Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfval2OLD Structured version   Unicode version

Theorem cantnfval2OLD 8150
 Description: Alternate expression for the value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) Obsolete version of cantnfval2 8120 as of 28-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfsOLD.1 CNF
cantnfsOLD.2
cantnfsOLD.3
cantnfvalOLD.3 OrdIso
cantnfvalOLD.4
cantnfvalOLD.5 seq𝜔
Assertion
Ref Expression
cantnfval2OLD CNF seq𝜔
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cantnfval2OLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfsOLD.1 . . 3 CNF
2 cantnfsOLD.2 . . 3
3 cantnfsOLD.3 . . 3
4 cantnfvalOLD.3 . . 3 OrdIso
5 cantnfvalOLD.4 . . 3
6 cantnfvalOLD.5 . . 3 seq𝜔
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfvalOLD 8149 . 2 CNF
8 ssid 3461 . . 3
91, 2, 3, 4, 5cantnfclOLD 8148 . . . . 5
109simprd 461 . . . 4
11 sseq1 3463 . . . . . . 7
12 fveq2 5849 . . . . . . . . 9
13 0ex 4526 . . . . . . . . . 10
146seqom0g 7158 . . . . . . . . . 10
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9
1612, 15syl6eq 2459 . . . . . . . 8
17 fveq2 5849 . . . . . . . . 9 seq𝜔 seq𝜔
18 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11 seq𝜔 seq𝜔
1918seqom0g 7158 . . . . . . . . . 10 seq𝜔
2013, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9 seq𝜔
2117, 20syl6eq 2459 . . . . . . . 8 seq𝜔
2216, 21eqeq12d 2424 . . . . . . 7 seq𝜔
2311, 22imbi12d 318 . . . . . 6 seq𝜔
2423imbi2d 314 . . . . 5 seq𝜔
25 sseq1 3463 . . . . . . 7
26 fveq2 5849 . . . . . . . 8
27 fveq2 5849 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
2826, 27eqeq12d 2424 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
2925, 28imbi12d 318 . . . . . 6 seq𝜔 seq𝜔
3029imbi2d 314 . . . . 5 seq𝜔 seq𝜔
31 sseq1 3463 . . . . . . 7
32 fveq2 5849 . . . . . . . 8
33 fveq2 5849 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
3432, 33eqeq12d 2424 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
3531, 34imbi12d 318 . . . . . 6 seq𝜔 seq𝜔
3635imbi2d 314 . . . . 5 seq𝜔 seq𝜔
37 sseq1 3463 . . . . . . 7
38 fveq2 5849 . . . . . . . 8
39 fveq2 5849 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
4038, 39eqeq12d 2424 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
4137, 40imbi12d 318 . . . . . 6 seq𝜔 seq𝜔
4241imbi2d 314 . . . . 5 seq𝜔 seq𝜔
43 eqid 2402 . . . . . 6
4443a1ii 12 . . . . 5
45 sssucid 5487 . . . . . . . . . 10
46 sstr 3450 . . . . . . . . . 10
4745, 46mpan 668 . . . . . . . . 9
4847imim1i 57 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
49 oveq2 6286 . . . . . . . . . . 11 seq𝜔 seq𝜔
506seqomsuc 7159 . . . . . . . . . . . . 13
5150ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12
5218seqomsuc 7159 . . . . . . . . . . . . . 14 seq𝜔 seq𝜔
5352ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 seq𝜔 seq𝜔
54 ssv 3462 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 ssv 3462 . . . . . . . . . . . . . . . 16
56 resmpt2 6381 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5754, 55, 56mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857oveqi 6291 . . . . . . . . . . . . . 14 seq𝜔 seq𝜔
59 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16
60 vex 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160sucid 5489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6359, 62sseldd 3443 . . . . . . . . . . . . . . 15
6418cantnfvalf 8116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 seq𝜔
6564ffvelrni 6008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 seq𝜔
6665ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 seq𝜔
67 ovres 6423 . . . . . . . . . . . . . . 15 seq𝜔 seq𝜔 seq𝜔
6863, 66, 67syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14 seq𝜔 seq𝜔
6958, 68syl5eqr 2457 . . . . . . . . . . . . 13 seq𝜔 seq𝜔
7053, 69eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . 12 seq𝜔 seq𝜔
7151, 70eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . 11 seq𝜔 seq𝜔
7249, 71syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10 seq𝜔 seq𝜔
7372expr 613 . . . . . . . . 9 seq𝜔 seq𝜔
7473a2d 26 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
7548, 74syl5 30 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
7675expcom 433 . . . . . 6 seq𝜔 seq𝜔
7776a2d 26 . . . . 5 seq𝜔 seq𝜔
7824, 30, 36, 42, 44, 77finds 6710 . . . 4 seq𝜔
7910, 78mpcom 34 . . 3 seq𝜔
808, 79mpi 20 . 2 seq𝜔
817, 80eqtrd 2443 1 CNF seq𝜔
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  cvv 3059   cdif 3411   wss 3414  c0 3738   cep 4732   wwe 4781   cxp 4821  ccnv 4822   cdm 4823   cres 4825  cima 4826  con0 5410   csuc 5412  cfv 5569  (class class class)co 6278   cmpt2 6280  com 6683  seq𝜔cseqom 7149  c1o 7160   coa 7164   comu 7165   coe 7166  OrdIsocoi 7968   CNF ccnf 8110 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-seqom 7150  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-oi 7969  df-cnf 8111 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator