Theorem cantnfrescl 8091

Description: A function is finitely supported from B to A iff the extended function is finitely supported from D to A. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
cantnfrescl.d	|- ( ph -> D e. On )
cantnfrescl.b	|- ( ph -> B C_ D )
cantnfrescl.x	|- ( ( ph /\ n e. ( D \ B ) ) -> X = (/) )
cantnfrescl.a	|- ( ph -> (/) e. A )
cantnfrescl.t	|- T = dom ( A CNF D )

Assertion

Ref	Expression
cantnfrescl	|- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) e. S <-> ( n e. D |-> X ) e. T ) )

Distinct variable groups:   B, n   D, n   A, n   ph, n

Allowed substitution hints:   S( n)   T( n)   X( n)

Proof of Theorem cantnfrescl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfrescl.x	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( D \ B ) ) -> X = (/) )
2		cantnfrescl.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (/) e. A )
3	2	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( D \ B ) ) -> (/) e. A )
4	1, 3	eqeltrd 2555	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( D \ B ) ) -> X e. A )
5	4	ralrimiva 2878	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( D \ B ) X e. A )
6	5	biantrud 507	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. n e. B X e. A <-> ( A. n e. B X e. A /\ A. n e. ( D \ B ) X e. A ) ) )
7		ralunb 3685	. . . . . 6 |- ( A. n e. ( B u. ( D \ B ) ) X e. A <-> ( A. n e. B X e. A /\ A. n e. ( D \ B ) X e. A ) )
8	6, 7	syl6bbr 263	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. n e. B X e. A <-> A. n e. ( B u. ( D \ B ) ) X e. A ) )
9		cantnfrescl.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ D )
10		undif 3907	. . . . . . 7 |- ( B C_ D <-> ( B u. ( D \ B ) ) = D )
11	9, 10	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B u. ( D \ B ) ) = D )
12	11	raleqdv 3064	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. n e. ( B u. ( D \ B ) ) X e. A <-> A. n e. D X e. A ) )
13	8, 12	bitrd 253	. . . 4 |- ( ph -> ( A. n e. B X e. A <-> A. n e. D X e. A ) )
14		eqid 2467	. . . . 5 |- ( n e. B |-> X ) = ( n e. B |-> X )
15	14	fmpt 6040	. . . 4 |- ( A. n e. B X e. A <-> ( n e. B |-> X ) : B --> A )
16		eqid 2467	. . . . 5 |- ( n e. D |-> X ) = ( n e. D |-> X )
17	16	fmpt 6040	. . . 4 |- ( A. n e. D X e. A <-> ( n e. D |-> X ) : D --> A )
18	13, 15, 17	3bitr3g 287	. . 3 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) : B --> A <-> ( n e. D |-> X ) : D --> A ) )
19		cantnfs.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. On )
20		mptexg 6128	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( n e. B |-> X ) e. _V )
21	19, 20	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. B |-> X ) e. _V )
22		funmpt 5622	. . . . . 6 |- Fun ( n e. B |-> X )
23	22	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> Fun ( n e. B |-> X ) )
24		cantnfrescl.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. On )
25		mptexg 6128	. . . . . . 7 |- ( D e. On -> ( n e. D |-> X ) e. _V )
26	24, 25	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. D |-> X ) e. _V )
27		funmpt 5622	. . . . . 6 |- Fun ( n e. D |-> X )
28	26, 27	jctir 538	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. D |-> X ) e. _V /\ Fun ( n e. D |-> X ) ) )
29	21, 23, 28	jca31 534	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( n e. B |-> X ) e. _V /\ Fun ( n e. B |-> X ) ) /\ ( ( n e. D |-> X ) e. _V /\ Fun ( n e. D |-> X ) ) ) )
30	24, 9, 1	extmptsuppeq 6921	. . . 4 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) = ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) )
31		suppeqfsuppbi 7839	. . . 4 |- ( ( ( ( n e. B |-> X ) e. _V /\ Fun ( n e. B |-> X ) ) /\ ( ( n e. D |-> X ) e. _V /\ Fun ( n e. D |-> X ) ) ) -> ( ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) = ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) -> ( ( n e. B |-> X ) finSupp (/) <-> ( n e. D |-> X ) finSupp (/) ) ) )
32	29, 30, 31	sylc 60	. . 3 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) finSupp (/) <-> ( n e. D |-> X ) finSupp (/) ) )
33	18, 32	anbi12d 710	. 2 |- ( ph -> ( ( ( n e. B |-> X ) : B --> A /\ ( n e. B |-> X ) finSupp (/) ) <-> ( ( n e. D |-> X ) : D --> A /\ ( n e. D |-> X ) finSupp (/) ) ) )
34		cantnfs.s	. . 3 |- S = dom ( A CNF B )
35		cantnfs.a	. . 3 |- ( ph -> A e. On )
36	34, 35, 19	cantnfs 8081	. 2 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) e. S <-> ( ( n e. B |-> X ) : B --> A /\ ( n e. B |-> X ) finSupp (/) ) ) )
37		cantnfrescl.t	. . 3 |- T = dom ( A CNF D )
38	37, 35, 24	cantnfs 8081	. 2 |- ( ph -> ( ( n e. D |-> X ) e. T <-> ( ( n e. D |-> X ) : D --> A /\ ( n e. D |-> X ) finSupp (/) ) ) )
39	33, 36, 38	3bitr4d 285	1 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) e. S <-> ( n e. D |-> X ) e. T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   Oncon0 4878   dom cdm 4999   Fun wfun 5580   -->wf 5582  (class class class)co 6282   supp csupp 6898   finSupp cfsupp 7825   CNF ccnf 8074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-seqom 7110  df-map 7419  df-fsupp 7826  df-cnf 8075

This theorem is referenced by:  cantnfres  8092