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Theorem cantnflt 8122
Description: An upper bound on the partial sums of the CNF function. Since each term dominates all previous terms, by induction we can bound the whole sum with any exponent  A  ^o  C where  C is larger than any exponent  ( G `  x ) ,  x  e.  K which has been summed so far. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 29-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
cantnfcl.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
cantnfcl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
cantnfval.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
cantnflt.a  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
cantnflt.k  |-  ( ph  ->  K  e.  suc  dom  G )
cantnflt.c  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
cantnflt.s  |-  ( ph  ->  ( G " K
)  C_  C )
Assertion
Ref Expression
cantnflt  |-  ( ph  ->  ( H `  K
)  e.  ( A  ^o  C ) )
Distinct variable groups:    z, k, B    z, C    A, k,
z    k, F, z    S, k, z    k, G, z   
k, K, z    ph, k,
z
Allowed substitution hints:    C( k)    H( z, k)

Proof of Theorem cantnflt
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2 cantnflt.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
3 cantnflt.a . . . 4  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
4 oen0 7271 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  C ) )
51, 2, 3, 4syl21anc 1229 . . 3  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( A  ^o  C ) )
6 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( K  =  (/)  ->  ( H `
 K )  =  ( H `  (/) ) )
7 0ex 4525 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
8 cantnfval.h . . . . . . 7  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
98seqom0g 7157 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( H `  (/) )  =  (/) )
107, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( H `
 (/) )  =  (/)
116, 10syl6eq 2459 . . . 4  |-  ( K  =  (/)  ->  ( H `
 K )  =  (/) )
1211eleq1d 2471 . . 3  |-  ( K  =  (/)  ->  ( ( H `  K )  e.  ( A  ^o  C )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  C ) ) )
135, 12syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  =  (/)  ->  ( H `  K
)  e.  ( A  ^o  C ) ) )
142adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  C  e.  On )
15 eloni 5419 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  On  ->  Ord  C )
1614, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  Ord  C )
17 cantnflt.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G " K
)  C_  C )
1817adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( G " K )  C_  C
)
19 cantnfcl.g . . . . . . . . . 10  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
2019oif 7988 . . . . . . . . 9  |-  G : dom  G --> ( F supp  (/) )
21 ffn 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( G : dom  G --> ( F supp  (/) )  ->  G  Fn  dom  G )
2220, 21mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  G  Fn  dom  G )
23 cantnflt.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  suc  dom  G )
2419oicl 7987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  dom  G
25 ordsuc 6631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
dom  G  <->  Ord  suc  dom  G )
2624, 25mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  Ord  suc  dom 
G
27 ordelon 5433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  suc  dom  G  /\  K  e.  suc  dom  G
)  ->  K  e.  On )
2826, 23, 27sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  On )
29 ordsssuc 5495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  On  /\  Ord  dom  G )  -> 
( K  C_  dom  G  <-> 
K  e.  suc  dom  G ) )
3028, 24, 29sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  C_  dom  G  <-> 
K  e.  suc  dom  G ) )
3123, 30mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  C_  dom  G )
3231adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  K  C_  dom  G )
33 vex 3061 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
3433sucid 5488 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
suc  x
35 simprr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  K  =  suc  x )
3634, 35syl5eleqr 2497 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  x  e.  K
)
37 fnfvima 6130 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  dom  G  /\  K  C_  dom  G  /\  x  e.  K
)  ->  ( G `  x )  e.  ( G " K ) )
3822, 32, 36, 37syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( G " K ) )
3918, 38sseldd 3442 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( G `  x )  e.  C
)
40 ordsucss 6635 . . . . . 6  |-  ( Ord 
C  ->  ( ( G `  x )  e.  C  ->  suc  ( G `  x )  C_  C ) )
4116, 39, 40sylc 59 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  suc  ( G `  x )  C_  C
)
42 suppssdm 6914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F supp  (/) )  C_  dom  F
43 cantnfcl.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
44 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
45 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4644, 1, 45cantnfs 8116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : B --> A  /\  F finSupp 
(/) ) ) )
4743, 46mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F : B --> A  /\  F finSupp  (/) ) )
4847simpld 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : B --> A )
49 fdm 5717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : B --> A  ->  dom  F  =  B )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  B )
5142, 50syl5sseq 3489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  C_  B )
52 onss 6607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
5345, 52syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  C_  On )
5451, 53sstrd 3451 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  C_  On )
5554adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( F supp  (/) )  C_  On )
5623adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  K  e.  suc  dom 
G )
5735, 56eqeltrrd 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  suc  x  e.  suc  dom  G )
58 ordsucelsuc 6639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
dom  G  ->  ( x  e.  dom  G  <->  suc  x  e. 
