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Theorem cantnfval2OLD 7905
Description: Alternate expression for the value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) Obsolete version of cantnfval2 7875 as of 28-Jun-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfsOLD.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfsOLD.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfsOLD.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
cantnfvalOLD.3  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cantnfvalOLD.4  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
cantnfvalOLD.5  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
Assertion
Ref Expression
cantnfval2OLD  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
Distinct variable groups:    z, k, B    A, k, z    k, F, z    S, k, z   
k, G, z    ph, k,
z
Allowed substitution hints:    H( z, k)

Proof of Theorem cantnfval2OLD
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfsOLD.1 . . 3  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnfsOLD.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnfsOLD.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 cantnfvalOLD.3 . . 3  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
5 cantnfvalOLD.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
6 cantnfvalOLD.5 . . 3  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfvalOLD 7904 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( H `  dom  G ) )
8 ssid 3373 . . 3  |-  dom  G  C_ 
dom  G
91, 2, 3, 4, 5cantnfclOLD 7903 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  G  e. 
om ) )
109simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  om )
11 sseq1 3375 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  ( u 
C_  dom  G  <->  (/)  C_  dom  G ) )
12 fveq2 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  (/)  ->  ( H `
 u )  =  ( H `  (/) ) )
13 0ex 4420 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
146seqom0g 6909 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( H `  (/) )  =  (/) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 (/) )  =  (/)
1612, 15syl6eq 2489 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  ( H `
 u )  =  (/) )
17 fveq2 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  (/)  ->  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) ) )
18 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
1918seqom0g 6909 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/) )
2013, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
2117, 20syl6eq 2489 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  =  (/) )
2216, 21eqeq12d 2455 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
)  <->  (/)  =  (/) ) )
2311, 22imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( u  C_  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( (/)  C_  dom  G  ->  (/)  =  (/) ) ) )
2423imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( u  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  dom  G  -> 
(/)  =  (/) ) ) ) )
25 sseq1 3375 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
u  C_  dom  G  <->  v  C_  dom  G ) )
26 fveq2 5689 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  ( H `  u )  =  ( H `  v ) )
27 fveq2 5689 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  (seq𝜔 (
( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )
2826, 27eqeq12d 2455 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  <->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )
2925, 28imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  (
( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( v  C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) ) )
3029imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( u  =  v  ->  (
( ph  ->  ( u 
C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
) ) )  <->  ( ph  ->  ( v  C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) ) ) )
31 sseq1 3375 . . . . . . 7  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( u  C_  dom  G  <->  suc  v  C_  dom  G
) )
32 fveq2 5689 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( H `  u
)  =  ( H `
 suc  v )
)
33 fveq2 5689 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  suc  v  -> 
(seq𝜔
( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) )
3432, 33eqeq12d 2455 . . . . . . 7  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  <->  ( H `  suc  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) )
3531, 34imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( ( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( suc  v  C_ 
dom  G  ->  ( H `
 suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
3635imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( ( ph  ->  ( u  C_  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
) )  <->  ( ph  ->  ( suc  v  C_  dom  G  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) ) )
37 sseq1 3375 . . . . . . 7  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( u  C_  dom  G  <->  dom  G  C_  dom  G ) )
38 fveq2 5689 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  ( H `
 dom  G )
)
39 fveq2 5689 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  dom  G  -> 
(seq𝜔
( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
4038, 39eqeq12d 2455 . . . . . . 7  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  <->  ( H `  dom  G
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) )
4137, 40imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( ( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( dom  G  C_ 
dom  G  ->  ( H `
 dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) ) )
4241imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( ( ph  ->  ( u  C_  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
) )  <->  ( ph  ->  ( dom  G  C_  dom  G  ->  ( H `  dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) ) ) )
43 eqid 2441 . . . . . 6  |-  (/)  =  (/)
4443a1ii 27 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  dom  G  -> 
(/)  =  (/) ) )
45 sssucid 4794 . . . . . . . . . 10  |-  v  C_  suc  v
46 sstr 3362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  C_  suc  v  /\  suc  v  C_  dom  G
)  ->  v  C_  dom  G )
4745, 46mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
v  C_  dom  G )
4847imim1i 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  C_  dom  G  -> 
( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
49 oveq2 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  ->  ( v
( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ( H `
 v ) )  =  ( v ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )
506seqomsuc 6910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  om  ->  ( H `  suc  v )  =  ( v ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ( H `  v
) ) )
5150ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( H `  suc  v )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ( H `
 v ) ) )
5218seqomsuc 6910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  om  ->  (seq𝜔 (
( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v )  =  ( v ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
5352ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v )  =  ( v ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )
54 ssv 3374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  G  C_ 
_V
55 ssv 3374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  On  C_  _V
56 resmpt2 6186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  G  C_  _V  /\  On  C_  _V )  ->  ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) )  =  ( k  e.  dom  G , 
z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) )
5754, 55, 56mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )  |`  ( dom  G  X.  On ) )  =  ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) )
5857oveqi 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  =  ( v ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )
59 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  suc  v  C_  dom  G )
60 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  v  e. 
_V
6160sucid 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  v  e. 
suc  v
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  v  e.  suc  v )
6359, 62sseldd 3355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  v  e.  dom  G )
6418cantnfvalf 7871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) : om --> On
6564ffvelrni 5840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  om  ->  (seq𝜔 (
( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )  e.  On )
6665ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  e.  On )
67 ovres 6228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  dom  G  /\  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  e.  On )  ->  ( v ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
6863, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( v ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
6958, 68syl5eqr 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( v ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  =  ( v ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
7053, 69eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
7151, 70eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( ( H `
 suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v )  <->  ( v
( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ( H `
 v ) )  =  ( v ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) ) )
7249, 71syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( ( H `
 v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) )
7372expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  om )  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
7473a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  om )  ->  ( ( suc  v  C_  dom  G  ->  ( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
7548, 74syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  om )  ->  ( (
v  C_  dom  G  -> 
( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
7675expcom 435 . . . . . 6  |-  ( v  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( v 
C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  ->  ( suc  v  C_  dom  G  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) ) )
7776a2d 26 . . . . 5  |-  ( v  e.  om  ->  (
( ph  ->  ( v 
C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )  -> 
( ph  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) ) )
7824, 30, 36, 42, 44, 77finds 6500 . . . 4  |-  ( dom 
G  e.  om  ->  (
ph  ->  ( dom  G  C_ 
dom  G  ->  ( H `
 dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) ) )
7910, 78mpcom 36 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  G  C_  dom  G  ->  ( H `  dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) )
808, 79mpi 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
817, 80eqtrd 2473 1  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2970    \ cdif 3323    C_ wss 3326   (/)c0 3635    _E cep 4628    We wwe 4676   Oncon0 4717   suc csuc 4719    X. cxp 4836   `'ccnv 4837   dom cdm 4838    |` cres 4840   "cima 4841   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091   omcom 6474  seq𝜔cseqom 6900   1oc1o 6911    +o coa 6915    .o comu 6916    ^o coe 6917  OrdIsocoi 7721   CNF ccnf 7865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-seqom 6901  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-oi 7722  df-cnf 7866
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