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Theorem caragenuncllem 38452
Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuncllem.o  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
caragenuncllem.s  |-  S  =  (CaraGen `  O )
caragenuncllem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  S )
caragenuncllem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
caragenuncllem.x  |-  X  = 
U. dom  O
caragenuncllem.a  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
Assertion
Ref Expression
caragenuncllem  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  ( E  u.  F )
) ) +e
( O `  ( A  \  ( E  u.  F ) ) ) )  =  ( O `
 A ) )

Proof of Theorem caragenuncllem
StepHypRef Expression
1 caragenuncllem.o . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
2 caragenuncllem.s . . . . . 6  |-  S  =  (CaraGen `  O )
3 caragenuncllem.x . . . . . 6  |-  X  = 
U. dom  O
4 caragenuncllem.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  S )
5 caragenuncllem.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
65ssinss1d 37444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( E  u.  F )
)  C_  X )
71, 2, 3, 4, 6caragensplit 38440 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( A  i^i  ( E  u.  F
) )  i^i  E
) ) +e
( O `  (
( A  i^i  ( E  u.  F )
)  \  E )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( E  u.  F ) ) ) )
87eqcomd 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  ( E  u.  F ) ) )  =  ( ( O `
 ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) )  i^i 
E ) ) +e ( O `  ( ( A  i^i  ( E  u.  F
) )  \  E
) ) ) )
9 inass 3633 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) )  i^i  E )  =  ( A  i^i  (
( E  u.  F
)  i^i  E )
)
10 incom 3616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  u.  F )  i^i  E )  =  ( E  i^i  ( E  u.  F )
)
11 inabs 3665 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  i^i  ( E  u.  F ) )  =  E
1210, 11eqtri 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  u.  F )  i^i  E )  =  E
1312ineq2i 3622 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( ( E  u.  F )  i^i 
E ) )  =  ( A  i^i  E
)
149, 13eqtri 2493 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) )  i^i  E )  =  ( A  i^i  E
)
1514fveq2i 5882 . . . . . 6  |-  ( O `
 ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) )  i^i 
E ) )  =  ( O `  ( A  i^i  E ) )
16 incom 3616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  E )  i^i  F )  =  ( F  i^i  ( A  \  E ) )
17 indifcom 3679 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  i^i  ( A  \  E ) )  =  ( A  i^i  ( F  \  E ) )
1816, 17eqtr2i 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( F  \  E ) )  =  ( ( A  \  E )  i^i  F
)
1918eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  E )  i^i  F )  =  ( A  i^i  ( F  \  E ) )
20 difundir 3687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  u.  F ) 
\  E )  =  ( ( E  \  E )  u.  ( F  \  E ) )
21 difid 3747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E 
\  E )  =  (/)
2221uneq1i 3575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  \  E )  u.  ( F  \  E ) )  =  ( (/)  u.  ( F  \  E ) )
23 0un 37445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  u.  ( F  \  E
) )  =  ( F  \  E )
2420, 22, 233eqtrri 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
\  E )  =  ( ( E  u.  F )  \  E
)
2524ineq2i 3622 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( F  \  E ) )  =  ( A  i^i  (
( E  u.  F
)  \  E )
)
26 indif2 3677 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( ( E  u.  F )  \  E ) )  =  ( ( A  i^i  ( E  u.  F
) )  \  E
)
2719, 25, 263eqtrri 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) ) 
\  E )  =  ( ( A  \  E )  i^i  F
)
2827fveq2i 5882 . . . . . 6  |-  ( O `
 ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) )  \  E ) )  =  ( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
)
2915, 28oveq12i 6320 . . . . 5  |-  ( ( O `  ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) )  i^i  E ) ) +e ( O `
 ( ( A  i^i  ( E  u.  F ) )  \  E ) ) )  =  ( ( O `
 ( A  i^i  E ) ) +e
( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
) )
3029a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( A  i^i  ( E  u.  F
) )  i^i  E
) ) +e
( O `  (
( A  i^i  ( E  u.  F )
)  \  E )
) )  =  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `
 ( ( A 
\  E )  i^i 
F ) ) ) )
31 eqidd 2472 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `  ( ( A  \  E )  i^i  F ) ) )  =  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `
 ( ( A 
\  E )  i^i 
F ) ) ) )
328, 30, 313eqtrd 2509 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  ( E  u.  F ) ) )  =  ( ( O `
 ( A  i^i  E ) ) +e
( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
) ) )
33 difun1 3694 . . . . 5  |-  ( A 
\  ( E  u.  F ) )  =  ( ( A  \  E )  \  F
)
3433fveq2i 5882 . . . 4  |-  ( O `
 ( A  \ 
( E  u.  F
) ) )  =  ( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
)
3534a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  \  ( E  u.  F ) ) )  =  ( O `  ( ( A  \  E )  \  F
) ) )
3632, 35oveq12d 6326 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  ( E  u.  F )
) ) +e
( O `  ( A  \  ( E  u.  F ) ) ) )  =  ( ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `
 ( ( A 
\  E )  i^i 
F ) ) ) +e ( O `
 ( ( A 
\  E )  \  F ) ) ) )
375ssinss1d 37444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  E
)  C_  X )
381, 3, 37omexrcl 38447 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  E ) )  e.  RR* )
391, 3, 37omecl 38443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  E ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4039xrge0nemnfd 37642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  E ) )  =/= -oo )
4138, 40jca 541 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  E ) )  e.  RR*  /\  ( O `  ( A  i^i  E ) )  =/= -oo ) )
42 caragenuncllem.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
431, 2, 42, 3caragenelss 38441 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  C_  X )
4443ssinss2d 37459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  E )  i^i  F
)  C_  X )
451, 3, 44omexrcl 38447 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
)  e.  RR* )
461, 3, 44omecl 38443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4746xrge0nemnfd 37642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
)  =/= -oo )
4845, 47jca 541 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( A  \  E )  i^i  F
) )  e.  RR*  /\  ( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
)  =/= -oo )
)
495ssdifssd 3560 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  \  E
)  C_  X )
5049ssdifssd 3560 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  E )  \  F
)  C_  X )
511, 3, 50omexrcl 38447 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
)  e.  RR* )
521, 3, 50omecl 38443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5352xrge0nemnfd 37642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
)  =/= -oo )
5451, 53jca 541 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( A  \  E )  \  F
) )  e.  RR*  /\  ( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
)  =/= -oo )
)
55 xaddass 11560 . . 3  |-  ( ( ( ( O `  ( A  i^i  E ) )  e.  RR*  /\  ( O `  ( A  i^i  E ) )  =/= -oo )  /\  (
( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
)  e.  RR*  /\  ( O `  ( ( A  \  E )  i^i 
F ) )  =/= -oo )  /\  (
( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
)  e.  RR*  /\  ( O `  ( ( A  \  E )  \  F ) )  =/= -oo ) )  ->  (
( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `  ( ( A  \  E )  i^i  F ) ) ) +e ( O `  ( ( A  \  E ) 
\  F ) ) )  =  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( ( O `  ( ( A  \  E )  i^i  F ) ) +e ( O `
 ( ( A 
\  E )  \  F ) ) ) ) )
5641, 48, 54, 55syl3anc 1292 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 ( A  i^i  E ) ) +e
( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
) ) +e
( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
) )  =  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( ( O `  ( ( A  \  E )  i^i  F ) ) +e ( O `
 ( ( A 
\  E )  \  F ) ) ) ) )
571, 2, 3, 42, 49caragensplit 38440 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( A  \  E )  i^i  F
) ) +e
( O `  (
( A  \  E
)  \  F )
) )  =  ( O `  ( A 
\  E ) ) )
5857oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( ( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
) +e ( O `  ( ( A  \  E ) 
\  F ) ) ) )  =  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `
 ( A  \  E ) ) ) )
591, 2, 3, 4, 5caragensplit 38440 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `  ( A 
\  E ) ) )  =  ( O `
 A ) )
6058, 59eqtrd 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( ( O `  (
( A  \  E
)  i^i  F )
) +e ( O `  ( ( A  \  E ) 
\  F ) ) ) )  =  ( O `  A ) )
6136, 56, 603eqtrd 2509 1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  ( E  u.  F )
) ) +e
( O `  ( A  \  ( E  u.  F ) ) ) )  =  ( O `
 A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   U.cuni 4190   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692   +ecxad 11430  OutMeascome 38429  CaraGenccaragen 38431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-addass 9622  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-xadd 11433  df-icc 11667  df-ome 38430  df-caragen 38432
This theorem is referenced by:  caragenuncl  38453
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