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Theorem caratheodorylem1 38170
Description: Lemma used to prove that Caratheodory's construction is sigma-additive. This is the proof of the statement in the middle of Step (e) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 21 (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caratheodorylem1.o  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
caratheodorylem1.s  |-  S  =  (CaraGen `  O )
caratheodorylem1.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caratheodorylem1.e  |-  ( ph  ->  E : Z --> S )
caratheodorylem1.dj  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  Z  ( E `  n )
)
caratheodorylem1.g  |-  G  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ i  e.  ( M ... n ) ( E `  i
) )
caratheodorylem1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
caratheodorylem1  |-  ( ph  ->  ( O `  ( G `  N )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... N ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
Distinct variable groups:    i, E, n    i, G, n    i, M, n    i, N, n   
i, O, n    n, Z    ph, i, n
Allowed substitution hints:    S( i, n)    Z( i)

Proof of Theorem caratheodorylem1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caratheodorylem1.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11809 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 id 23 . 2  |-  ( ph  ->  ph )
5 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  ( G `  j )  =  ( G `  M ) )
65fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  ( O `  ( G `  j ) )  =  ( O `  ( G `  M )
) )
7 oveq2 6311 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  ( M ... j )  =  ( M ... M
) )
87mpteq1d 4503 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  =  ( n  e.  ( M ... M )  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
98fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... M )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
106, 9eqeq12d 2445 . . . 4  |-  ( j  =  M  ->  (
( O `  ( G `  j )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <->  ( O `  ( G `  M
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... M )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) ) )
1110imbi2d 318 . . 3  |-  ( j  =  M  ->  (
( ph  ->  ( O `
 ( G `  j ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( O `
 ( G `  M ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... M ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) ) )
12 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  ( G `  j )  =  ( G `  i ) )
1312fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  i  ->  ( O `  ( G `  j ) )  =  ( O `  ( G `  i )
) )
14 oveq2 6311 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  ( M ... j )  =  ( M ... i
) )
1514mpteq1d 4503 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  =  ( n  e.  ( M ... i )  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
1615fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  i  ->  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... i )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
1713, 16eqeq12d 2445 . . . 4  |-  ( j  =  i  ->  (
( O `  ( G `  j )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <->  ( O `  ( G `  i
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... i )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) ) )
1817imbi2d 318 . . 3  |-  ( j  =  i  ->  (
( ph  ->  ( O `
 ( G `  j ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( O `
 ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) ) )
19 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  ( G `  j )  =  ( G `  ( i  +  1 ) ) )
2019fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  ( O `  ( G `  j ) )  =  ( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) ) )
21 oveq2 6311 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  ( M ... j )  =  ( M ... (
i  +  1 ) ) )
2221mpteq1d 4503 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  =  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
2322fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
2420, 23eqeq12d 2445 . . . 4  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  (
( O `  ( G `  j )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <->  ( O `  ( G `  (
i  +  1 ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) ) )
2524imbi2d 318 . . 3  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( O `
 ( G `  j ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( O `
 ( G `  ( i  +  1 ) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) ) )
26 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  ( G `  j )  =  ( G `  N ) )
2726fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  ( O `  ( G `  j ) )  =  ( O `  ( G `  N )
) )
28 oveq2 6311 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( M ... j )  =  ( M ... N
) )
2928mpteq1d 4503 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  =  ( n  e.  ( M ... N )  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
3029fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... N )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
3127, 30eqeq12d 2445 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( O `  ( G `  j )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <->  ( O `  ( G `  N
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... N )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) ) )
3231imbi2d 318 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  (
( ph  ->  ( O `
 ( G `  j ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( O `
 ( G `  N ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... N ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) ) )
