Theorem cantnflt 8094

Description: An upper bound on the partial sums of the CNF function. Since each term dominates all previous terms, by induction we can bound the whole sum with any exponent A ^o C where C is larger than any exponent ( G ` x ) , x e. K which has been summed so far. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 29-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
cantnfcl.g	|- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
cantnfcl.f	|- ( ph -> F e. S )
cantnfval.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
cantnflt.a	|- ( ph -> (/) e. A )
cantnflt.k	|- ( ph -> K e. suc dom G )
cantnflt.c	|- ( ph -> C e. On )
cantnflt.s	|- ( ph -> ( G " K ) C_ C )

Assertion

Ref	Expression
cantnflt	|- ( ph -> ( H ` K ) e. ( A ^o C ) )

Distinct variable groups:   z, k, B   z, C   A, k, z   k, F, z   S, k, z   k, G, z   k, K, z   ph, k, z

Allowed substitution hints:   C( k)   H( z, k)

Proof of Theorem cantnflt

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. On )
2		cantnflt.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. On )
3		cantnflt.a	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. A )
4		oen0 7237	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o C ) )
5	1, 2, 3, 4	syl21anc 1228	. . 3 |- ( ph -> (/) e. ( A ^o C ) )
6		fveq2 5856	. . . . 5 |- ( K = (/) -> ( H ` K ) = ( H ` (/) ) )
7		0ex 4567	. . . . . 6 |- (/) e. _V
8		cantnfval.h	. . . . . . 7 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
9	8	seqom0g 7123	. . . . . 6 |- ( (/) e. _V -> ( H ` (/) ) = (/) )
10	7, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( H ` (/) ) = (/)
11	6, 10	syl6eq 2500	. . . 4 |- ( K = (/) -> ( H ` K ) = (/) )
12	11	eleq1d 2512	. . 3 |- ( K = (/) -> ( ( H ` K ) e. ( A ^o C ) <-> (/) e. ( A ^o C ) ) )
13	5, 12	syl5ibrcom 222	. 2 |- ( ph -> ( K = (/) -> ( H ` K ) e. ( A ^o C ) ) )
14	2	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> C e. On )
15		eloni 4878	. . . . . . 7 |- ( C e. On -> Ord C )
16	14, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> Ord C )
17		cantnflt.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G " K ) C_ C )
18	17	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( G " K ) C_ C )
19		cantnfcl.g	. . . . . . . . . 10 |- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
20	19	oif 7958	. . . . . . . . 9 |- G : dom G --> ( F supp (/) )
21		ffn 5721	. . . . . . . . 9 |- ( G : dom G --> ( F supp (/) ) -> G Fn dom G )
22	20, 21	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> G Fn dom G )
23		cantnflt.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. suc dom G )
24	19	oicl 7957	. . . . . . . . . . . . 13 |- Ord dom G
25		ordsuc 6634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord dom G <-> Ord suc dom G )
26	24, 25	mpbi 208	. . . . . . . . . . . 12 |- Ord suc dom G
27		ordelon 4892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord suc dom G /\ K e. suc dom G ) -> K e. On )
28	26, 23, 27	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. On )
29		ordsssuc 4954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. On /\ Ord dom G ) -> ( K C_ dom G <-> K e. suc dom G ) )
30	28, 24, 29	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K C_ dom G <-> K e. suc dom G ) )
31	23, 30	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K C_ dom G )
32	31	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> K C_ dom G )
33		vex 3098	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
34	33	sucid 4947	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
35		simprr 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> K = suc x )
36	34, 35	syl5eleqr 2538	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> x e. K )
37		fnfvima 6135	. . . . . . . 8 |- ( ( G Fn dom G /\ K C_ dom G /\ x e. K ) -> ( G ` x ) e. ( G " K ) )
38	22, 32, 36, 37	syl3anc 1229	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( G ` x ) e. ( G " K ) )
39	18, 38	sseldd 3490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( G ` x ) e. C )
40		ordsucss 6638	. . . . . 6 |- ( Ord C -> ( ( G ` x ) e. C -> suc ( G ` x ) C_ C ) )
41	16, 39, 40	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> suc ( G ` x ) C_ C )
42		suppssdm 6916	. . . . . . . . . . 11 |- ( F supp (/) ) C_ dom F
43		cantnfcl.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. S )
44		cantnfs.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = dom ( A CNF B )
45		cantnfs.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. On )
46	44, 1, 45	cantnfs 8088	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F e. S <-> ( F : B --> A /\ F finSupp (/) ) ) )
47	43, 46	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F : B --> A /\ F finSupp (/) ) )
48	47	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : B --> A )
49		fdm 5725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : B --> A -> dom F = B )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom F = B )
51	42, 50	syl5sseq 3537	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F supp (/) ) C_ B )
52		onss 6611	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> B C_ On )
53	45, 52	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B C_ On )
54	51, 53	sstrd 3499	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F supp (/) ) C_ On )
55	54	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( F supp (/) ) C_ On )
56	23	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> K e. suc dom G )
57	35, 56	eqeltrrd 2532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> suc x e. suc dom G )
