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Theorem cantnfres 7589
Description: The CNF function respects extensions of the domain to a larger ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
cantnfres.5  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
cantnfres.6  |-  ( ph  ->  B  C_  D )
cantnfres.7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( D  \  B ) )  ->  X  =  (/) )
cantnfres.8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
cantnfres.9  |-  T  =  dom  ( A CNF  D
)
cantnfres.10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  B  |->  X )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
cantnfres  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( n  e.  B  |->  X ) )  =  ( ( A CNF  D ) `  ( n  e.  D  |->  X ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    D, n    A, n    ph, n
Allowed substitution hints:    S( n)    T( n)    X( n)

Proof of Theorem cantnfres
Dummy variables  k 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnfs.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnfs.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 cantnfres.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
5 cantnfres.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  D )
6 cantnfres.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( D  \  B ) )  ->  X  =  (/) )
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfreslem 7587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) )  =  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )
8 oieq2 7438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) )  =  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) )  -> OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) )
109fveq1d 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k )  =  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )
11103ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  (OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k )  =  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )
1211oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
13 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  B  |->  X )  =  ( n  e.  B  |->  X )
1413mptpreima 5322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) )  =  { n  e.  B  |  X  e.  ( _V  \  1o ) }
15 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { n  e.  B  |  X  e.  ( _V  \  1o ) }  C_  B
1614, 15eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) 
C_  B
17 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |- OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) )
1817oif 7455 . . . . . . . . . . . . 13  |- OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) : dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) --> ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) )
1918ffvelrni 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) )  -> 
(OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k )  e.  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )
2016, 19sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) )  -> 
(OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k )  e.  B
)
21203ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  (OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k )  e.  B
)
22 fvres 5704 . . . . . . . . . 10  |-  ( (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k )  e.  B  ->  ( ( ( n  e.  D  |->  X )  |`  B ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( ( n  e.  D  |->  X )  |`  B ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
2453ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  B  C_  D )
25 resmpt 5150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  D  ->  (
( n  e.  D  |->  X )  |`  B )  =  ( n  e.  B  |->  X ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( n  e.  D  |->  X )  |`  B )  =  ( n  e.  B  |->  X ) )
2726fveq1d 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( ( n  e.  D  |->  X )  |`  B ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
2811fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
2923, 27, 283eqtr3d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )
3012, 29oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  =  ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) ) )
3130oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
)  =  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z ) )
3231mpt2eq3dva 6097 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  =  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) )
339dmeqd 5031 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) )  =  dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  D  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) ) )
34 eqid 2404 . . . . . 6  |-  On  =  On
35 mpt2eq12 6093 . . . . . 6  |-  ( ( dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  B  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) )  =  dom OrdIso (  _E  , 
( `' ( n  e.  D  |->  X )
" ( _V  \  1o ) ) )  /\  On  =  On )  ->  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  =  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) )
3633, 34, 35sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  =  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) )
3732, 36eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  =  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) )
38 eqid 2404 . . . 4  |-  (/)  =  (/)
39 seqomeq12 6670 . . . 4  |-  ( ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  =  ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) )  /\  (/)  =  (/) )  -> seq𝜔
( ( k  e. 
dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) )
4037, 38, 39sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  -> seq𝜔 ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) )
4140, 33fveq12d 5693 . 2  |-  ( ph  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) "
( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V  \  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ) )
42 cantnfres.10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  B  |->  X )  e.  S
)
43 eqid 2404 . . 3  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
441, 2, 3, 17, 42, 43cantnfval2 7580 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( n  e.  B  |->  X ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  B  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  B  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ) )
45 cantnfres.9 . . 3  |-  T  =  dom  ( A CNF  D
)
46 eqid 2404 . . 3  |- OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) )
47 cantnfres.8 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
481, 2, 3, 4, 5, 6, 47, 45cantnfrescl 7588 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  B  |->  X )  e.  S  <->  ( n  e.  D  |->  X )  e.  T ) )
4942, 48mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  D  |->  X )  e.  T
)
50 eqid 2404 . . 3  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
5145, 2, 4, 46, 49, 50cantnfval2 7580 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  D
) `  ( n  e.  D  |->  X ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e.  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ,  z  e.  On  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( ( n  e.  D  |->  X ) `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  ( `' ( n  e.  D  |->  X ) " ( _V 
\  1o ) ) ) ) )
5241, 44, 513eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( n  e.  B  |->  X ) )  =  ( ( A CNF  D ) `  ( n  e.  D  |->  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   (/)c0 3588    e. cmpt 4226    _E cep 4452   Oncon0 4541   `'ccnv 4836   dom cdm 4837    |` cres 4839   "cima 4840   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042  seq𝜔cseqom 6663   1oc1o 6676    +o coa 6680    .o comu 6681    ^o coe 6682  OrdIsocoi 7434   CNF ccnf 7572
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-seqom 6664  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-cnf 7573
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