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Theorem carageniuncllem1 38461
 Description: The outer measure of is the sum of the outer measures of . These are lines 7 to 10 of Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carageniuncllem1.o OutMeas
carageniuncllem1.s CaraGen
carageniuncllem1.x
carageniuncllem1.a
carageniuncllem1.re
carageniuncllem1.z
carageniuncllem1.e
carageniuncllem1.g
carageniuncllem1.f ..^
carageniuncllem1.k
Assertion
Ref Expression
carageniuncllem1
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   (,)   ()   ()   (,)   ()

Proof of Theorem carageniuncllem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carageniuncllem1.k . . . 4
2 carageniuncllem1.z . . . 4
31, 2syl6eleq 2559 . . 3
4 eluzfz2 11833 . . 3
53, 4syl 17 . 2
6 id 22 . 2
7 oveq2 6316 . . . . . 6
87sumeq1d 13844 . . . . 5
9 fveq2 5879 . . . . . . 7
109ineq2d 3625 . . . . . 6
1110fveq2d 5883 . . . . 5
128, 11eqeq12d 2486 . . . 4
1312imbi2d 323 . . 3
14 oveq2 6316 . . . . . 6
1514sumeq1d 13844 . . . . 5
16 fveq2 5879 . . . . . . 7
1716ineq2d 3625 . . . . . 6
1817fveq2d 5883 . . . . 5
1915, 18eqeq12d 2486 . . . 4
2019imbi2d 323 . . 3
21 oveq2 6316 . . . . . 6
2221sumeq1d 13844 . . . . 5
23 fveq2 5879 . . . . . . 7
2423ineq2d 3625 . . . . . 6
2524fveq2d 5883 . . . . 5
2622, 25eqeq12d 2486 . . . 4
2726imbi2d 323 . . 3
28 oveq2 6316 . . . . . 6
2928sumeq1d 13844 . . . . 5
30 fveq2 5879 . . . . . . 7
3130ineq2d 3625 . . . . . 6
3231fveq2d 5883 . . . . 5
3329, 32eqeq12d 2486 . . . 4
3433imbi2d 323 . . 3
35 eluzel2 11187 . . . . . . . 8
363, 35syl 17 . . . . . . 7
37 fzsn 11866 . . . . . . 7
3836, 37syl 17 . . . . . 6
3938sumeq1d 13844 . . . . 5
40 carageniuncllem1.o . . . . . . . 8 OutMeas
41 carageniuncllem1.x . . . . . . . 8
42 carageniuncllem1.a . . . . . . . 8
43 carageniuncllem1.re . . . . . . . 8
44 inss1 3643 . . . . . . . . 9
4544a1i 11 . . . . . . . 8
4640, 41, 42, 43, 45omessre 38450 . . . . . . 7
4746recnd 9687 . . . . . 6
48 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
4948ineq2d 3625 . . . . . . . 8
5049fveq2d 5883 . . . . . . 7
5150sumsn 13884 . . . . . 6
5236, 47, 51syl2anc 673 . . . . 5
53 eqidd 2472 . . . . . 6
54 carageniuncllem1.f . . . . . . . . . . 11 ..^
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 ..^
56 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
57 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
5857iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
5956, 58difeq12d 3541 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
6059adantl 473 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
61 uzid 11197 . . . . . . . . . . . 12
6236, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11
632a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
6463eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11
6562, 64eleqtrd 2551 . . . . . . . . . 10
66 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12
67 difexg 4545 . . . . . . . . . . . 12 ..^
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ..^
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10 ..^
7055, 60, 65, 69fvmptd 5969 . . . . . . . . 9 ..^
71 fzo0 11969 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
72 iuneq1 4283 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ..^
74 0iun 4326 . . . . . . . . . . . 12
7573, 74eqtri 2493 . . . . . . . . . . 11 ..^
7675difeq2i 3537 . . . . . . . . . 10 ..^
7776a1i 11 . . . . . . . . 9 ..^
78 dif0 3749 . . . . . . . . . 10
7978a1i 11 . . . . . . . . 9
8070, 77, 793eqtrd 2509 . . . . . . . 8
8180ineq2d 3625 . . . . . . 7
8281fveq2d 5883 . . . . . 6
83 carageniuncllem1.g . . . . . . . . . . 11
8483a1i 11 . . . . . . . . . 10
85 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12
8685iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . 11
8786adantl 473 . . . . . . . . . 10
88 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12
89 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12
9088, 89iunex 6792 . . . . . . . . . . 11
9190a1i 11 . . . . . . . . . 10
9284, 87, 65, 91fvmptd 5969 . . . . . . . . 9
9338iuneq1d 4294 . . . . . . . . 9
94 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
9594iunxsng 4351 . . . . . . . . . 10
9636, 95syl 17 . . . . . . . . 9
9792, 93, 963eqtrd 2509 . . . . . . . 8
9897ineq2d 3625 . . . . . . 7
9998fveq2d 5883 . . . . . 6
10053, 82, 993eqtr4d 2515 . . . . 5
10139, 52, 1003eqtrd 2509 . . . 4
102101a1i 11 . . 3
103 simp3 1032 . . . . 5 ..^
104 simp1 1030 . . . . 5 ..^ ..^
105 id 22 . . . . . . 7
106105imp 436 . . . . . 6
1071063adant1 1048 . . . . 5 ..^
108 elfzouz 11951 . . . . . . . . 9 ..^
109108adantl 473 . . . . . . . 8 ..^
11040adantr 472 . . . . . . . . . . 11 OutMeas
11142adantr 472 . . . . . . . . . . 11
11243adantr 472 . . . . . . . . . . 11
113 inss1 3643 . . . . . . . . . . . 12
114113a1i 11 . . . . . . . . . . 11
115110, 41, 111, 112, 114omessre 38450 . . . . . . . . . 10
116115recnd 9687 . . . . . . . . 9
117116adantlr 729 . . . . . . . 8 ..^
118 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
119118ineq2d 3625 . . . . . . . . 9
120119fveq2d 5883 . . . . . . . 8
121109, 117, 120fsump1 13894 . . . . . . 7 ..^
1221213adant3 1050 . . . . . 6 ..^
123 oveq1 6315 . . . . . . 7
1241233ad2ant3 1053 . . . . . 6 ..^
125 fzssp1 11867 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126 iunss1 4281 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127125, 126ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
12983a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
130 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131130iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132131adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
133108, 2syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
134 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135134, 89iunex 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
137129, 132, 133, 136fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
