Theorem carageniuncllem2 38343

Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carageniuncllem2.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
carageniuncllem2.s	|- S = (CaraGen ` O )
carageniuncllem2.x	|- X = U. dom O
carageniuncllem2.a	|- ( ph -> A C_ X )
carageniuncllem2.re	|- ( ph -> ( O ` A ) e. RR )
carageniuncllem2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
carageniuncllem2.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
carageniuncllem2.e	|- ( ph -> E : Z --> S )
carageniuncllem2.y	|- ( ph -> Y e. RR+ )
carageniuncllem2.g	|- G = ( n e. Z |-> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) )
carageniuncllem2.f	|- F = ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( M..^ n ) ( E ` i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
carageniuncllem2	|- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) )

Distinct variable groups:   A, n   i, E, n   n, F   i, M, n   n, O   S, i   n, X   i, Z, n   ph, i, n

Allowed substitution hints:   A( i)   S( n)   F( i)   G( i, n)   O( i)   X( i)   Y( i, n)

Proof of Theorem carageniuncllem2

Dummy variables k z m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carageniuncllem2.o	. . . 4 |- ( ph -> O e. OutMeas )
2		carageniuncllem2.x	. . . 4 |- X = U. dom O
3		carageniuncllem2.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ X )
4		carageniuncllem2.re	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` A ) e. RR )
5		inss1 3652	. . . . 5 |- ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ A
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ A )
7	1, 2, 3, 4, 6	omessre 38331	. . 3 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR )
8		difssd 3561	. . . 4 |- ( ph -> ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ A )
9	1, 2, 3, 4, 8	omessre 38331	. . 3 |- ( ph -> ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR )
10		rexadd 11525	. . 3 |- ( ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR /\ ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) )
11	7, 9, 10	syl2anc 667	. 2 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) )
12		carageniuncllem2.z	. . . . . . . 8 |- Z = ( ZZ>= ` M )
13		ssinss1 3660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ X -> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ X )
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ X )
15	1, 2	unidmex 37388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X e. _V )
16		ssexg 4549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ X /\ X e. _V ) -> A e. _V )
17	3, 15, 16	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. _V )
18		inex1g 4546	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. _V -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V )
20		elpwg 3959	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V -> ( ( A i^i ( F ` n ) ) e. ~P X <-> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ X ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A i^i ( F ` n ) ) e. ~P X <-> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ X ) )
22	14, 21	mpbird 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. ~P X )
23	22	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. ~P X )
24		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) ) = ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) )
25	23, 24	fmptd 6046	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) ) : Z --> ~P X )
26		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
27	26	ineq2d 3634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( A i^i ( F ` k ) ) = ( A i^i ( F ` n ) ) )
28	27	cbvmptv 4495	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) = ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) )
29	28	feq1i 5720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) : Z --> ~P X <-> ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) ) : Z --> ~P X )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) : Z --> ~P X <-> ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) ) : Z --> ~P X ) )
31	25, 30	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) : Z --> ~P X )
32		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. Z )
33	19	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V )
34	28	fvmpt2 5957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. Z /\ ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V ) -> ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) = ( A i^i ( F ` n ) ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) = ( A i^i ( F ` n ) ) )
36	35	iuneq2dv 4300	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) = U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) )
37	36	fveq2d 5869	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) = ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
38		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ n ph
39		carageniuncllem2.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E : Z --> S )
40		carageniuncllem2.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F = ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( M..^ n ) ( E ` i ) ) )
41	38, 12, 39, 40	iundjiun 38298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( A. m e. Z U_ n e. ( M ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( M ... m ) ( E ` n ) /\ U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) ) /\ Disj n e. Z ( F ` n ) ) )
42	41	simplrd 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) )
43	42	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U_ n e. Z ( E ` n ) = U_ n e. Z ( F ` n ) )
44	43	ineq2d 3634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) = ( A i^i U_ n e. Z ( F ` n ) ) )
45		iunin2 4342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) = ( A i^i U_ n e. Z ( F ` n ) )
46	45	eqcomi 2460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i U_ n e. Z ( F ` n ) ) = U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) )
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i U_ n e. Z ( F ` n ) ) = U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) )
48	44, 47	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) = U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) )
49	48	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) = ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
50	49, 7	eqeltrrd 2530	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
51	37, 50	eqeltrd 2529	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) e. RR )
52		carageniuncllem2.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. RR+ )
53	1, 2, 12, 31, 51, 52	omeiunltfirp 38340	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) + Y ) )
54	37	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) = ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
55		elpwinss 37387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> z C_ Z )
56	55	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> z C_ Z )
57		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> n e. z )
58	56, 57	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> n e. Z )
59	58	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> n e. Z )
60	19	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V )
61	59, 60, 34	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) = ( A i^i ( F ` n ) ) )
62	61	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) = ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
63	62	sumeq2dv 13769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
64	63	oveq1d 6305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) + Y ) = ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
65	54, 64	breq12d 4415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) + Y ) <-> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
66	65	biimpd 211	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) + Y ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
67	66	reximdva 2862	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) + Y ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
68	53, 67	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
69		carageniuncllem2.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
70	69	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> M e. ZZ )
71	55	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z C_ Z )
72		elinel2 3620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> z e. Fin )
73	72	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. Fin )
74	70, 12, 71, 73	uzfissfz 37549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> E. k e. Z z C_ ( M ... k ) )
75	74	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> E. k e. Z z C_ ( M ... k ) )
76	50	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
77		fzfid 12186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z C_ ( M ... k ) -> ( M ... k ) e. Fin )
78		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z C_ ( M ... k ) -> z C_ ( M ... k ) )
79		ssfi 7792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M ... k ) e. Fin /\ z C_ ( M ... k ) ) -> z e. Fin )
80	77, 78, 79	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z C_ ( M ... k ) -> z e. Fin )
81	80	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> z e. Fin )
82	1	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. z ) -> O e. OutMeas )
83	3	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. z ) -> A C_ X )
84	4	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` A ) e. RR )
85		inss1 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A i^i ( F ` n ) ) C_ A
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. z ) -> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ A )
87	82, 2, 83, 84, 86	omessre 38331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
88	81, 87	fsumrecl 13800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
89	52	rpred 11341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Y e. RR )
90	89	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> Y e. RR )
91	88, 90	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) e. RR )
92	91	ad4ant14 1235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) e. RR )
93		fzfid 12186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M ... k ) e. Fin )
94	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ A )
95	1, 2, 3, 4, 94	omessre 38331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
96	95	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... k ) ) -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
97	93, 96	fsumrecl 13800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
98	97	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
99	89	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> Y e. RR )
100	98, 99	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) e. RR )
101	100	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) e. RR )
102		simplr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
103	97	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
104		fzfid 12186	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( M ... k ) e. Fin )
105	96	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. ( M ... k ) ) -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
106		0xr 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR*
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... k ) ) -> 0 e. RR* )
108		pnfxr 11412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- +oo e. RR*
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... k ) ) -> +oo e. RR* )
110	1, 2, 14	omecl 38324	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
111	110	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... k ) ) -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
112		iccgelb 11691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
113	107, 109, 111, 112	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... k ) ) -> 0 <_ ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
114	113	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. ( M ... k ) ) -> 0 <_ ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
115		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> z C_ ( M ... k ) )
116	104, 105, 114, 115	fsumless 13856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) <_ sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
117	88, 103, 90, 116	leadd1dd 10227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) <_ ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
118	117	ad4ant14 1235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) <_ ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
119	76, 92, 101, 102, 118	ltletrd 9795	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
120	119	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( z C_ ( M ... k ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
121	120	reximdv 2861	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( E. k e. Z z C_ ( M ... k ) -> E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
122	75, 121	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
123	122	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
124	123	rexlimdva 2879	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
125	68, 124	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
126	49	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) = ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
127		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
128	126, 127	eqbrtrd 4423	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
129	128	ex 436	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
130	129	reximdva 2862	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
131	125, 130	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
132		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
133	1	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> O e. OutMeas )
134		carageniuncllem2.s	. . . . . . . . . 10 |- S = (CaraGen ` O )
135	3	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A C_ X )
136	4	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` A ) e. RR )
137	39	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> E : Z --> S )
138		carageniuncllem2.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( n e. Z |-> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) )
139		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
140	133, 134, 2, 135, 136, 12, 137, 138, 40, 139	carageniuncllem1 38342	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) = ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) )
141	140	oveq1d 6305	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) = ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
142	141	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) = ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
143	132, 142	breqtrd 4427	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
144	143	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) )
