ( i  +  1 ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... n
) ( E `  j )  =  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `
 j ) )
12634adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  ZZ )
12799adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  i  e.  ZZ )
128127peano2zd 11043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ZZ )
129126zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
130128zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  RR )
131127zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  i  e.  RR )
132105adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  i
)
133131ltp1d 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  i  <  (
i  +  1 ) )
134129, 131, 130, 132, 133lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <  (
i  +  1 ) )
135129, 130, 134ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  (
i  +  1 ) )
136126, 128, 1353jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( i  +  1 ) ) )
137 eluz2 11165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( i  +  1 ) ) )
138136, 137sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
13951eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
140138, 139syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  Z
)
141 ovex 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M ... ( i  +  1 ) )  e. 
_V
142 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E `
 j )  e. 
_V
143141, 142iunex 6773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) ( E `  j )  e.  _V
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  e.  _V )
145122, 125, 140, 144fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( i  +  1 ) )  =  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `
 j ) )
146145eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  =  ( G `
 ( i  +  1 ) ) )
147117, 146sseqtrd 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E `  ( i  +  1 ) )  C_  ( G `  ( i  +  1 ) ) )
148 dfss1 3637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  ( i  +  1 ) ) 
C_  ( G `  ( i  +  1 ) )  <->  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( E `  (
i  +  1 ) ) )
149148biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  ( i  +  1 ) ) 
C_  ( G `  ( i  +  1 ) )  ->  (
( G `  (
i  +  1 ) )  i^i  ( E `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( E `  ( i  +  1 ) ) )
150147, 149syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( E `  ( i  +  1 ) ) )
151150fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( O `  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )
152 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
( E `  (
i  +  1 ) )
153 elfzouz 11924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
154153adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  i  e.  (
ZZ>= `  M ) )
155152, 154, 115iunp1 37407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  =  ( U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `
 j )  u.  ( E `  (
i  +  1 ) ) ) )
156145, 155eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( i  +  1 ) )  =  (
U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  u.  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )
157156difeq1d 3550 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  \ 
( E `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  u.  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  \  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )
158 caratheodorylem1.dj . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  Z  ( E `  n )
)
159 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  ( E `  n )  =  ( E `  j ) )
160159cbvdisjv 4384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  n  e.  Z  ( E `  n )  <-> Disj  j  e.  Z  ( E `  j ) )
161158, 160sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> Disj  j  e.  Z  ( E `  j )
)
162161adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> Disj  j  e.  Z  ( E `  j ) )
163 fzssuz 11839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M ... i )  C_  ( ZZ>= `  M )
164163, 139sseqtri 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M ... i )  C_  Z
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... i )  C_  Z
)
166 fzp1nel 11878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  (
i  +  1 )  e.  ( M ... i )
167166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  -.  (
i  +  1 )  e.  ( M ... i ) )
168167adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  -.  ( i  +  1 )  e.  ( M ... i
) )
169140, 168eldifd 3415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( Z  \  ( M ... i ) ) )
170162, 165, 169, 115disjiun2 37398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  =  (/) )
171 undif4 3821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  =  (/)  ->  ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  u.  (
( E `  (
i  +  1 ) )  \  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( (
U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  u.  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) 
\  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  u.  (
( E `  (
i  +  1 ) )  \  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( (
U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  u.  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) 
\  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )
173172eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `
 j )  u.  ( E `  (
i  +  1 ) ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `
 j )  u.  ( ( E `  ( i  +  1 ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
174 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ph )
175154, 139syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  i  e.  Z
)
176121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  G  =  ( n  e.  Z  |->  U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `  j
) ) )
177 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  =  i )  ->  n  =  i )
178177oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  =  i )  -> 
( M ... n
)  =  ( M ... i ) )
179178iuneq1d 4303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  =  i )  ->  U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `  j )  =  U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j ) )
180 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
181 ovex 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M ... i )  e. 
