Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfsuc Structured version   Unicode version

Theorem cantnfsuc 7984
 Description: The value of the recursive function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s CNF
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfcl.g OrdIso supp
cantnfcl.f
cantnfval.h seq𝜔
Assertion
Ref Expression
cantnfsuc
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cantnfsuc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfval.h . . . 4 seq𝜔
21seqomsuc 7017 . . 3
32adantl 466 . 2
4 elex 3081 . . . 4
54adantl 466 . . 3
6 fvex 5804 . . 3
7 simpl 457 . . . . . . . 8
87fveq2d 5798 . . . . . . 7
98oveq2d 6211 . . . . . 6
108fveq2d 5798 . . . . . 6
119, 10oveq12d 6213 . . . . 5
12 simpr 461 . . . . 5
1311, 12oveq12d 6213 . . . 4
14 fveq2 5794 . . . . . . . 8
1514oveq2d 6211 . . . . . . 7
1614fveq2d 5798 . . . . . . 7
1715, 16oveq12d 6213 . . . . . 6
1817oveq1d 6210 . . . . 5
19 oveq2 6203 . . . . 5
2018, 19cbvmpt2v 6270 . . . 4
21 ovex 6220 . . . 4
2213, 20, 21ovmpt2a 6326 . . 3
235, 6, 22sylancl 662 . 2
243, 23eqtrd 2493 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  cvv 3072  c0 3740   cep 4733  con0 4822   csuc 4824   cdm 4943  cfv 5521  (class class class)co 6195   cmpt2 6197  com 6581   supp csupp 6795  seq𝜔cseqom 7007   coa 7022   comu 7023   coe 7024  OrdIsocoi 7829   CNF ccnf 7973 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-seqom 7008 This theorem is referenced by:  cantnfle  7985  cantnflt  7986  cantnfp1lem3  7994  cantnflem1d  8002  cantnflem1  8003  cnfcomlem  8038
 Copyright terms: Public domain W3C validator