138 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139138iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140139adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
141 peano2uz 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
142108, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
1432eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
144142, 143syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
145 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
146145, 89iunex 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
148129, 140, 144, 147fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
149137, 148sseq12d 3447 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
150128, 149mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
151 inabs3 37455 . . . . . . . . . . . . 13
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ..^
153152fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11 ..^
154153eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10 ..^
155154adantl 473 . . . . . . . . 9 ..^
156 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
157 fzval3 12012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
159158eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
160159iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
161160difeq2d 3540 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
162161adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
16354a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
164 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
165 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
166165iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
167164, 166difeq12d 3541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
168167adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^ ..^
169 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
170 difexg 4545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
171169, 170ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
173163, 168, 144, 172fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
174173adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
175 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
176 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
177175, 108, 176iunp1 37466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
178148, 177eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
179178, 137difeq12d 3541 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
180 difundir 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
181 difid 3747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
182181uneq1i 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
183 0un 37445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
184180, 182, 1833eqtri 2497 . . . . . . . . . . . . . . . 16
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
186179, 185eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
187186adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
188162, 174, 1873eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . 12 ..^
189188ineq2d 3625 . . . . . . . . . . 11 ..^
190 indif2 3677 . . . . . . . . . . . . 13
191190eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12
192191a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ..^
193189, 192eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10 ..^
194193fveq2d 5883 . . . . . . . . 9 ..^
195155, 194oveq12d 6326 . . . . . . . 8 ..^
196 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . 14
197 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . 14
198196, 197sstri 3427 . . . . . . . . . . . . 13
199198a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
20040, 41, 42, 43, 199omessre 38450 . . . . . . . . . . 11
201200adantr 472 . . . . . . . . . 10 ..^
20240adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ..^ OutMeas
20342adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ..^
20443adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ..^
205 difss 3549 . . . . . . . . . . . . 13
206205, 197sstri 3427 . . . . . . . . . . . 12
207206a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ..^
208202, 41, 203, 204, 207omessre 38450 . . . . . . . . . 10 ..^
209 rexadd 11548 . . . . . . . . . 10
210201, 208, 209syl2anc 673 . . . . . . . . 9 ..^
211210eqcomd 2477 . . . . . . . 8 ..^
212 carageniuncllem1.s . . . . . . . . 9 CaraGen
213137adantl 473 . . . . . . . . . 10 ..^
214 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12
215 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . 12
216 carageniuncllem1.e . . . . . . . . . . . . . 14
217216adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
218 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . . . . 15
219143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
220218, 219eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . 14
221220adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
222217, 221ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12
223214, 40, 212, 215, 222caragenfiiuncl 38455 . . . . . . . . . . 11
224223adantr 472 . . . . . . . . . 10 ..^
225213, 224eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9 ..^
22642ssinss1d 37444 . . . . . . . . . 10
227226adantr 472 . . . . . . . . 9 ..^
228202, 212, 41, 225, 227caragensplit 38440 . . . . . . . 8 ..^
229195, 211, 2283eqtrd 2509 . . . . . . 7 ..^
2302293adant3 1050 . . . . . 6 ..^
231122, 124, 2303eqtrd 2509 . . . . 5 ..^
232103, 104, 107, 231syl3anc 1292 . . . 4 ..^
2332323exp 1230 . . 3 ..^
23413, 20, 27, 34, 102, 233fzind2 12054 . 2
2355, 6, 234sylc 61 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  csn 3959  cuni 4190  ciun 4269   cmpt 4454   cdm 4839  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  c1 9558   caddc 9560  cz 10961  cuz 11182  cxad 11430  cfz 11810  ..^cfzo 11942  csu 13829  OutMeascome 38429  CaraGenccaragen 38431 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-ome 38430  df-caragen 38432 This theorem is referenced by:  carageniuncllem2  38462
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