58		ordsucelsuc 6642	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord dom G -> ( x e. dom G <-> suc x e. suc dom G ) )
59	24, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. dom G <-> suc x e. suc dom G )
60	57, 59	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> x e. dom G )
61	20	ffvelrni 6015	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom G -> ( G ` x ) e. ( F supp (/) ) )
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( G ` x ) e. ( F supp (/) ) )
63	55, 62	sseldd 3490	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( G ` x ) e. On )
64		suceloni 6633	. . . . . . 7 |- ( ( G ` x ) e. On -> suc ( G ` x ) e. On )
65	63, 64	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> suc ( G ` x ) e. On )
66	1	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> A e. On )
67	3	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> (/) e. A )
68		oewordi 7242	. . . . . 6 |- ( ( ( suc ( G ` x ) e. On /\ C e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( suc ( G ` x ) C_ C -> ( A ^o suc ( G ` x ) ) C_ ( A ^o C ) ) )
69	65, 14, 66, 67, 68	syl31anc 1232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( suc ( G ` x ) C_ C -> ( A ^o suc ( G ` x ) ) C_ ( A ^o C ) ) )
70	41, 69	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( A ^o suc ( G ` x ) ) C_ ( A ^o C ) )
71	35	fveq2d 5860	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( H ` K ) = ( H ` suc x ) )
72		simprl 756	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> x e. om )
73		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ph )
74		eleq1 2515	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( x e. dom G <-> (/) e. dom G ) )
75		suceq 4933	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> suc x = suc (/) )
76	75	fveq2d 5860	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( H ` suc x ) = ( H ` suc (/) ) )
77		fveq2 5856	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( G ` x ) = ( G ` (/) ) )
78		suceq 4933	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` x ) = ( G ` (/) ) -> suc ( G ` x ) = suc ( G ` (/) ) )
79	77, 78	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> suc ( G ` x ) = suc ( G ` (/) ) )
80	79	oveq2d 6297	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( A ^o suc ( G ` x ) ) = ( A ^o suc ( G ` (/) ) ) )
81	76, 80	eleq12d 2525	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) <-> ( H ` suc (/) ) e. ( A ^o suc ( G ` (/) ) ) ) )
82	74, 81	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( x e. dom G -> ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) ) <-> ( (/) e. dom G -> ( H ` suc (/) ) e. ( A ^o suc ( G ` (/) ) ) ) ) )
83		eleq1 2515	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. dom G <-> y e. dom G ) )
84		suceq 4933	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> suc x = suc y )
85	84	fveq2d 5860	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( H ` suc x ) = ( H ` suc y ) )
86		fveq2 5856	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( G ` x ) = ( G ` y ) )
87		suceq 4933	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` x ) = ( G ` y ) -> suc ( G ` x ) = suc ( G ` y ) )
88	86, 87	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> suc ( G ` x ) = suc ( G ` y ) )
89	88	oveq2d 6297	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A ^o suc ( G ` x ) ) = ( A ^o suc ( G ` y ) ) )
90	85, 89	eleq12d 2525	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) <-> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) )
91	83, 90	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x e. dom G -> ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) ) <-> ( y e. dom G -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) )
92		eleq1 2515	. . . . . . . 8 |- ( x = suc y -> ( x e. dom G <-> suc y e. dom G ) )
93		suceq 4933	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> suc x = suc suc y )
94	93	fveq2d 5860	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( H ` suc x ) = ( H ` suc suc y ) )
95		fveq2 5856	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( G ` x ) = ( G ` suc y ) )
96		suceq 4933	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` x ) = ( G ` suc y ) -> suc ( G ` x ) = suc ( G ` suc y ) )
97	95, 96	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> suc ( G ` x ) = suc ( G ` suc y ) )
98	97	oveq2d 6297	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( A ^o suc ( G ` x ) ) = ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) )
99	94, 98	eleq12d 2525	. . . . . . . 8 |- ( x = suc y -> ( ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) <-> ( H ` suc suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) ) )
100	92, 99	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( ( x e. dom G -> ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) ) <-> ( suc y e. dom G -> ( H ` suc suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) ) ) )
101	48	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> F : B --> A )
102	20	ffvelrni 6015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. dom G -> ( G ` (/) ) e. ( F supp (/) ) )
103	51	sselda 3489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( G ` (/) ) e. ( F supp (/) ) ) -> ( G ` (/) ) e. B )
104	102, 103	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( G ` (/) ) e. B )
105	101, 104	ffvelrnd 6017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( F ` ( G ` (/) ) ) e. A )
106	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> A e. On )
107		onelon 4893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ ( F ` ( G ` (/) ) ) e. A ) -> ( F ` ( G ` (/) ) ) e. On )
108	106, 105, 107	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( F ` ( G ` (/) ) ) e. On )
