Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenuncllem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem caragenuncllem 38333
Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuncllem.o  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
caragenuncllem.s  |-  S  =  (CaraGen `  O )
caragenuncllem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  S )
caragenuncllem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
caragenuncllem.x  |-  X  = 
U. dom  O
caragenuncllem.a  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
Assertion
Ref Expression
caragenuncllem  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  ( E  u.  F )
) ) +e
( O `  ( A  \  ( E  u.  F ) ) ) )  =  ( O `
 A ) )

Proof of Theorem caragenuncllem
StepHypRef Expression
1 caragenuncllem.o . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
2 caragenuncllem.s . . . . . 6  |-  S  =  (CaraGen `  O )
3 caragenuncllem.x . . . . . 6  |-  X  = 
U. dom  O
4 caragenuncllem.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  S )
5 caragenuncllem.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
65ssinss1d 37385 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( E  u.  F )
)  C_  X )
71, 2, 3, 4, 6caragensplit 38321 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( A  i^i  ( E  u.  F
) )  i^i  E
) ) +e
( O `  (
( A  i^i  ( E  u.  F )
)  \  E )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( E  u.  F ) ) ) )
87eqcomd 2457 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  ( E  u.  F ) ) )  =  ( ( O `
 ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) )  i^i 
E ) ) +e ( O `  ( ( A  i^i  ( E  u.  F
) )  \  E
) ) ) )
9 inass 3642 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) )  i^i  E )  =  ( A  i^i  (
( E  u.  F
)  i^i  E )
)
10 incom 3625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  u.  F )  i^i  E )  =  ( E  i^i  ( E  u.  F )
)
11 inabs 3674 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  i^i  ( E  u.  F ) )  =  E
1210, 11eqtri 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  u.  F )  i^i  E )  =  E
1312ineq2i 3631 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( ( E  u.  F )  i^i 
E ) )  =  ( A  i^i  E
)
149, 13eqtri 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) )  i^i  E )  =  ( A  i^i  E
)
1514fveq2i 5868 . . . . . 6  |-  ( O `
 ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) )  i^i 
E ) )  =  ( O `  ( A  i^i  E ) )
16 incom 3625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  E )  i^i  F )  =  ( F  i^i  ( A  \  E ) )
17 indifcom 3688 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  i^i  ( A  \  E ) )  =  ( A  i^i  ( F  \  E ) )
1816, 17eqtr2i 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( F  \  E ) )  =  ( ( A  \  E )  i^i  F
)
1918eqcomi 2460 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  E )  i^i  F )  =  ( A  i^i  ( F  \  E ) )
20 difundir 3696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  u.  F ) 
\  E )  =  ( ( E  \  E )  u.  ( F  \  E ) )
21 difid 3835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E 
\  E )  =  (/)
2221uneq1i 3584 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  \  E )  u.  ( F  \  E ) )  =  ( (/)  u.  ( F  \  E ) )
23 0un 37386 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  u.  ( F  \  E
) )  =  ( F  \  E )
2420, 22, 233eqtrri 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
\  E )  =  ( ( E  u.  F )  \  E
)
2524ineq2i 3631 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( F  \  E ) )  =  ( A  i^i  (
( E  u.  F
)  \  E )
)
26 indif2 3686 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( ( E  u.  F )  \  E ) )  =  ( ( A  i^i  ( E  u.  F
) )  \  E
)
2719, 25, 263eqtrri 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) ) 
\  E )  =  ( ( A  \  E )  i^i  F
)
2827fveq2i 5868 . . . . . 6  |-  ( O `
 ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) )  \  E ) )  =  ( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
)
2915, 28oveq12i 6302 . . . . 5  |-  ( ( O `  ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) )  i^i  E ) ) +e ( O `
 ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) )  \  E ) ) )  =  ( ( O `
 ( A  i^i  E ) ) +e
( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
) )
3029a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( A  i^i  ( E  u.  F
) )  i^i  E
) ) +e
( O `  (
( A  i^i  ( E  u.  F )
)  \  E )
) )  =  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `
 ( ( A 
\  E )  i^i 
F ) ) ) )
31 eqidd 2452 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `  ( ( A  \  E )  i^i  F ) ) )  =  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `
 ( ( A 
\  E )  i^i 
F ) ) ) )
328, 30, 313eqtrd 2489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  ( E  u.  F ) ) )  =  ( ( O `
 ( A  i^i  E ) ) +e
( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
