MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnflem3 Structured version   Unicode version

Theorem cantnflem3 8005
Description: Lemma for cantnf 8007. Here we show existence of Cantor normal forms. Assuming (by transfinite induction) that every number less than  C has a normal form, we can use oeeu 7147 to factor  C into the form  ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  Z where  0  <  Y  <  A and  Z  <  ( A  ^o  X ) (and a fortiori  X  < 
B). Then since  Z  <  ( A  ^o  X )  <_ 
( A  ^o  X
)  .o  Y  <_  C,  Z has a normal form, and by appending the term  ( A  ^o  X )  .o  Y using cantnfp1 7995 we get a normal form for 
C. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
cantnf.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A  ^o  B ) )
cantnf.s  |-  ( ph  ->  C  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
cantnf.e  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  C )
cantnf.x  |-  X  = 
U. |^| { c  e.  On  |  C  e.  ( A  ^o  c
) }
cantnf.p  |-  P  =  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  X ) ( d  =  <. a ,  b
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  a )  +o  b )  =  C ) )
cantnf.y  |-  Y  =  ( 1st `  P
)
cantnf.z  |-  Z  =  ( 2nd `  P
)
cantnf.g  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
cantnf.v  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  G )  =  Z )
cantnf.f  |-  F  =  ( t  e.  B  |->  if ( t  =  X ,  Y , 
( G `  t
) ) )
Assertion
Ref Expression
cantnflem3  |-  ( ph  ->  C  e.  ran  ( A CNF  B ) )
Distinct variable groups:    t, c, w, x, y, z, B   
a, b, c, d, w, x, y, z, C    t, a, A, b, c, d, w, x, y, z    T, c, t    w, F, x, y, z    S, c, t, x, y, z   
t, Z, x, y, z    G, c, t, w, x, y, z    ph, t, x, y, z    t, Y, w, x, y, z    X, a, b, d, t, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w, a, b, c, d)    B( a, b, d)    C( t)    P( x, y, z, w, t, a, b, c, d)    S( w, a, b, d)    T( x, y, z, w, a, b, d)    F( t, a, b, c, d)    G( a, b, d)    X( c)    Y( a, b, c, d)    Z( w, a, b, c, d)

Proof of Theorem cantnflem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . . . 5  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnfs.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnfs.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 cantnf.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
5 oemapval.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
6 cantnf.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A  ^o  B ) )
7 cantnf.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
8 cantnf.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  C )
91, 2, 3, 5, 6, 7, 8cantnflem2 8004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  C  e.  ( On  \  1o ) ) )
10 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  =  X
11 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  =  Y
12 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  Z
1310, 11, 123pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  =  X  /\  Y  =  Y  /\  Z  =  Z )
14 cantnf.x . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  = 
U. |^| { c  e.  On  |  C  e.  ( A  ^o  c
) }
15 cantnf.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  P  =  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  X ) ( d  =  <. a ,  b
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  a )  +o  b )  =  C ) )
16 cantnf.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  =  ( 1st `  P
)
17 cantnf.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  ( 2nd `  P
)
1814, 15, 16, 17oeeui 7146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  C  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A  \  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  /\  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z )  =  C )  <->  ( X  =  X  /\  Y  =  Y  /\  Z  =  Z ) ) )
1913, 18mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  C  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A  \  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  /\  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z )  =  C ) )
209, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A  \  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  /\  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z )  =  C ) )
2120simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  On  /\  Y  e.  ( A 
\  1o )  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) ) )
2221simp1d 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  On )
23 oecl 7082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
242, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
2521simp2d 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A 
\  1o ) )
2625eldifad 3443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  A )
27 onelon 4847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  Y  e.  A )  ->  Y  e.  On )
282, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  On )
29 dif1o 7045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  ( A  \  1o )  <->  ( Y  e.  A  /\  Y  =/=  (/) ) )
