Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | carageniuncllem2.o |
. . . 4

OutMeas |
2 | | carageniuncllem2.x |
. . . 4

 |
3 | | carageniuncllem2.a |
. . . 4

  |
4 | | carageniuncllem2.re |
. . . 4
       |
5 | | inss1 3643 |
. . . . 5
      
 |
6 | 5 | a1i 11 |
. . . 4
  
    
  |
7 | 1, 2, 3, 4, 6 | omessre 38450 |
. . 3
              |
8 | | difssd 3550 |
. . . 4
  
    
  |
9 | 1, 2, 3, 4, 8 | omessre 38450 |
. . 3
              |
10 | | rexadd 11548 |
. . 3
                             

             
           

         

         |
11 | 7, 9, 10 | syl2anc 673 |
. 2
     

             
           

         

         |
12 | | carageniuncllem2.z |
. . . . . . . 8
     |
13 | | ssinss1 3651 |
. . . . . . . . . . . . 13
         |
14 | 3, 13 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
      
  |
15 | 1, 2 | unidmex 37447 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   |
16 | | ssexg 4542 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
   |
17 | 3, 15, 16 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   |
18 | | inex1g 4539 |
. . . . . . . . . . . . . 14
         |
19 | 17, 18 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
         |
20 | | elpwg 3950 |
. . . . . . . . . . . . 13
                        |
21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
                  |
22 | 14, 21 | mpbird 240 |
. . . . . . . . . . 11
          |
23 | 22 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
 
          |
24 | | eqid 2471 |
. . . . . . . . . 10
                 |
25 | 23, 24 | fmptd 6061 |
. . . . . . . . 9
                |
26 | | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . . 13
           |
27 | 26 | ineq2d 3625 |
. . . . . . . . . . . 12
               |
28 | 27 | cbvmptv 4488 |
. . . . . . . . . . 11
                 |
29 | 28 | feq1i 5730 |
. . . . . . . . . 10
                             |
30 | 29 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
              
                |
31 | 25, 30 | mpbird 240 |
. . . . . . . 8
                |
32 | | simpr 468 |
. . . . . . . . . . . 12
 
   |
33 | 19 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . 12
 
         |
34 | 28 | fvmpt2 5972 |
. . . . . . . . . . . 12
  
                          |
35 | 32, 33, 34 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . . 11
 
                     |
36 | 35 | iuneq2dv 4291 |
. . . . . . . . . 10
              
        |
37 | 36 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . 9
    
                 
        |
38 | | nfv 1769 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   |
39 | | carageniuncllem2.e |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
       |
40 | | carageniuncllem2.f |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
      
 ..^         |
41 | 38, 12, 39, 40 | iundjiun 38414 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   
          
                    Disj        |
42 | 41 | simplrd 771 |
. . . . . . . . . . . . . 14
             |
43 | 42 | eqcomd 2477 |
. . . . . . . . . . . . 13
             |
44 | 43 | ineq2d 3625 |
. . . . . . . . . . . 12
  
              |
45 | | iunin2 4333 |
. . . . . . . . . . . . . 14

       
      |
46 | 45 | eqcomi 2480 |
. . . . . . . . . . . . 13
       
       |
47 | 46 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
  
     
        |
48 | 44, 47 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . . . 11
  
     
        |
49 | 48 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . 10
               
         |
50 | 49, 7 | eqeltrrd 2550 |
. . . . . . . . 9
    
         |
51 | 37, 50 | eqeltrd 2549 |
. . . . . . . 8
    
               |
52 | | carageniuncllem2.y |
. . . . . . . 8
   |
53 | 1, 2, 12, 31, 51, 52 | omeiunltfirp 38459 |
. . . . . . 7
                                            |
54 | 37 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
 
                                  |
55 | | elpwinss 37446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
      |
56 | 55 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
    

  |
57 | | simpr 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
    

  |
58 | 56, 57 | sseldd 3419 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
    

  |
59 | 58 | adantll 728 |
. . . . . . . . . . . . . 14
          |
60 | 19 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                |
61 | 59, 60, 34 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . . . . 13
                            |
62 | 61 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . . . 12
                                    |
63 | 62 | sumeq2dv 13846 |
. . . . . . . . . . 11
 
    
                             |
64 | 63 | oveq1d 6323 |
. . . . . . . . . 10
 
                        
             |
65 | 54, 64 | breq12d 4408 |
. . . . . . . . 9
 
        
                               
    
                      |
66 | 65 | biimpd 212 |
. . . . . . . 8
 
        
                                   
                       |
67 | 66 | reximdva 2858 |
. . . . . . 7
                                                                           |
68 | 53, 67 | mpd 15 |
. . . . . 6
                                |
69 | | carageniuncllem2.m |
. . . . . . . . . . . 12
   |
70 | 69 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . 11
 
      |
71 | 55 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . 11
 
      |
72 | | elinel2 3611 |
. . . . . . . . . . . 12
      |
73 | 72 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . 11
 
      |
74 | 70, 12, 71, 73 | uzfissfz 37636 |
. . . . . . . . . 10
 
    
      |
75 | 74 | adantr 472 |
. . . . . . . . 9
                                       |
76 | 50 | ad3antrrr 744 |
. . . . . . . . . . . 12
   
