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Theorem cantnflem3OLD 8035
Description: Lemma for cantnfOLD 8037. Here we show existence of Cantor normal forms. Assuming (by transfinite induction) that every number less than  C has a normal form, we can use oeeu 7155 to factor  C into the form  ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  Z where  0  <  Y  <  A and  Z  <  ( A  ^o  X ) (and a fortiori  X  < 
B). Then since  Z  <  ( A  ^o  X )  <_ 
( A  ^o  X
)  .o  Y  <_  C,  Z has a normal form, and by appending the term  ( A  ^o  X )  .o  Y using cantnfp1OLD 8029 we get a normal form for  C. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) Obsolete version of cantnflem3 8013 as of 2-Jul-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfsOLD.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfsOLD.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfsOLD.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapvalOLD.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
cantnfOLD.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A  ^o  B ) )
cantnfOLD.2  |-  ( ph  ->  C  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
cantnfOLD.3  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  C )
cantnfOLD.4  |-  X  = 
U. |^| { c  e.  On  |  C  e.  ( A  ^o  c
) }
cantnfOLD.5  |-  P  =  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  X ) ( d  =  <. a ,  b
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  a )  +o  b )  =  C ) )
cantnfOLD.6  |-  Y  =  ( 1st `  P
)
cantnfOLD.7  |-  Z  =  ( 2nd `  P
)
cantnfOLD.8  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
cantnfOLD.9  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  G )  =  Z )
cantnfOLD.f  |-  F  =  ( t  e.  B  |->  if ( t  =  X ,  Y , 
( G `  t
) ) )
Assertion
Ref Expression
cantnflem3OLD  |-  ( ph  ->  C  e.  ran  ( A CNF  B ) )
Distinct variable groups:    t, c, w, x, y, z, B   
a, b, c, d, w, x, y, z, C    t, a, A, b, c, d, w, x, y, z    T, c, t    w, F, x, y, z    S, c, t, x, y, z   
t, Z, x, y, z    G, c, t, w, x, y, z    ph, t, x, y, z    t, Y, w, x, y, z    X, a, b, d, t, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w, a, b, c, d)    B( a, b, d)    C( t)    P( x, y, z, w, t, a, b, c, d)    S( w, a, b, d)    T( x, y, z, w, a, b, d)    F( t, a, b, c, d)    G( a, b, d)    X( c)    Y( a, b, c, d)    Z( w, a, b, c, d)

Proof of Theorem cantnflem3OLD
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfsOLD.1 . . . . 5  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnfsOLD.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnfsOLD.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 cantnfOLD.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
5 oemapvalOLD.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
6 cantnfOLD.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A  ^o  B ) )
7 cantnfOLD.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
8 cantnfOLD.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  C )
91, 2, 3, 5, 6, 7, 8cantnflem2 8012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  C  e.  ( On  \  1o ) ) )
10 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  =  X
11 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  =  Y
12 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  Z
1310, 11, 123pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  =  X  /\  Y  =  Y  /\  Z  =  Z )
14 cantnfOLD.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  = 
U. |^| { c  e.  On  |  C  e.  ( A  ^o  c
) }
15 cantnfOLD.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  P  =  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  X ) ( d  =  <. a ,  b
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  a )  +o  b )  =  C ) )
16 cantnfOLD.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  =  ( 1st `  P
)
17 cantnfOLD.7 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  ( 2nd `  P
)
1814, 15, 16, 17oeeui 7154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  C  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A  \  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  /\  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z )  =  C )  <->  ( X  =  X  /\  Y  =  Y  /\  Z  =  Z ) ) )
1913, 18mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  C  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A  \  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  /\  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z )  =  C ) )
209, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A  \  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  /\  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z )  =  C ) )
2120simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A 
\  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) ) )
2221simp1d 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  On )
23 oecl 7090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
242, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
2521simp2d 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A 
\  1o ) )
2625eldifad 3451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  A )
27 onelon 4855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  Y  e.  A )  ->  Y  e.  On )
282, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  On )
29 dif1o 7053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  ( A  \  1o )  <->  ( Y  e.  A  /\  Y  =/=  (/) ) )
3029simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( A  \  1o )  ->  Y  =/=  (/) )
3125, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
32 on0eln0 4885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  On  ->  ( (/) 
e.  Y  <->  Y  =/=  (/) ) )
3328, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  Y  <->  Y  =/=  (/) ) )
3431, 33mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  Y )
35 omword1 7125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ^o  X )  e.  On  /\  Y  e.  On )  /\  (/)  e.  Y )  ->  ( A  ^o  X )  C_  (
( A  ^o  X
)  .o  Y ) )
3624, 28, 34, 35syl21anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  Y ) )
37 omcl 7089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  Y  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  e.  On )
3824, 28, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  e.  On )
3921simp3d 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( A  ^o  X ) )
40 onelon 4855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  ->  Z  e.  On )
4124, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  On )
42 oaword1 7104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  e.  On  /\  Z  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  C_  ( (
( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z ) )
4338, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  C_  ( (
( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z ) )
4420simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  Z
)  =  C )
4543, 44sseqtrd 3503 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  C_  C )
4636, 45sstrd 3477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  C_  C )
47 oecl 7090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
482, 3, 47syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
49 ontr2 4877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( A  ^o  B )  e.  On )  -> 
( ( ( A  ^o  X )  C_  C  /\  C  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5024, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  C_  C  /\  C  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5146, 6, 50mp2and 679 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  e.  ( A  ^o  B ) )
529simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( On 
\  2o ) )
53 oeord 7140 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  ->  ( X  e.  B  <->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5422, 3, 52, 53syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  <->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5551, 54mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
562adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  A  e.  On )
573adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  B  e.  On )
58 cnvimass 5300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  G
591, 2, 3cantnfsOLD 8018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( G  e.  S  <->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
604, 59mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
6160simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
62 fdm 5674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : B --> A  ->  dom  G  =  B )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  G  =  B )
6458, 63syl5sseq 3515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  C_  B
)
6564sselda 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  x  e.  B )
66 onelon 4855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
6757, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  x  e.  On )
68 oecl 7090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  ^o  x
)  e.  On )
6956, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( A  ^o  x )  e.  On )
7061adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G : B
--> A )
7170, 65ffvelrnd 5956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  A
)
72 onelon 4855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  x )  e.  A )  -> 
( G `  x
)  e.  On )
7356, 71, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  On )
74 ffn 5670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : B --> A  ->  G  Fn  B )
75 elpreima 5935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  Fn  B  ->  (
x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( x  e.  B  /\  ( G `  x
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
7661, 74, 753syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( x  e.  B  /\  ( G `  x
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
7776simplbda 624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( _V  \  1o ) )
78 dif1o 7053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  x )  e.  ( _V  \  1o )  <->  ( ( G `
 x )  e. 
