Theorem cantnflt 7994

Description: An upper bound on the partial sums of the CNF function. Since each term dominates all previous terms, by induction we can bound the whole sum with any exponent A ^o C where C is larger than any exponent ( G ` x ) , x e. K which has been summed so far. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 29-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
cantnfcl.g	|- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
cantnfcl.f	|- ( ph -> F e. S )
cantnfval.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
cantnflt.a	|- ( ph -> (/) e. A )
cantnflt.k	|- ( ph -> K e. suc dom G )
cantnflt.c	|- ( ph -> C e. On )
cantnflt.s	|- ( ph -> ( G " K ) C_ C )

Assertion

Ref	Expression
cantnflt	|- ( ph -> ( H ` K ) e. ( A ^o C ) )

Distinct variable groups:   z, k, B   z, C   A, k, z   k, F, z   S, k, z   k, G, z   k, K, z   ph, k, z

Allowed substitution hints:   C( k)   H( z, k)

Proof of Theorem cantnflt

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. On )
2		cantnflt.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. On )
3		cantnflt.a	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. A )
4		oen0 7138	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o C ) )
5	1, 2, 3, 4	syl21anc 1218	. . 3 |- ( ph -> (/) e. ( A ^o C ) )
6		fveq2 5802	. . . . 5 |- ( K = (/) -> ( H ` K ) = ( H ` (/) ) )
7		0ex 4533	. . . . . 6 |- (/) e. _V
8		cantnfval.h	. . . . . . 7 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
9	8	seqom0g 7024	. . . . . 6 |- ( (/) e. _V -> ( H ` (/) ) = (/) )
10	7, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( H ` (/) ) = (/)
11	6, 10	syl6eq 2511	. . . 4 |- ( K = (/) -> ( H ` K ) = (/) )
12	11	eleq1d 2523	. . 3 |- ( K = (/) -> ( ( H ` K ) e. ( A ^o C ) <-> (/) e. ( A ^o C ) ) )
13	5, 12	syl5ibrcom 222	. 2 |- ( ph -> ( K = (/) -> ( H ` K ) e. ( A ^o C ) ) )
14	2	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> C e. On )
15		eloni 4840	. . . . . . 7 |- ( C e. On -> Ord C )
16	14, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> Ord C )
17		cantnflt.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G " K ) C_ C )
18	17	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( G " K ) C_ C )
19		cantnfcl.g	. . . . . . . . . 10 |- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
20	19	oif 7858	. . . . . . . . 9 |- G : dom G --> ( F supp (/) )
21		ffn 5670	. . . . . . . . 9 |- ( G : dom G --> ( F supp (/) ) -> G Fn dom G )
22	20, 21	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> G Fn dom G )
23		cantnflt.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. suc dom G )
24	19	oicl 7857	. . . . . . . . . . . . 13 |- Ord dom G
25		ordsuc 6538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord dom G <-> Ord suc dom G )
26	24, 25	mpbi 208	. . . . . . . . . . . 12 |- Ord suc dom G
27		ordelon 4854	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord suc dom G /\ K e. suc dom G ) -> K e. On )
28	26, 23, 27	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. On )
29		ordsssuc 4916	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. On /\ Ord dom G ) -> ( K C_ dom G <-> K e. suc dom G ) )
30	28, 24, 29	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K C_ dom G <-> K e. suc dom G ) )
31	23, 30	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K C_ dom G )
32	31	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> K C_ dom G )
33		vex 3081	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
34	33	sucid 4909	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
35		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> K = suc x )
36	34, 35	syl5eleqr 2549	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> x e. K )
37		fnfvima 6067	. . . . . . . 8 |- ( ( G Fn dom G /\ K C_ dom G /\ x e. K ) -> ( G ` x ) e. ( G " K ) )
38	22, 32, 36, 37	syl3anc 1219	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( G ` x ) e. ( G " K ) )
39	18, 38	sseldd 3468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( G ` x ) e. C )
40		ordsucss 6542	. . . . . 6 |- ( Ord C -> ( ( G ` x ) e. C -> suc ( G ` x ) C_ C ) )
41	16, 39, 40	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> suc ( G ` x ) C_ C )
42		suppssdm 6816	. . . . . . . . . . 11 |- ( F supp (/) ) C_ dom F
43		cantnfcl.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. S )
44		cantnfs.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = dom ( A CNF B )
45		cantnfs.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. On )
46	44, 1, 45	cantnfs 7988	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F e. S <-> ( F : B --> A /\ F finSupp (/) ) ) )
47	43, 46	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F : B --> A /\ F finSupp (/) ) )
48	47	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : B --> A )
49		fdm 5674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : B --> A -> dom F = B )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom F = B )
51	42, 50	syl5sseq 3515	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F supp (/) ) C_ B )
52		onss 6515	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> B C_ On )
53	45, 52	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B C_ On )
54	51, 53	sstrd 3477	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F supp (/) ) C_ On )
55	54	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( F supp (/) ) C_ On )
56	23	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> K e. suc dom G )
57	35, 56	eqeltrrd 2543	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> suc x e. suc dom G )
58		ordsucelsuc 6546	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord dom G -> ( x e. dom G <-> suc x e. suc dom G ) )