33 eluzel2 11166 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
341, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
35 fzsn 11842 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3634, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ... M
)  =  { M } )
3736mpteq1d 4503 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... M ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) )  =  ( n  e.  { M }  |->  ( O `  ( E `  n ) ) ) )
3837fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... M ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  { M }  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) ) )
39 caratheodorylem1.o . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
4039adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  O  e. OutMeas )
41 eqid 2423 . . . . . . . 8  |-  U. dom  O  =  U. dom  O
42 caratheodorylem1.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  (CaraGen `  O )
4342caragenss 38148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( O  e. OutMeas  ->  S  C_  dom  O )
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  S  C_  dom  O )
45 caratheodorylem1.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E : Z --> S )
4645adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  E : Z --> S )
47 elsni 4022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  { M }  ->  n  =  M )
4847adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  n  =  M )
49 uzid 11175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5034, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
51 caratheodorylem1.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5250, 51syl6eleqr 2522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
5352adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  M  e.  Z )
5448, 53eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  n  e.  Z )
5546, 54ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  -> 
( E `  n
)  e.  S )
5644, 55sseldd 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  -> 
( E `  n
)  e.  dom  O
)
57 elssuni 4246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E `  n )  e.  dom  O  -> 
( E `  n
)  C_  U. dom  O
)
5856, 57syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  -> 
( E `  n
)  C_  U. dom  O
)
5940, 41, 58omecl 38147 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  -> 
( O `  ( E `  n )
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
60 eqid 2423 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  { M }  |->  ( O `  ( E `  n )
) )  =  ( n  e.  { M }  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
6159, 60fmptd 6059 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  { M }  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) : { M } --> ( 0 [,] +oo ) )
6234, 61sge0sn 38053 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  { M }  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )  =  ( ( n  e.  { M }  |->  ( O `  ( E `  n ) ) ) `  M
) )
63 eqidd 2424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  { M }  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e. 
{ M }  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )
6436iuneq1d 4322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `  i
)  =  U_ i  e.  { M }  ( E `  i )
)
65 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  M  ->  ( E `  i )  =  ( E `  M ) )
6665iunxsng 4379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Z  ->  U_ i  e.  { M }  ( E `  i )  =  ( E `  M ) )
6752, 66syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  { M }  ( E `  i )  =  ( E `  M ) )
68 eqidd 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E `  M
)  =  ( E `
 M ) )
6964, 67, 683eqtrrd 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E `  M
)  =  U_ i  e.  ( M ... M
) ( E `  i ) )
7069adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( E `  M )  =  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `  i
) )
71 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( E `  n )  =  ( E `  M ) )
7271adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( E `  n )  =  ( E `  M ) )
73 caratheodorylem1.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ i  e.  ( M ... n ) ( E `  i
) )
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  Z  |->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i ) ) )
75 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  M  ->  ( M ... n )  =  ( M ... M
) )
7675iuneq1d 4322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i )  =  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `
 i ) )
7776adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i )  =  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `
 i ) )
78 ovex 6331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M ... M )  e. 
_V
79 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E `
 i )  e. 
_V
8078, 79iunex 6785 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ i  e.  ( M ... M
) ( E `  i )  e.  _V
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `  i
)  e.  _V )
8274, 77, 52, 81fvmptd 5968 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  =  U_ i  e.  ( M ... M
) ( E `  i ) )
8382adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( G `  M )  =  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `  i
) )
8470, 72, 833eqtr4d 2474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( E `  n )  =  ( G `  M ) )
8584fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  =  ( O `  ( G `  M )
) )
86 snidg 4023 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  Z  ->  M  e.  { M } )
8752, 86syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  { M } )
88 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  ( O `
 ( G `  M ) )  e. 
