Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1 Structured version   Unicode version

Theorem cantnfp1 8194
 Description: If is created by adding a single term to , where is larger than any element of the support of , then is also a finitely supported function and it is assigned the value where is the value of . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s CNF
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfp1.g
cantnfp1.x
cantnfp1.y
cantnfp1.s supp
cantnfp1.f
Assertion
Ref Expression
cantnfp1 CNF CNF
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem cantnfp1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.f . . . . . 6
2 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . 13
3 cantnfp1.x . . . . . . . . . . . . 13
4 onelon 5467 . . . . . . . . . . . . 13
52, 3, 4syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12
6 eloni 5452 . . . . . . . . . . . 12
7 ordirr 5460 . . . . . . . . . . . 12
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11
9 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . 14
10 dif1o 7213 . . . . . . . . . . . . . 14
119, 10mpbiran 926 . . . . . . . . . . . . 13
12 cantnfp1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CNF
14 cantnfs.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1513, 14, 2cantnfs 8179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 finSupp
1612, 15mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 finSupp
1716simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 0ex 4556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22 elsuppfn 6933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 supp
2319, 2, 21, 22syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 supp
2411bicomi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2625anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2723, 26bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 supp
28 cantnfp1.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 supp
2928sseld 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15 supp
3027, 29sylbird 238 . . . . . . . . . . . . . 14
313, 30mpand 679 . . . . . . . . . . . . 13
3211, 31syl5bir 221 . . . . . . . . . . . 12
3332necon1bd 2638 . . . . . . . . . . 11
348, 33mpd 15 . . . . . . . . . 10
3534ad3antrrr 734 . . . . . . . . 9
36 simpr 462 . . . . . . . . . 10
3736fveq2d 5885 . . . . . . . . 9
38 simpllr 767 . . . . . . . . 9
3935, 37, 383eqtr4rd 2474 . . . . . . . 8
40 eqidd 2423 . . . . . . . 8
4139, 40ifeqda 3944 . . . . . . 7
4241mpteq2dva 4510 . . . . . 6
431, 42syl5eq 2475 . . . . 5
4417feqmptd 5934 . . . . . 6
4544adantr 466 . . . . 5
4643, 45eqtr4d 2466 . . . 4
4712adantr 466 . . . 4
4846, 47eqeltrd 2507 . . 3
49 oecl 7250 . . . . . . . 8
5014, 2, 49syl2anc 665 . . . . . . 7
5113, 14, 2cantnff 8187 . . . . . . . 8 CNF
5251, 12ffvelrnd 6038 . . . . . . 7 CNF
53 onelon 5467 . . . . . . 7 CNF CNF
5450, 52, 53syl2anc 665 . . . . . 6 CNF
5554adantr 466 . . . . 5 CNF
56 oa0r 7251 . . . . 5 CNF CNF CNF
5755, 56syl 17 . . . 4 CNF CNF
58 oveq2 6313 . . . . . 6
59 oecl 7250 . . . . . . . 8
6014, 5, 59syl2anc 665 . . . . . . 7
61 om0 7230 . . . . . . 7
6260, 61syl 17 . . . . . 6
6358, 62sylan9eqr 2485 . . . . 5
6463oveq1d 6320 . . . 4 CNF CNF
6546fveq2d 5885 . . . 4 CNF CNF
6657, 64, 653eqtr4rd 2474 . . 3 CNF CNF
6748, 66jca 534 . 2 CNF CNF
6814adantr 466 . . . 4
692adantr 466 . . . 4
7012adantr 466 . . . 4
713adantr 466 . . . 4
72 cantnfp1.y . . . . 5
7372adantr 466 . . . 4
7428adantr 466 . . . 4 supp
7513, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 1cantnfp1lem1 8191 . . 3
76 onelon 5467 . . . . . . 7
7714, 72, 76syl2anc 665 . . . . . 6
78 on0eln0 5497 . . . . . 6
7977, 78syl 17 . . . . 5
8079biimpar 487 . . . 4
81 eqid 2422 . . . 4 OrdIso supp OrdIso supp
82 eqid 2422 . . . 4 seq𝜔 OrdIso supp OrdIso supp seq𝜔 OrdIso supp OrdIso supp
83 eqid 2422 . . . 4 OrdIso supp OrdIso supp
84 eqid 2422 . . . 4 seq𝜔 OrdIso supp OrdIso supp seq𝜔 OrdIso supp OrdIso supp
8513, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 1, 80, 81, 82, 83, 84cantnfp1lem3 8193 . . 3 CNF CNF
8675, 85jca 534 . 2 CNF CNF
8767, 86pm2.61dane 2738 1 CNF CNF
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  cvv 3080   cdif 3433   wss 3436  c0 3761  cif 3911   class class class wbr 4423   cmpt 4482   cep 4762   cdm 4853   word 5441  con0 5442   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307   supp csupp 6925  seq𝜔cseqom 7175  c1o 7186   coa 7190   comu 7191   coe 7192   finSupp cfsupp 7892  OrdIsocoi 8033   CNF ccnf 8174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-seqom 7176  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-omul 7198  df-oexp 7199  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-oi 8034  df-cnf 8175 This theorem is referenced by:  cantnflem1d  8201  cantnflem1  8202  cantnflem3  8204
 Copyright terms: Public domain W3C validator