) ) )
33 difun1 3703 . . . . 5  |-  ( A 
\  ( E  u.  F ) )  =  ( ( A  \  E )  \  F
)
3433fveq2i 5868 . . . 4  |-  ( O `
 ( A  \ 
( E  u.  F
) ) )  =  ( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
)
3534a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  \  ( E  u.  F ) ) )  =  ( O `  ( ( A  \  E )  \  F
) ) )
3632, 35oveq12d 6308 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  ( E  u.  F )
) ) +e
( O `  ( A  \  ( E  u.  F ) ) ) )  =  ( ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `
 ( ( A 
\  E )  i^i 
F ) ) ) +e ( O `
 ( ( A 
\  E )  \  F ) ) ) )
375ssinss1d 37385 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  E
)  C_  X )
381, 3, 37omexrcl 38328 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  E ) )  e.  RR* )
391, 3, 37omecl 38324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  E ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4039xrge0nemnfd 37555 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  E ) )  =/= -oo )
4138, 40jca 535 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  E ) )  e.  RR*  /\  ( O `  ( A  i^i  E ) )  =/= -oo ) )
42 caragenuncllem.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
431, 2, 42, 3caragenelss 38322 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  C_  X )
4443ssinss2d 37400 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  E )  i^i  F
)  C_  X )
451, 3, 44omexrcl 38328 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
)  e.  RR* )
461, 3, 44omecl 38324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4746xrge0nemnfd 37555 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
)  =/= -oo )
4845, 47jca 535 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( A  \  E )  i^i  F
) )  e.  RR*  /\  ( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
)  =/= -oo )
)
495ssdifssd 3571 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  \  E
)  C_  X )
5049ssdifssd 3571 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  E )  \  F
)  C_  X )
511, 3, 50omexrcl 38328 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
)  e.  RR* )
521, 3, 50omecl 38324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5352xrge0nemnfd 37555 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
)  =/= -oo )
5451, 53jca 535 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( A  \  E )  \  F
) )  e.  RR*  /\  ( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
)  =/= -oo )
)
55 xaddass 11535 . . 3  |-  ( ( ( ( O `  ( A  i^i  E ) )  e.  RR*  /\  ( O `  ( A  i^i  E ) )  =/= -oo )  /\  (
( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
)  e.  RR*  /\  ( O `  ( ( A  \  E )  i^i 
F ) )  =/= -oo )  /\  (
( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
)  e.  RR*  /\  ( O `  ( ( A  \  E )  \  F ) )  =/= -oo ) )  ->  (
( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `  ( ( A  \  E )  i^i  F ) ) ) +e ( O `  ( ( A  \  E ) 
\  F ) ) )  =  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( ( O `  ( ( A  \  E )  i^i  F ) ) +e ( O `
 ( ( A 
\  E )  \  F ) ) ) ) )
5641, 48, 54, 55syl3anc 1268 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 ( A  i^i  E ) ) +e
( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
) ) +e
( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
) )  =  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( ( O `  ( ( A  \  E )  i^i  F ) ) +e ( O `
 ( ( A 
\  E )  \  F ) ) ) ) )
571, 2, 3, 42, 49caragensplit 38321 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( A  \  E )  i^i  F
) ) +e
( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
) )  =  ( O `  ( A 
\  E ) ) )
5857oveq2d 6306 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( ( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
) +e ( O `  ( ( A  \  E ) 
\  F ) ) ) )  =  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `
 ( A  \  E ) ) ) )
591, 2, 3, 4, 5caragensplit 38321 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `  ( A 
\  E ) ) )  =  ( O `
 A ) )
6058, 59eqtrd 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( ( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
) +e ( O `  ( ( A  \  E ) 
\  F ) ) ) )  =  ( O `  A ) )
6136, 56, 603eqtrd 2489 1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  ( E  u.  F )
) ) +e
( O `  ( A  \  ( E  u.  F ) ) ) )  =  ( O `
 A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622    \ cdif 3401    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   U.cuni 4198   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   -oocmnf 9673   RR*cxr 9674   +ecxad 11407  OutMeascome 38310  CaraGenccaragen 38312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-addass 9604  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-xadd 11410  df-icc 11642  df-ome 38311  df-caragen 38313
This theorem is referenced by:  caragenuncl  38334
  Copyright terms: Public domain W3C validator