59	24, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. dom G <-> suc x e. suc dom G )
60	57, 59	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> x e. dom G )
61	20	ffvelrni 5954	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom G -> ( G ` x ) e. ( F supp (/) ) )
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( G ` x ) e. ( F supp (/) ) )
63	55, 62	sseldd 3468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( G ` x ) e. On )
64		suceloni 6537	. . . . . . 7 |- ( ( G ` x ) e. On -> suc ( G ` x ) e. On )
65	63, 64	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> suc ( G ` x ) e. On )
66	1	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> A e. On )
67	3	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> (/) e. A )
68		oewordi 7143	. . . . . 6 |- ( ( ( suc ( G ` x ) e. On /\ C e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( suc ( G ` x ) C_ C -> ( A ^o suc ( G ` x ) ) C_ ( A ^o C ) ) )
69	65, 14, 66, 67, 68	syl31anc 1222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( suc ( G ` x ) C_ C -> ( A ^o suc ( G ` x ) ) C_ ( A ^o C ) ) )
70	41, 69	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( A ^o suc ( G ` x ) ) C_ ( A ^o C ) )
71	35	fveq2d 5806	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( H ` K ) = ( H ` suc x ) )
72		simprl 755	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> x e. om )
73		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ph )
74		eleq1 2526	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( x e. dom G <-> (/) e. dom G ) )
75		suceq 4895	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> suc x = suc (/) )
76	75	fveq2d 5806	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( H ` suc x ) = ( H ` suc (/) ) )
77		fveq2 5802	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( G ` x ) = ( G ` (/) ) )
78		suceq 4895	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` x ) = ( G ` (/) ) -> suc ( G ` x ) = suc ( G ` (/) ) )
79	77, 78	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> suc ( G ` x ) = suc ( G ` (/) ) )
80	79	oveq2d 6219	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( A ^o suc ( G ` x ) ) = ( A ^o suc ( G ` (/) ) ) )
81	76, 80	eleq12d 2536	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) <-> ( H ` suc (/) ) e. ( A ^o suc ( G ` (/) ) ) ) )
82	74, 81	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( x e. dom G -> ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) ) <-> ( (/) e. dom G -> ( H ` suc (/) ) e. ( A ^o suc ( G ` (/) ) ) ) ) )
83		eleq1 2526	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. dom G <-> y e. dom G ) )
84		suceq 4895	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> suc x = suc y )
85	84	fveq2d 5806	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( H ` suc x ) = ( H ` suc y ) )
86		fveq2 5802	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( G ` x ) = ( G ` y ) )
87		suceq 4895	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` x ) = ( G ` y ) -> suc ( G ` x ) = suc ( G ` y ) )
88	86, 87	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> suc ( G ` x ) = suc ( G ` y ) )
89	88	oveq2d 6219	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A ^o suc ( G ` x ) ) = ( A ^o suc ( G ` y ) ) )
90	85, 89	eleq12d 2536	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) <-> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) )
91	83, 90	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x e. dom G -> ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) ) <-> ( y e. dom G -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) )
92		eleq1 2526	. . . . . . . 8 |- ( x = suc y -> ( x e. dom G <-> suc y e. dom G ) )
93		suceq 4895	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> suc x = suc suc y )
94	93	fveq2d 5806	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( H ` suc x ) = ( H ` suc suc y ) )
95		fveq2 5802	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( G ` x ) = ( G ` suc y ) )
96		suceq 4895	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` x ) = ( G ` suc y ) -> suc ( G ` x ) = suc ( G ` suc y ) )
97	95, 96	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> suc ( G ` x ) = suc ( G ` suc y ) )
98	97	oveq2d 6219	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( A ^o suc ( G ` x ) ) = ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) )
99	94, 98	eleq12d 2536	. . . . . . . 8 |- ( x = suc y -> ( ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) <-> ( H ` suc suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) ) )
100	92, 99	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( ( x e. dom G -> ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) ) <-> ( suc y e. dom G -> ( H ` suc suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) ) ) )
101	48	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> F : B --> A )
102	20	ffvelrni 5954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. dom G -> ( G ` (/) ) e. ( F supp (/) ) )
103	51	sselda 3467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( G ` (/) ) e. ( F supp (/) ) ) -> ( G ` (/) ) e. B )
104	102, 103	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( G ` (/) ) e. B )
105	101, 104	ffvelrnd 5956	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( F ` ( G ` (/) ) ) e. A )
106	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> A e. On )
107		onelon 4855	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ ( F ` ( G ` (/) ) ) e. A ) -> ( F ` ( G ` (/) ) ) e. On )
108	106, 105, 107	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( F ` ( G ` (/) ) ) e. On )
