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Theorem carageniuncllem1 38461
Description: The outer measure of  A  i^i  ( G `  n ) is the sum of the outer measures of  A  i^i  ( F `  m ). These are lines 7 to 10 of Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carageniuncllem1.o  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
carageniuncllem1.s  |-  S  =  (CaraGen `  O )
carageniuncllem1.x  |-  X  = 
U. dom  O
carageniuncllem1.a  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
carageniuncllem1.re  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  e.  RR )
carageniuncllem1.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
carageniuncllem1.e  |-  ( ph  ->  E : Z --> S )
carageniuncllem1.g  |-  G  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ i  e.  ( M ... n ) ( E `  i
) )
carageniuncllem1.f  |-  F  =  ( n  e.  Z  |->  ( ( E `  n )  \  U_ i  e.  ( M..^ n ) ( E `
 i ) ) )
carageniuncllem1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Z )
Assertion
Ref Expression
carageniuncllem1  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( M ... K ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  K )
) ) )
Distinct variable groups:    A, n    i, E, n    n, F   
n, K    i, M, n    n, O    S, i    n, Z    ph, i, n
Allowed substitution hints:    A( i)    S( n)    F( i)    G( i, n)    K( i)    O( i)    X( i, n)    Z( i)

Proof of Theorem carageniuncllem1
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carageniuncllem1.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Z )
2 carageniuncllem1.z . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2syl6eleq 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluzfz2 11833 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ( M ... K ) )
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... K ) )
6 id 22 . 2  |-  ( ph  ->  ph )
7 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  ( M ... k )  =  ( M ... M
) )
87sumeq1d 13844 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  sum_ n  e.  ( M ... M ) ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) ) )
9 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( k  =  M  ->  ( G `  k )  =  ( G `  M ) )
109ineq2d 3625 . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  ( A  i^i  ( G `  k ) )  =  ( A  i^i  ( G `  M )
) )
1110fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  ( O `  ( A  i^i  ( G `  k
) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  M ) ) ) )
128, 11eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( k  =  M  ->  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  k )
) )  <->  sum_ n  e.  ( M ... M
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  M ) ) ) ) )
1312imbi2d 323 . . 3  |-  ( k  =  M  ->  (
( ph  ->  sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) ) )  <->  ( ph  ->  sum_
n  e.  ( M ... M ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  M )
) ) ) ) )
14 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( M ... k )  =  ( M ... j
) )
1514sumeq1d 13844 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  sum_ n  e.  ( M ... j ) ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) ) )
16 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( G `  k )  =  ( G `  j ) )
1716ineq2d 3625 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( A  i^i  ( G `  k ) )  =  ( A  i^i  ( G `  j )
) )
1817fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( O `  ( A  i^i  ( G `  k
) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j ) ) ) )
1915, 18eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  k )
) )  <->  sum_ n  e.  ( M ... j
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j ) ) ) ) )
2019imbi2d 323 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  ->  sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) ) )  <->  ( ph  ->  sum_
n  e.  ( M ... j ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) ) ) ) )
21 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( M ... k )  =  ( M ... (
j  +  1 ) ) )
2221sumeq1d 13844 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  sum_ n  e.  ( M ... ( j  +  1 ) ) ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) ) )
23 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
2423ineq2d 3625 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  i^i  ( G `  k ) )  =  ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
2524fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( O `  ( A  i^i  ( G `  k
) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
2622, 25eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  k )
) )  <->  sum_ n  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
2726imbi2d 323 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) ) )  <->  ( ph  ->  sum_
n  e.  ( M ... ( j  +  1 ) ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
28 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( M ... k )  =  ( M ... K
) )
2928sumeq1d 13844 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  sum_ n  e.  ( M ... K ) ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) ) )
30 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( G `  k )  =  ( G `  K ) )
3130ineq2d 3625 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A  i^i  ( G `  k ) )  =  ( A  i^i  ( G `  K )
) )
3231fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( O `  ( A  i^i  ( G `  k
) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  K ) ) ) )
3329, 32eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( sum_ n  e.  ( M ... k ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  k )
) )  <->  sum_ n  e.  ( M ... K
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  K ) ) ) ) )
3433imbi2d 323 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
( ph  ->  sum_ n  e.  ( M ... k
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  k ) ) ) )  <->  ( ph  ->  sum_
n  e.  ( M ... K ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  K )