_V  /\  ( G `  x )  =/=  (/) ) )
7978simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  x )  e.  ( _V  \  1o )  ->  ( G `
 x )  =/=  (/) )
8077, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  x )  =/=  (/) )
81 on0eln0 4885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  x )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( G `  x )  <->  ( G `  x )  =/=  (/) ) )
8273, 81syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( (/)  e.  ( G `  x )  <-> 
( G `  x
)  =/=  (/) ) )
8380, 82mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  (/)  e.  ( G `  x ) )
84 omword1 7125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ^o  x )  e.  On  /\  ( G `  x
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( G `
 x ) )  ->  ( A  ^o  x )  C_  (
( A  ^o  x
)  .o  ( G `
 x ) ) )
8569, 73, 83, 84syl21anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( A  ^o  x )  C_  (
( A  ^o  x
)  .o  ( G `
 x ) ) )
86 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |- OrdIso (  _E  ,  ( `' G " ( _V  \  1o ) ) )  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
874adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G  e.  S )
88 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' G " ( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( G `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' G " ( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( G `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
891, 56, 57, 86, 87, 88, 65cantnfleOLD 8023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( ( A  ^o  x )  .o  ( G `  x
) )  C_  (
( A CNF  B ) `
 G ) )
90 cantnfOLD.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  G )  =  Z )
9190adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( ( A CNF  B ) `  G
)  =  Z )
9289, 91sseqtrd 3503 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( ( A  ^o  x )  .o  ( G `  x
) )  C_  Z
)
9385, 92sstrd 3477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( A  ^o  x )  C_  Z
)
9439adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  Z  e.  ( A  ^o  X ) )
9524adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  On )
96 ontr2 4877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ^o  x
)  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  e.  On )  -> 
( ( ( A  ^o  x )  C_  Z  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  ->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) ) )
9769, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( (
( A  ^o  x
)  C_  Z  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  -> 
( A  ^o  x
)  e.  ( A  ^o  X ) ) )
9893, 94, 97mp2and 679 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) )
9922adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  X  e.  On )
10052adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  A  e.  ( On  \  2o ) )
101 oeord 7140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  X  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  ->  (
x  e.  X  <->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) ) )
10267, 99, 100, 101syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( x  e.  X  <->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) ) )
10398, 102mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  x  e.  X )
104103ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  ->  x  e.  X
) )
105104ssrdv 3473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  C_  X
)
106 cantnfOLD.f . . . . 5  |-  F  =  ( t  e.  B  |->  if ( t  =  X ,  Y , 
( G `  t
) ) )
1071, 2, 3, 4, 55, 26, 105, 106cantnfp1OLD 8029 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  /\  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  ( ( A CNF  B
) `  G )
) ) )
108107simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  ( ( A CNF  B
) `  G )
) )
10990oveq2d 6219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  (
( A CNF  B ) `
 G ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  Z ) )
110108, 109, 443eqtrd 2499 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  C )
1111, 2, 3cantnff 7996 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B ) )
112 ffn 5670 . . . 4  |-  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  ->  ( A CNF  B )  Fn  S
)
113111, 112syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B )  Fn  S )
114107simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
115 fnfvelrn 5952 . . 3  |-  ( ( ( A CNF  B )  Fn  S  /\  F  e.  S )  ->  (
( A CNF  B ) `
 F )  e. 
ran  ( A CNF  B
) )
116113, 114, 115syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  e.  ran  ( A CNF  B
) )
117110, 116eqeltrrd 2543 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ran  ( A CNF  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ifcif 3902   <.cop 3994   U.cuni 4202   |^|cint 4239   {copab 4460    |-> cmpt 4461    _E cep 4741   Oncon0 4830   `'ccnv 4950   dom cdm 4951   ran crn 4952   "cima 4954   iotacio 5490    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   1stc1st 6688   2ndc2nd 6689  seq𝜔cseqom 7015   1oc1o 7026   2oc2o 7027    +o coa 7030    .o comu 7031    ^o coe 7032   Fincfn 7423  OrdIsocoi 7837   CNF ccnf 7981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-seqom 7016  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-oexp 7039  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-cnf 7982
This theorem is referenced by:  cantnflem4OLD  8036
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