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Theorem carageniuncllem2 38462
Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carageniuncllem2.o  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
carageniuncllem2.s  |-  S  =  (CaraGen `  O )
carageniuncllem2.x  |-  X  = 
U. dom  O
carageniuncllem2.a  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
carageniuncllem2.re  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  e.  RR )
carageniuncllem2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
carageniuncllem2.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
carageniuncllem2.e  |-  ( ph  ->  E : Z --> S )
carageniuncllem2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
carageniuncllem2.g  |-  G  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ i  e.  ( M ... n ) ( E `  i
) )
carageniuncllem2.f  |-  F  =  ( n  e.  Z  |->  ( ( E `  n )  \  U_ i  e.  ( M..^ n ) ( E `
 i ) ) )
Assertion
Ref Expression
carageniuncllem2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) ) +e ( O `
 ( A  \  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) ) )  <_ 
( ( O `  A )  +  Y
) )
Distinct variable groups:    A, n    i, E, n    n, F   
i, M, n    n, O    S, i    n, X   
i, Z, n    ph, i, n
Allowed substitution hints:    A( i)    S( n)    F( i)    G( i, n)    O( i)    X( i)    Y( i, n)

Proof of Theorem carageniuncllem2
Dummy variables  k 
z  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carageniuncllem2.o . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
2 carageniuncllem2.x . . . 4  |-  X  = 
U. dom  O
3 carageniuncllem2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
4 carageniuncllem2.re . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  e.  RR )
5 inss1 3643 . . . . 5  |-  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  C_  A
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n )
)  C_  A )
71, 2, 3, 4, 6omessre 38450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  e.  RR )
8 difssd 3550 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  \  U_ n  e.  Z  ( E `  n )
)  C_  A )
91, 2, 3, 4, 8omessre 38450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  \  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  e.  RR )
10 rexadd 11548 . . 3  |-  ( ( ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  e.  RR  /\  ( O `  ( A  \  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) ) +e ( O `
 ( A  \  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) ) )  =  ( ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  +  ( O `  ( A  \  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) ) ) )
117, 9, 10syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) ) +e ( O `
 ( A  \  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) ) )  =  ( ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  +  ( O `  ( A  \  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) ) ) )
12 carageniuncllem2.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
13 ssinss1 3651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  X  ->  ( A  i^i  ( F `  n ) )  C_  X )
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( F `  n )
)  C_  X )
151, 2unidmex 37447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
16 ssexg 4542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  X  /\  X  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
173, 15, 16syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
18 inex1g 4539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  ( F `  n ) )  e. 
_V )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( F `  n )
)  e.  _V )
20 elpwg 3950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  i^i  ( F `
 n ) )  e.  _V  ->  (
( A  i^i  ( F `  n )
)  e.  ~P X  <->  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) 
C_  X ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( F `  n ) )  e.  ~P X  <->  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) 
C_  X ) )
2214, 21mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( F `  n )
)  e.  ~P X
)
2322adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( A  i^i  ( F `  n ) )  e. 
~P X )
24 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )
2523, 24fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  n )
) ) : Z --> ~P X )
26 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
2726ineq2d 3625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  ( A  i^i  ( F `  k ) )  =  ( A  i^i  ( F `  n )
) )
2827cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  k ) ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )
2928feq1i 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `
 k ) ) ) : Z --> ~P X  <->  ( n  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) ) : Z --> ~P X
)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  k ) ) ) : Z --> ~P X  <->  ( n  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  n ) ) ) : Z --> ~P X ) )
3125, 30mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  k )
) ) : Z --> ~P X )
32 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
3319adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( A  i^i  ( F `  n ) )  e. 