_V
8988a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  ( G `  M )
)  e.  _V )
9063, 85, 87, 89fvmptd 5968 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
{ M }  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) `  M )  =  ( O `  ( G `  M ) ) )
9138, 62, 903eqtrrd 2469 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( G `  M )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... M ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
9291a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( O `  ( G `  M )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... M ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) )
93 simp3 1008 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  /\  ph )  ->  ph )
94 simp1 1006 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  /\  ph )  -> 
i  e.  ( M..^ N ) )
95 id 23 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) )
9695imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  /\  ph )  -> 
( O `  ( G `  i )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
97963adant1 1024 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  /\  ph )  -> 
( O `  ( G `  i )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
98 elfzoel1 11920 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  M  e.  ZZ )
99 elfzoelz 11922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  e.  ZZ )
10099peano2zd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( i  +  1 )  e.  ZZ )
10198, 100, 1003jca 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  e.  ZZ ) )
10298zred 11042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  M  e.  RR )
103100zred 11042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( i  +  1 )  e.  RR )
10499zred 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  e.  RR )
105 elfzole1 11930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  i )
106104ltp1d 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  <  ( i  +  1 ) )
107102, 104, 103, 105, 106lelttrd 9795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <  ( i  +  1 ) )
108102, 103, 107ltled 9785 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  ( i  +  1 ) )
109 leid 9731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  +  1 )  e.  RR  ->  (
i  +  1 )  <_  ( i  +  1 ) )
110103, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( i  +  1 )  <_ 
( i  +  1 ) )
111101, 108, 110jca32 538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  (
i  +  1 )  e.  ZZ  /\  (
i  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  ( i  +  1 )  /\  ( i  +  1 )  <_  ( i  +  1 ) ) ) )
112 elfz2 11793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  (
i  +  1 )  e.  ZZ  /\  (
i  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  ( i  +  1 )  /\  ( i  +  1 )  <_  ( i  +  1 ) ) ) )
113111, 112sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( i  +  1 )  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )
114113adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) )
115 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  ( E `  j )  =  ( E `  ( i  +  1 ) ) )
116115ssiun2s 4341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  ->  ( E `  ( i  +  1 ) ) 
C_  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
) )
117114, 116syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E `  ( i  +  1 ) )  C_  U_ j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) ( E `  j ) )
118 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  j  ->  ( E `  i )  =  ( E `  j ) )
119118cbviunv 4336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i )  =  U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `
 j )
120119mpteq2i 4505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Z  |->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i ) )  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `  j
) )
12173, 120eqtri 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `  j
) )
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  G  =  ( n  e.  Z  |->  U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `
 j ) ) )
123 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( i  +  1 )  ->  ( M ... n )  =  ( M ... (
i  +  1 ) ) )
124123iuneq1d 4322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( i  +  1 )  ->  U_ j  e.  ( M ... n
) ( E `  j )  =  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `
 j ) )
125124adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  =  ( i  +  1 ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... n
) ( E `  j )  =  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `
 j ) )
12634adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  ZZ )
12799adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  i  e.  ZZ )
128127peano2zd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ZZ )
129126zred 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
130128zred 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  RR )
131127zred 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  i  e.  RR )
132105adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  i
)
133131ltp1d 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  i  <  (
i  +  1 ) )
134129, 131, 130, 132, 133lelttrd 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <  (
i  +  1 ) )
135129, 130, 134ltled 9785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  (
i  +  1 ) )
136126, 128, 1353jca 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( i  +  1 ) ) )
137 eluz2 11167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( i  +  1 ) ) )
138136, 137sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
13951eqcomi 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
140138, 139syl6eleq 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  Z
)
141 ovex 6331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M ... ( i  +  1 ) )  e. 
_V
142 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E `
 j )  e. 
_V
143141, 142iunex 6785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) ( E `  j )  e.  _V
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  e.  _V )
145122, 125, 140, 144fvmptd 5968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( i  +  1 ) )  =  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `
 j ) )
146145eqcomd 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  =  ( G `
 ( i  +  1 ) ) )
147117, 146sseqtrd 3501 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E `  ( i  +  1 ) )  C_  ( G `  ( i  +  1 ) ) )
148 dfss1 3668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  ( i  +  1 ) ) 
C_  ( G `  ( i  +  1 ) )  <->  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( E `  (
i  +  1 ) ) )
149148biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  ( i  +  1 ) ) 
C_  ( G `  ( i  +  1 ) )  ->  (
( G `  (
i  +  1 ) )  i^i  ( E `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( E `  ( i  +  1 ) ) )
150147, 149syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( E `  ( i  +  1 ) ) )
151150fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( O `  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )
152 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
( E `  (
i  +  1 ) )
153 elfzouz 11926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
154153adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  i  e.  (
ZZ>= `  M ) )
155152, 154, 115iunp1 37314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  =  ( U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `
 j )  u.  ( E `  (
i  +  1 ) ) ) )
156145, 155eqtrd 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( i  +  1 ) )  =  (
U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  u.  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )
157156difeq1d 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  \ 
( E `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  u.  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  \  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )
158 caratheodorylem1.dj . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  Z  ( E `  n )
)
159 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  ( E `  n )  =  ( E `  j ) )
160159cbvdisjv 4403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  n  e.  Z  ( E `  n )  <-> Disj  j  e.  Z  ( E `  j ) )
161158, 160sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> Disj  j  e.  Z  ( E `  j )
)
162161adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> Disj  j  e.  Z  ( E `  j ) )
163 fzssuz 11841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M ... i )  C_  ( ZZ>= `  M )
164163, 139sseqtri 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M ... i )  C_  Z
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... i )  C_  Z
)
166 fzp1nel 11880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  (
i  +  1 )  e.  ( M ... i )
167166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  -.  (
i  +  1 )  e.  ( M ... i ) )
168167adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  -.  ( i  +  1 )  e.  ( M ... i
) )
169140, 168eldifd 3448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( Z  \  ( M ... i ) ) )
170162, 165, 169, 115disjiun2 37304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  =  (/) )
171 undif4 3850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  =  (/)  ->  ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  u.  (
( E `  (
i  +  1 ) )  \  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( (
U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  u.  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) 
\  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  u.  (
( E `  (
i  +  1 ) )  \  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( (
U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  u.  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) 
\  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )
173172eqcomd 2431 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `
 j )  u.  ( E `  (
i  +  1 ) ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `
 j )  u.  ( ( E `  ( i  +  1 ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
174 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ph )
175154, 139syl6eleq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  i  e.  Z
)
176121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  G  =  ( n  e.  Z  |->  U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `  j
) ) )
177 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  =  i )  ->  n  =  i )
178177oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  =  i )  -> 
( M ... n
)  =  ( M ... i ) )
179178iuneq1d 4322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  =  i )  ->  U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `  j )  =  U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j ) )
180 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
181 ovex 6331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M ... i )  e. 
_V
182181, 142iunex 6785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  e.  _V
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  e.  _V )
184176, 179, 180, 183fvmptd 5968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i )  =  U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
) )
185174, 175, 184syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  i )  =  U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `
 j ) )
186185eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  =  ( G `
 i ) )
187 difid 3864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E `  ( i  +  1 ) ) 
\  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  =  (/)
188187a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( i  +  1 ) )  \ 
( E `  (
i  +  1 ) ) )  =  (/) )
189186, 188uneq12d 3622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  u.  (
( E `  (
i  +  1 ) )  \  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( G `  i )  u.  (/) ) )
190 un0 3788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  i )  u.  (/) )  =  ( G `  i )
191190a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 i )  u.  (/) )  =  ( G `  i )
)
192189, 191eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  u.  (
( E `  (
i  +  1 ) )  \  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( G `
 i ) )
193157, 173, 1923eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  \ 
( E `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( G `  i ) )
194193fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( O `  ( G `
 i ) ) )
195151, 194oveq12d 6321 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( O `
 ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  (
i  +  1 ) ) ) ) +e ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) +e ( O `  ( G `
 i ) ) ) )
1961953adant3 1026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( ( O `
 ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  (
i  +  1 ) ) ) ) +e ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) +e ( O `  ( G `
 i ) ) ) )
19739adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  O  e. OutMeas )
19845adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  E : Z --> S )
199198, 140ffvelrnd 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E `  ( i  +  1 ) )  e.  S
)
200 simpll 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ph )
20198adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
202 elfzelz 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
203202adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
204 elfzle1 11804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  ->  M  <_  j )
205204adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  M  <_  j )
206201, 203, 2053jca 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  M  <_ 
j ) )
207 eluz2 11167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  M  <_ 
j ) )
208206, 207sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
209208, 139syl6eleq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  j  e.  Z )
210209adantll 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  j  e.  Z )
21139, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S  C_  dom  O )
212211adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  S  C_ 
dom  O )
21345ffvelrnda 6035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( E `  j )  e.  S )
214212, 213sseldd 3466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( E `  j )  e.  dom  O )
215 elssuni 4246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  j )  e.  dom  O  -> 
( E `  j
)  C_  U. dom  O
)
216214, 215syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( E `  j )  C_ 
U. dom  O )
217200, 210, 216syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ( E `  j )  C_ 
U. dom  O )
218217ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  C_  U. dom  O
)
219 iunss 4338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `
 j )  C_  U.