) ) ) ) )
35 eluzel2 11187 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
363, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
37 fzsn 11866 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3836, 37syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M ... M
)  =  { M } )
3938sumeq1d 13844 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( M ... M ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  sum_ n  e.  { M }  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) ) )
40 carageniuncllem1.o . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
41 carageniuncllem1.x . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. dom  O
42 carageniuncllem1.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
43 carageniuncllem1.re . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  e.  RR )
44 inss1 3643 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( F `  M ) )  C_  A
4544a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( F `  M )
)  C_  A )
4640, 41, 42, 43, 45omessre 38450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  M ) ) )  e.  RR )
4746recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  M ) ) )  e.  CC )
48 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( F `  n )  =  ( F `  M ) )
4948ineq2d 3625 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  ( A  i^i  ( F `  n ) )  =  ( A  i^i  ( F `  M )
) )
5049fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( F `  M ) ) ) )
5150sumsn 13884 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  i^i  ( F `  M ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  { M }  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( F `  M ) ) ) )
5236, 47, 51syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  { M }  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( F `  M ) ) ) )
53 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  ( E `  M ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( E `  M )
) ) )
54 carageniuncllem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( n  e.  Z  |->  ( ( E `  n )  \  U_ i  e.  ( M..^ n ) ( E `
 i ) ) )
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  ( n  e.  Z  |->  ( ( E `  n ) 
\  U_ i  e.  ( M..^ n ) ( E `  i ) ) ) )
56 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  M  ->  ( E `  n )  =  ( E `  M ) )
57 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  M  ->  ( M..^ n )  =  ( M..^ M ) )
5857iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  M  ->  U_ i  e.  ( M..^ n ) ( E `  i
)  =  U_ i  e.  ( M..^ M ) ( E `  i
) )
5956, 58difeq12d 3541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  (
( E `  n
)  \  U_ i  e.  ( M..^ n ) ( E `  i
) )  =  ( ( E `  M
)  \  U_ i  e.  ( M..^ M ) ( E `  i
) ) )
6059adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  (
( E `  n
)  \  U_ i  e.  ( M..^ n ) ( E `  i
) )  =  ( ( E `  M
)  \  U_ i  e.  ( M..^ M ) ( E `  i
) ) )
61 uzid 11197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6236, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
632a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z  =  ( ZZ>= `  M ) )
6463eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  M )  =  Z )
6562, 64eleqtrd 2551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
66 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E `
 M )  e. 
_V
67 difexg 4545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E `  M )  e.  _V  ->  (
( E `  M
)  \  U_ i  e.  ( M..^ M ) ( E `  i
) )  e.  _V )
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  M ) 
\  U_ i  e.  ( M..^ M ) ( E `  i ) )  e.  _V
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E `  M )  \  U_ i  e.  ( M..^ M ) ( E `
 i ) )  e.  _V )
7055, 60, 65, 69fvmptd 5969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  ( ( E `  M ) 
\  U_ i  e.  ( M..^ M ) ( E `  i ) ) )
71 fzo0 11969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M..^ M )  =  (/)
72 iuneq1 4283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M..^ M )  =  (/)  ->  U_ i  e.  ( M..^ M ) ( E `  i )  =  U_ i  e.  (/)  ( E `  i
) )
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ i  e.  ( M..^ M ) ( E `  i
)  =  U_ i  e.  (/)  ( E `  i )
74 0iun 4326 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ i  e.  (/)  ( E `  i )  =  (/)
7573, 74eqtri 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ i  e.  ( M..^ M ) ( E `  i
)  =  (/)
7675difeq2i 3537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  M ) 
\  U_ i  e.  ( M..^ M ) ( E `  i ) )  =  ( ( E `  M ) 
\  (/) )
7776a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E `  M )  \  U_ i  e.  ( M..^ M ) ( E `
 i ) )  =  ( ( E `
 M )  \  (/) ) )
78 dif0 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  M ) 
\  (/) )  =  ( E `  M )
7978a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E `  M )  \  (/) )  =  ( E `  M
) )
8070, 77, 793eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  ( E `
 M ) )
8180ineq2d 3625 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( F `  M )
)  =  ( A  i^i  ( E `  M ) ) )
8281fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  M ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( E `  M )
) ) )
83 carageniuncllem1.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ i  e.  ( M ... n ) ( E `  i
) )
8483a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  Z  |->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i ) ) )
85 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  M  ->  ( M ... n )  =  ( M ... M
) )
8685iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i )  =  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `
 i ) )
8786adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i )  =  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `
 i ) )
88 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M ... M )  e. 
_V
89 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E `
 i )  e. 
