Theorem carageniuncllem2 38462

Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carageniuncllem2.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
carageniuncllem2.s	|- S = (CaraGen ` O )
carageniuncllem2.x	|- X = U. dom O
carageniuncllem2.a	|- ( ph -> A C_ X )
carageniuncllem2.re	|- ( ph -> ( O ` A ) e. RR )
carageniuncllem2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
carageniuncllem2.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
carageniuncllem2.e	|- ( ph -> E : Z --> S )
carageniuncllem2.y	|- ( ph -> Y e. RR+ )
carageniuncllem2.g	|- G = ( n e. Z |-> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) )
carageniuncllem2.f	|- F = ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( M..^ n ) ( E ` i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
carageniuncllem2	|- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) )

Distinct variable groups:   A, n   i, E, n   n, F   i, M, n   n, O   S, i   n, X   i, Z, n   ph, i, n

Allowed substitution hints:   A( i)   S( n)   F( i)   G( i, n)   O( i)   X( i)   Y( i, n)

Proof of Theorem carageniuncllem2

Dummy variables k z m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carageniuncllem2.o	. . . 4 |- ( ph -> O e. OutMeas )
2		carageniuncllem2.x	. . . 4 |- X = U. dom O
3		carageniuncllem2.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ X )
4		carageniuncllem2.re	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` A ) e. RR )
5		inss1 3643	. . . . 5 |- ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ A
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ A )
7	1, 2, 3, 4, 6	omessre 38450	. . 3 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR )
8		difssd 3550	. . . 4 |- ( ph -> ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ A )
9	1, 2, 3, 4, 8	omessre 38450	. . 3 |- ( ph -> ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR )
10		rexadd 11548	. . 3 |- ( ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR /\ ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) )
11	7, 9, 10	syl2anc 673	. 2 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) )
12		carageniuncllem2.z	. . . . . . . 8 |- Z = ( ZZ>= ` M )
13		ssinss1 3651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ X -> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ X )
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ X )
15	1, 2	unidmex 37447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X e. _V )
16		ssexg 4542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ X /\ X e. _V ) -> A e. _V )
17	3, 15, 16	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. _V )
18		inex1g 4539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. _V -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V )
20		elpwg 3950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V -> ( ( A i^i ( F ` n ) ) e. ~P X <-> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ X ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A i^i ( F ` n ) ) e. ~P X <-> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ X ) )
22	14, 21	mpbird 240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. ~P X )
23	22	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. ~P X )
24		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) ) = ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) )
25	23, 24	fmptd 6061	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) ) : Z --> ~P X )
26		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
27	26	ineq2d 3625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( A i^i ( F ` k ) ) = ( A i^i ( F ` n ) ) )
28	27	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) = ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) )
29	28	feq1i 5730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) : Z --> ~P X <-> ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) ) : Z --> ~P X )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) : Z --> ~P X <-> ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) ) : Z --> ~P X ) )
31	25, 30	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) : Z --> ~P X )
32		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. Z )
33	19	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V )
34	28	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. Z /\ ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V ) -> ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) = ( A i^i ( F ` n ) ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) = ( A i^i ( F ` n ) ) )
36	35	iuneq2dv 4291	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) = U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) )
37	36	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) = ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
38		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ n ph
39		carageniuncllem2.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E : Z --> S )
40		carageniuncllem2.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F = ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( M..^ n ) ( E ` i ) ) )
41	38, 12, 39, 40	iundjiun 38414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( A. m e. Z U_ n e. ( M ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( M ... m ) ( E ` n ) /\ U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) ) /\ Disj n e. Z ( F ` n ) ) )
42	41	simplrd 771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) )
43	42	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U_ n e. Z ( E ` n ) = U_ n e. Z ( F ` n ) )
44	43	ineq2d 3625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) = ( A i^i U_ n e. Z ( F ` n ) ) )
45		iunin2 4333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) = ( A i^i U_ n e. Z ( F ` n ) )
46	45	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i U_ n e. Z ( F ` n ) ) = U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) )
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i U_ n e. Z ( F ` n ) ) = U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) )
48	44, 47	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) = U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) )
49	48	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) = ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
50	49, 7	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
51	37, 50	eqeltrd 2549	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) e. RR )
52		carageniuncllem2.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. RR+ )
53	1, 2, 12, 31, 51, 52	omeiunltfirp 38459	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) + Y ) )
54	37	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) = ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
55		elpwinss 37446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> z C_ Z )
56	55	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> z C_ Z )
57		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> n e. z )
58	56, 57	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> n e. Z )
59	58	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> n e. Z )
60	19	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V )
61	59, 60, 34	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) = ( A i^i ( F ` n ) ) )
62	61	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) = ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