_V
182181, 142iunex 6773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  e.  _V
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  e.  _V )
184176, 179, 180, 183fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i )  =  U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
) )
185174, 175, 184syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  i )  =  U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `
 j ) )
186185eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  =  ( G `
 i ) )
187 difid 3835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E `  ( i  +  1 ) ) 
\  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  =  (/)
188187a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( i  +  1 ) )  \ 
( E `  (
i  +  1 ) ) )  =  (/) )
189186, 188uneq12d 3589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  u.  (
( E `  (
i  +  1 ) )  \  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( G `  i )  u.  (/) ) )
190 un0 3759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  i )  u.  (/) )  =  ( G `  i )
191190a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 i )  u.  (/) )  =  ( G `  i )
)
192189, 191eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  u.  (
( E `  (
i  +  1 ) )  \  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( G `
 i ) )
193157, 173, 1923eqtrd 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  \ 
( E `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( G `  i ) )
194193fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( O `  ( G `
 i ) ) )
195151, 194oveq12d 6308 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( O `
 ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  (
i  +  1 ) ) ) ) +e ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) +e ( O `  ( G `
 i ) ) ) )
1961953adant3 1028 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( ( O `
 ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  (
i  +  1 ) ) ) ) +e ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) +e ( O `  ( G `
 i ) ) ) )
19739adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  O  e. OutMeas )
19845adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  E : Z --> S )
199198, 140ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E `  ( i  +  1 ) )  e.  S
)
200 simpll 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ph )
20198adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
202 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
203202adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
204 elfzle1 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  ->  M  <_  j )
205204adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  M  <_  j )
206201, 203, 2053jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  M  <_ 
j ) )
207 eluz2 11165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  M  <_ 
j ) )
208206, 207sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
209208, 139syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  j  e.  Z )
210209adantll 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  j  e.  Z )
21139, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S  C_  dom  O )
212211adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  S  C_ 
dom  O )
21345ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( E `  j )  e.  S )
214212, 213sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( E `  j )  e.  dom  O )
215 elssuni 4227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  j )  e.  dom  O  -> 
( E `  j
)  C_  U. dom  O
)
216214, 215syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( E `  j )  C_ 
U. dom  O )
217200, 210, 216syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ( E `  j )  C_ 
U. dom  O )
218217ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  C_  U. dom  O
)
219 iunss 4319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `
 j )  C_  U.
dom  O  <->  A. j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  C_  U. dom  O
)
220218, 219sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  C_  U. dom  O
)
221145, 220eqsstrd 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( i  +  1 ) )  C_  U. dom  O )
222197, 42, 41, 199, 221caragensplit 38321 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( O `
 ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  (
i  +  1 ) ) ) ) +e ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  =  ( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) ) )
223222eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) +e ( O `
 ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  \ 
( E `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
2242233adant3 1028 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) +e ( O `
 ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  \ 
( E `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
225197adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  O  e. OutMeas )
226174adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ph )
227 elfzuz 11796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
228227, 139syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  ->  n  e.  Z )
229228adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  n  e.  Z )
23045, 211fssd 5738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E : Z --> dom  O
)
231230ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E `  n )  e.  dom  O )
232231, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E `  n )  C_ 
U. dom  O )
233226, 229, 232syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ( E `  n )  C_ 
U. dom  O )
234225, 41, 233omecl 38324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
235 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( i  +  1 )  ->  ( E `  n )  =  ( E `  ( i  +  1 ) ) )
236235fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( i  +  1 )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  =  ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )
237154, 234, 236sge0p1 38256 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  ( (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
2382373adant3 1028 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  ( (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
239 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  -> 
( O `  ( G `  i )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
240239eqcomd 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  ( O `  ( G `  i )
) )
241240oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  -> 
( (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( O `  ( G `  i )
) +e ( O `  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
2422413ad2ant3 1031 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( O `  ( G `  i )
) +e ( O `  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
243 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... i ) )  ->  ph )
244164sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( M ... i )  ->  j  e.  Z )
245244adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... i ) )  ->  j  e.  Z )
246243, 245, 216syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... i ) )  ->  ( E `  j )  C_  U. dom  O )
247246adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  j  e.  ( M ... i
) )  ->  ( E `  j )  C_ 
U. dom  O )
248247ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  A. j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  C_  U. dom  O )
249 iunss 4319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `
 j )  C_  U.
dom  O  <->  A. j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  C_  U. dom  O
)
250248, 249sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  C_  U. dom  O )
251184, 250eqsstrd 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i )  C_ 
U. dom  O )
252174, 175, 251syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  i )  C_  U. dom  O )
253197, 41, 252omexrcl 38328 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( O `  ( G `  i ) )  e.  RR* )
254117, 220sstrd 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E `  ( i  +  1 ) )  C_  U. dom  O )
255197, 41, 254omexrcl 38328 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  e.  RR* )
256253, 255xaddcomd 37547 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( O `
 ( G `  i ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) +e ( O `  ( G `
 i ) ) ) )
2572563adant3 1028 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( ( O `
 ( G `  i ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) +e ( O `  ( G `
 i ) ) ) )
258238, 242, 2573eqtrd 2489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  ( ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) +e ( O `  ( G `
 i ) ) ) )
259196, 224, 2583eqtr4d 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
26093, 94, 97, 259syl3anc 1268 . . . 4  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  /\  ph )  -> 
( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
2612603exp 1207 . . 3  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( O `  ( G `
 ( i  +  1 ) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) ) )
26211, 18, 25, 32, 92, 261fzind2 12023 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  ( O `  ( G `  N ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... N ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) )
2633, 4, 262sylc 62 1  |-  ( ph  ->  ( O `  ( G `  N )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... N ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U.cuni 4198   U_ciun 4278  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542   +oocpnf 9672    <_ cle 9676   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   +ecxad 11407   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915  Σ^csumge0 38204  OutMeascome 38310  CaraGenccaragen 38312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-sumge0 38205  df-ome 38311  df-caragen 38313
This theorem is referenced by:  caratheodorylem2  38348
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