suc  dom  G ) )
5924, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom  G  <->  suc  x  e. 
suc  dom  G )
6057, 59sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  x  e.  dom  G )
6120ffvelrni 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  G  -> 
( G `  x
)  e.  ( F supp  (/) ) )
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( F supp  (/) ) )
6355, 62sseldd 3442 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( G `  x )  e.  On )
64 suceloni 6630 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  x )  e.  On  ->  suc  ( G `  x )  e.  On )
6563, 64syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  suc  ( G `  x )  e.  On )
661adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  A  e.  On )
673adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  (/)  e.  A )
68 oewordi 7276 . . . . . 6  |-  ( ( ( suc  ( G `
 x )  e.  On  /\  C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( suc  ( G `  x ) 
C_  C  ->  ( A  ^o  suc  ( G `
 x ) ) 
C_  ( A  ^o  C ) ) )
6965, 14, 66, 67, 68syl31anc 1233 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( suc  ( G `  x )  C_  C  ->  ( A  ^o  suc  ( G `  x ) )  C_  ( A  ^o  C ) ) )
7041, 69mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( A  ^o  suc  ( G `  x
) )  C_  ( A  ^o  C ) )
7135fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( H `  K )  =  ( H `  suc  x
) )
72 simprl 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  x  e.  om )
73 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ph )
74 eleq1 2474 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  dom  G  <->  (/)  e.  dom  G ) )
75 suceq 5474 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  suc  x  =  suc  (/) )
7675fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( H `
 suc  x )  =  ( H `  suc  (/) ) )
77 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G `
 x )  =  ( G `  (/) ) )
78 suceq 5474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  x )  =  ( G `  (/) )  ->  suc  ( G `
 x )  =  suc  ( G `  (/) ) )
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  suc  ( G `  x )  =  suc  ( G `  (/) ) )
8079oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  suc  ( G `
 x ) )  =  ( A  ^o  suc  ( G `  (/) ) ) )
8176, 80eleq12d 2484 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( H `  suc  x
)  e.  ( A  ^o  suc  ( G `
 x ) )  <-> 
( H `  suc  (/) )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `
 (/) ) ) ) )
8274, 81imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  x )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x )
) )  <->  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  (/) )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  (/) ) ) ) ) )
83 eleq1 2474 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  dom  G  <->  y  e.  dom  G ) )
84 suceq 5474 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  suc  x  =  suc  y )
8584fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  suc  x )  =  ( H `  suc  y ) )
86 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
87 suceq 5474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  suc  ( G `  x )  =  suc  ( G `
 y ) )
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  suc  ( G `  x )  =  suc  ( G `
 y ) )
8988oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  suc  ( G `
 x ) )  =  ( A  ^o  suc  ( G `  y
) ) )
9085, 89eleq12d 2484 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( H `  suc  x )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x )
)  <->  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )
9183, 90imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  x )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x )
) )  <->  ( y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y
) ) ) ) )
92 eleq1 2474 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  dom  G  <->  suc  y  e.  dom  G ) )
93 suceq 5474 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  ->  suc  x  =  suc  suc  y )
9493fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( H `  suc  x )  =  ( H `  suc  suc  y ) )
95 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( G `  x
)  =  ( G `
 suc  y )
)
96 suceq 5474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  x )  =  ( G `  suc  y )  ->  suc  ( G `  x )  =  suc  ( G `
 suc  y )
)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  ->  suc  ( G `  x
)  =  suc  ( G `  suc  y ) )
9897oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  suc  ( G `  x ) )  =  ( A  ^o  suc  ( G `
 suc  y )
) )
9994, 98eleq12d 2484 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( H `  suc  x )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x )
)  <->  ( H `  suc  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y
) ) ) )
10092, 99imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
dom  G  ->  ( H `
 suc  x )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x ) ) )  <->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( H `  suc  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
10148adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  F : B
--> A )
10220ffvelrni 6007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( G `  (/) )  e.  ( F supp  (/) ) )
10351sselda 3441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( G `  (/) )  e.  ( F supp  (/) ) )  -> 
( G `  (/) )  e.  B )
104102, 103sylan2 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( G `  (/) )  e.  B
)
105101, 104ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( F `  ( G `  (/) ) )  e.  A )
1061adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  A  e.  On )
107 onelon 5434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 (/) ) )  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  (/) ) )  e.  On )
108106, 105, 107syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( F `  ( G `  (/) ) )  e.  On )
10954sselda 3441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( G `  (/) )  e.  ( F supp  (/) ) )  -> 
( G `  (/) )  e.  On )
110102, 109sylan2 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( G `  (/) )  e.  On )
111 oecl 7223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  (/) )  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  e.  On )
