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Theorem caratheodorylem1 38466
Description: Lemma used to prove that Caratheodory's construction is sigma-additive. This is the proof of the statement in the middle of Step (e) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caratheodorylem1.o  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
caratheodorylem1.s  |-  S  =  (CaraGen `  O )
caratheodorylem1.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caratheodorylem1.e  |-  ( ph  ->  E : Z --> S )
caratheodorylem1.dj  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  Z  ( E `  n )
)
caratheodorylem1.g  |-  G  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ i  e.  ( M ... n ) ( E `  i
) )
caratheodorylem1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
caratheodorylem1  |-  ( ph  ->  ( O `  ( G `  N )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... N ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
Distinct variable groups:    i, E, n    i, G, n    i, M, n    i, N, n   
i, O, n    n, Z    ph, i, n
Allowed substitution hints:    S( i, n)    Z( i)

Proof of Theorem caratheodorylem1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caratheodorylem1.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11833 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 id 22 . 2  |-  ( ph  ->  ph )
5 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  ( G `  j )  =  ( G `  M ) )
65fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  ( O `  ( G `  j ) )  =  ( O `  ( G `  M )
) )
7 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  ( M ... j )  =  ( M ... M
) )
87mpteq1d 4477 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  =  ( n  e.  ( M ... M )  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
98fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... M )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
106, 9eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( j  =  M  ->  (
( O `  ( G `  j )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <->  ( O `  ( G `  M
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... M )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) ) )
1110imbi2d 323 . . 3  |-  ( j  =  M  ->  (
( ph  ->  ( O `
 ( G `  j ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( O `
 ( G `  M ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... M ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) ) )
12 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  ( G `  j )  =  ( G `  i ) )
1312fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  i  ->  ( O `  ( G `  j ) )  =  ( O `  ( G `  i )
) )
14 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  ( M ... j )  =  ( M ... i
) )
1514mpteq1d 4477 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  =  ( n  e.  ( M ... i )  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
1615fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  i  ->  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... i )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
1713, 16eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( j  =  i  ->  (
( O `  ( G `  j )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <->  ( O `  ( G `  i
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... i )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) ) )
1817imbi2d 323 . . 3  |-  ( j  =  i  ->  (
( ph  ->  ( O `
 ( G `  j ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( O `
 ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) ) )
19 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  ( G `  j )  =  ( G `  ( i  +  1 ) ) )
2019fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  ( O `  ( G `  j ) )  =  ( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) ) )
21 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  ( M ... j )  =  ( M ... (
i  +  1 ) ) )
2221mpteq1d 4477 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  =  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
2322fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
2420, 23eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  (
( O `  ( G `  j )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <->  ( O `  ( G `  (
i  +  1 ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) ) )
2524imbi2d 323 . . 3  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( O `
 ( G `  j ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( O `
 ( G `  ( i  +  1 ) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) ) )
26 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  ( G `  j )  =  ( G `  N ) )
2726fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  ( O `  ( G `  j ) )  =  ( O `  ( G `  N )
) )
28 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( M ... j )  =  ( M ... N
) )
2928mpteq1d 4477 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  =  ( n  e.  ( M ... N )  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
3029fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... j )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... N )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
3127, 30eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( O `  ( G `  j )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  <->  ( O `  ( G `  N
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  ( M ... N )  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) ) )
3231imbi2d 323 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  (
( ph  ->  ( O `
 ( G `  j ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... j ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( O `
 ( G `  N ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... N ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) ) )