109	54	sselda 3467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( G ` (/) ) e. ( F supp (/) ) ) -> ( G ` (/) ) e. On )
110	102, 109	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( G ` (/) ) e. On )
111		oecl 7090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ ( G ` (/) ) e. On ) -> ( A ^o ( G ` (/) ) ) e. On )
112	106, 110, 111	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( A ^o ( G ` (/) ) ) e. On )
113	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> (/) e. A )
114		oen0 7138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( G ` (/) ) e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o ( G ` (/) ) ) )
115	106, 110, 113, 114	syl21anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> (/) e. ( A ^o ( G ` (/) ) ) )
116		omord2 7119	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F ` ( G ` (/) ) ) e. On /\ A e. On /\ ( A ^o ( G ` (/) ) ) e. On ) /\ (/) e. ( A ^o ( G ` (/) ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` (/) ) ) e. A <-> ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) e. ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o A ) ) )
117	108, 106, 112, 115, 116	syl31anc 1222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( ( F ` ( G ` (/) ) ) e. A <-> ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) e. ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o A ) ) )
118	105, 117	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) e. ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o A ) )
119		peano1 6608	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. om
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. dom G -> (/) e. om )
121	44, 1, 45, 19, 43, 8	cantnfsuc 7992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (/) e. om ) -> ( H ` suc (/) ) = ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) +o ( H ` (/) ) ) )
122	120, 121	sylan2 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( H ` suc (/) ) = ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) +o ( H ` (/) ) ) )
123	10	oveq2i 6214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) +o ( H ` (/) ) ) = ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) +o (/) )
124		omcl 7089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) e. On /\ ( F ` ( G ` (/) ) ) e. On ) -> ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) e. On )
125	112, 108, 124	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) e. On )
126		oa0 7069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) e. On -> ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) +o (/) ) = ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) )
127	125, 126	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) +o (/) ) = ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) )
128	123, 127	syl5eq 2507	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) +o ( H ` (/) ) ) = ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) )
129	122, 128	eqtrd 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( H ` suc (/) ) = ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) )
130		oesuc 7080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( G ` (/) ) e. On ) -> ( A ^o suc ( G ` (/) ) ) = ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o A ) )
131	106, 110, 130	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( A ^o suc ( G ` (/) ) ) = ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o A ) )
132	118, 129, 131	3eltr4d 2557	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( H ` suc (/) ) e. ( A ^o suc ( G ` (/) ) ) )
133	132	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (/) e. dom G -> ( H ` suc (/) ) e. ( A ^o suc ( G ` (/) ) ) ) )
134		ordtr 4844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord dom G -> Tr dom G )
135	24, 134	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- Tr dom G
136		trsuc 4914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Tr dom G /\ suc y e. dom G ) -> y e. dom G )
137	135, 136	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( suc y e. dom G -> y e. dom G )
138	137	imim1i 58	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. dom G -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) )
139	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> A e. On )
140		eloni 4840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. On -> Ord A )
141	139, 140	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> Ord A )
142	48	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> F : B --> A )
143	51	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( F supp (/) ) C_ B )
144	20	ffvelrni 5954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( suc y e. dom G -> ( G ` suc y ) e. ( F supp (/) ) )
145	144	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( G ` suc y ) e. ( F supp (/) ) )
146	143, 145	sseldd 3468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( G ` suc y ) e. B )
147	142, 146	ffvelrnd 5956	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` suc y ) ) e. A )
148		ordsucss 6542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Ord A -> ( ( F ` ( G ` suc y ) ) e. A -> suc ( F ` ( G ` suc y ) ) C_ A ) )
149	141, 147, 148	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> suc ( F ` ( G ` suc y ) ) C_ A )
150		onelon 4855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. On /\ ( F ` ( G ` suc y ) ) e. A ) -> ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On )
151	139, 147, 150	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On )
152		suceloni 6537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On -> suc ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On )