                                               |
77 | | fzfid 12224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
           |
78 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
           |
79 | | ssfi 7810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
             |
80 | 77, 78, 79 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
       |
81 | 80 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
    
  |
82 | 1 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
         OutMeas |
83 | 3 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
           |
84 | 4 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
               |
85 | | inss1 3643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
       |
86 | 85 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                 |
87 | 82, 2, 83, 84, 86 | omessre 38450 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                     |
88 | 81, 87 | fsumrecl 13877 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
    
    
        |
89 | 52 | rpred 11364 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   |
90 | 89 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
    
  |
91 | 88, 90 | readdcld 9688 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
    
               |
92 | 91 | ad4ant14 1259 |
. . . . . . . . . . . 12
   
                                                 |
93 | | fzfid 12224 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
       |
94 | 85 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
      
  |
95 | 1, 2, 3, 4, 94 | omessre 38450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
             |
96 | 95 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
    
            |
97 | 93, 96 | fsumrecl 13877 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
                 |
98 | 97 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
             
        |
99 | 89 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
      |
100 | 98, 99 | readdcld 9688 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
                        |
101 | 100 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . 12
   
                                                      |
102 | | simplr 770 |
. . . . . . . . . . . 12
   
                                                            |
103 | 97 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
    
         
        |
104 | | fzfid 12224 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
    
      |
105 | 96 | adantlr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                         |
106 | | 0xr 9705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 |
107 | 106 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
    
  |
108 | | pnfxr 11435 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 |
109 | 108 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
    
  |
110 | 1, 2, 14 | omecl 38443 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                |
111 | 110 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
    
               |
112 | | iccgelb 11716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
               
            |
113 | 107, 109,
111, 112 | syl3anc 1292 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
    
            |
114 | 113 | adantlr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                         |
115 | | simpr 468 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
    
      |
116 | 104, 105,
114, 115 | fsumless 13933 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
    
    
               
        |
117 | 88, 103, 90, 116 | leadd1dd 10248 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
    
            
                    |
118 | 117 | ad4ant14 1259 |
. . . . . . . . . . . 12
   
                                                                   |
119 | 76, 92, 101, 102, 118 | ltletrd 9812 |
. . . . . . . . . . 11
   
                                                                 |
120 | 119 | ex 441 |
. . . . . . . . . 10
                                                                     |
121 | 120 | reximdv 2857 |
. . . . . . . . 9
                                 
        
                            |
122 | 75, 121 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
                                    
                           |
123 | 122 | ex 441 |
. . . . . . 7
 
        
                    
   
                            |
124 | 123 | rexlimdva 2871 |
. . . . . 6
                              

    
                           |
125 | 68, 124 | mpd 15 |
. . . . 5
     
                           |
126 | 49 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . 8
                                     

                   |
127 | | simpr 468 |
. . . . . . . 8
                                                                 |
128 | 126, 127 | eqbrtrd 4416 |
. . . . . . 7
                                     

                
         |
129 | 128 | ex 441 |
. . . . . 6
 
     
                                                         |
130 | 129 | reximdva 2858 |
. . . . 5
                               

    
                           |
131 | 125, 130 | mpd 15 |
. . . 4
                                 |
132 | | simpr 468 |
. . . . . . 7
                                     

                
         |
133 | 1 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
 
 OutMeas |
134 | | carageniuncllem2.s |
. . . . . . . . . 10
CaraGen   |
135 | 3 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
 
   |
136 | 4 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
 
       |
137 | 39 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
 
       |
138 | | carageniuncllem2.g |
. . . . . . . . . 10
             |
139 | | simpr 468 |
. . . . . . . . . 10
 
   |
140 | 133, 134,
2, 135, 136, 12, 137, 138, 40, 139 | carageniuncllem1 38461 |
. . . . . . . . 9
 
          
                  |
141 | 140 | oveq1d 6323 |
. . . . . . . 8
 
                       
         |
142 | 141 | adantr 472 |
. . . . . . 7
                                            
                     |
143 | 132, 142 | breqtrd 4420 |
. . . . . 6
                                     

                    |
144 | 143 | ex 441 |
. . . . 5
 
                                                         |
145 | 144 | reximdva 2858 |
. . . 4
      

                
      

    
                     |
146 | 131, 145 | mpd 15 |
. . 3
                           |
147 | 7 | 3ad2ant1 1051 |
. . . . . . 7
 
   

                                |
148 | 9 | 3ad2ant1 1051 |
. . . . . . 7
 
   