_V
9088, 89iunex 6792 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ i  e.  ( M ... M
) ( E `  i )  e.  _V
9190a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `  i
)  e.  _V )
9284, 87, 65, 91fvmptd 5969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  =  U_ i  e.  ( M ... M
) ( E `  i ) )
9338iuneq1d 4294 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  ( M ... M ) ( E `  i
)  =  U_ i  e.  { M }  ( E `  i )
)
94 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  M  ->  ( E `  i )  =  ( E `  M ) )
9594iunxsng 4351 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  U_ i  e.  { M }  ( E `  i )  =  ( E `  M ) )
9636, 95syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  { M }  ( E `  i )  =  ( E `  M ) )
9792, 93, 963eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  =  ( E `
 M ) )
9897ineq2d 3625 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( G `  M )
)  =  ( A  i^i  ( E `  M ) ) )
9998fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  ( G `  M ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( E `  M )
) ) )
10053, 82, 993eqtr4d 2515 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  M ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  M )
) ) )
10139, 52, 1003eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( M ... M ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  M )
) ) )
102101a1i 11 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( M ... M ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  M )
) ) ) )
103 simp3 1032 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( M..^ K )  /\  ( ph  ->  sum_ n  e.  ( M ... j ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) ) )  /\  ph )  ->  ph )
104 simp1 1030 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( M..^ K )  /\  ( ph  ->  sum_ n  e.  ( M ... j ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) ) )  /\  ph )  ->  j  e.  ( M..^ K ) )
105 id 22 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  ->  sum_ n  e.  ( M ... j ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) ) )  -> 
( ph  ->  sum_ n  e.  ( M ... j
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j ) ) ) ) )
106105imp 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  ->  sum_ n  e.  ( M ... j
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j ) ) ) )  /\  ph )  -> 
sum_ n  e.  ( M ... j ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) ) )
1071063adant1 1048 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( M..^ K )  /\  ( ph  ->  sum_ n  e.  ( M ... j ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) ) )  /\  ph )  ->  sum_ n  e.  ( M ... j
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j ) ) ) )
108 elfzouz 11951 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
109108adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  M ) )
11040adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( j  +  1 ) ) )  ->  O  e. OutMeas )
11142adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( j  +  1 ) ) )  ->  A  C_  X
)
11243adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( j  +  1 ) ) )  ->  ( O `  A )  e.  RR )
113 inss1 3643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  ( F `  n ) )  C_  A
114113a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( j  +  1 ) ) )  ->  ( A  i^i  ( F `  n
) )  C_  A
)
115110, 41, 111, 112, 114omessre 38450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( j  +  1 ) ) )  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  e.  RR )
116115recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( j  +  1 ) ) )  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  e.  CC )
117116adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  /\  n  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )  e.  CC )
118 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
119118ineq2d 3625 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  i^i  ( F `  n ) )  =  ( A  i^i  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )
120119fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  n
) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
121109, 117, 120fsump1 13894 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  sum_ n  e.  ( M ... ( j  +  1 ) ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( M ... j
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  +  ( O `  ( A  i^i  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
1221213adant3 1050 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K )  /\  sum_
n  e.  ( M ... j ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) ) )  ->  sum_ n  e.  ( M ... ( j  +  1 ) ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( M ... j
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  +  ( O `  ( A  i^i  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
123 oveq1 6315 . . . . . . 7  |-  ( sum_ n  e.  ( M ... j ) ( O `
 ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j ) ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( M ... j
) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  +  ( O `  ( A  i^i  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( O `  ( A  i^i  ( G `  j ) ) )  +  ( O `  ( A  i^i  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
1241233ad2ant3 1053 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K )  /\  sum_
n  e.  ( M ... j ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) ) )  -> 
( sum_ n  e.  ( M ... j ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  +  ( O `  ( A  i^i  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) )  +  ( O `  ( A  i^i  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
125 fzssp1 11867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M ... j )  C_  ( M ... ( j  +  1 ) )
126 iunss1 4281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M ... j ) 
C_  ( M ... ( j  +  1 ) )  ->  U_ i  e.  ( M ... j
) ( E `  i )  C_  U_ i  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) ( E `  i ) )
127125, 126ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ i  e.  ( M ... j
) ( E `  i )  C_  U_ i  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) ( E `  i )
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  U_ i  e.  ( M ... j
) ( E `  i )  C_  U_ i  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) ( E `  i ) )
12983a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  G  =  ( n  e.  Z  |-> 
U_ i  e.  ( M ... n ) ( E `  i
) ) )
130 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  j  ->  ( M ... n )  =  ( M ... j
) )
131130iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i )  =  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `
 i ) )
132131adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ( M..^ K )  /\  n  =  j )  ->  U_ i  e.  ( M ... n ) ( E `  i )  =  U_ i  e.  ( M ... j
) ( E `  i ) )
133108, 2syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  j  e.  Z )
134 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M ... j )  e. 