dom  O  <->  A. j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  C_  U. dom  O
)
220218, 219sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  C_  U. dom  O
)
221145, 220eqsstrd 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( i  +  1 ) )  C_  U. dom  O )
222197, 42, 41, 199, 221caragensplit 38144 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( O `
 ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  (
i  +  1 ) ) ) ) +e ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  =  ( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) ) )
223222eqcomd 2431 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) +e ( O `
 ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  \ 
( E `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
2242233adant3 1026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) +e ( O `
 ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  \ 
( E `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
225197adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  O  e. OutMeas )
226174adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ph )
227 elfzuz 11798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
228227, 139syl6eleq 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  ->  n  e.  Z )
229228adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  n  e.  Z )
23045, 211fssd 5753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E : Z --> dom  O
)
231230ffvelrnda 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E `  n )  e.  dom  O )
232231, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E `  n )  C_ 
U. dom  O )
233226, 229, 232syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ( E `  n )  C_ 
U. dom  O )
234225, 41, 233omecl 38147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
235 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( i  +  1 )  ->  ( E `  n )  =  ( E `  ( i  +  1 ) ) )
236235fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( i  +  1 )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  =  ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )
237154, 234, 236sge0p1 38088 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  ( (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
2382373adant3 1026 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  ( (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
239 id 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  -> 
( O `  ( G `  i )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
240239eqcomd 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  ( O `  ( G `  i )
) )
241240oveq1d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  -> 
( (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( O `  ( G `  i )
) +e ( O `  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
2422413ad2ant3 1029 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( O `  ( G `  i )
) +e ( O `  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
243 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... i ) )  ->  ph )
244164sseli 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( M ... i )  ->  j  e.  Z )
245244adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... i ) )  ->  j  e.  Z )
246243, 245, 216syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... i ) )  ->  ( E `  j )  C_  U. dom  O )
247246adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  j  e.  ( M ... i
) )  ->  ( E `  j )  C_ 
U. dom  O )
248247ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  A. j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  C_  U. dom  O )
249 iunss 4338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `
 j )  C_  U.
dom  O  <->  A. j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  C_  U. dom  O
)
250248, 249sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  C_  U. dom  O )
251184, 250eqsstrd 3499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i )  C_ 
U. dom  O )
252174, 175, 251syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  i )  C_  U. dom  O )
253197, 41, 252omexrcl 38151 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( O `  ( G `  i ) )  e.  RR* )
254117, 220sstrd 3475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E `  ( i  +  1 ) )  C_  U. dom  O )
255197, 41, 254omexrcl 38151 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  e.  RR* )
256253, 255xaddcomd 37433 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( O `
 ( G `  i ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) +e ( O `  ( G `
 i ) ) ) )
2572563adant3 1026 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( ( O `
 ( G `  i ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) +e ( O `  ( G `
 i ) ) ) )
258238, 242, 2573eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  ( ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) +e ( O `  ( G `
 i ) ) ) )
259196, 224, 2583eqtr4d 2474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
26093, 94, 97, 259syl3anc 1265 . . . 4  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  /\  ph )  -> 
( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
2612603exp 1205 . . 3  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( O `  ( G `
 ( i  +  1 ) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) ) )
26211, 18, 25, 32, 92, 261fzind2 12024 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  ( O `  ( G `  N ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... N ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) )
2633, 4, 262sylc 63 1  |-  ( ph  ->  ( O `  ( G `  N )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... N ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997   U.cuni 4217   U_ciun 4297  Disj wdisj 4392   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   dom cdm 4851   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544   +oocpnf 9674    <_ cle 9678   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   +ecxad 11409   [,]cicc 11640   ...cfz 11786  ..^cfzo 11917  Σ^csumge0 38036  OutMeascome 38133  CaraGenccaragen 38135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-xadd 11412  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-sumge0 38037  df-ome 38134  df-caragen 38136
This theorem is referenced by:  caratheodorylem2  38171
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