                                |
149 | | inss1 3643 |
. . . . . . . . . . 11
       |
150 | 149 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
 
         |
151 | 133, 2, 135, 136, 150 | omessre 38450 |
. . . . . . . . 9
 
             |
152 | 89 | adantr 472 |
. . . . . . . . 9
 
   |
153 | 151, 152 | readdcld 9688 |
. . . . . . . 8
 
               |
154 | 153 | 3adant3 1050 |
. . . . . . 7
 
   

                                 |
155 | | difssd 3550 |
. . . . . . . . 9
 
         |
156 | 133, 2, 135, 136, 155 | omessre 38450 |
. . . . . . . 8
 
             |
157 | 156 | 3adant3 1050 |
. . . . . . 7
 
   

                               |
158 | | simp3 1032 |
. . . . . . . 8
 
   

                                            |
159 | 147, 154,
158 | ltled 9800 |
. . . . . . 7
 
   

                                            |
160 | 135 | ssdifssd 3560 |
. . . . . . . . 9
 
         |
161 | | oveq2 6316 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
           |
162 | 161 | iuneq1d 4294 |
. . . . . . . . . . . . . 14
           
           |
163 | | ovex 6336 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
     |
164 | | fvex 5889 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
     |
165 | 163, 164 | iunex 6792 |
. . . . . . . . . . . . . 14
           |
166 | 162, 138,
165 | fvmpt 5963 |
. . . . . . . . . . . . 13
                 |
167 | | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
           |
168 | 167 | cbviunv 4308 |
. . . . . . . . . . . . . 14
          
          |
169 | 168 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
           
           |
170 | 166, 169 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . . . . 12
                 |
171 | | elfzuz 11822 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
           |
172 | 12 | eqcomi 2480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
     |
173 | 172 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
           |
174 | 171, 173 | eleqtrd 2551 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
       |
175 | 174 | ssriv 3422 |
. . . . . . . . . . . . . 14
     |
176 | | iunss1 4281 |
. . . . . . . . . . . . . 14
               
      |
177 | 175, 176 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
          
     |
178 | 177 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
           
      |
179 | 170, 178 | eqsstrd 3452 |
. . . . . . . . . . 11
            |
180 | 179 | adantl 473 |
. . . . . . . . . 10
 
            |
181 | 180 | sscond 3559 |
. . . . . . . . 9
 
        
       |
182 | 133, 2, 160, 181 | omessle 38438 |
. . . . . . . 8
 
                        |
183 | 182 | 3adant3 1050 |
. . . . . . 7
 
   

                                          |
184 | 147, 148,
154, 157, 159, 183 | le2addd 10253 |
. . . . . 6
 
   

                                                                     |
185 | 151 | recnd 9687 |
. . . . . . . . 9
 
             |
186 | 89 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . 10
   |
187 | 186 | adantr 472 |
. . . . . . . . 9
 
   |
188 | 156 | recnd 9687 |
. . . . . . . . 9
 
             |
189 | 185, 187,
188 | add32d 9877 |
. . . . . . . 8
 
      
                                 
          |
190 | | rexadd 11548 |
. . . . . . . . . . . 12
                                                                        |
191 | 151, 156,
190 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . . 11
 
                                                  |
192 | 191 | eqcomd 2477 |
. . . . . . . . . 10
 
               
           
                      |
193 | 138 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
               |
194 | 162 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . . 13
     
                     |
195 | | nfv 1769 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   |
196 | 39 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
    
      |
197 | 174 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
    
  |
198 | 196, 197 | ffvelrnd 6038 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
    
      |
199 | 195, 1, 134, 93, 198 | caragenfiiuncl 38455 |
. . . . . . . . . . . . . 14
             |
200 | 199 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
             |
201 | 193, 194,
139, 200 | fvmptd 5969 |
. . . . . . . . . . . 12
 
                 |
202 | 201, 200 | eqeltrd 2549 |
. . . . . . . . . . 11
 
       |
203 | 133, 134,
2, 202, 135 | caragensplit 38440 |
. . . . . . . . . 10
 
                                |
204 | 192, 203 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . 9
 
               
             |
205 | 204 | oveq1d 6323 |
. . . . . . . 8
 
      
                          |
206 | 189, 205 | eqtrd 2505 |
. . . . . . 7
 
      
                          |
207 | 206 | 3adant3 1050 |
. . . . . 6
 
   

                        
                          |
208 | 184, 207 | breqtrd 4420 |
. . . . 5
 
   

                                                   |
209 | 208 | 3exp 1230 |
. . . 4
      

                 
                                  |
210 | 209 | rexlimdv 2870 |
. . 3
      

                 
                                 |
211 | 146, 210 | mpd 15 |
. 2
     

         

      
        |
212 | 11, 211 | eqbrtrd 4416 |
1
     

             
               |