153	151, 152	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> suc ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On )
154	54	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( F supp (/) ) C_ On )
155	154, 145	sseldd 3468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( G ` suc y ) e. On )
156		oecl 7090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. On /\ ( G ` suc y ) e. On ) -> ( A ^o ( G ` suc y ) ) e. On )
157	139, 155, 156	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( A ^o ( G ` suc y ) ) e. On )
158		omwordi 7123	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( suc ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On /\ A e. On /\ ( A ^o ( G ` suc y ) ) e. On ) -> ( suc ( F ` ( G ` suc y ) ) C_ A -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o suc ( F ` ( G ` suc y ) ) ) C_ ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o A ) ) )
159	153, 139, 157, 158	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc ( F ` ( G ` suc y ) ) C_ A -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o suc ( F ` ( G ` suc y ) ) ) C_ ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o A ) ) )
160	149, 159	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o suc ( F ` ( G ` suc y ) ) ) C_ ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o A ) )
161		oesuc 7080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. On /\ ( G ` suc y ) e. On ) -> ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) = ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o A ) )
162	139, 155, 161	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) = ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o A ) )
163	160, 162	sseqtr4d 3504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o suc ( F ` ( G ` suc y ) ) ) C_ ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) )
164		eloni 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G ` suc y ) e. On -> Ord ( G ` suc y ) )
165	155, 164	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> Ord ( G ` suc y ) )
166		vex 3081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- y e. _V
167	166	sucid 4909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- y e. suc y
168	166	sucex 6535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- suc y e. _V
169	168	epelc 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y _E suc y <-> y e. suc y )
170	167, 169	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- y _E suc y
171	45, 51	ssexd 4550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( F supp (/) ) e. _V )
172	44, 1, 45, 19, 43	cantnfcl 7989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( _E We ( F supp (/) ) /\ dom G e. om ) )
173	172	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> _E We ( F supp (/) ) )
174	19	oiiso 7865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F supp (/) ) e. _V /\ _E We ( F supp (/) ) ) -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
175	171, 173, 174	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
176	175	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
177	137	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> y e. dom G )
178		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> suc y e. dom G )
179		isorel 6129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) /\ ( y e. dom G /\ suc y e. dom G ) ) -> ( y _E suc y <-> ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) ) )
180	176, 177, 178, 179	syl12anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( y _E suc y <-> ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) ) )
181	170, 180	mpbii 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) )
182		fvex 5812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( G ` suc y ) e. _V
183	182	epelc 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) <-> ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) )
184	181, 183	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) )
185		ordsucss 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Ord ( G ` suc y ) -> ( ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) -> suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) )
186	165, 184, 185	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) )
187	20	ffvelrni 5954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. dom G -> ( G ` y ) e. ( F supp (/) ) )
188	177, 187	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( F supp (/) ) )
189	154, 188	sseldd 3468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. On )
190		suceloni 6537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G ` y ) e. On -> suc ( G ` y ) e. On )
191	189, 190	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> suc ( G ` y ) e. On )
192	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> (/) e. A )
193		oewordi 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( suc ( G ` y ) e. On /\ ( G ` suc y ) e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) -> ( A ^o suc ( G ` y ) ) C_ ( A ^o ( G ` suc y ) ) ) )
194	191, 155, 139, 192, 193	syl31anc 1222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) -> ( A ^o suc ( G ` y ) ) C_ ( A ^o ( G ` suc y ) ) ) )
195	186, 194	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( A ^o suc ( G ` y ) ) C_ ( A ^o ( G ` suc y ) ) )
196		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) )
197	195, 196	sseldd 3468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o ( G ` suc y ) ) )
198		peano2 6609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. om -> suc y e. om )
199	198	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> suc y e. om )