112106, 110, 111syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  e.  On )
1133adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  (/)  e.  A
)
114 oen0 7271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( G `  (/) )  e.  On )  /\  (/)  e.  A
)  ->  (/)  e.  ( A  ^o  ( G `
 (/) ) ) )
115106, 110, 113, 114syl21anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  ( G `
 (/) ) ) )
116 omord2 7252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  (/) ) )  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  ( G `  (/) ) ) )  -> 
( ( F `  ( G `  (/) ) )  e.  A  <->  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  A
) ) )
117108, 106, 112, 115, 116syl31anc 1233 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( ( F `  ( G `  (/) ) )  e.  A  <->  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  A
) ) )
118105, 117mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  A
) )
119 peano1 6702 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  om
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  dom  G  ->  (/)  e.  om )
12144, 1, 45, 19, 43, 8cantnfsuc 8120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  om )  ->  ( H `  suc  (/) )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  +o  ( H `
 (/) ) ) )
122120, 121sylan2 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( H `  suc  (/) )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  +o  ( H `
 (/) ) ) )
12310oveq2i 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  +o  ( H `
 (/) ) )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  +o  (/) )
124 omcl 7222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  e.  On  /\  ( F `  ( G `  (/) ) )  e.  On )  ->  (
( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  e.  On )
125112, 108, 124syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  e.  On )
126 oa0 7202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  e.  On  ->  ( ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  +o  (/) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) )
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( (
( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  +o  (/) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) )
128123, 127syl5eq 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( (
( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  +o  ( H `
 (/) ) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) )
129122, 128eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( H `  suc  (/) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) )
130 oesuc 7213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  (/) )  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  ( G `
 (/) ) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  A ) )
131106, 110, 130syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( A  ^o  suc  ( G `  (/) ) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  A ) )
132118, 129, 1313eltr4d 2505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( H `  suc  (/) )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  (/) ) ) )
133132ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  (/) )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  (/) ) ) ) )
134 ordtr 5423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
dom  G  ->  Tr  dom  G )
13524, 134ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  Tr  dom  G
136 trsuc 5493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Tr  dom  G  /\  suc  y  e.  dom  G )  ->  y  e.  dom  G )
137135, 136mpan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  y  e.  dom  G  ->  y  e.  dom  G
)
138137imim1i 57 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )
1391ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  A  e.  On )
140 eloni 5419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  Ord  A )
14248ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  F : B --> A )
14351ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( F supp  (/) )  C_  B )
14420ffvelrni 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( G `  suc  y )  e.  ( F supp  (/) ) )
145144ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( G `  suc  y )  e.  ( F supp  (/) ) )
146143, 145sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( G `  suc  y )  e.  B
)
147142, 146ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( F `  ( G `  suc  y ) )  e.  A )
148 ordsucss 6635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord 
A  ->  ( ( F `  ( G `  suc  y ) )  e.  A  ->  suc  ( F `  ( G `
 suc  y )
)  C_  A )
)
149141, 147, 148sylc 59 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  suc  ( F `  ( G `  suc  y ) )  C_  A )
150 onelon 5434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 suc  y )
)  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  suc  y
) )  e.  On )
151139, 147, 150syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( F `  ( G `  suc  y ) )  e.  On )
152 suceloni 6630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  ( G `
 suc  y )
)  e.  On  ->  suc  ( F `  ( G `  suc  y ) )  e.  On )
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  suc  ( F `  ( G `  suc  y ) )  e.  On )
15454ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( F supp  (/) )  C_  On )
155154, 145sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( G `  suc  y )  e.  On )
156 oecl 7223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  suc  y
)  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  e.  On )
157139, 155, 156syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  e.  On )
158 omwordi 7256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( suc  ( F `  ( G `  suc  y
) )  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  e.  On )  ->  ( suc  ( F `  ( G `  suc  y ) ) 
C_  A  ->  (
( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  suc  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  C_  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  A ) ) )
159153, 139, 157, 158syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( suc  ( F `  ( G `  suc  y ) )  C_  A  ->  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o 
suc  ( F `  ( G `  suc  y