_V )
3428fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  Z  /\  ( A  i^i  ( F `  n )
)  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  k ) ) ) `  n
)  =  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )
3532, 33, 34syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  k )
) ) `  n
)  =  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )
3635iuneq2dv 4291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  k ) ) ) `  n
)  =  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )
3736fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( (
k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `
 k ) ) ) `  n ) )  =  ( O `
 U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n )
) ) )
38 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ n ph
39 carageniuncllem2.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E : Z --> S )
40 carageniuncllem2.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  =  ( n  e.  Z  |->  ( ( E `  n )  \  U_ i  e.  ( M..^ n ) ( E `
 i ) ) )
4138, 12, 39, 40iundjiun 38414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( M ... m
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( M ... m ) ( E `
 n )  /\  U_ n  e.  Z  ( F `  n )  =  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  /\ Disj  n  e.  Z  ( F `
 n ) ) )
4241simplrd 771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  Z  ( F `  n )  =  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )
4342eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  Z  ( E `  n )  =  U_ n  e.  Z  ( F `  n ) )
4443ineq2d 3625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n )
)  =  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( F `  n ) ) )
45 iunin2 4333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n
) )  =  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( F `  n ) )
4645eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( F `  n ) )  =  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n
) )
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( F `  n )
)  =  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )
4844, 47eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n )
)  =  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )
4948fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  =  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n
) ) ) )
5049, 7eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )  e.  RR )
5137, 50eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( (
k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `
 k ) ) ) `  n ) )  e.  RR )
52 carageniuncllem2.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
531, 2, 12, 31, 51, 52omeiunltfirp 38459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  k )
) ) `  n
) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( ( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `
 k ) ) ) `  n ) )  +  Y ) )
5437adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  k ) ) ) `
 n ) )  =  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) ) )
55 elpwinss 37446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  z  C_  Z )
5655adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  n  e.  z
)  ->  z  C_  Z )
57 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  n  e.  z
)  ->  n  e.  z )
5856, 57sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  n  e.  z
)  ->  n  e.  Z )
5958adantll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  n  e.  Z )
6019ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( A  i^i  ( F `  n ) )  e. 
_V )
6159, 60, 34syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  k )
) ) `  n
)  =  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )
6261fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( (
k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `
 k ) ) ) `  n ) )  =  ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) ) )
6362sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  sum_ n  e.  z  ( O `  ( ( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  k ) ) ) `  n
) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) ) )
6463oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( ( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `
 k ) ) ) `  n ) )  +  Y )  =  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  +  Y
) )
6554, 64breq12d 4408 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
( O `  U_ n  e.  Z  ( (
k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `
 k ) ) ) `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( ( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  k ) ) ) `
 n ) )  +  Y )  <->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) ) )
6665biimpd 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
( O `  U_ n  e.  Z  ( (
k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `
 k ) ) ) `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( ( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  k ) ) ) `
 n ) )  +  Y )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) ) )
6766reximdva 2858 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `  k )
) ) `  n
) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( ( k  e.  Z  |->  ( A  i^i  ( F `
 k ) ) ) `  n ) )  +  Y )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y
) ) )
6853, 67mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y
) )
69 carageniuncllem2.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7069adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  M  e.  ZZ )
7155adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  z  C_  Z )
72 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
7372adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  Fin )
7470, 12, 71, 73uzfissfz 37636 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  E. k  e.  Z  z  C_  ( M ... k ) )
7574adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )  ->  E. k  e.  Z  z  C_  ( M ... k ) )
7650ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y
) )  /\  z  C_  ( M ... k
) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  e.  RR )
77 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
C_  ( M ... k )  ->  ( M ... k )  e. 