_V
135134, 89iunex 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ i  e.  ( M ... j
) ( E `  i )  e.  _V
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  U_ i  e.  ( M ... j
) ( E `  i )  e.  _V )
137129, 132, 133, 136fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( G `  j )  =  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `
 i ) )
138 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( M ... n )  =  ( M ... (
j  +  1 ) ) )
139138iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  U_ i  e.  ( M ... n
) ( E `  i )  =  U_ i  e.  ( M ... ( j  +  1 ) ) ( E `
 i ) )
140139adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ( M..^ K )  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  U_ i  e.  ( M ... n ) ( E `  i )  =  U_ i  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) ( E `  i ) )
141 peano2uz 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
142108, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1432eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
144142, 143syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( j  +  1 )  e.  Z )
145 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M ... ( j  +  1 ) )  e. 
_V
146145, 89iunex 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ i  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) ( E `  i )  e.  _V
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  U_ i  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) ( E `  i )  e.  _V )
148129, 140, 144, 147fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  U_ i  e.  ( M ... ( j  +  1 ) ) ( E `
 i ) )
149137, 148sseq12d 3447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( ( G `  j )  C_  ( G `  (
j  +  1 ) )  <->  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i
)  C_  U_ i  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) ( E `  i ) ) )
150128, 149mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( G `  j )  C_  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
151 inabs3 37455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  j ) 
C_  ( G `  ( j  +  1 ) )  ->  (
( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `
 j ) )  =  ( A  i^i  ( G `  j ) ) )
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `  j
) )  =  ( A  i^i  ( G `
 j ) ) )
153152fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( O `  ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `
 j ) ) )  =  ( O `
 ( A  i^i  ( G `  j ) ) ) )
154153eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) )  =  ( O `  ( ( A  i^i  ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `  j ) ) ) )
155154adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) )  =  ( O `  ( ( A  i^i  ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `  j ) ) ) )
156 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  j  e.  ZZ )
157 fzval3 12012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ZZ  ->  ( M ... j )  =  ( M..^ ( j  +  1 ) ) )
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( M ... j )  =  ( M..^ ( j  +  1 ) ) )
159158eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( M..^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ... j ) )
160159iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  U_ i  e.  ( M..^ ( j  +  1 ) ) ( E `  i
)  =  U_ i  e.  ( M ... j
) ( E `  i ) )
161160difeq2d 3540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( ( E `  ( j  +  1 ) ) 
\  U_ i  e.  ( M..^ ( j  +  1 ) ) ( E `  i ) )  =  ( ( E `  ( j  +  1 ) ) 
\  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i
) ) )
162161adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( ( E `
 ( j  +  1 ) )  \  U_ i  e.  ( M..^ ( j  +  1 ) ) ( E `
 i ) )  =  ( ( E `
 ( j  +  1 ) )  \  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i ) ) )
16354a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  F  =  ( n  e.  Z  |->  ( ( E `  n )  \  U_ i  e.  ( M..^ n ) ( E `
 i ) ) ) )
164 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( E `  n )  =  ( E `  ( j  +  1 ) ) )
165 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( M..^ n )  =  ( M..^ ( j  +  1 ) ) )
166165iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  U_ i  e.  ( M..^ n ) ( E `  i
)  =  U_ i  e.  ( M..^ ( j  +  1 ) ) ( E `  i
) )
167164, 166difeq12d 3541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( E `  n
)  \  U_ i  e.  ( M..^ n ) ( E `  i
) )  =  ( ( E `  (
j  +  1 ) )  \  U_ i  e.  ( M..^ ( j  +  1 ) ) ( E `  i
) ) )
168167adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  ( M..^ K )  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  -> 
( ( E `  n )  \  U_ i  e.  ( M..^ n ) ( E `
 i ) )  =  ( ( E `
 ( j  +  1 ) )  \  U_ i  e.  ( M..^ ( j  +  1 ) ) ( E `
 i ) ) )
169 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E `
 ( j  +  1 ) )  e. 