) ) )  C_  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  A
) ) )
160149, 159mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  suc  ( F `  ( G `
 suc  y )
) )  C_  (
( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  A ) )
161 oesuc 7213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  suc  y
)  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  A
) )
162139, 155, 161syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( A  ^o  suc  ( G `  suc  y
) )  =  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  A ) )
163160, 162sseqtr4d 3478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  suc  ( F `  ( G `
 suc  y )
) )  C_  ( A  ^o  suc  ( G `
 suc  y )
) )
164 eloni 5419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  suc  y
)  e.  On  ->  Ord  ( G `  suc  y ) )
165155, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  Ord  ( G `  suc  y ) )
166 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
167166sucid 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  e. 
suc  y
168166sucex 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  suc  y  e.  _V
169168epelc 4735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  _E  suc  y  <->  y  e.  suc  y )
170167, 169mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  y  _E 
suc  y
17145, 51ssexd 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  e. 
_V )
17244, 1, 45, 19, 43cantnfcl 8117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( F supp 
(/) )  /\  dom  G  e.  om ) )
173172simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  _E  We  ( F supp  (/) ) )
17419oiiso 7995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F supp  (/) )  e. 
_V  /\  _E  We  ( F supp  (/) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G , 
( F supp  (/) ) ) )
175171, 173, 174syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) ) )
176175ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) ) )
177137ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
y  e.  dom  G
)
178 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  suc  y  e.  dom  G )
179 isorel 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) )  /\  ( y  e.  dom  G  /\  suc  y  e. 
dom  G ) )  ->  ( y  _E 
suc  y  <->  ( G `  y )  _E  ( G `  suc  y ) ) )
180176, 177, 178, 179syl12anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( y  _E  suc  y 
<->  ( G `  y
)  _E  ( G `
 suc  y )
) )
181170, 180mpbii 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( G `  y
)  _E  ( G `
 suc  y )
)
182 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G `
 suc  y )  e.  _V
183182epelc 4735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  y )  _E  ( G `  suc  y )  <->  ( G `  y )  e.  ( G `  suc  y
) )
184181, 183sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( G `  y
)  e.  ( G `
 suc  y )
)
185 ordsucss 6635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Ord  ( G `  suc  y )  ->  (
( G `  y
)  e.  ( G `
 suc  y )  ->  suc  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) ) )
186165, 184, 185sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  suc  ( G `  y
)  C_  ( G `  suc  y ) )
18720ffvelrni 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  dom  G  -> 
( G `  y
)  e.  ( F supp  (/) ) )
188177, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( G `  y
)  e.  ( F supp  (/) ) )
189154, 188sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( G `  y
)  e.  On )
190 suceloni 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  y )  e.  On  ->  suc  ( G `  y )  e.  On )
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  suc  ( G `  y
)  e.  On )
1923ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  (/) 
e.  A )
193 oewordi 7276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( suc  ( G `
 y )  e.  On  /\  ( G `
 suc  y )  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( suc  ( G `  y ) 
C_  ( G `  suc  y )  ->  ( A  ^o  suc  ( G `
 y ) ) 
C_  ( A  ^o  ( G `  suc  y
) ) ) )
194191, 155, 139, 192, 193syl31anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( suc  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y )  ->  ( A  ^o  suc  ( G `  y
) )  C_  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) ) ) )
195186, 194mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( A  ^o  suc  ( G `  y ) )  C_  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) ) )
196 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) )
197195, 196sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  ( G `
 suc  y )
) )
198 peano2 6703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
199198ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  ->  suc  y  e.  om )
2008cantnfvalf 8115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  H : om
--> On
201200ffvelrni 6007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( suc  y  e.  om  ->  ( H `  suc  y
)  e.  On )
202199, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( H `  suc  y )  e.  On )
203 omcl 7222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 suc  y )
)  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  e.  On )
204157, 151, 203syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  e.  On )
205 oaord 7232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( H `  suc  y )  e.  On  /\  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  e.  On  /\  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  e.  On )  ->  ( ( H `
 suc  y )  e.  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  <->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 suc  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( H `  suc  y ) )  e.  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
206202, 157, 204, 205syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  ( G `
 suc  y )
)  <->  ( ( ( A  ^o  ( G `
 suc  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( H `  suc  y ) )  e.  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
207197, 206mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( H `  suc  y ) )  e.  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( A  ^o  ( G `  suc  y
) ) ) )
20844, 1, 45, 19, 43, 8cantnfsuc 8120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  suc  y  e. 