33 eluzel2 11187 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
341, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
35 fzsn 11866 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3634, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ... M
)  =  { M } )
3736mpteq1d 4477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... M ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) )  =  ( n  e.  { M }  |->  ( O `  ( E `  n ) ) ) )
3837fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... M ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  { M }  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) ) )
39 caratheodorylem1.o . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
4039adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  O  e. OutMeas )
41 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  U. dom  O  =  U. dom  O
42 caratheodorylem1.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  (CaraGen `  O )
4342caragenss 38444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( O  e. OutMeas  ->  S  C_  dom  O )
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  S  C_  dom  O )
45 caratheodorylem1.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E : Z --> S )
4645adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  E : Z --> S )
47 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  { M }  ->  n  =  M )
4847adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  n  =  M )
49 uzid 11197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5034, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
51 caratheodorylem1.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5250, 51syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
5352adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  M  e.  Z )
5448, 53eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  ->  n  e.  Z )
5546, 54ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  -> 
( E `  n
)  e.  S )
5644, 55sseldd 3419 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  -> 
( E `  n
)  e.  dom  O
)
57 elssuni 4219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E `  n )  e.  dom  O  -> 
( E `  n
)  C_  U. dom  O
)
5856, 57syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  -> 
( E `  n
)  C_  U. dom  O
)
5940, 41, 58omecl 38443 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { M } )  -> 
( O `  ( E `  n )
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
60 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  { M }  |->  ( O `  ( E `  n )
) )  =  ( n  e.  { M }  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
6159, 60fmptd 6061 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  { M }  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) : { M } --> ( 0 [,] +oo ) )
6234, 61sge0sn 38335 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  { M }  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )  =  ( ( n  e.  { M }  |->  ( O `  ( E `  n ) ) ) `  M
) )
63 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  { M }  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e. 
{ M }  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )
6436iuneq1d 4294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `  i
)  =  U_ i  e.  { M }  ( E `  i )
)
65 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  M  ->  ( E `  i )  =  ( E `  M ) )
6665iunxsng 4351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Z  ->  U_ i  e.  { M }  ( E `  i )  =  ( E `  M ) )
6752, 66syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  { M }  ( E `  i )  =  ( E `  M ) )
68 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E `  M
)  =  ( E `
 M ) )
6964, 67, 683eqtrrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E `  M
)  =  U_ i  e.  ( M ... M
) ( E `  i ) )
7069adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( E `  M )  =  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `  i
) )
71 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( E `  n )  =  ( E `  M ) )
7271adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( E `  n )  =  ( E `  M ) )
73 caratheodorylem1.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ i  e.  ( M ... n ) ( E `  i
) )
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  Z  |->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i ) ) )
75 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  M  ->  ( M ... n )  =  ( M ... M
) )
7675iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i )  =  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `
 i ) )
7776adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i )  =  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `
 i ) )
78 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M ... M )  e. 
_V
79 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E `
 i )  e. 
_V
8078, 79iunex 6792 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ i  e.  ( M ... M
) ( E `  i )  e.  _V
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `  i
)  e.  _V )
8274, 77, 52, 81fvmptd 5969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  =  U_ i  e.  ( M ... M
) ( E `  i ) )
8382adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( G `  M )  =  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `  i
) )
8470, 72, 833eqtr4d 2515 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( E `  n )  =  ( G `  M ) )
8584fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  =  ( O `  ( G `  M )
) )
86 snidg 3986 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  Z  ->  M  e.  { M } )
8752, 86syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  { M } )
88 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  ( O `
 ( G `  M ) )  e. 
