MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfrescl Structured version   Unicode version

Theorem cantnfrescl 8091
Description: A function is finitely supported from  B to  A iff the extended function is finitely supported from  D to  A. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
cantnfrescl.d  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
cantnfrescl.b  |-  ( ph  ->  B  C_  D )
cantnfrescl.x  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( D  \  B ) )  ->  X  =  (/) )
cantnfrescl.a  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
cantnfrescl.t  |-  T  =  dom  ( A CNF  D
)
Assertion
Ref Expression
cantnfrescl  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  B  |->  X )  e.  S  <->  ( n  e.  D  |->  X )  e.  T ) )
Distinct variable groups:    B, n    D, n    A, n    ph, n
Allowed substitution hints:    S( n)    T( n)    X( n)

Proof of Theorem cantnfrescl
StepHypRef Expression
1 cantnfrescl.x . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( D  \  B ) )  ->  X  =  (/) )
2 cantnfrescl.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
32adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( D  \  B ) )  ->  (/)  e.  A
)
41, 3eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( D  \  B ) )  ->  X  e.  A )
54ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( D  \  B ) X  e.  A )
65biantrud 507 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  B  X  e.  A  <->  ( A. n  e.  B  X  e.  A  /\  A. n  e.  ( D 
\  B ) X  e.  A ) ) )
7 ralunb 3685 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  ( B  u.  ( D  \  B
) ) X  e.  A  <->  ( A. n  e.  B  X  e.  A  /\  A. n  e.  ( D  \  B
) X  e.  A
) )
86, 7syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  B  X  e.  A  <->  A. n  e.  ( B  u.  ( D  \  B ) ) X  e.  A ) )
9 cantnfrescl.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  D )
10 undif 3907 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  D  <->  ( B  u.  ( D  \  B
) )  =  D )
119, 10sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ( D  \  B ) )  =  D )
1211raleqdv 3064 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( B  u.  ( D  \  B ) ) X  e.  A  <->  A. n  e.  D  X  e.  A ) )
138, 12bitrd 253 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  B  X  e.  A  <->  A. n  e.  D  X  e.  A ) )
14 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( n  e.  B  |->  X )  =  ( n  e.  B  |->  X )
1514fmpt 6040 . . . 4  |-  ( A. n  e.  B  X  e.  A  <->  ( n  e.  B  |->  X ) : B --> A )
16 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( n  e.  D  |->  X )  =  ( n  e.  D  |->  X )
1716fmpt 6040 . . . 4  |-  ( A. n  e.  D  X  e.  A  <->  ( n  e.  D  |->  X ) : D --> A )
1813, 15, 173bitr3g 287 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  B  |->  X ) : B --> A  <->  ( n  e.  D  |->  X ) : D --> A ) )
19 cantnfs.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
20 mptexg 6128 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  (
n  e.  B  |->  X )  e.  _V )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  B  |->  X )  e.  _V )
22 funmpt 5622 . . . . . 6  |-  Fun  (
n  e.  B  |->  X )
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  ( n  e.  B  |->  X ) )
24 cantnfrescl.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
25 mptexg 6128 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  On  ->  (
n  e.  D  |->  X )  e.  _V )
2624, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  D  |->  X )  e.  _V )
27 funmpt 5622 . . . . . 6  |-  Fun  (
n  e.  D  |->  X )
2826, 27jctir 538 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  D  |->  X )  e. 
_V  /\  Fun  ( n  e.  D  |->  X ) ) )
2921, 23, 28jca31 534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  B  |->  X )  e.  _V  /\  Fun  ( n  e.  B  |->  X ) )  /\  ( ( n  e.  D  |->  X )  e. 
_V  /\  Fun  ( n  e.  D  |->  X ) ) ) )
3024, 9, 1extmptsuppeq 6921 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  (/) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) supp  (/) ) )
31 suppeqfsuppbi 7839 . . . 4  |-  ( ( ( ( n  e.  B  |->  X )  e. 
_V  /\  Fun  ( n  e.  B  |->  X ) )  /\  ( ( n  e.  D  |->  X )  e.  _V  /\  Fun  ( n  e.  D  |->  X ) ) )  ->  ( ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  (/) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) supp  (/) )  -> 
( ( n  e.  B  |->  X ) finSupp  (/)  <->  ( n  e.  D  |->  X ) finSupp  (/) ) ) )
3229, 30, 31sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  B  |->  X ) finSupp  (/)  <->  ( n  e.  D  |->  X ) finSupp  (/) ) )
3318, 32anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  B  |->  X ) : B --> A  /\  ( n  e.  B  |->  X ) finSupp  (/) )  <->  ( (
n  e.  D  |->  X ) : D --> A  /\  ( n  e.  D  |->  X ) finSupp  (/) ) ) )
34 cantnfs.s . . 3  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
35 cantnfs.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3634, 35, 19cantnfs 8081 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  B  |->  X )  e.  S  <->  ( ( n  e.  B  |->  X ) : B --> A  /\  ( n  e.  B  |->  X ) finSupp  (/) ) ) )
37 cantnfrescl.t . . 3  |-  T  =  dom  ( A CNF  D
)
3837, 35, 24cantnfs 8081 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  D  |->  X )  e.  T  <->  ( ( n  e.  D  |->  X ) : D --> A  /\  ( n  e.  D  |->  X ) finSupp  (/) ) ) )
3933, 36, 383bitr4d 285 1  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  B  |->  X )  e.  S  <->  ( n  e.  D  |->  X )  e.  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   Oncon0 4878   dom cdm 4999   Fun wfun 5580   -->wf 5582  (class class class)co 6282   supp csupp 6898   finSupp cfsupp 7825   CNF ccnf 8074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-seqom 7110  df-map 7419  df-fsupp 7826  df-cnf 8075
This theorem is referenced by:  cantnfres  8092
  Copyright terms: Public domain W3C validator