Fin )
78 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
C_  ( M ... k )  ->  z  C_  ( M ... k
) )
79 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M ... k
)  e.  Fin  /\  z  C_  ( M ... k ) )  -> 
z  e.  Fin )
8077, 78, 79syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  ( M ... k )  ->  z  e.  Fin )
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  C_  ( M ... k ) )  ->  z  e.  Fin )
821ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  ( M ... k
) )  /\  n  e.  z )  ->  O  e. OutMeas )
833ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  ( M ... k
) )  /\  n  e.  z )  ->  A  C_  X )
844ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  ( M ... k
) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  A )  e.  RR )
85 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  i^i  ( F `  n ) )  C_  A
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  ( M ... k
) )  /\  n  e.  z )  ->  ( A  i^i  ( F `  n ) )  C_  A )
8782, 2, 83, 84, 86omessre 38450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  ( M ... k
) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )  e.  RR )
8881, 87fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  C_  ( M ... k ) )  ->  sum_ n  e.  z  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  e.  RR )
8952rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
9089adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  C_  ( M ... k ) )  ->  Y  e.  RR )
9188, 90readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  C_  ( M ... k ) )  ->  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y
)  e.  RR )
9291ad4ant14 1259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y
) )  /\  z  C_  ( M ... k
) )  ->  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y )  e.  RR )
93 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M ... k
)  e.  Fin )
9485a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( F `  n )
)  C_  A )
951, 2, 3, 4, 94omessre 38450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  e.  RR )
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... k ) )  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  e.  RR )
9793, 96fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  e.  RR )
9897adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  e.  RR )
9989adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  Y  e.  RR )
10098, 99readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y )  e.  RR )
101100ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y
) )  /\  z  C_  ( M ... k
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y )  e.  RR )
102 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y
) )  /\  z  C_  ( M ... k
) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )
10397adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  C_  ( M ... k ) )  ->  sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  e.  RR )
104 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  C_  ( M ... k ) )  ->  ( M ... k )  e.  Fin )
10596adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  ( M ... k
) )  /\  n  e.  ( M ... k
) )  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )  e.  RR )
106 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR*
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... k ) )  ->  0  e.  RR* )
108 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |- +oo  e.  RR*
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... k ) )  -> +oo  e.  RR* )
1101, 2, 14omecl 38443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
111110adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... k ) )  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
112 iccgelb 11716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  0  <_  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) ) )
113107, 109, 111, 112syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... k ) )  ->  0  <_  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) ) )
114113adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  ( M ... k
) )  /\  n  e.  ( M ... k
) )  ->  0  <_  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) ) )
115 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  C_  ( M ... k ) )  ->  z  C_  ( M ... k ) )
116104, 105, 114, 115fsumless 13933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  C_  ( M ... k ) )  ->  sum_ n  e.  z  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  <_  sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) ) )
11788, 103, 90, 116leadd1dd 10248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  C_  ( M ... k ) )  ->  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y
)  <_  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y
) )
118117ad4ant14 1259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y
) )  /\  z  C_  ( M ... k
) )  ->  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y )  <_ 
( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )
11976, 92, 101, 102, 118ltletrd 9812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y
) )  /\  z  C_  ( M ... k
) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )
120119ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )  ->  ( z  C_  ( M ... k )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y
) ) )
121120reximdv 2857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )  ->  ( E. k  e.  Z  z  C_  ( M ... k )  ->  E. k  e.  Z  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )  < 
( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) ) )
12275, 121mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )  ->  E. k  e.  Z  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )  < 
( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )
123122ex 441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y )  ->  E. k  e.  Z  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )  < 
( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) ) )
124123rexlimdva 2871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y
)  ->  E. k  e.  Z  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) ) )
12568, 124mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. k  e.  Z  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )  < 
( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )
12649ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )  ->  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  =  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) ) )