_V
8988a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  ( G `  M )
)  e.  _V )
9063, 85, 87, 89fvmptd 5969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
{ M }  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) `  M )  =  ( O `  ( G `  M ) ) )
9138, 62, 903eqtrrd 2510 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( G `  M )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... M ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
9291a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( O `  ( G `  M )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... M ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) )
93 simp3 1032 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  /\  ph )  ->  ph )
94 simp1 1030 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  /\  ph )  -> 
i  e.  ( M..^ N ) )
95 id 22 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) )
9695imp 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  /\  ph )  -> 
( O `  ( G `  i )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
97963adant1 1048 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  /\  ph )  -> 
( O `  ( G `  i )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
98 elfzoel1 11945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  M  e.  ZZ )
99 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  e.  ZZ )
10099peano2zd 11066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( i  +  1 )  e.  ZZ )
10198, 100, 1003jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  e.  ZZ ) )
10298zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  M  e.  RR )
103100zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( i  +  1 )  e.  RR )
10499zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  e.  RR )
105 elfzole1 11955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  i )
106104ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  <  ( i  +  1 ) )
107102, 104, 103, 105, 106lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <  ( i  +  1 ) )
108102, 103, 107ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  ( i  +  1 ) )
109 leid 9747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  +  1 )  e.  RR  ->  (
i  +  1 )  <_  ( i  +  1 ) )
110103, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( i  +  1 )  <_ 
( i  +  1 ) )
111101, 108, 110jca32 544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  (
i  +  1 )  e.  ZZ  /\  (
i  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  ( i  +  1 )  /\  ( i  +  1 )  <_  ( i  +  1 ) ) ) )
112 elfz2 11817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  (
i  +  1 )  e.  ZZ  /\  (
i  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  ( i  +  1 )  /\  ( i  +  1 )  <_  ( i  +  1 ) ) ) )
113111, 112sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( i  +  1 )  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )
114113adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) )
115 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  ( E `  j )  =  ( E `  ( i  +  1 ) ) )
116115ssiun2s 4313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  ->  ( E `  ( i  +  1 ) ) 
C_  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
) )
117114, 116syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E `  ( i  +  1 ) )  C_  U_ j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) ( E `  j ) )
118 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  j  ->  ( E `  i )  =  ( E `  j ) )
119118cbviunv 4308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i )  =  U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `
 j )
120119mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Z  |->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i ) )  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `  j
) )
12173, 120eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `  j
) )
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  G  =  ( n  e.  Z  |->  U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `
 j ) ) )
123 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( i  +  1 )  ->  ( M ... n )  =  ( M ... (
i  +  1 ) ) )
124123iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( i  +  1 )  ->  U_ j  e.  ( M ... n
) ( E `  j )  =  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `
 j ) )
125124adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  =  ( i  +  1 ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... n
) ( E `  j )  =  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `
 j ) )
12634adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  ZZ )
12799adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  i  e.  ZZ )
128127peano2zd 11066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ZZ )
129126zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
130128zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  RR )
131127zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  i  e.  RR )
132105adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  i
)
133131ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  i  <  (
i  +  1 ) )
134129, 131, 130, 132, 133lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <  (
i  +  1 ) )
135129, 130, 134ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  (
i  +  1 ) )
136126, 128, 1353jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( i  +  1 ) ) )
137 eluz2 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( i  +  1 ) ) )
138136, 137sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
13951eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
140138, 139syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  Z
)
141 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M ... ( i  +  1 ) )  e. 
_V
142 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E `
 j )  e. 
_V
143141, 142iunex 6792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) ( E `  j )  e.  _V
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  e.  _V )
145122, 125, 140, 144fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( i  +  1 ) )  =  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `
 j ) )
146145eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  =  ( G `
 ( i  +  1 ) ) )
147117, 146sseqtrd 3454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E `  ( i  +  1 ) )  C_  ( G `  ( i  +  1 ) ) )
148 dfss1 3628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  ( i  +  1 ) ) 
C_  ( G `  ( i  +  1 ) )  <->  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( E `  (
i  +  1 ) ) )
149148biimpi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  ( i  +  1 ) ) 
C_  ( G `  ( i  +  1 ) )  ->  (
( G `  (
i  +  1 ) )  i^i  ( E `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( E `  ( i  +  1 ) ) )
150147, 149syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( E `  ( i  +  1 ) ) )
151150fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( O `  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )
152 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
( E `  (
i  +  1 ) )
153 elfzouz 11951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
154153adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  i  e.  (
ZZ>= `  M ) )
155152, 154, 115iunp1 37466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  =  ( U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `
 j )  u.  ( E `  (
i  +  1 ) ) ) )
156145, 155eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( i  +  1 ) )  =  (
U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  u.  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )
157156difeq1d 3539 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  \ 
( E `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  u.  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  \  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )
158 caratheodorylem1.dj . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  Z  ( E `  n )
)
159 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  ( E `  n )  =  ( E `  j ) )
160159cbvdisjv 4377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  n  e.  Z  ( E `  n )  <-> Disj  j  e.  Z  ( E `  j ) )
161158, 160sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> Disj  j  e.  Z  ( E `  j )
)
162161adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> Disj  j  e.  Z  ( E `  j ) )
163 fzssuz 11865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M ... i )  C_  ( ZZ>= `  M )
164163, 139sseqtri 3450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M ... i )  C_  Z
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... i )  C_  Z
)
166 fzp1nel 11904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  (
i  +  1 )  e.  ( M ... i )
167166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  -.  (
i  +  1 )  e.  ( M ... i ) )
168167adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  -.  ( i  +  1 )  e.  ( M ... i
) )
169140, 168eldifd 3401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( Z  \  ( M ... i ) ) )
170162, 165, 169, 115disjiun2 37457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  =  (/) )
171 undif4 3825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  =  (/)  ->  ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  u.  (
( E `  (
i  +  1 ) )  \  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( (
U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  u.  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) 
\  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  u.  (
( E `  (
i  +  1 ) )  \  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( (
U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  u.  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) 
\  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )
173172eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `
 j )  u.  ( E `  (
i  +  1 ) ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `
 j )  u.  ( ( E `  ( i  +  1 ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
174 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ph )
175154, 139syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  i  e.  Z
)
176121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  G  =  ( n  e.  Z  |->  U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `  j
) ) )
177 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  =  i )  ->  n  =  i )
178177oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  =  i )  -> 
( M ... n
)  =  ( M ... i ) )
179178iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  =  i )  ->  U_ j  e.  ( M ... n ) ( E `  j )  =  U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j ) )
180 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
181 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M ... i )  e. 
_V
182181, 142iunex 6792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  e.  _V
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  e.  _V )
184176, 179, 180, 183fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i )  =  U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
) )
185174, 175, 184syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  i )  =  U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `
 j ) )
186185eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  =  ( G `
 i ) )
187 difid 3747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E `  ( i  +  1 ) ) 
\  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  =  (/)
188187a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( i  +  1 ) )  \ 
( E `  (
i  +  1 ) ) )  =  (/) )
189186, 188uneq12d 3580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  u.  (
( E `  (
i  +  1 ) )  \  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( G `  i )  u.  (/) ) )
190 un0 3762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  i )  u.  (/) )  =  ( G `  i )
191190a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 i )  u.  (/) )  =  ( G `  i )
)
192189, 191eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  u.  (
( E `  (
i  +  1 ) )  \  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( G `
 i ) )
193157, 173, 1923eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  \ 
( E `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( G `  i ) )
194193fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( O `  ( G `
 i ) ) )
195151, 194oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( O `
 ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  (
i  +  1 ) ) ) ) +e ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) +e ( O `  ( G `
 i ) ) ) )
1961953adant3 1050 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( ( O `
 ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  (
i  +  1 ) ) ) ) +e ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) +e ( O `  ( G `
 i ) ) ) )
19739adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  O  e. OutMeas )
19845adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  E : Z --> S )
199198, 140ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E `  ( i  +  1 ) )  e.  S
)
200 simpll 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ph )
20198adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
202 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
203202adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
204 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  ->  M  <_  j )
205204adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  M  <_  j )
206201, 203, 2053jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  M  <_ 
j ) )
207 eluz2 11188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  M  <_ 
j ) )
208206, 207sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
209208, 139syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  j  e.  Z )
210209adantll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  j  e.  Z )
21139, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S  C_  dom  O )
212211adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  S  C_ 
dom  O )
21345ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( E `  j )  e.  S )
214212, 213sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( E `  j )  e.  dom  O )
215 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  j )  e.  dom  O  -> 
( E `  j
)  C_  U. dom  O
)
216214, 215syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( E `  j )  C_ 
U. dom  O )
217200, 210, 216syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  j  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ( E `  j )  C_ 
U. dom  O )
218217ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  C_  U. dom  O
)
219 iunss 4310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `
 j )  C_  U.
