Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnflem1dOLD Structured version   Unicode version

Theorem cantnflem1dOLD 8129
 Description: Lemma for cantnfOLD 8133. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) Obsolete version of cantnflem1a 8103 as of 2-Jul-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfsOLD.1 CNF
cantnfsOLD.2
cantnfsOLD.3
oemapvalOLD.t
oemapvalOLD.3
oemapvalOLD.4
oemapvalOLD.5
oemapvalOLD.6
cantnflem1OLD.o OrdIso
cantnflem1OLD.h seq𝜔
Assertion
Ref Expression
cantnflem1dOLD CNF
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,,)   (,,,)   ()   ()

Proof of Theorem cantnflem1dOLD
StepHypRef Expression
1 cantnfsOLD.2 . . . . . 6
2 cantnfsOLD.3 . . . . . . 7
3 cantnfsOLD.1 . . . . . . . . 9 CNF
4 oemapvalOLD.t . . . . . . . . 9
5 oemapvalOLD.3 . . . . . . . . 9
6 oemapvalOLD.4 . . . . . . . . 9
7 oemapvalOLD.5 . . . . . . . . 9
8 oemapvalOLD.6 . . . . . . . . 9
93, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8oemapvali 8102 . . . . . . . 8
109simp1d 1008 . . . . . . 7
11 onelon 4903 . . . . . . 7
122, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6
13 oecl 7187 . . . . . 6
141, 12, 13syl2anc 661 . . . . 5
153, 1, 2cantnfsOLD 8114 . . . . . . . . 9
166, 15mpbid 210 . . . . . . . 8
1716simpld 459 . . . . . . 7
1817, 10ffvelrnd 6021 . . . . . 6
19 onelon 4903 . . . . . 6
201, 18, 19syl2anc 661 . . . . 5
21 omcl 7186 . . . . 5
2214, 20, 21syl2anc 661 . . . 4
23 cnvimass 5356 . . . . . . . . . . . 12
24 fdm 5734 . . . . . . . . . . . . 13
2517, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2623, 25syl5sseq 3552 . . . . . . . . . . 11
272, 26ssexd 4594 . . . . . . . . . 10
28 cantnflem1OLD.o . . . . . . . . . . . 12 OrdIso
293, 1, 2, 28, 6cantnfclOLD 8115 . . . . . . . . . . 11
3029simpld 459 . . . . . . . . . 10
3128oiiso 7961 . . . . . . . . . 10
3227, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . 9
33 isof1o 6208 . . . . . . . . 9
3432, 33syl 16 . . . . . . . 8
35 f1ocnv 5827 . . . . . . . 8
36 f1of 5815 . . . . . . . 8
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . 7
383, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8cantnflem1aOLD 8126 . . . . . . 7
3937, 38ffvelrnd 6021 . . . . . 6
4029simprd 463 . . . . . 6
41 elnn 6689 . . . . . 6
4239, 40, 41syl2anc 661 . . . . 5
43 cantnflem1OLD.h . . . . . . 7 seq𝜔
4443cantnfvalf 8083 . . . . . 6
4544ffvelrni 6019 . . . . 5
4642, 45syl 16 . . . 4
47 oaword1 7201 . . . 4
4822, 46, 47syl2anc 661 . . 3
493, 1, 2, 28, 6, 43cantnfsucOLD 8118 . . . . 5
5042, 49mpdan 668 . . . 4
51 f1ocnvfv2 6170 . . . . . . . 8
5234, 38, 51syl2anc 661 . . . . . . 7
5352oveq2d 6299 . . . . . 6
5452fveq2d 5869 . . . . . 6
5553, 54oveq12d 6301 . . . . 5
5655oveq1d 6298 . . . 4
5750, 56eqtrd 2508 . . 3
5848, 57sseqtr4d 3541 . 2
59 onss 6605 . . . . . . . . . . 11
602, 59syl 16 . . . . . . . . . 10
6160sselda 3504 . . . . . . . . 9
6212adantr 465 . . . . . . . . 9
63 onsseleq 4919 . . . . . . . . 9
6461, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . 8
65 orcom 387 . . . . . . . 8
6664, 65syl6bb 261 . . . . . . 7
6766ifbid 3961 . . . . . 6
6867mpteq2dva 4533 . . . . 5
6968fveq2d 5869 . . . 4 CNF CNF
703, 1, 2cantnfsOLD 8114 . . . . . . . . . . . 12
715, 70mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
7271simpld 459 . . . . . . . . . 10
7372ffvelrnda 6020 . . . . . . . . 9
74 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . 12
7518, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11
76 on0eln0 4933 . . . . . . . . . . . 12
771, 76syl 16 . . . . . . . . . . 11
7875, 77mpbird 232 . . . . . . . . . 10
7978adantr 465 . . . . . . . . 9
