Theorem caopr4 4997

Description: Rearrange arguments in a commutative, associative operation.

Hypotheses

Ref	Expression
caopr.1	|- A e. _V
caopr.2	|- B e. _V
caopr.3	|- C e. _V
caopr.com	|- (xFy) = (yFx)
caopr.ass	|- ((xFy)Fz) = (xF(yFz))
caopr.4	|- D e. _V

Assertion

Ref	Expression
caopr4	|- ((AFB)F(CFD)) = ((AFC)F(BFD))

Distinct variable groups:   x,y,z,F   x,A,y,z   x,B,y,z   x,C,y,z   x,D,y,z

Proof of Theorem caopr4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caopr.2	. . . 4 |- B e. _V
2		caopr.3	. . . 4 |- C e. _V
3		caopr.4	. . . 4 |- D e. _V
4		caopr.com	. . . 4 |- (xFy) = (yFx)
5		caopr.ass	. . . 4 |- ((xFy)Fz) = (xF(yFz))
6	1, 2, 3, 4, 5	caopr12 4994	. . 3 |- (BF(CFD)) = (CF(BFD))
7	6	opreq2i 4893	. 2 |- (AF(BF(CFD))) = (AF(CF(BFD)))
8		caopr.1	. . 3 |- A e. _V
9		oprex 4907	. . 3 |- (CFD) e. _V
10	8, 1, 9, 5	caoprass 4987	. 2 |- ((AFB)F(CFD)) = (AF(BF(CFD)))
11		oprex 4907	. . 3 |- (BFD) e. _V
12	8, 2, 11, 5	caoprass 4987	. 2 |- ((AFC)F(BFD)) = (AF(CF(BFD)))
13	7, 10, 12	3eqtr4i 1921	1 |- ((AFB)F(CFD)) = ((AFC)F(BFD))

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  (class class class)co 4884

This theorem is referenced by:  caopr42 4999  ecopoprtrn 5370  addcmpblnq 6204  mulcmpblnq 6205  ordpipq 6208  distrpq 6219  ltapq 6228  ltmpq 6229  reclem3pr 6310  addcmpblnr 6333  mulcmpblnrlem 6334  ltsrpr 6338  distrsr 6352  ltasr 6361  mulgt0sr 6366  sqgt0sr 6367  axdistr 6432

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-opr 4886

Copyright terms: Public domain