127 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y
) )
128126, 127eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )  ->  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  +  Y
) )
129128ex 441 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )  < 
( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y )  -> 
( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) ) )
130129reximdva 2858 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  Z  ( O `  U_ n  e.  Z  ( A  i^i  ( F `
 n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y
)  ->  E. k  e.  Z  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n )
) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) ) )
131125, 130mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. k  e.  Z  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )
132 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )  ->  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  +  Y
) )
1331adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  O  e. OutMeas )
134 carageniuncllem2.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  (CaraGen `  O )
1353adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  C_  X )
1364adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( O `  A )  e.  RR )
13739adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  E : Z --> S )
138 carageniuncllem2.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ i  e.  ( M ... n ) ( E `  i
) )
139 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
140133, 134, 2, 135, 136, 12, 137, 138, 40, 139carageniuncllem1 38461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) ) )
141140oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y )  =  ( ( O `  ( A  i^i  ( G `  k )
) )  +  Y
) )
142141adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  +  Y
)  =  ( ( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y ) )
143132, 142breqtrd 4420 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y ) )  ->  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y
) )
144143ex 441 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  Y )  -> 
( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  (
( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y ) ) )
145144reximdva 2858 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  Z  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  +  Y
)  ->  E. k  e.  Z  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n )
) )  <  (
( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y ) ) )
146131, 145mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  Z  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  (
( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y ) )
14773ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z  /\  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y
) )  ->  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  e.  RR )
14893ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z  /\  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y
) )  ->  ( O `  ( A  \ 
U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  e.  RR )
149 inss1 3643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  ( G `  k ) )  C_  A
150149a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A  i^i  ( G `  k ) )  C_  A )
151133, 2, 135, 136, 150omessre 38450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( O `  ( A  i^i  ( G `  k
) ) )  e.  RR )
15289adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  Y  e.  RR )
153151, 152readdcld 9688 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y )  e.  RR )
1541533adant3 1050 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z  /\  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y
) )  ->  (
( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y )  e.  RR )
155 difssd 3550 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A  \  ( G `  k ) )  C_  A )
156133, 2, 135, 136, 155omessre 38450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( O `  ( A  \  ( G `  k
) ) )  e.  RR )
1571563adant3 1050 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z  /\  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y
) )  ->  ( O `  ( A  \  ( G `  k
) ) )  e.  RR )
158 simp3 1032 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z  /\  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y
) )  ->  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  (
( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y ) )
159147, 154, 158ltled 9800 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z  /\  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y
) )  ->  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <_  (
( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y ) )
160135ssdifssd 3560 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A  \  ( G `  k ) )  C_  X )
161 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( M ... n )  =  ( M ... k
) )
162161iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i )  =  U_ i  e.  ( M ... k ) ( E `
 i ) )
163 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M ... k )  e. 
_V
164 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E `
 i )  e. 
_V
165163, 164iunex 6792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ i  e.  ( M ... k
) ( E `  i )  e.  _V
166162, 138, 165fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Z  ->  ( G `  k )  =  U_ i  e.  ( M ... k ) ( E `  i
) )
167 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  n  ->  ( E `  i )  =  ( E `  n ) )
168167cbviunv 4308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ i  e.  ( M ... k
) ( E `  i )  =  U_ n  e.  ( M ... k ) ( E `
 n )
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Z  ->  U_ i  e.  ( M ... k
) ( E `  i )  =  U_ n  e.  ( M ... k ) ( E `
 n ) )
170166, 169eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  ->  ( G `  k )  =  U_ n  e.  ( M ... k ) ( E `  n
) )
171 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M ... k )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
17212eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M ... k )  ->  ( ZZ>=
`  M )  =  Z )
174171, 173eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M ... k )  ->  i  e.  Z )
175174ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M ... k )  C_  Z
176 iunss1 4281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M ... k ) 
C_  Z  ->  U_ n  e.  ( M ... k
) ( E `  n )  C_  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )
177175, 176ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ n  e.  ( M ... k
) ( E `  n )  C_  U_ n  e.  Z  ( E `  n )
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  ->  U_ n  e.  ( M ... k
) ( E `  n )  C_  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )
179170, 178eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  ( G `  k )  C_ 
U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )
180179adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  C_ 
U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )
181180sscond 3559 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A  \  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  C_  ( A  \  ( G `  k )
) )
182133, 2, 160, 181omessle 38438 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( O `  ( A  \ 
U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <_  ( O `  ( A  \  ( G `  k
) ) ) )
1831823adant3 1050 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z  /\  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y
) )  ->  ( O `  ( A  \ 
U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <_  ( O `  ( A  \  ( G `  k
) ) ) )
184147, 148, 154, 157, 159, 183le2addd 10253 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z  /\  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y
) )  ->  (
( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  +  ( O `  ( A 
\  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) ) )  <_ 
( ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y
)  +  ( O `
 ( A  \ 
( G `  k
) ) ) ) )
185151recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( O `  ( A  i^i  ( G `  k
) ) )  e.  CC )
18689recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
187186adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  Y  e.  CC )
188156recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( O `  ( A  \  ( G `  k
) ) )  e.  CC )
189185, 187, 188add32d 9877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( O `  ( A  i^i  ( G `  k )
) )  +  Y
)  +  ( O `
 ( A  \ 
( G `  k
) ) ) )  =  ( ( ( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  ( O `  ( A  \  ( G `  k )
) ) )  +  Y ) )
190 rexadd 11548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  e.  RR  /\  ( O `  ( A  \  ( G `  k
) ) )  e.  RR )  ->  (
( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) ) +e ( O `
 ( A  \ 
( G `  k
) ) ) )  =  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  ( O `  ( A 
\  ( G `  k ) ) ) ) )
191151, 156, 190syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) ) +e ( O `
 ( A  \ 
( G `  k
) ) ) )  =  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  ( O `  ( A 
\  ( G `  k ) ) ) ) )
192191eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  ( O `  ( A  \  ( G `  k )
) ) )  =  ( ( O `  ( A  i^i  ( G `  k )
) ) +e
( O `  ( A  \  ( G `  k ) ) ) ) )
193138a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  G  =  ( n  e.  Z  |->  U_ i  e.  ( M ... n ) ( E `  i
) ) )
194162adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  n  =  k )  ->  U_ i  e.  ( M ... n ) ( E `  i )  =  U_ i  e.  ( M ... k
) ( E `  i ) )
195 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i
ph
19639adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M ... k ) )  ->  E : Z
--> S )
197174adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M ... k ) )  ->  i  e.  Z )
198196, 197ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M ... k ) )  ->  ( E `  i )  e.  S
)
199195, 1, 134, 93, 198caragenfiiuncl 38455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  ( M ... k ) ( E `  i
)  e.  S )
200199adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  U_ i  e.  ( M ... k
) ( E `  i )  e.  S
)
201193, 194, 139, 200fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  U_ i  e.  ( M ... k ) ( E `  i
) )
202201, 200eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  S )
203133, 134, 2, 202, 135caragensplit 38440 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) ) +e ( O `
 ( A  \ 
( G `  k
) ) ) )  =  ( O `  A ) )
204192, 203eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  ( O `  ( A  \  ( G `  k )
) ) )  =  ( O `  A
) )
205204oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( O `  ( A  i^i  ( G `  k )
) )  +  ( O `  ( A 
\  ( G `  k ) ) ) )  +  Y )  =  ( ( O `
 A )  +  Y ) )
206189, 205eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( O `  ( A  i^i  ( G `  k )
) )  +  Y
)  +  ( O `
 ( A  \ 
( G `  k
) ) ) )  =  ( ( O `
 A )  +  Y ) )
2072063adant3 1050 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z  /\  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y
) )  ->  (
( ( O `  ( A  i^i  ( G `  k )
) )  +  Y
)  +  ( O `
 ( A  \ 
( G `  k
) ) ) )  =  ( ( O `
 A )  +  Y ) )
208184, 207breqtrd 4420 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z  /\  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y
) )  ->  (
( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  +  ( O `  ( A 
\  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) ) )  <_ 
( ( O `  A )  +  Y
) )
2092083exp 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  ->  ( ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y
)  ->  ( ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  +  ( O `  ( A 
\  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) ) )  <_ 
( ( O `  A )  +  Y
) ) ) )
210209rexlimdv 2870 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  Z  ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  <  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  k ) ) )  +  Y
)  ->  ( ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  +  ( O `  ( A 
\  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) ) )  <_ 
( ( O `  A )  +  Y
) ) )
211146, 210mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )  +  ( O `  ( A  \  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) ) )  <_  ( ( O `  A )  +  Y ) )
21211, 211eqbrtrd 4416 1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( A  i^i  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) ) +e ( O `
 ( A  \  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) ) )  <_ 
( ( O `  A )  +  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   +ecxad 11430   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   sum_csu 13829  OutMeascome 38429  CaraGenccaragen 38431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319  df-ome 38430  df-caragen 38432
This theorem is referenced by:  carageniuncl  38463
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