Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfrescl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cantnfrescl 8181
 Description: A function is finitely supported from to iff the extended function is finitely supported from to . (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s CNF
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfrescl.d
cantnfrescl.b
cantnfrescl.x
cantnfrescl.a
cantnfrescl.t CNF
Assertion
Ref Expression
cantnfrescl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem cantnfrescl
StepHypRef Expression
1 cantnfrescl.b . . . . 5
2 cantnfrescl.x . . . . . . 7
3 cantnfrescl.a . . . . . . . 8
43adantr 467 . . . . . . 7
52, 4eqeltrd 2529 . . . . . 6
65ralrimiva 2802 . . . . 5
71, 6raldifeq 3857 . . . 4
8 eqid 2451 . . . . 5
98fmpt 6043 . . . 4
10 eqid 2451 . . . . 5
1110fmpt 6043 . . . 4
127, 9, 113bitr3g 291 . . 3
13 cantnfs.b . . . . . 6
14 mptexg 6135 . . . . . 6
1513, 14syl 17 . . . . 5
16 funmpt 5618 . . . . . 6
1716a1i 11 . . . . 5
18 cantnfrescl.d . . . . . . 7
19 mptexg 6135 . . . . . . 7
2018, 19syl 17 . . . . . 6
21 funmpt 5618 . . . . . 6
2220, 21jctir 541 . . . . 5
2315, 17, 22jca31 537 . . . 4
2418, 1, 2extmptsuppeq 6939 . . . 4 supp supp
25 suppeqfsuppbi 7897 . . . 4 supp supp finSupp finSupp
2623, 24, 25sylc 62 . . 3 finSupp finSupp
2712, 26anbi12d 717 . 2 finSupp finSupp
28 cantnfs.s . . 3 CNF
29 cantnfs.a . . 3
3028, 29, 13cantnfs 8171 . 2 finSupp
31 cantnfrescl.t . . 3 CNF
3231, 29, 18cantnfs 8171 . 2 finSupp
3327, 30, 323bitr4d 289 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  cvv 3045   cdif 3401   wss 3404  c0 3731   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cdm 4834  con0 5423   wfun 5576  wf 5578  (class class class)co 6290   supp csupp 6914   finSupp cfsupp 7883   CNF ccnf 8166 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-seqom 7165  df-map 7474  df-fsupp 7884  df-cnf 8167 This theorem is referenced by:  cantnfres  8182
 Copyright terms: Public domain W3C validator