Theorem cantnfrescl 7884

Description: A function is finitely supported from B to A iff the extended function is finitely supported from D to A. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
cantnfrescl.d	|- ( ph -> D e. On )
cantnfrescl.b	|- ( ph -> B C_ D )
cantnfrescl.x	|- ( ( ph /\ n e. ( D \ B ) ) -> X = (/) )
cantnfrescl.a	|- ( ph -> (/) e. A )
cantnfrescl.t	|- T = dom ( A CNF D )

Assertion

Ref	Expression
cantnfrescl	|- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) e. S <-> ( n e. D |-> X ) e. T ) )

Distinct variable groups:   B, n   D, n   A, n   ph, n

Allowed substitution hints:   S( n)   T( n)   X( n)

Proof of Theorem cantnfrescl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfrescl.x	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( D \ B ) ) -> X = (/) )
2		cantnfrescl.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (/) e. A )
3	2	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( D \ B ) ) -> (/) e. A )
4	1, 3	eqeltrd 2517	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( D \ B ) ) -> X e. A )
5	4	ralrimiva 2799	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( D \ B ) X e. A )
6	5	biantrud 507	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. n e. B X e. A <-> ( A. n e. B X e. A /\ A. n e. ( D \ B ) X e. A ) ) )
7		ralunb 3537	. . . . . 6 |- ( A. n e. ( B u. ( D \ B ) ) X e. A <-> ( A. n e. B X e. A /\ A. n e. ( D \ B ) X e. A ) )
8	6, 7	syl6bbr 263	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. n e. B X e. A <-> A. n e. ( B u. ( D \ B ) ) X e. A ) )
9		cantnfrescl.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ D )
10		undif 3759	. . . . . . 7 |- ( B C_ D <-> ( B u. ( D \ B ) ) = D )
11	9, 10	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B u. ( D \ B ) ) = D )
12	11	raleqdv 2923	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. n e. ( B u. ( D \ B ) ) X e. A <-> A. n e. D X e. A ) )
13	8, 12	bitrd 253	. . . 4 |- ( ph -> ( A. n e. B X e. A <-> A. n e. D X e. A ) )
14		eqid 2443	. . . . 5 |- ( n e. B |-> X ) = ( n e. B |-> X )
15	14	fmpt 5864	. . . 4 |- ( A. n e. B X e. A <-> ( n e. B |-> X ) : B --> A )
16		eqid 2443	. . . . 5 |- ( n e. D |-> X ) = ( n e. D |-> X )
17	16	fmpt 5864	. . . 4 |- ( A. n e. D X e. A <-> ( n e. D |-> X ) : D --> A )
18	13, 15, 17	3bitr3g 287	. . 3 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) : B --> A <-> ( n e. D |-> X ) : D --> A ) )
19		cantnfs.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. On )
20		mptexg 5947	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( n e. B |-> X ) e. _V )
21	19, 20	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. B |-> X ) e. _V )
22		funmpt 5454	. . . . . 6 |- Fun ( n e. B |-> X )
23	22	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> Fun ( n e. B |-> X ) )
24		cantnfrescl.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. On )
25		mptexg 5947	. . . . . . 7 |- ( D e. On -> ( n e. D |-> X ) e. _V )
26	24, 25	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. D |-> X ) e. _V )
27		funmpt 5454	. . . . . 6 |- Fun ( n e. D |-> X )
28	26, 27	jctir 538	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. D |-> X ) e. _V /\ Fun ( n e. D |-> X ) ) )
29	21, 23, 28	jca31 534	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( n e. B |-> X ) e. _V /\ Fun ( n e. B |-> X ) ) /\ ( ( n e. D |-> X ) e. _V /\ Fun ( n e. D |-> X ) ) ) )
30	24, 9, 1	extmptsuppeq 6713	. . . 4 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) = ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) )
31		suppeqfsuppbi 7634	. . . 4 |- ( ( ( ( n e. B |-> X ) e. _V /\ Fun ( n e. B |-> X ) ) /\ ( ( n e. D |-> X ) e. _V /\ Fun ( n e. D |-> X ) ) ) -> ( ( ( n e. B |-> X ) supp (/) ) = ( ( n e. D |-> X ) supp (/) ) -> ( ( n e. B |-> X ) finSupp (/) <-> ( n e. D |-> X ) finSupp (/) ) ) )
32	29, 30, 31	sylc 60	. . 3 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) finSupp (/) <-> ( n e. D |-> X ) finSupp (/) ) )
33	18, 32	anbi12d 710	. 2 |- ( ph -> ( ( ( n e. B |-> X ) : B --> A /\ ( n e. B |-> X ) finSupp (/) ) <-> ( ( n e. D |-> X ) : D --> A /\ ( n e. D |-> X ) finSupp (/) ) ) )
34		cantnfs.s	. . 3 |- S = dom ( A CNF B )
35		cantnfs.a	. . 3 |- ( ph -> A e. On )
36	34, 35, 19	cantnfs 7874	. 2 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) e. S <-> ( ( n e. B |-> X ) : B --> A /\ ( n e. B |-> X ) finSupp (/) ) ) )
37		cantnfrescl.t	. . 3 |- T = dom ( A CNF D )
38	37, 35, 24	cantnfs 7874	. 2 |- ( ph -> ( ( n e. D |-> X ) e. T <-> ( ( n e. D |-> X ) : D --> A /\ ( n e. D |-> X ) finSupp (/) ) ) )
39	33, 36, 38	3bitr4d 285	1 |- ( ph -> ( ( n e. B |-> X ) e. S <-> ( n e. D |-> X ) e. T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972   \ cdif 3325   u. cun 3326   C_ wss 3328   (/)c0 3637   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   Oncon0 4719   dom cdm 4840   Fun wfun 5412   -->wf 5414  (class class class)co 6091   supp csupp 6690   finSupp cfsupp 7620   CNF ccnf 7867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-seqom 6903  df-map 7216  df-fsupp 7621  df-cnf 7868

This theorem is referenced by:  cantnfres  7885