200	8	cantnfvalf 7987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- H : om --> On
201	200	ffvelrni 5954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( suc y e. om -> ( H ` suc y ) e. On )
202	199, 201	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( H ` suc y ) e. On )
203		omcl 7089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) e. On /\ ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On ) -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) e. On )
204	157, 151, 203	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) e. On )
205		oaord 7099	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( H ` suc y ) e. On /\ ( A ^o ( G ` suc y ) ) e. On /\ ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) e. On ) -> ( ( H ` suc y ) e. ( A ^o ( G ` suc y ) ) <-> ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( H ` suc y ) ) e. ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( A ^o ( G ` suc y ) ) ) ) )
206	202, 157, 204, 205	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( ( H ` suc y ) e. ( A ^o ( G ` suc y ) ) <-> ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( H ` suc y ) ) e. ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( A ^o ( G ` suc y ) ) ) ) )
207	197, 206	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( H ` suc y ) ) e. ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( A ^o ( G ` suc y ) ) ) )
208	44, 1, 45, 19, 43, 8	cantnfsuc 7992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ suc y e. om ) -> ( H ` suc suc y ) = ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( H ` suc y ) ) )
209	198, 208	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( H ` suc suc y ) = ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( H ` suc y ) ) )
210	209	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( H ` suc suc y ) = ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( H ` suc y ) ) )
211		omsuc 7079	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) e. On /\ ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On ) -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o suc ( F ` ( G ` suc y ) ) ) = ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( A ^o ( G ` suc y ) ) ) )
212	157, 151, 211	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o suc ( F ` ( G ` suc y ) ) ) = ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( A ^o ( G ` suc y ) ) ) )
213	207, 210, 212	3eltr4d 2557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( H ` suc suc y ) e. ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o suc ( F ` ( G ` suc y ) ) ) )
214	163, 213	sseldd 3468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( H ` suc suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) )
215	214	exp32 605	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( suc y e. dom G -> ( ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) -> ( H ` suc suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) ) ) )
216	215	a2d 26	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( ( suc y e. dom G -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( H ` suc suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) ) ) )
217	138, 216	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( ( y e. dom G -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( H ` suc suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) ) ) )
218	217	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( ph -> ( ( y e. dom G -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( H ` suc suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) ) ) ) )
219	82, 91, 100, 133, 218	finds2 6617	. . . . . 6 |- ( x e. om -> ( ph -> ( x e. dom G -> ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) ) ) )
220	72, 73, 60, 219	syl3c 61	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) )
221	71, 220	eqeltrd 2542	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( H ` K ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) )
222	70, 221	sseldd 3468	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( H ` K ) e. ( A ^o C ) )
223	222	rexlimdvaa 2948	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. om K = suc x -> ( H ` K ) e. ( A ^o C ) ) )
224	172	simprd 463	. . . . 5 |- ( ph -> dom G e. om )
225		peano2 6609	. . . . 5 |- ( dom G e. om -> suc dom G e. om )
226	224, 225	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> suc dom G e. om )
227		elnn 6599	. . . 4 |- ( ( K e. suc dom G /\ suc dom G e. om ) -> K e. om )
228	23, 226, 227	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> K e. om )
229		nn0suc 6613	. . 3 |- ( K e. om -> ( K = (/) \/ E. x e. om K = suc x ) )
230	228, 229	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( K = (/) \/ E. x e. om K = suc x ) )
231	13, 223, 230	mpjaod 381	1 |- ( ph -> ( H ` K ) e. ( A ^o C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   C_ wss 3439   (/)c0 3748   class class class wbr 4403   Tr wtr 4496   _E cep 4741   We wwe 4789   Ord word 4829   Oncon0 4830   suc csuc 4832   dom cdm 4951   "cima 4954   Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529   Isom wiso 5530  (class class class)co 6203   |-> cmpt2 6205   omcom 6589   supp csupp 6803  seq_𝜔cseqom 7015   +o coa 7030   .o comu 7031   ^o coe 7032   finSupp cfsupp 7734  OrdIsocoi 7837   CNF ccnf 7981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-seqom 7016  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-oexp 7039  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-cnf 7982

This theorem is referenced by:  cantnflt2  7995  cnfcomlem  8046