Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfvalOLD Structured version   Unicode version

Theorem cantnfvalOLD 8117
 Description: The value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) Obsolete version of cantnfval 8087 as of 28-Jun-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfsOLD.1 CNF
cantnfsOLD.2
cantnfsOLD.3
cantnfvalOLD.3 OrdIso
cantnfvalOLD.4
cantnfvalOLD.5 seq𝜔
Assertion
Ref Expression
cantnfvalOLD CNF
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cantnfvalOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4
2 cantnfsOLD.2 . . . 4
3 cantnfsOLD.3 . . . 4
41, 2, 3cantnffvalOLD 8082 . . 3 CNF OrdIso seq𝜔
54fveq1d 5868 . 2 CNF OrdIso seq𝜔
6 cantnfvalOLD.4 . . . 4
7 cantnfsOLD.1 . . . . 5 CNF
81, 2, 3cantnfdmOLD 8083 . . . . 5 CNF
97, 8syl5eq 2520 . . . 4
106, 9eleqtrd 2557 . . 3
11 vex 3116 . . . . . . . 8
1211cnvex 6731 . . . . . . 7
13 imaexg 6721 . . . . . . 7
14 eqid 2467 . . . . . . . 8 OrdIso OrdIso
1514oiexg 7960 . . . . . . 7 OrdIso
1612, 13, 15mp2b 10 . . . . . 6 OrdIso
1716a1i 11 . . . . 5 OrdIso
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 OrdIso OrdIso
19 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 OrdIso
2019cnveqd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 OrdIso
2120imaeq1d 5336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 OrdIso
22 oieq2 7938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 OrdIso OrdIso
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 OrdIso OrdIso OrdIso
2418, 23eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15 OrdIso OrdIso
25 cantnfvalOLD.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 OrdIso
2624, 25syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . 14 OrdIso
2726fveq1d 5868 . . . . . . . . . . . . 13 OrdIso
2827oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . 12 OrdIso
2919, 27fveq12d 5872 . . . . . . . . . . . 12 OrdIso
3028, 29oveq12d 6302 . . . . . . . . . . 11 OrdIso
3130oveq1d 6299 . . . . . . . . . 10 OrdIso
32313ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9 OrdIso
3332mpt2eq3dva 6345 . . . . . . . 8 OrdIso
34 eqid 2467 . . . . . . . 8
35 seqomeq12 7119 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
3633, 34, 35sylancl 662 . . . . . . 7 OrdIso seq𝜔 seq𝜔
37 cantnfvalOLD.5 . . . . . . 7 seq𝜔
3836, 37syl6eqr 2526 . . . . . 6 OrdIso seq𝜔
3926dmeqd 5205 . . . . . 6 OrdIso
4038, 39fveq12d 5872 . . . . 5 OrdIso seq𝜔
4117, 40csbied 3462 . . . 4 OrdIso seq𝜔
42 eqid 2467 . . . 4 OrdIso seq𝜔 OrdIso seq𝜔
43 fvex 5876 . . . 4
4441, 42, 43fvmpt 5950 . . 3 OrdIso seq𝜔
4510, 44syl 16 . 2 OrdIso seq𝜔
465, 45eqtrd 2508 1 CNF
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  crab 2818  cvv 3113  csb 3435   cdif 3473  c0 3785   cmpt 4505   cep 4789  con0 4878  ccnv 4998   cdm 4999  cima 5002  cfv 5588  (class class class)co 6284   cmpt2 6286  seq𝜔cseqom 7112  c1o 7123   coa 7127   comu 7128   coe 7129   cmap 7420  cfn 7516  OrdIsocoi 7934   CNF ccnf 8078 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-seqom 7113  df-1o 7130  df-map 7422  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-cnf 8079 This theorem is referenced by:  cantnfval2OLD  8118  cantnfleOLD  8120  cantnflt2OLD  8122  cantnfp1lem3OLD  8125  cantnflem1OLD  8131  cantnfOLD  8134  cnfcom2OLD  8154
 Copyright terms: Public domain W3C validator