_V
170 difexg 4545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  ( j  +  1 ) )  e.  _V  ->  (
( E `  (
j  +  1 ) )  \  U_ i  e.  ( M..^ ( j  +  1 ) ) ( E `  i
) )  e.  _V )
171169, 170ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  ( j  +  1 ) ) 
\  U_ i  e.  ( M..^ ( j  +  1 ) ) ( E `  i ) )  e.  _V
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( ( E `  ( j  +  1 ) ) 
\  U_ i  e.  ( M..^ ( j  +  1 ) ) ( E `  i ) )  e.  _V )
173163, 168, 144, 172fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( E `  (
j  +  1 ) )  \  U_ i  e.  ( M..^ ( j  +  1 ) ) ( E `  i
) ) )
174173adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( E `  (
j  +  1 ) )  \  U_ i  e.  ( M..^ ( j  +  1 ) ) ( E `  i
) ) )
175 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i
( E `  (
j  +  1 ) )
176 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  ( E `  i )  =  ( E `  ( j  +  1 ) ) )
177175, 108, 176iunp1 37466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  U_ i  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) ( E `  i )  =  (
U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i
)  u.  ( E `
 ( j  +  1 ) ) ) )
178148, 177eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  (
U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i
)  u.  ( E `
 ( j  +  1 ) ) ) )
179178, 137difeq12d 3541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( ( G `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( G `  j ) )  =  ( ( U_ i  e.  ( M ... j
) ( E `  i )  u.  ( E `  ( j  +  1 ) ) )  \  U_ i  e.  ( M ... j
) ( E `  i ) ) )
180 difundir 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i
)  u.  ( E `
 ( j  +  1 ) ) ) 
\  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i
) )  =  ( ( U_ i  e.  ( M ... j
) ( E `  i )  \  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `
 i ) )  u.  ( ( E `
 ( j  +  1 ) )  \  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i ) ) )
181 difid 3747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `
 i )  \  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i ) )  =  (/)
182181uneq1i 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i
)  \  U_ i  e.  ( M ... j
) ( E `  i ) )  u.  ( ( E `  ( j  +  1 ) )  \  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `
 i ) ) )  =  ( (/)  u.  ( ( E `  ( j  +  1 ) )  \  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `
 i ) ) )
183 0un 37445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  u.  ( ( E `  ( j  +  1 ) )  \  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `
 i ) ) )  =  ( ( E `  ( j  +  1 ) ) 
\  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i
) )
184180, 182, 1833eqtri 2497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i
)  u.  ( E `
 ( j  +  1 ) ) ) 
\  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i
) )  =  ( ( E `  (
j  +  1 ) )  \  U_ i  e.  ( M ... j
) ( E `  i ) )
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( ( U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i )  u.  ( E `  ( j  +  1 ) ) )  \  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i ) )  =  ( ( E `  ( j  +  1 ) ) 
\  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i
) ) )
186179, 185eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( ( G `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( G `  j ) )  =  ( ( E `  ( j  +  1 ) )  \  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `
 i ) ) )
187186adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( ( G `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( G `  j
) )  =  ( ( E `  (
j  +  1 ) )  \  U_ i  e.  ( M ... j
) ( E `  i ) ) )
188162, 174, 1873eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( G `  (
j  +  1 ) )  \  ( G `
 j ) ) )
189188ineq2d 3625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( A  i^i  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( A  i^i  ( ( G `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( G `  j
) ) ) )
190 indif2 3677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( ( G `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( G `  j
) ) )  =  ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  \  ( G `
 j ) )
191190eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  ( G `
 ( j  +  1 ) ) ) 
\  ( G `  j ) )  =  ( A  i^i  (
( G `  (
j  +  1 ) )  \  ( G `
 j ) ) )
192191a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  \ 
( G `  j
) )  =  ( A  i^i  ( ( G `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( G `  j ) ) ) )
193189, 192eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( A  i^i  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( A  i^i  ( G `
 ( j  +  1 ) ) ) 
\  ( G `  j ) ) )
194193fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( O `  ( A  i^i  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( O `  ( ( A  i^i  ( G `
 ( j  +  1 ) ) ) 
\  ( G `  j ) ) ) )
195155, 194oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  j ) ) )  +  ( O `  ( A  i^i  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( O `  ( ( A  i^i  ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `  j ) ) )  +  ( O `  ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  \  ( G `
 j ) ) ) ) )
196 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  i^i  ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `  j ) )  C_  ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
197 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  C_  A
198196, 197sstri 3427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  i^i  ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `  j ) )  C_  A
199198a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `
 j ) ) 
C_  A )
20040, 41, 42, 43, 199omessre 38450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `
 j ) ) )  e.  RR )
201200adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( O `  ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `
 j ) ) )  e.  RR )
20240adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  O  e. OutMeas )
20342adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  A  C_  X
)
