Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfvalf Structured version   Unicode version

Theorem cantnfvalf 8118
 Description: Lemma for cantnf 8146. The function appearing in cantnfval 8121 is unconditionally a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cantnfvalf.f seq𝜔
Assertion
Ref Expression
cantnfvalf
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem cantnfvalf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfvalf.f . . 3 seq𝜔
21fnseqom 7159 . 2
3 nn0suc 6710 . . . 4
4 fveq2 5851 . . . . . . 7
5 0ex 4528 . . . . . . . 8
61seqom0g 7160 . . . . . . . 8
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7
84, 7syl6eq 2461 . . . . . 6
9 0elon 5465 . . . . . 6
108, 9syl6eqel 2500 . . . . 5
111seqomsuc 7161 . . . . . . . . 9
12 df-ov 6283 . . . . . . . . 9
1311, 12syl6eq 2461 . . . . . . . 8
14 df-ov 6283 . . . . . . . . . . . 12
15 fnoa 7197 . . . . . . . . . . . . . 14
16 oacl 7224 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716rgen2a 2833 . . . . . . . . . . . . . 14
18 ffnov 6389 . . . . . . . . . . . . . 14
1915, 17, 18mpbir2an 923 . . . . . . . . . . . . 13
2019, 9f0cli 6022 . . . . . . . . . . . 12
2114, 20eqeltri 2488 . . . . . . . . . . 11
2221rgen2w 2768 . . . . . . . . . 10
23 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11
2423fmpt2 6853 . . . . . . . . . 10
2522, 24mpbi 210 . . . . . . . . 9
2625, 9f0cli 6022 . . . . . . . 8
2713, 26syl6eqel 2500 . . . . . . 7
28 fveq2 5851 . . . . . . . 8
2928eleq1d 2473 . . . . . . 7
3027, 29syl5ibrcom 224 . . . . . 6
3130rexlimiv 2892 . . . . 5
3210, 31jaoi 379 . . . 4
333, 32syl 17 . . 3
3433rgen 2766 . 2
35 ffnfv 6038 . 2
362, 34, 35mpbir2an 923 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wo 368   wceq 1407   wcel 1844  wral 2756  wrex 2757  cvv 3061  c0 3740  cop 3980   cxp 4823  con0 5412   csuc 5414   wfn 5566  wf 5567  cfv 5571  (class class class)co 6280   cmpt2 6282  com 6685  seq𝜔cseqom 7151   coa 7166 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-seqom 7152  df-oadd 7173 This theorem is referenced by:  cantnfval2  8122  cantnfle  8124  cantnflt  8125  cantnflem1d  8141  cantnflem1  8142  cantnfval2OLD  8152  cantnfleOLD  8154  cantnfltOLD  8155  cantnflem1dOLD  8164  cantnflem1OLD  8165  cnfcomlem  8177  cnfcomlemOLD  8185
 Copyright terms: Public domain W3C validator