109	54	sselda 3489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( G ` (/) ) e. ( F supp (/) ) ) -> ( G ` (/) ) e. On )
110	102, 109	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( G ` (/) ) e. On )
111		oecl 7189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ ( G ` (/) ) e. On ) -> ( A ^o ( G ` (/) ) ) e. On )
112	106, 110, 111	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( A ^o ( G ` (/) ) ) e. On )
113	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> (/) e. A )
114		oen0 7237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( G ` (/) ) e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o ( G ` (/) ) ) )
115	106, 110, 113, 114	syl21anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> (/) e. ( A ^o ( G ` (/) ) ) )
116		omord2 7218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F ` ( G ` (/) ) ) e. On /\ A e. On /\ ( A ^o ( G ` (/) ) ) e. On ) /\ (/) e. ( A ^o ( G ` (/) ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` (/) ) ) e. A <-> ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) e. ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o A ) ) )
117	108, 106, 112, 115, 116	syl31anc 1232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( ( F ` ( G ` (/) ) ) e. A <-> ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) e. ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o A ) ) )
118	105, 117	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) e. ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o A ) )
119		peano1 6704	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. om
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. dom G -> (/) e. om )
121	44, 1, 45, 19, 43, 8	cantnfsuc 8092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (/) e. om ) -> ( H ` suc (/) ) = ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) +o ( H ` (/) ) ) )
122	120, 121	sylan2 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( H ` suc (/) ) = ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) +o ( H ` (/) ) ) )
123	10	oveq2i 6292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) +o ( H ` (/) ) ) = ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) +o (/) )
124		omcl 7188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) e. On /\ ( F ` ( G ` (/) ) ) e. On ) -> ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) e. On )
125	112, 108, 124	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) e. On )
126		oa0 7168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) e. On -> ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) +o (/) ) = ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) )
127	125, 126	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) +o (/) ) = ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) )
128	123, 127	syl5eq 2496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) +o ( H ` (/) ) ) = ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) )
129	122, 128	eqtrd 2484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( H ` suc (/) ) = ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) )
130		oesuc 7179	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( G ` (/) ) e. On ) -> ( A ^o suc ( G ` (/) ) ) = ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o A ) )
131	106, 110, 130	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( A ^o suc ( G ` (/) ) ) = ( ( A ^o ( G ` (/) ) ) .o A ) )
132	118, 129, 131	3eltr4d 2546	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( H ` suc (/) ) e. ( A ^o suc ( G ` (/) ) ) )
133	132	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (/) e. dom G -> ( H ` suc (/) ) e. ( A ^o suc ( G ` (/) ) ) ) )
134		ordtr 4882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord dom G -> Tr dom G )
135	24, 134	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- Tr dom G
136		trsuc 4952	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Tr dom G /\ suc y e. dom G ) -> y e. dom G )
137	135, 136	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( suc y e. dom G -> y e. dom G )
138	137	imim1i 58	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. dom G -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) )
139	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> A e. On )
140		eloni 4878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. On -> Ord A )
141	139, 140	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> Ord A )
142	48	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> F : B --> A )
143	51	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( F supp (/) ) C_ B )
144	20	ffvelrni 6015	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( suc y e. dom G -> ( G ` suc y ) e. ( F supp (/) ) )
145	144	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( G ` suc y ) e. ( F supp (/) ) )
146	143, 145	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( G ` suc y ) e. B )
147	142, 146	ffvelrnd 6017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` suc y ) ) e. A )
148		ordsucss 6638	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Ord A -> ( ( F ` ( G ` suc y ) ) e. A -> suc ( F ` ( G ` suc y ) ) C_ A ) )
149	141, 147, 148	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> suc ( F ` ( G ` suc y ) ) C_ A )
150		onelon 4893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. On /\ ( F ` ( G ` suc y ) ) e. A ) -> ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On )
151	139, 147, 150	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On )
152		suceloni 6633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On -> suc ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On )