dom  O  <->  A. j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  C_  U. dom  O
)
220218, 219sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  U_ j  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) ( E `  j
)  C_  U. dom  O
)
221145, 220eqsstrd 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( i  +  1 ) )  C_  U. dom  O )
222197, 42, 41, 199, 221caragensplit 38440 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( O `
 ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  (
i  +  1 ) ) ) ) +e ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  \  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  =  ( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) ) )
223222eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) +e ( O `
 ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  \ 
( E `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
2242233adant3 1050 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( O `  ( ( G `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) +e ( O `
 ( ( G `
 ( i  +  1 ) )  \ 
( E `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
225197adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  O  e. OutMeas )
226174adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ph )
227 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
228227, 139syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) )  ->  n  e.  Z )
229228adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  n  e.  Z )
23045, 211fssd 5750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E : Z --> dom  O
)
231230ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E `  n )  e.  dom  O )
232231, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E `  n )  C_ 
U. dom  O )
233226, 229, 232syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ( E `  n )  C_ 
U. dom  O )
234225, 41, 233omecl 38443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  /\  n  e.  ( M ... (
i  +  1 ) ) )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
235 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( i  +  1 )  ->  ( E `  n )  =  ( E `  ( i  +  1 ) ) )
236235fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( i  +  1 )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  =  ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )
237154, 234, 236sge0p1 38370 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  ( (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
2382373adant3 1050 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  ( (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
239 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  -> 
( O `  ( G `  i )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
240239eqcomd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  ( O `  ( G `  i )
) )
241240oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  -> 
( (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( O `  ( G `  i )
) +e ( O `  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
2422413ad2ant3 1053 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( O `  ( G `  i )
) +e ( O `  ( E `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
243 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... i ) )  ->  ph )
244164sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( M ... i )  ->  j  e.  Z )
245244adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... i ) )  ->  j  e.  Z )
246243, 245, 216syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... i ) )  ->  ( E `  j )  C_  U. dom  O )
247246adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  j  e.  ( M ... i
) )  ->  ( E `  j )  C_ 
U. dom  O )
248247ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  A. j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  C_  U. dom  O )
249 iunss 4310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ j  e.  ( M ... i ) ( E `
 j )  C_  U.
dom  O  <->  A. j  e.  ( M ... i ) ( E `  j
)  C_  U. dom  O
)
250248, 249sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  U_ j  e.  ( M ... i
) ( E `  j )  C_  U. dom  O )
251184, 250eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i )  C_ 
U. dom  O )
252174, 175, 251syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  i )  C_  U. dom  O )
253197, 41, 252omexrcl 38447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( O `  ( G `  i ) )  e.  RR* )
254117, 220sstrd 3428 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E `  ( i  +  1 ) )  C_  U. dom  O )
255197, 41, 254omexrcl 38447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) )  e.  RR* )
256253, 255xaddcomd 37634 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( O `
 ( G `  i ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) +e ( O `  ( G `
 i ) ) ) )
2572563adant3 1050 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( ( O `
 ( G `  i ) ) +e ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) +e ( O `  ( G `
 i ) ) ) )
258238, 242, 2573eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  ( ( O `  ( E `  ( i  +  1 ) ) ) +e ( O `  ( G `
 i ) ) ) )
259196, 224, 2583eqtr4d 2515 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N )  /\  ( O `  ( G `
 i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
26093, 94, 97, 259syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( i  e.  ( M..^ N )  /\  ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  /\  ph )  -> 
( O `  ( G `  ( i  +  1 ) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
2612603exp 1230 . . 3  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  ( O `  ( G `  i ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... i ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( O `  ( G `
 ( i  +  1 ) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... ( i  +  1 ) ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) ) )
26211, 18, 25, 32, 92, 261fzind2 12054 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  ( O `  ( G `  N ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... N ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) ) )
2633, 4, 262sylc 61 1  |-  ( ph  ->  ( O `  ( G `  N )
)  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( M ... N ) 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   U.cuni 4190   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   +oocpnf 9690    <_ cle 9694   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   +ecxad 11430   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942  Σ^csumge0 38318  OutMeascome 38429  CaraGenccaragen 38431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319  df-ome 38430  df-caragen 38432
This theorem is referenced by:  caratheodorylem2  38467
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