20443adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( O `  A )  e.  RR )
205 difss 3549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  i^i  ( G `
 ( j  +  1 ) ) ) 
\  ( G `  j ) )  C_  ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
206205, 197sstri 3427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  ( G `
 ( j  +  1 ) ) ) 
\  ( G `  j ) )  C_  A
207206a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  \ 
( G `  j
) )  C_  A
)
208202, 41, 203, 204, 207omessre 38450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( O `  ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  \  ( G `
 j ) ) )  e.  RR )
209 rexadd 11548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  (
( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `
 j ) ) )  e.  RR  /\  ( O `  ( ( A  i^i  ( G `
 ( j  +  1 ) ) ) 
\  ( G `  j ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( O `  ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `
 j ) ) ) +e ( O `  ( ( A  i^i  ( G `
 ( j  +  1 ) ) ) 
\  ( G `  j ) ) ) )  =  ( ( O `  ( ( A  i^i  ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `  j ) ) )  +  ( O `  ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  \  ( G `
 j ) ) ) ) )
210201, 208, 209syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( ( O `
 ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `  j
) ) ) +e ( O `  ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  \  ( G `
 j ) ) ) )  =  ( ( O `  (
( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `
 j ) ) )  +  ( O `
 ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  \ 
( G `  j
) ) ) ) )
211210eqcomd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( ( O `
 ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `  j
) ) )  +  ( O `  (
( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  \  ( G `
 j ) ) ) )  =  ( ( O `  (
( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `
 j ) ) ) +e ( O `  ( ( A  i^i  ( G `
 ( j  +  1 ) ) ) 
\  ( G `  j ) ) ) ) )
212 carageniuncllem1.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  (CaraGen `  O )
213137adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( G `  j )  =  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `
 i ) )
214 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i
ph
215 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M ... j
)  e.  Fin )
216 carageniuncllem1.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E : Z --> S )
217216adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M ... j ) )  ->  E : Z
--> S )
218 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M ... j )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
219143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M ... j )  ->  ( ZZ>=
`  M )  =  Z )
220218, 219eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( M ... j )  ->  i  e.  Z )
221220adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M ... j ) )  ->  i  e.  Z )
222217, 221ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M ... j ) )  ->  ( E `  i )  e.  S
)
223214, 40, 212, 215, 222caragenfiiuncl 38455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i
)  e.  S )
224223adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  U_ i  e.  ( M ... j ) ( E `  i
)  e.  S )
225213, 224eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( G `  j )  e.  S
)
22642ssinss1d 37444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  C_  X )
227226adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  C_  X )
228202, 212, 41, 225, 227caragensplit 38440 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( ( O `
 ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  i^i  ( G `  j
) ) ) +e ( O `  ( ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  \  ( G `
 j ) ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
229195, 211, 2283eqtrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( ( O `
 ( A  i^i  ( G `  j ) ) )  +  ( O `  ( A  i^i  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( O `
 ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
2302293adant3 1050 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K )  /\  sum_
n  e.  ( M ... j ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) ) )  -> 
( ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) )  +  ( O `  ( A  i^i  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( O `
 ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
231122, 124, 2303eqtrd 2509 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ K )  /\  sum_
n  e.  ( M ... j ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) ) )  ->  sum_ n  e.  ( M ... ( j  +  1 ) ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
232103, 104, 107, 231syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( j  e.  ( M..^ K )  /\  ( ph  ->  sum_ n  e.  ( M ... j ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) ) )  /\  ph )  ->  sum_ n  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
2332323exp 1230 . . 3  |-  ( j  e.  ( M..^ K
)  ->  ( ( ph  ->  sum_ n  e.  ( M ... j ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  j )
) ) )  -> 
( ph  ->  sum_ n  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
23413, 20, 27, 34, 102, 233fzind2 12054 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... K )  ->  ( ph  ->  sum_ n  e.  ( M ... K ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  K )
) ) ) )
2355, 6, 234sylc 61 1  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( M ... K ) ( O `  ( A  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( O `  ( A  i^i  ( G `  K )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   U.cuni 4190   U_ciun 4269    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   1c1 9558    + caddc 9560   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   +ecxad 11430   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   sum_csu 13829  OutMeascome 38429  CaraGenccaragen 38431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-ome 38430  df-caragen 38432
This theorem is referenced by:  carageniuncllem2  38462
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