Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfval2 Structured version   Unicode version

Theorem cantnfval2 8089
 Description: Alternate expression for the value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s CNF
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfcl.g OrdIso supp
cantnfcl.f
cantnfval.h seq𝜔
Assertion
Ref Expression
cantnfval2 CNF seq𝜔
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cantnfval2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 CNF
2 cantnfs.a . . 3
3 cantnfs.b . . 3
4 cantnfcl.g . . 3 OrdIso supp
5 cantnfcl.f . . 3
6 cantnfval.h . . 3 seq𝜔
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfval 8088 . 2 CNF
8 ssid 3523 . . 3
91, 2, 3, 4, 5cantnfcl 8087 . . . . 5 supp
109simprd 463 . . . 4
11 sseq1 3525 . . . . . . 7
12 fveq2 5866 . . . . . . . . 9
13 0ex 4577 . . . . . . . . . 10
146seqom0g 7122 . . . . . . . . . 10
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9
1612, 15syl6eq 2524 . . . . . . . 8
17 fveq2 5866 . . . . . . . . 9 seq𝜔 seq𝜔
18 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11 seq𝜔 seq𝜔
1918seqom0g 7122 . . . . . . . . . 10 seq𝜔
2013, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9 seq𝜔
2117, 20syl6eq 2524 . . . . . . . 8 seq𝜔
2216, 21eqeq12d 2489 . . . . . . 7 seq𝜔
2311, 22imbi12d 320 . . . . . 6 seq𝜔
2423imbi2d 316 . . . . 5 seq𝜔
25 sseq1 3525 . . . . . . 7
26 fveq2 5866 . . . . . . . 8
27 fveq2 5866 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
2826, 27eqeq12d 2489 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
2925, 28imbi12d 320 . . . . . 6 seq𝜔 seq𝜔
3029imbi2d 316 . . . . 5 seq𝜔 seq𝜔
31 sseq1 3525 . . . . . . 7
32 fveq2 5866 . . . . . . . 8
33 fveq2 5866 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
3432, 33eqeq12d 2489 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
3531, 34imbi12d 320 . . . . . 6 seq𝜔 seq𝜔
3635imbi2d 316 . . . . 5 seq𝜔 seq𝜔
37 sseq1 3525 . . . . . . 7
38 fveq2 5866 . . . . . . . 8
39 fveq2 5866 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
4038, 39eqeq12d 2489 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
4137, 40imbi12d 320 . . . . . 6 seq𝜔 seq𝜔
4241imbi2d 316 . . . . 5 seq𝜔 seq𝜔
43 eqid 2467 . . . . . 6
4443a1ii 27 . . . . 5
45 sssucid 4955 . . . . . . . . . 10
46 sstr 3512 . . . . . . . . . 10
4745, 46mpan 670 . . . . . . . . 9
4847imim1i 58 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
49 oveq2 6293 . . . . . . . . . . 11 seq𝜔 seq𝜔
506seqomsuc 7123 . . . . . . . . . . . . 13
5150ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12
5218seqomsuc 7123 . . . . . . . . . . . . . 14 seq𝜔 seq𝜔
5352ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 seq𝜔 seq𝜔
54 ssv 3524 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 ssv 3524 . . . . . . . . . . . . . . . 16
56 resmpt2 6385 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5754, 55, 56mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857oveqi 6298 . . . . . . . . . . . . . 14 seq𝜔 seq𝜔
59 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16
60 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160sucid 4957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6359, 62sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15
6418cantnfvalf 8085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 seq𝜔
6564ffvelrni 6021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 seq𝜔
6665ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 seq𝜔
67 ovres 6427 . . . . . . . . . . . . . . 15 seq𝜔 seq𝜔 seq𝜔
6863, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14 seq𝜔 seq𝜔
6958, 68syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . . . 13 seq𝜔 seq𝜔
7053, 69eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12 seq𝜔 seq𝜔
7151, 70eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11 seq𝜔 seq𝜔
7249, 71syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10 seq𝜔 seq𝜔
7372expr 615 . . . . . . . . 9 seq𝜔 seq𝜔
7473a2d 26 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
7548, 74syl5 32 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
7675expcom 435 . . . . . 6 seq𝜔 seq𝜔
7776a2d 26 . . . . 5 seq𝜔 seq𝜔
7824, 30, 36, 42, 44, 77finds 6711 . . . 4 seq𝜔
7910, 78mpcom 36 . . 3 seq𝜔
808, 79mpi 17 . 2 seq𝜔
817, 80eqtrd 2508 1 CNF seq𝜔
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3113   wss 3476  c0 3785   cep 4789   wwe 4837  con0 4878   csuc 4880   cxp 4997   cdm 4999   cres 5001  cfv 5588  (class class class)co 6285   cmpt2 6287  com 6685   supp csupp 6902  seq𝜔cseqom 7113   coa 7128   comu 7129   coe 7130  OrdIsocoi 7935   CNF ccnf 8079 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-seqom 7114  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-oi 7936  df-cnf 8080 This theorem is referenced by:  cantnfres  8097
 Copyright terms: Public domain W3C validator