63	62	sumeq2dv 13846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
64	63	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) + Y ) = ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
65	54, 64	breq12d 4408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) + Y ) <-> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
66	65	biimpd 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) + Y ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
67	66	reximdva 2858	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) + Y ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
68	53, 67	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
69		carageniuncllem2.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
70	69	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> M e. ZZ )
71	55	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z C_ Z )
72		elinel2 3611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> z e. Fin )
73	72	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. Fin )
74	70, 12, 71, 73	uzfissfz 37636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> E. k e. Z z C_ ( M ... k ) )
75	74	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> E. k e. Z z C_ ( M ... k ) )
76	50	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
77		fzfid 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z C_ ( M ... k ) -> ( M ... k ) e. Fin )
78		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z C_ ( M ... k ) -> z C_ ( M ... k ) )
79		ssfi 7810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M ... k ) e. Fin /\ z C_ ( M ... k ) ) -> z e. Fin )
80	77, 78, 79	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z C_ ( M ... k ) -> z e. Fin )
81	80	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> z e. Fin )
82	1	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. z ) -> O e. OutMeas )
83	3	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. z ) -> A C_ X )
84	4	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` A ) e. RR )
85		inss1 3643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A i^i ( F ` n ) ) C_ A
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. z ) -> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ A )
87	82, 2, 83, 84, 86	omessre 38450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
88	81, 87	fsumrecl 13877	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
89	52	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Y e. RR )
90	89	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> Y e. RR )
91	88, 90	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) e. RR )
92	91	ad4ant14 1259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) e. RR )
93		fzfid 12224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M ... k ) e. Fin )
94	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ A )
95	1, 2, 3, 4, 94	omessre 38450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
96	95	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... k ) ) -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
97	93, 96	fsumrecl 13877	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
98	97	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
99	89	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> Y e. RR )
100	98, 99	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) e. RR )
101	100	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) e. RR )
102		simplr 770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
103	97	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
104		fzfid 12224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( M ... k ) e. Fin )
105	96	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. ( M ... k ) ) -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
106		0xr 9705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR*
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... k ) ) -> 0 e. RR* )
108		pnfxr 11435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- +oo e. RR*
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... k ) ) -> +oo e. RR* )
110	1, 2, 14	omecl 38443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
111	110	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... k ) ) -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
112		iccgelb 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
113	107, 109, 111, 112	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... k ) ) -> 0 <_ ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
114	113	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. ( M ... k ) ) -> 0 <_ ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
115		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> z C_ ( M ... k ) )
116	104, 105, 114, 115	fsumless 13933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) <_ sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
117	88, 103, 90, 116	leadd1dd 10248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) <_ ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
118	117	ad4ant14 1259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) <_ ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
119	76, 92, 101, 102, 118	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
120	119	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( z C_ ( M ... k ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
121	120	reximdv 2857	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( E. k e. Z z C_ ( M ... k ) -> E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
122	75, 121	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
123	122	ex 441	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
124	123	rexlimdva 2871	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
125	68, 124	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
126	49	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) = ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
127		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
128	126, 127	eqbrtrd 4416	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
129	128	ex 441	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
130	129	reximdva 2858	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
131	125, 130	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
132		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
133	1	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> O e. OutMeas )
134		carageniuncllem2.s	. . . . . . . . . 10 |- S = (CaraGen ` O )
135	3	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A C_ X )
136	4	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` A ) e. RR )
137	39	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> E : Z --> S )
138		carageniuncllem2.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( n e. Z |-> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) )
139		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
140	133, 134, 2, 135, 136, 12, 137, 138, 40, 139	carageniuncllem1 38461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) = ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) )
141	140	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) = ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
142	141	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) = ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
143	132, 142	breqtrd 4420	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