3029simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( A  \  1o )  ->  Y  =/=  (/) )
3125, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
32 on0eln0 4877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  On  ->  ( (/) 
e.  Y  <->  Y  =/=  (/) ) )
3328, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  Y  <->  Y  =/=  (/) ) )
3431, 33mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  Y )
35 omword1 7117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ^o  X )  e.  On  /\  Y  e.  On )  /\  (/)  e.  Y )  ->  ( A  ^o  X )  C_  (
( A  ^o  X
)  .o  Y ) )
3624, 28, 34, 35syl21anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  Y ) )
37 omcl 7081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  Y  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  e.  On )
3824, 28, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  e.  On )
3921simp3d 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( A  ^o  X ) )
40 onelon 4847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  ->  Z  e.  On )
4124, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  On )
42 oaword1 7096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  e.  On  /\  Z  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  C_  ( (
( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z ) )
4338, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  C_  ( (
( A  ^o  X
)  .o  Y )  +o  Z ) )
4420simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  Z
)  =  C )
4543, 44sseqtrd 3495 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  Y
)  C_  C )
4636, 45sstrd 3469 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  C_  C )
47 oecl 7082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
482, 3, 47syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
49 ontr2 4869 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( A  ^o  B )  e.  On )  -> 
( ( ( A  ^o  X )  C_  C  /\  C  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5024, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  C_  C  /\  C  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5146, 6, 50mp2and 679 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  e.  ( A  ^o  B ) )
529simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( On 
\  2o ) )
53 oeord 7132 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  ->  ( X  e.  B  <->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5422, 3, 52, 53syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  <->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
5551, 54mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
562adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  A  e.  On )
573adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  B  e.  On )
58 suppssdm 6808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G supp  (/) )  C_  dom  G
591, 2, 3cantnfs 7980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( G  e.  S  <->  ( G : B --> A  /\  G finSupp 
(/) ) ) )
604, 59mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G : B --> A  /\  G finSupp  (/) ) )
6160simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
62 fdm 5666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : B --> A  ->  dom  G  =  B )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  G  =  B )
6458, 63syl5sseq 3507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G supp  (/) )  C_  B )
6564sselda 3459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  x  e.  B
)
66 onelon 4847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
6757, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  x  e.  On )
68 oecl 7082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  ^o  x
)  e.  On )
6956, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( A  ^o  x )  e.  On )
7061adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  G : B --> A )
7170, 65ffvelrnd 5948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( G `  x )  e.  A
)
72 onelon 4847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  x )  e.  A )  -> 
( G `  x
)  e.  On )
7356, 71, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( G `  x )  e.  On )
74 ffn 5662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : B --> A  ->  G  Fn  B )
7561, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  Fn  B )
76 0ex 4525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (/)  e.  _V
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
78 elsuppfn 6803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  Fn  B  /\  B  e.  On  /\  (/)  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( G supp  (/) )  <->  ( x  e.  B  /\  ( G `  x )  =/=  (/) ) ) )
7975, 3, 77, 78syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G supp  (/) )  <->  ( x  e.  B  /\  ( G `  x )  =/=  (/) ) ) )
8079simplbda 624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( G `  x )  =/=  (/) )
81 on0eln0 4877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  x )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( G `  x )  <->  ( G `  x )  =/=  (/) ) )
8273, 81syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( (/)  e.  ( G `  x )  <-> 