153	151, 152	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> suc ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On )
154	54	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( F supp (/) ) C_ On )
155	154, 145	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( G ` suc y ) e. On )
156		oecl 7189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. On /\ ( G ` suc y ) e. On ) -> ( A ^o ( G ` suc y ) ) e. On )
157	139, 155, 156	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( A ^o ( G ` suc y ) ) e. On )
158		omwordi 7222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( suc ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On /\ A e. On /\ ( A ^o ( G ` suc y ) ) e. On ) -> ( suc ( F ` ( G ` suc y ) ) C_ A -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o suc ( F ` ( G ` suc y ) ) ) C_ ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o A ) ) )
159	153, 139, 157, 158	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc ( F ` ( G ` suc y ) ) C_ A -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o suc ( F ` ( G ` suc y ) ) ) C_ ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o A ) ) )
160	149, 159	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o suc ( F ` ( G ` suc y ) ) ) C_ ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o A ) )
161		oesuc 7179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. On /\ ( G ` suc y ) e. On ) -> ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) = ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o A ) )
162	139, 155, 161	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) = ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o A ) )
163	160, 162	sseqtr4d 3526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o suc ( F ` ( G ` suc y ) ) ) C_ ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) )
164		eloni 4878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G ` suc y ) e. On -> Ord ( G ` suc y ) )
165	155, 164	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> Ord ( G ` suc y ) )
166		vex 3098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- y e. _V
167	166	sucid 4947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- y e. suc y
168	166	sucex 6631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- suc y e. _V
169	168	epelc 4783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y _E suc y <-> y e. suc y )
170	167, 169	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- y _E suc y
171	45, 51	ssexd 4584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( F supp (/) ) e. _V )
172	44, 1, 45, 19, 43	cantnfcl 8089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( _E We ( F supp (/) ) /\ dom G e. om ) )
173	172	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> _E We ( F supp (/) ) )
174	19	oiiso 7965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F supp (/) ) e. _V /\ _E We ( F supp (/) ) ) -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
175	171, 173, 174	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
176	175	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
177	137	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> y e. dom G )
178		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> suc y e. dom G )
179		isorel 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) /\ ( y e. dom G /\ suc y e. dom G ) ) -> ( y _E suc y <-> ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) ) )
180	176, 177, 178, 179	syl12anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( y _E suc y <-> ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) ) )
181	170, 180	mpbii 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) )
182		fvex 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( G ` suc y ) e. _V
183	182	epelc 4783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) <-> ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) )
184	181, 183	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) )
185		ordsucss 6638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Ord ( G ` suc y ) -> ( ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) -> suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) )
186	165, 184, 185	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) )
187	20	ffvelrni 6015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. dom G -> ( G ` y ) e. ( F supp (/) ) )
188	177, 187	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( F supp (/) ) )
189	154, 188	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. On )
190		suceloni 6633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G ` y ) e. On -> suc ( G ` y ) e. On )
191	189, 190	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> suc ( G ` y ) e. On )
192	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> (/) e. A )
193		oewordi 7242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( suc ( G ` y ) e. On /\ ( G ` suc y ) e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) -> ( A ^o suc ( G ` y ) ) C_ ( A ^o ( G ` suc y ) ) ) )
194	191, 155, 139, 192, 193	syl31anc 1232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) -> ( A ^o suc ( G ` y ) ) C_ ( A ^o ( G ` suc y ) ) ) )
195	186, 194	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( A ^o suc ( G ` y ) ) C_ ( A ^o ( G ` suc y ) ) )
196		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) )
197	195, 196	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o ( G ` suc y ) ) )
198		peano2 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. om -> suc y e. om )
199	198	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> suc y e. om )