80 ifcl 3981 . . . . . . . . 9
8173, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . 8
82 eqid 2467 . . . . . . . 8
8381, 82fmptd 6044 . . . . . . 7
8471simprd 463 . . . . . . . 8
85 df1o2 7142 . . . . . . . . . . 11
8685difeq2i 3619 . . . . . . . . . 10
8786imaeq2i 5334 . . . . . . . . 9
8886imaeq2i 5334 . . . . . . . . . . . . . 14
89 eqimss2 3557 . . . . . . . . . . . . . 14
9088, 89mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13
9172, 90suppssrOLD 6014 . . . . . . . . . . . 12
9291ifeq1d 3957 . . . . . . . . . . 11
93 ifid 3976 . . . . . . . . . . 11
9492, 93syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10
9594suppss2OLD 6513 . . . . . . . . 9
9687, 95syl5eqss 3548 . . . . . . . 8
97 ssfi 7740 . . . . . . . 8
9884, 96, 97syl2anc 661 . . . . . . 7
993, 1, 2cantnfsOLD 8114 . . . . . . 7
10083, 98, 99mpbir2and 920 . . . . . 6
10172, 10ffvelrnd 6021 . . . . . 6
102 eldifn 3627 . . . . . . . . . 10
103102adantl 466 . . . . . . . . 9
104 iffalse 3948 . . . . . . . . 9
105103, 104syl 16 . . . . . . . 8
106105suppss2OLD 6513 . . . . . . 7
10787, 106syl5eqss 3548 . . . . . 6
108 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11
109108adantl 466 . . . . . . . . . 10
110109ifeq1da 3969 . . . . . . . . 9
111 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12
112 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12
113111, 112ifbieq1d 3962 . . . . . . . . . . 11
114 fvex 5875 . . . . . . . . . . . 12
115 0ex 4577 . . . . . . . . . . . 12
116114, 115ifex 4008 . . . . . . . . . . 11
117113, 82, 116fvmpt 5949 . . . . . . . . . 10
118117ifeq2d 3958 . . . . . . . . 9
119110, 118eqtr3d 2510 . . . . . . . 8
120 ifor 3986 . . . . . . . 8
121119, 120syl6reqr 2527 . . . . . . 7
122121mpteq2ia 4529 . . . . . 6
1233, 1, 2, 100, 10, 101, 107, 122cantnfp1OLD 8125 . . . . 5 CNF CNF
124123simprd 463 . . . 4 CNF CNF
12569, 124eqtrd 2508 . . 3 CNF CNF
126 onelon 4903 . . . . . . 7
1271, 101, 126syl2anc 661 . . . . . 6
128 omsuc 7176 . . . . . 6
12914, 127, 128syl2anc 661 . . . . 5
130 eloni 4888 . . . . . . . 8
13120, 130syl 16 . . . . . . 7
1329simp2d 1009 . . . . . . 7
133 ordsucss 6632 . . . . . . 7
134131, 132, 133sylc 60 . . . . . 6
135 suceloni 6627 . . . . . . . 8
136127, 135syl 16 . . . . . . 7
137 omwordi 7220 . . . . . . 7
138136, 20, 14, 137syl3anc 1228 . . . . . 6
139134, 138mpd 15 . . . . 5
140129, 139eqsstr3d 3539 . . . 4
1413, 1, 2, 100, 78, 12, 107cantnflt2OLD 8121 . . . . 5 CNF
142 onelon 4903 . . . . . . 7 CNF CNF
14314, 141, 142syl2anc 661 . . . . . 6 CNF
144 omcl 7186 . . . . . . 7
14514, 127, 144syl2anc 661 . . . . . 6
146 oaord 7196 . . . . . 6 CNF CNF CNF
147143, 14, 145, 146syl3anc 1228 . . . . 5 CNF CNF
148141, 147mpbid 210 . . . 4 CNF
149140, 148sseldd 3505 . . 3 CNF
150125, 149eqeltrd 2555 . 2 CNF
15158, 150sseldd 3505 1 CNF
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815  crab 2818  cvv 3113   cdif 3473   wss 3476  c0 3785  cif 3939  csn 4027  cuni 4245   class class class wbr 4447  copab 4504   cmpt 4505   cep 4789   wwe 4837   word 4877  con0 4878   csuc 4880  ccnv 4998   cdm 4999  cima 5002  wf 5583  wf1o 5586  cfv 5587   wiso 5588  (class class class)co 6283   cmpt2 6285  com 6679  seq𝜔cseqom 7112  c1o 7123   coa 7127   comu 7128   coe 7129  cfn 7516  OrdIsocoi 7933   CNF ccnf 8077 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-seqom 7113  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-oexp 7136  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-oi 7934  df-cnf 8078 This theorem is referenced by:  cantnflem1OLD  8130
 Copyright terms: Public domain W3C validator