Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caofinvl Structured version   Unicode version

Theorem caofinvl 6549
 Description: Transfer a left inverse law to the function operation. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caofref.1
caofref.2
caofinv.3
caofinv.4
caofinv.5
caofinvl.6
Assertion
Ref Expression
caofinvl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem caofinvl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caofref.1 . . . 4
2 caofinv.4 . . . . . . . . 9
32adantr 463 . . . . . . . 8
4 caofref.2 . . . . . . . . 9
54ffvelrnda 6009 . . . . . . . 8
63, 5ffvelrnd 6010 . . . . . . 7
7 eqid 2402 . . . . . . 7
86, 7fmptd 6033 . . . . . 6
9 caofinv.5 . . . . . . 7
109feq1d 5700 . . . . . 6
118, 10mpbird 232 . . . . 5
1211ffvelrnda 6009 . . . 4
134ffvelrnda 6009 . . . 4
14 fvex 5859 . . . . . . 7
1514, 7fnmpti 5692 . . . . . 6
169fneq1d 5652 . . . . . 6
1715, 16mpbiri 233 . . . . 5
18 dffn5 5894 . . . . 5
1917, 18sylib 196 . . . 4
204feqmptd 5902 . . . 4
211, 12, 13, 19, 20offval2 6538 . . 3
229fveq1d 5851 . . . . . . 7
23 fveq2 5849 . . . . . . . . 9
2423fveq2d 5853 . . . . . . . 8
25 fvex 5859 . . . . . . . 8
2624, 7, 25fvmpt 5932 . . . . . . 7
2722, 26sylan9eq 2463 . . . . . 6
2827oveq1d 6293 . . . . 5
29 caofinvl.6 . . . . . . . 8
3029ralrimiva 2818 . . . . . . 7
3130adantr 463 . . . . . 6
32 fveq2 5849 . . . . . . . . 9
33 id 22 . . . . . . . . 9
3432, 33oveq12d 6296 . . . . . . . 8
3534eqeq1d 2404 . . . . . . 7
3635rspcva 3158 . . . . . 6
3713, 31, 36syl2anc 659 . . . . 5
3828, 37eqtrd 2443 . . . 4
3938mpteq2dva 4481 . . 3
4021, 39eqtrd 2443 . 2
41 fconstmpt 4867 . 2
4240, 41syl6eqr 2461 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754  csn 3972   cmpt 4453   cxp 4821   wfn 5564  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278   cof 6519 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521 This theorem is referenced by:  grpvlinv  19189  lflnegl  32094
 Copyright terms: Public domain W3C validator