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Theorem cantnfval2 8089
Description: Alternate expression for the value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
cantnfcl.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
cantnfcl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
cantnfval.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
Assertion
Ref Expression
cantnfval2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
Distinct variable groups:    z, k, B    A, k, z    k, F, z    S, k, z   
k, G, z    ph, k,
z
Allowed substitution hints:    H( z, k)

Proof of Theorem cantnfval2
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnfs.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnfs.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 cantnfcl.g . . 3  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
5 cantnfcl.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
6 cantnfval.h . . 3  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfval 8088 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( H `  dom  G ) )
8 ssid 3523 . . 3  |-  dom  G  C_ 
dom  G
91, 2, 3, 4, 5cantnfcl 8087 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( F supp 
(/) )  /\  dom  G  e.  om ) )
109simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  om )
11 sseq1 3525 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  ( u 
C_  dom  G  <->  (/)  C_  dom  G ) )
12 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  (/)  ->  ( H `
 u )  =  ( H `  (/) ) )
13 0ex 4577 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
146seqom0g 7122 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( H `  (/) )  =  (/) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 (/) )  =  (/)
1612, 15syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  ( H `
 u )  =  (/) )
17 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  (/)  ->  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) ) )
18 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
1918seqom0g 7122 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/) )
2013, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
2117, 20syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  =  (/) )
2216, 21eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
)  <->  (/)  =  (/) ) )
2311, 22imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( u  C_  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( (/)  C_  dom  G  ->  (/)  =  (/) ) ) )
2423imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( u  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  dom  G  -> 
(/)  =  (/) ) ) ) )
25 sseq1 3525 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
u  C_  dom  G  <->  v  C_  dom  G ) )
26 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  ( H `  u )  =  ( H `  v ) )
27 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  (seq𝜔 (
( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )
2826, 27eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  <->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )
2925, 28imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  (
( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( v  C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) ) )
3029imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( u  =  v  ->  (
( ph  ->  ( u 
C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
) ) )  <->  ( ph  ->  ( v  C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) ) ) )
31 sseq1 3525 . . . . . . 7  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( u  C_  dom  G  <->  suc  v  C_  dom  G
) )
32 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( H `  u
)  =  ( H `
 suc  v )
)
33 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  suc  v  -> 
(seq𝜔
( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) )
3432, 33eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  <->  ( H `  suc  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) )
3531, 34imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( ( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( suc  v  C_ 
dom  G  ->  ( H `
 suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
3635imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( u  =  suc  v  -> 
( ( ph  ->  ( u  C_  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
) )  <->  ( ph  ->  ( suc  v  C_  dom  G  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) ) )
37 sseq1 3525 . . . . . . 7  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( u  C_  dom  G  <->  dom  G  C_  dom  G ) )
38 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  ( H `
 dom  G )
)
39 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  dom  G  -> 
(seq𝜔
( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
4038, 39eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )  <->  ( H `  dom  G
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) )
4137, 40imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( ( u  C_  dom  G  ->  ( H `  u )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
)  <->  ( dom  G  C_ 
dom  G  ->  ( H `
 dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) ) )
4241imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( u  =  dom  G  -> 
( ( ph  ->  ( u  C_  dom  G  -> 
( H `  u
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  u )
) )  <->  ( ph  ->  ( dom  G  C_  dom  G  ->  ( H `  dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) ) ) )
43 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (/)  =  (/)
4443a1ii 27 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  dom  G  -> 
(/)  =  (/) ) )
45 sssucid 4955 . . . . . . . . . 10  |-  v  C_  suc  v
46 sstr 3512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  C_  suc  v  /\  suc  v  C_  dom  G
)  ->  v  C_  dom  G )
4745, 46mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
v  C_  dom  G )
4847imim1i 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  C_  dom  G  -> 
( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
49 oveq2 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  ->  ( v
( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ( H `
 v ) )  =  ( v ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )
506seqomsuc 7123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  om  ->  ( H `  suc  v )  =  ( v ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ( H `  v
) ) )
5150ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( H `  suc  v )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ( H `
 v ) ) )
5218seqomsuc 7123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  om  ->  (seq𝜔 (
( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v )  =  ( v ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
5352ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v )  =  ( v ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )
54 ssv 3524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  G  C_ 
_V
55 ssv 3524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  On  C_  _V
56 resmpt2 6385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  G  C_  _V  /\  On  C_  _V )  ->  ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) )  =  ( k  e.  dom  G , 
z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) )
5754, 55, 56mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )  |`  ( dom  G  X.  On ) )  =  ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) )
5857oveqi 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  =  ( v ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )
59 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  suc  v  C_  dom  G )
60 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  v  e. 
_V
6160sucid 4957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  v  e. 
suc  v
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  v  e.  suc  v )
6359, 62sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  v  e.  dom  G )
6418cantnfvalf 8085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) : om --> On
6564ffvelrni 6021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  om  ->  (seq𝜔 (
( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )  e.  On )
6665ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  e.  On )
67 ovres 6427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  dom  G  /\  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  e.  On )  ->  ( v ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
6863, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( v ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) )  |`  ( dom  G  X.  On ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
6958, 68syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( v ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  =  ( v ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
7053, 69eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v )  =  ( v ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
) )
7151, 70eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( ( H `
 suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v )  <->  ( v
( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ( H `
 v ) )  =  ( v ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) ) )
7249, 71syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  om  /\  suc  v  C_ 
dom  G ) )  ->  ( ( H `
 v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
)  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) )
7372expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  om )  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
7473a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  om )  ->  ( ( suc  v  C_  dom  G  ->  ( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
7548, 74syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  om )  ->  ( (
v  C_  dom  G  -> 
( H `  v
)  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  v )
)  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) )
7675expcom 435 . . . . . 6  |-  ( v  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( v 
C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) )  ->  ( suc  v  C_  dom  G  ->  ( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) ) )
7776a2d 26 . . . . 5  |-  ( v  e.  om  ->  (
( ph  ->  ( v 
C_  dom  G  ->  ( H `  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  v
) ) )  -> 
( ph  ->  ( suc  v  C_  dom  G  -> 
( H `  suc  v )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  suc  v ) ) ) ) )
7824, 30, 36, 42, 44, 77finds 6711 . . . 4  |-  ( dom 
G  e.  om  ->  (
ph  ->  ( dom  G  C_ 
dom  G  ->  ( H `
 dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) ) )
7910, 78mpcom 36 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  G  C_  dom  G  ->  ( H `  dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) ) )
808, 79mpi 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  dom  G )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
817, 80eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom  G ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785    _E cep 4789    We wwe 4837   Oncon0 4878   suc csuc 4880    X. cxp 4997   dom cdm 4999    |` cres 5001   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   omcom 6685   supp csupp 6902  seq𝜔cseqom 7113    +o coa 7128    .o comu 7129    ^o coe 7130  OrdIsocoi 7935   CNF ccnf 8079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-seqom 7114  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-oi 7936  df-cnf 8080
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