145	144	reximdva 2862	. . . 4 |- ( ph -> ( E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) )
146	131, 145	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
147	7	3ad2ant1 1029	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR )
148	9	3ad2ant1 1029	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR )
149		inss1 3652	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i ( G ` k ) ) C_ A
150	149	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A i^i ( G ` k ) ) C_ A )
151	133, 2, 135, 136, 150	omessre 38331	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) e. RR )
152	89	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> Y e. RR )
153	151, 152	readdcld 9670	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) e. RR )
154	153	3adant3 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) e. RR )
155		difssd 3561	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A \ ( G ` k ) ) C_ A )
156	133, 2, 135, 136, 155	omessre 38331	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) e. RR )
157	156	3adant3 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) e. RR )
158		simp3 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
159	147, 154, 158	ltled 9783	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) <_ ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
160	135	ssdifssd 3571	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A \ ( G ` k ) ) C_ X )
161		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( M ... n ) = ( M ... k ) )
162	161	iuneq1d 4303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) = U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) )
163		ovex 6318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M ... k ) e. _V
164		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E ` i ) e. _V
165	163, 164	iunex 6773	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) e. _V
166	162, 138, 165	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. Z -> ( G ` k ) = U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) )
167		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = n -> ( E ` i ) = ( E ` n ) )
168	167	cbviunv 4317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) = U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n )
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. Z -> U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) = U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n ) )
170	166, 169	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z -> ( G ` k ) = U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n ) )
171		elfzuz 11796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... k ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
172	12	eqcomi 2460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` M ) = Z
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... k ) -> ( ZZ>= ` M ) = Z )
174	171, 173	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M ... k ) -> i e. Z )
175	174	ssriv 3436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M ... k ) C_ Z
176		iunss1 4290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M ... k ) C_ Z -> U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
177	175, 176	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n )
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z -> U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
179	170, 178	eqsstrd 3466	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> ( G ` k ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
180	179	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
181	180	sscond 3570	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ ( A \ ( G ` k ) ) )
182	133, 2, 160, 181	omessle 38319	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) <_ ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) )
183	182	3adant3 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) <_ ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) )
184	147, 148, 154, 157, 159, 183	le2addd 10232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) )
185	151	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) e. CC )
186	89	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. CC )
187	186	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> Y e. CC )
188	156	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) e. CC )
189	185, 187, 188	add32d 9857	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) + Y ) )
190		rexadd 11525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) e. RR /\ ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) e. RR ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) +e ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) )
191	151, 156, 190	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) +e ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) )
192	191	eqcomd 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) +e ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) )
193	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> G = ( n e. Z |-> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) ) )
194	162	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ n = k ) -> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) = U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) )
195		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i ph
196	39	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( M ... k ) ) -> E : Z --> S )
197	174	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( M ... k ) ) -> i e. Z )
198	196, 197	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( M ... k ) ) -> ( E ` i ) e. S )
199	195, 1, 134, 93, 198	caragenfiiuncl 38336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) e. S )
200	199	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) e. S )
201	193, 194, 139, 200	fvmptd 5954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) )
202	201, 200	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. S )
203	133, 134, 2, 202, 135	caragensplit 38321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) +e ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( O ` A ) )
204	192, 203	eqtrd 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( O ` A ) )
205	204	oveq1d 6305	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) + Y ) = ( ( O ` A ) + Y ) )
206	189, 205	eqtrd 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( O ` A ) + Y ) )
207	206	3adant3 1028	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( O ` A ) + Y ) )
208	184, 207	breqtrd 4427	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) )
209	208	3exp 1207	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. Z -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) ) ) )
210	209	rexlimdv 2877	. . 3 |- ( ph -> ( E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) ) )
211	146, 210	mpd 15	. 2 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) )
212	11, 211	eqbrtrd 4423	1 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   i^i cin 3403   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   U_ciun 4278  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   + caddc 9542   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   +ecxad 11407   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   sum_csu 13752  OutMeascome 38310  CaraGenccaragen 38312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-sumge0 38205  df-ome 38311  df-caragen 38313

This theorem is referenced by:  carageniuncl  38344