om )  ->  ( H `  suc  suc  y
)  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( H `  suc  y ) ) )
209198, 208sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( H `  suc  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `
 suc  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( H `  suc  y ) ) )
210209adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( H `  suc  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( H `
 suc  y )
) )
211 omsuc 7212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 suc  y )
)  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o 
suc  ( F `  ( G `  suc  y
) ) )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) ) ) )
212157, 151, 211syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  suc  ( F `  ( G `
 suc  y )
) )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  +o  ( A  ^o  ( G `  suc  y ) ) ) )
213207, 210, 2123eltr4d 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( H `  suc  suc  y )  e.  ( ( A  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  suc  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) )
214163, 213sseldd 3442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) ) )  -> 
( H `  suc  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y ) ) )
215214exp32 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
)  ->  ( H `  suc  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y
) ) ) ) )
216215a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y
) ) ) ) )
217138, 216syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( (
y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y
) ) ) ) )
218217expcom 433 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( y  e.  dom  G  -> 
( H `  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  y )
) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( H `  suc  suc  y )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  suc  y
) ) ) ) ) )
21982, 91, 100, 133, 218finds2 6711 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  ( ph  ->  ( x  e. 
dom  G  ->  ( H `
 suc  x )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x ) ) ) ) )
22072, 73, 60, 219syl3c 60 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( H `  suc  x )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x )
) )
22171, 220eqeltrd 2490 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( H `  K )  e.  ( A  ^o  suc  ( G `  x )
) )
22270, 221sseldd 3442 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  om  /\  K  =  suc  x ) )  ->  ( H `  K )  e.  ( A  ^o  C ) )
223222rexlimdvaa 2896 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
om  K  =  suc  x  ->  ( H `  K )  e.  ( A  ^o  C ) ) )
224172simprd 461 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  om )
225 peano2 6703 . . . . 5  |-  ( dom 
G  e.  om  ->  suc 
dom  G  e.  om )
226224, 225syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  suc  dom  G  e.  om )
227 elnn 6692 . . . 4  |-  ( ( K  e.  suc  dom  G  /\  suc  dom  G  e.  om )  ->  K  e.  om )
22823, 226, 227syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  om )
229 nn0suc 6707 . . 3  |-  ( K  e.  om  ->  ( K  =  (/)  \/  E. x  e.  om  K  =  suc  x ) )
230228, 229syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  =  (/)  \/ 
E. x  e.  om  K  =  suc  x ) )
23113, 223, 230mpjaod 379 1  |-  ( ph  ->  ( H `  K
)  e.  ( A  ^o  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2754   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   (/)c0 3737   class class class wbr 4394   Tr wtr 4488    _E cep 4731    We wwe 4780   dom cdm 4822   "cima 4825   Ord word 5408   Oncon0 5409   suc csuc 5411    Fn wfn 5563   -->wf 5564   ` cfv 5568    Isom wiso 5569  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   omcom 6682   supp csupp 6901  seq𝜔cseqom 7148    +o coa 7163    .o comu 7164    ^o coe 7165   finSupp cfsupp 7862  OrdIsocoi 7967   CNF ccnf 8109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-seqom 7149  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-oexp 7172  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-cnf 8110
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