Theorem cantnfrescl 8047

Description: A function is finitely supported from B to A iff the extended function is finitely supported from D to A. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
cantnfrescl.d	|- ( ph -> D e. On )
cantnfrescl.b	|- ( ph -> B C_ D )
cantnfrescl.x	|- ( ( ph /\ n e. ( D \ B ) ) -> X = (/) )
cantnfrescl.a	|- ( ph -> (/) e. A )
cantnfrescl.t	|- T = dom ( A CNF D )

Assertion

Ref	Expression
cantnfrescl	|- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) e. S <-> ( n e. D |-> X ) e. T ) )

Distinct variable groups:   B, n   D, n   A, n   ph, n

Allowed substitution hints:   S( n)   T( n)   X( n)

Proof of Theorem cantnfrescl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfrescl.b	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ D )
2		cantnfrescl.x	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( D \ B ) ) -> X = (/) )
3		cantnfrescl.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (/) e. A )
4	3	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( D \ B ) ) -> (/) e. A )
5	2, 4	eqeltrd 2490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( D \ B ) ) -> X e. A )
6	5	ralrimiva 2817	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. ( D \ B ) X e. A )
7	1, 6	raldifeq 3860	. . . 4 |- ( ph -> ( A. n e. B X e. A <-> A. n e. D X e. A ) )
8		eqid 2402	. . . . 5 |- ( n e. B |-> X ) = ( n e. B |-> X )
9	8	fmpt 5986	. . . 4 |- ( A. n e. B X e. A <-> ( n e. B |-> X ) : B --> A )
10		eqid 2402	. . . . 5 |- ( n e. D |-> X ) = ( n e. D |-> X )
11	10	fmpt 5986	. . . 4 |- ( A. n e. D X e. A <-> ( n e. D |-> X ) : D --> A )
12	7, 9, 11	3bitr3g 287	. . 3 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) : B --> A <-> ( n e. D |-> X ) : D --> A ) )
13		cantnfs.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. On )
14		mptexg 6079	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( n e. B |-> X ) e. _V )
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. B |-> X ) e. _V )
16		funmpt 5561	. . . . . 6 |- Fun ( n e. B |-> X )
17	16	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> Fun ( n e. B |-> X ) )
18		cantnfrescl.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. On )
19		mptexg 6079	. . . . . . 7 |- ( D e. On -> ( n e. D |-> X ) e. _V )
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. D |-> X ) e. _V )
21		funmpt 5561	. . . . . 6 |- Fun ( n e. D |-> X )
22	20, 21	jctir 536	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. D |-> X ) e. _V /\ Fun ( n e. D |-> X ) ) )
23	15, 17, 22	jca31 532	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( n e. B |-> X ) e. _V /\ Fun ( n e. B |-> X ) ) /\ ( ( n e. D |-> X ) e. _V /\ Fun ( n e. D |-> X ) ) ) )
24	18, 1, 2	extmptsuppeq 6881	. . . 4 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) = ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) )
25		suppeqfsuppbi 7797	. . . 4 |- ( ( ( ( n e. B |-> X ) e. _V /\ Fun ( n e. B |-> X ) ) /\ ( ( n e. D |-> X ) e. _V /\ Fun ( n e. D |-> X ) ) ) -> ( ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) = ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) -> ( ( n e. B |-> X ) finSupp (/) <-> ( n e. D |-> X ) finSupp (/) ) ) )
26	23, 24, 25	sylc 59	. . 3 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) finSupp (/) <-> ( n e. D |-> X ) finSupp (/) ) )
27	12, 26	anbi12d 709	. 2 |- ( ph -> ( ( ( n e. B |-> X ) : B --> A /\ ( n e. B |-> X ) finSupp (/) ) <-> ( ( n e. D |-> X ) : D --> A /\ ( n e. D |-> X ) finSupp (/) ) ) )
28		cantnfs.s	. . 3 |- S = dom ( A CNF B )
29		cantnfs.a	. . 3 |- ( ph -> A e. On )
30	28, 29, 13	cantnfs 8037	. 2 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) e. S <-> ( ( n e. B |-> X ) : B --> A /\ ( n e. B |-> X ) finSupp (/) ) ) )
31		cantnfrescl.t	. . 3 |- T = dom ( A CNF D )
32	31, 29, 18	cantnfs 8037	. 2 |- ( ph -> ( ( n e. D |-> X ) e. T <-> ( ( n e. D |-> X ) : D --> A /\ ( n e. D |-> X ) finSupp (/) ) ) )
33	27, 30, 32	3bitr4d 285	1 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) e. S <-> ( n e. D |-> X ) e. T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2753   _Vcvv 3058   \ cdif 3410   C_ wss 3413   (/)c0 3737   class class class wbr 4394   |-> cmpt 4452   Oncon0 4821   dom cdm 4942   Fun wfun 5519   -->wf 5521  (class class class)co 6234   supp csupp 6856   finSupp cfsupp 7783   CNF ccnf 8030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-seqom 7070  df-map 7379  df-fsupp 7784  df-cnf 8031

This theorem is referenced by:  cantnfres  8048