( G `  x
)  =/=  (/) ) )
8380, 82mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  (/)  e.  ( G `
 x ) )
84 omword1 7117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ^o  x )  e.  On  /\  ( G `  x
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( G `
 x ) )  ->  ( A  ^o  x )  C_  (
( A  ^o  x
)  .o  ( G `
 x ) ) )
8569, 73, 83, 84syl21anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( A  ^o  x )  C_  (
( A  ^o  x
)  .o  ( G `
 x ) ) )
86 eqid 2452 . . . . . . . . . . . 12  |- OrdIso (  _E  ,  ( G supp  (/) ) )  = OrdIso (  _E  , 
( G supp  (/) ) )
874adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  G  e.  S
)
88 eqid 2452 . . . . . . . . . . . 12  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( G supp  (/) ) ) `
 k ) )  .o  ( G `  (OrdIso (  _E  ,  ( G supp  (/) ) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( G supp  (/) ) ) `  k ) )  .o  ( G `  (OrdIso (  _E  ,  ( G supp 
(/) ) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )
891, 56, 57, 86, 87, 88, 65cantnfle 7985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( ( A  ^o  x )  .o  ( G `  x
) )  C_  (
( A CNF  B ) `
 G ) )
90 cantnf.v . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  G )  =  Z )
9190adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( ( A CNF 
B ) `  G
)  =  Z )
9289, 91sseqtrd 3495 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( ( A  ^o  x )  .o  ( G `  x
) )  C_  Z
)
9385, 92sstrd 3469 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( A  ^o  x )  C_  Z
)
9439adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  Z  e.  ( A  ^o  X ) )
9524adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  On )
96 ontr2 4869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ^o  x
)  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  e.  On )  -> 
( ( ( A  ^o  x )  C_  Z  /\  Z  e.  ( A  ^o  X ) )  ->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) ) )
9769, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( ( ( A  ^o  x ) 
C_  Z  /\  Z  e.  ( A  ^o  X
) )  ->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X
) ) )
9893, 94, 97mp2and 679 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) )
9922adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  X  e.  On )
10052adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  A  e.  ( On  \  2o ) )
101 oeord 7132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  X  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  ->  (
x  e.  X  <->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) ) )
10267, 99, 100, 101syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( x  e.  X  <->  ( A  ^o  x )  e.  ( A  ^o  X ) ) )
10398, 102mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  x  e.  X
)
104103ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G supp  (/) )  ->  x  e.  X ) )
105104ssrdv 3465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G supp  (/) )  C_  X )
106 cantnf.f . . . . 5  |-  F  =  ( t  e.  B  |->  if ( t  =  X ,  Y , 
( G `  t
) ) )
1071, 2, 3, 4, 55, 26, 105, 106cantnfp1 7995 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  /\  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  ( ( A CNF  B
) `  G )
) ) )
108107simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  ( ( A CNF  B
) `  G )
) )
10990oveq2d 6211 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  (
( A CNF  B ) `
 G ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  Y )  +o  Z ) )
110108, 109, 443eqtrd 2497 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  C )
1111, 2, 3cantnff 7988 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B ) )
112 ffn 5662 . . . 4  |-  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  ->  ( A CNF  B )  Fn  S
)
113111, 112syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B )  Fn  S )
114107simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
115 fnfvelrn 5944 . . 3  |-  ( ( ( A CNF  B )  Fn  S  /\  F  e.  S )  ->  (
( A CNF  B ) `
 F )  e. 
ran  ( A CNF  B
) )
116113, 114, 115syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  e.  ran  ( A CNF  B
) )
117110, 116eqeltrrd 2541 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ran  ( A CNF  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797   {crab 2800   _Vcvv 3072    \ cdif 3428    C_ wss 3431   (/)c0 3740   ifcif 3894   <.cop 3986   U.cuni 4194   |^|cint 4231   class class class wbr 4395   {copab 4452    |-> cmpt 4453    _E cep 4733   Oncon0 4822   dom cdm 4943   ran crn 4944   iotacio 5482    Fn wfn 5516   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    |-> cmpt2 6197   1stc1st 6680   2ndc2nd 6681   supp csupp 6795  seq𝜔cseqom 7007   1oc1o 7018   2oc2o 7019    +o coa 7022    .o comu 7023    ^o coe 7024   finSupp cfsupp 7726  OrdIsocoi 7829   CNF ccnf 7973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-seqom 7008  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-omul 7030  df-oexp 7031  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-oi 7830  df-cnf 7974
This theorem is referenced by:  cantnflem4  8006
  Copyright terms: Public domain W3C validator