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Theorem cantnfrescl 7884
Description: A function is finitely supported from  B to  A iff the extended function is finitely supported from  D to  A. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
cantnfrescl.d  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
cantnfrescl.b  |-  ( ph  ->  B  C_  D )
cantnfrescl.x  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( D  \  B ) )  ->  X  =  (/) )
cantnfrescl.a  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
cantnfrescl.t  |-  T  =  dom  ( A CNF  D
)
Assertion
Ref Expression
cantnfrescl  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  B  |->  X )  e.  S  <->  ( n  e.  D  |->  X )  e.  T ) )
Distinct variable groups:    B, n    D, n    A, n    ph, n
Allowed substitution hints:    S( n)    T( n)    X( n)

Proof of Theorem cantnfrescl
StepHypRef Expression
1 cantnfrescl.x . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( D  \  B ) )  ->  X  =  (/) )
2 cantnfrescl.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
32adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( D  \  B ) )  ->  (/)  e.  A
)
41, 3eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( D  \  B ) )  ->  X  e.  A )
54ralrimiva 2799 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( D  \  B ) X  e.  A )
65biantrud 507 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  B  X  e.  A  <->  ( A. n  e.  B  X  e.  A  /\  A. n  e.  ( D 
\  B ) X  e.  A ) ) )
7 ralunb 3537 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  ( B  u.  ( D  \  B
) ) X  e.  A  <->  ( A. n  e.  B  X  e.  A  /\  A. n  e.  ( D  \  B
) X  e.  A
) )
86, 7syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  B  X  e.  A  <->  A. n  e.  ( B  u.  ( D  \  B ) ) X  e.  A ) )
9 cantnfrescl.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  D )
10 undif 3759 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  D  <->  ( B  u.  ( D  \  B
) )  =  D )
119, 10sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ( D  \  B ) )  =  D )
1211raleqdv 2923 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( B  u.  ( D  \  B ) ) X  e.  A  <->  A. n  e.  D  X  e.  A ) )
138, 12bitrd 253 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  B  X  e.  A  <->  A. n  e.  D  X  e.  A ) )
14 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( n  e.  B  |->  X )  =  ( n  e.  B  |->  X )
1514fmpt 5864 . . . 4  |-  ( A. n  e.  B  X  e.  A  <->  ( n  e.  B  |->  X ) : B --> A )
16 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( n  e.  D  |->  X )  =  ( n  e.  D  |->  X )
1716fmpt 5864 . . . 4  |-  ( A. n  e.  D  X  e.  A  <->  ( n  e.  D  |->  X ) : D --> A )
1813, 15, 173bitr3g 287 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  B  |->  X ) : B --> A  <->  ( n  e.  D  |->  X ) : D --> A ) )
19 cantnfs.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
20 mptexg 5947 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  (
n  e.  B  |->  X )  e.  _V )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  B  |->  X )  e.  _V )
22 funmpt 5454 . . . . . 6  |-  Fun  (
n  e.  B  |->  X )
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  ( n  e.  B  |->  X ) )
24 cantnfrescl.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
25 mptexg 5947 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  On  ->  (
n  e.  D  |->  X )  e.  _V )
2624, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  D  |->  X )  e.  _V )
27 funmpt 5454 . . . . . 6  |-  Fun  (
n  e.  D  |->  X )
2826, 27jctir 538 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  D  |->  X )  e. 
_V  /\  Fun  ( n  e.  D  |->  X ) ) )
2921, 23, 28jca31 534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  B  |->  X )  e.  _V  /\  Fun  ( n  e.  B  |->  X ) )  /\  ( ( n  e.  D  |->  X )  e. 
_V  /\  Fun  ( n  e.  D  |->  X ) ) ) )
3024, 9, 1extmptsuppeq 6713 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  (/) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) supp  (/) ) )
31 suppeqfsuppbi 7634 . . . 4  |-  ( ( ( ( n  e.  B  |->  X )  e. 
_V  /\  Fun  ( n  e.  B  |->  X ) )  /\  ( ( n  e.  D  |->  X )  e.  _V  /\  Fun  ( n  e.  D  |->  X ) ) )  ->  ( ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  (/) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) supp  (/) )  -> 
( ( n  e.  B  |->  X ) finSupp  (/)  <->  ( n  e.  D  |->  X ) finSupp  (/) ) ) )
3229, 30, 31sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  B  |->  X ) finSupp  (/)  <->  ( n  e.  D  |->  X ) finSupp  (/) ) )
3318, 32anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  B  |->  X ) : B --> A  /\  ( n  e.  B  |->  X ) finSupp  (/) )  <->  ( (
n  e.  D  |->  X ) : D --> A  /\  ( n  e.  D  |->  X ) finSupp  (/) ) ) )
34 cantnfs.s . . 3  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
35 cantnfs.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3634, 35, 19cantnfs 7874 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  B  |->  X )  e.  S  <->  ( ( n  e.  B  |->  X ) : B --> A  /\  ( n  e.  B  |->  X ) finSupp  (/) ) ) )
37 cantnfrescl.t . . 3  |-  T  =  dom  ( A CNF  D
)
3837, 35, 24cantnfs 7874 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  D  |->  X )  e.  T  <->  ( ( n  e.  D  |->  X ) : D --> A  /\  ( n  e.  D  |->  X ) finSupp  (/) ) ) )
3933, 36, 383bitr4d 285 1  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  B  |->  X )  e.  S  <->  ( n  e.  D  |->  X )  e.  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    u. cun 3326    C_ wss 3328   (/)c0 3637   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   Oncon0 4719   dom cdm 4840   Fun wfun 5412   -->wf 5414  (class class class)co 6091   supp csupp 6690   finSupp cfsupp 7620   CNF ccnf 7867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-seqom 6903  df-map 7216  df-fsupp 7621  df-cnf 7868
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