200	8	cantnfvalf 8087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- H : om --> On
201	200	ffvelrni 6015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( suc y e. om -> ( H ` suc y ) e. On )
202	199, 201	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( H ` suc y ) e. On )
203		omcl 7188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) e. On /\ ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On ) -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) e. On )
204	157, 151, 203	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) e. On )
205		oaord 7198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( H ` suc y ) e. On /\ ( A ^o ( G ` suc y ) ) e. On /\ ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) e. On ) -> ( ( H ` suc y ) e. ( A ^o ( G ` suc y ) ) <-> ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( H ` suc y ) ) e. ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( A ^o ( G ` suc y ) ) ) ) )
206	202, 157, 204, 205	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( ( H ` suc y ) e. ( A ^o ( G ` suc y ) ) <-> ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( H ` suc y ) ) e. ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( A ^o ( G ` suc y ) ) ) ) )
207	197, 206	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( H ` suc y ) ) e. ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( A ^o ( G ` suc y ) ) ) )
208	44, 1, 45, 19, 43, 8	cantnfsuc 8092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ suc y e. om ) -> ( H ` suc suc y ) = ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( H ` suc y ) ) )
209	198, 208	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( H ` suc suc y ) = ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( H ` suc y ) ) )
210	209	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( H ` suc suc y ) = ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( H ` suc y ) ) )
211		omsuc 7178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) e. On /\ ( F ` ( G ` suc y ) ) e. On ) -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o suc ( F ` ( G ` suc y ) ) ) = ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( A ^o ( G ` suc y ) ) ) )
212	157, 151, 211	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o suc ( F ` ( G ` suc y ) ) ) = ( ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) +o ( A ^o ( G ` suc y ) ) ) )
213	207, 210, 212	3eltr4d 2546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( H ` suc suc y ) e. ( ( A ^o ( G ` suc y ) ) .o suc ( F ` ( G ` suc y ) ) ) )
214	163, 213	sseldd 3490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) ) -> ( H ` suc suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) )
215	214	exp32 605	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( suc y e. dom G -> ( ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) -> ( H ` suc suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) ) ) )
216	215	a2d 26	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( ( suc y e. dom G -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( H ` suc suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) ) ) )
217	138, 216	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( ( y e. dom G -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( H ` suc suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) ) ) )
218	217	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( ph -> ( ( y e. dom G -> ( H ` suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` y ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( H ` suc suc y ) e. ( A ^o suc ( G ` suc y ) ) ) ) ) )
219	82, 91, 100, 133, 218	finds2 6713	. . . . . 6 |- ( x e. om -> ( ph -> ( x e. dom G -> ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) ) ) )
220	72, 73, 60, 219	syl3c 61	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( H ` suc x ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) )
221	71, 220	eqeltrd 2531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( H ` K ) e. ( A ^o suc ( G ` x ) ) )
222	70, 221	sseldd 3490	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. om /\ K = suc x ) ) -> ( H ` K ) e. ( A ^o C ) )
223	222	rexlimdvaa 2936	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. om K = suc x -> ( H ` K ) e. ( A ^o C ) ) )
224	172	simprd 463	. . . . 5 |- ( ph -> dom G e. om )
225		peano2 6705	. . . . 5 |- ( dom G e. om -> suc dom G e. om )
226	224, 225	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> suc dom G e. om )
227		elnn 6695	. . . 4 |- ( ( K e. suc dom G /\ suc dom G e. om ) -> K e. om )
228	23, 226, 227	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> K e. om )
229		nn0suc 6709	. . 3 |- ( K e. om -> ( K = (/) \/ E. x e. om K = suc x ) )
230	228, 229	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( K = (/) \/ E. x e. om K = suc x ) )
231	13, 223, 230	mpjaod 381	1 |- ( ph -> ( H ` K ) e. ( A ^o C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   Tr wtr 4530   _E cep 4779   We wwe 4827   Ord word 4867   Oncon0 4868   suc csuc 4870   dom cdm 4989   "cima 4992   Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578   Isom wiso 5579  (class class class)co 6281   |-> cmpt2 6283   omcom 6685   supp csupp 6903  seq_𝜔cseqom 7114   +o coa 7129   .o comu 7130   ^o coe 7131   finSupp cfsupp 7831  OrdIsocoi 7937   CNF ccnf 8081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-seqom 7115  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-oexp 7138  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-cnf 8082

This theorem is referenced by:  cantnflt2  8095  cnfcomlem  8146