144	143	ex 441	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) )
145	144	reximdva 2858	. . . 4 |- ( ph -> ( E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) )
146	131, 145	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
147	7	3ad2ant1 1051	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR )
148	9	3ad2ant1 1051	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR )
149		inss1 3643	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i ( G ` k ) ) C_ A
150	149	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A i^i ( G ` k ) ) C_ A )
151	133, 2, 135, 136, 150	omessre 38450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) e. RR )
152	89	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> Y e. RR )
153	151, 152	readdcld 9688	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) e. RR )
154	153	3adant3 1050	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) e. RR )
155		difssd 3550	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A \ ( G ` k ) ) C_ A )
156	133, 2, 135, 136, 155	omessre 38450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) e. RR )
157	156	3adant3 1050	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) e. RR )
158		simp3 1032	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
159	147, 154, 158	ltled 9800	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) <_ ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
160	135	ssdifssd 3560	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A \ ( G ` k ) ) C_ X )
161		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( M ... n ) = ( M ... k ) )
162	161	iuneq1d 4294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) = U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) )
163		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M ... k ) e. _V
164		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E ` i ) e. _V
165	163, 164	iunex 6792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) e. _V
166	162, 138, 165	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. Z -> ( G ` k ) = U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) )
167		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = n -> ( E ` i ) = ( E ` n ) )
168	167	cbviunv 4308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) = U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n )
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. Z -> U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) = U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n ) )
170	166, 169	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z -> ( G ` k ) = U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n ) )
171		elfzuz 11822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... k ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
172	12	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` M ) = Z
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... k ) -> ( ZZ>= ` M ) = Z )
174	171, 173	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M ... k ) -> i e. Z )
175	174	ssriv 3422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M ... k ) C_ Z
176		iunss1 4281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M ... k ) C_ Z -> U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
177	175, 176	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n )
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z -> U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
179	170, 178	eqsstrd 3452	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> ( G ` k ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
180	179	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
181	180	sscond 3559	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ ( A \ ( G ` k ) ) )
182	133, 2, 160, 181	omessle 38438	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) <_ ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) )
183	182	3adant3 1050	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) <_ ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) )
184	147, 148, 154, 157, 159, 183	le2addd 10253	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) )
185	151	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) e. CC )
186	89	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. CC )
187	186	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> Y e. CC )
188	156	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) e. CC )
189	185, 187, 188	add32d 9877	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) + Y ) )
190		rexadd 11548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) e. RR /\ ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) e. RR ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) +e ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) )
191	151, 156, 190	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) +e ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) )
192	191	eqcomd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) +e ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) )
193	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> G = ( n e. Z |-> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) ) )
194	162	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ n = k ) -> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) = U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) )
195		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i ph
196	39	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( M ... k ) ) -> E : Z --> S )
197	174	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( M ... k ) ) -> i e. Z )
198	196, 197	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( M ... k ) ) -> ( E ` i ) e. S )
199	195, 1, 134, 93, 198	caragenfiiuncl 38455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) e. S )
200	199	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) e. S )
201	193, 194, 139, 200	fvmptd 5969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) )
202	201, 200	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. S )
203	133, 134, 2, 202, 135	caragensplit 38440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) +e ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( O ` A ) )
204	192, 203	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( O ` A ) )
205	204	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) + Y ) = ( ( O ` A ) + Y ) )
206	189, 205	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( O ` A ) + Y ) )
207	206	3adant3 1050	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( O ` A ) + Y ) )
208	184, 207	breqtrd 4420	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) )
209	208	3exp 1230	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. Z -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) ) ) )
210	209	rexlimdv 2870	. . 3 |- ( ph -> ( E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) ) )
211	146, 210	mpd 15	. 2 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) )
212	11, 211	eqbrtrd 4416	1 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   +ecxad 11430   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   sum_csu 13829  OutMeascome 38429  CaraGenccaragen 38431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319  df-ome 38430  df-caragen 38432

This theorem is referenced by:  carageniuncl  38463