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Theorem cantnflem1dOLD 8133
Description: Lemma for cantnfOLD 8137. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) Obsolete version of cantnflem1a 8107 as of 2-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfsOLD.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfsOLD.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfsOLD.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapvalOLD.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
oemapvalOLD.3  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
oemapvalOLD.4  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
oemapvalOLD.5  |-  ( ph  ->  F T G )
oemapvalOLD.6  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
cantnflem1OLD.o  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
cantnflem1OLD.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( O `  k ) )  .o  ( G `  ( O `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
Assertion
Ref Expression
cantnflem1dOLD  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  e.  ( H `
 suc  ( `' O `  X )
) )
Distinct variable groups:    k, c, w, x, y, z, B    A, c, k, w, x, y, z    T, c, k    k, F, w, x, y, z    S, c, k, x, y, z    G, c, k, w, x, y, z    x, H, y    k, O, w, x, y, z    ph, k, x, y, z    k, X, w, x, y, z    F, c    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)    H( z, w, k, c)    O( c)    X( c)

Proof of Theorem cantnflem1dOLD
StepHypRef Expression
1 cantnfsOLD.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2 cantnfsOLD.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
3 cantnfsOLD.1 . . . . . . . . 9  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
4 oemapvalOLD.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
5 oemapvalOLD.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
6 oemapvalOLD.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
7 oemapvalOLD.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F T G )
8 oemapvalOLD.6 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
93, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8oemapvali 8106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  A. w  e.  B  ( X  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) )
109simp1d 1009 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
11 onelon 4893 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  On )
122, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  On )
13 oecl 7189 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
141, 12, 13syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
153, 1, 2cantnfsOLD 8118 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  e.  S  <->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
166, 15mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1716simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
1817, 10ffvelrnd 6017 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  A )
19 onelon 4893 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  X )  e.  A )  -> 
( G `  X
)  e.  On )
201, 18, 19syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  On )
21 omcl 7188 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( G `  X )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  e.  On )
2214, 20, 21syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  e.  On )
23 cnvimass 5347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  G
24 fdm 5725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : B --> A  ->  dom  G  =  B )
2517, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  G  =  B )
2623, 25syl5sseq 3537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  C_  B
)
272, 26ssexd 4584 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  e.  _V )
28 cantnflem1OLD.o . . . . . . . . . . . 12  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
293, 1, 2, 28, 6cantnfclOLD 8119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  O  e. 
om ) )
3029simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _E  We  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
3128oiiso 7965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' G "
( _V  \  1o ) )  e.  _V  /\  _E  We  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
O ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) ) )
3227, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) ) )
33 isof1o 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( O 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  O : dom  O -1-1-onto-> ( `' G "
( _V  \  1o ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O : dom  O -1-1-onto-> ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
35 f1ocnv 5818 . . . . . . . 8  |-  ( O : dom  O -1-1-onto-> ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  ->  `' O :
( `' G "
( _V  \  1o ) ) -1-1-onto-> dom  O )
36 f1of 5806 . . . . . . . 8  |-  ( `' O : ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) -1-1-onto-> dom 
O  ->  `' O : ( `' G " ( _V  \  1o ) ) --> dom  O
)
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' O : ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) --> dom  O )
383, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8cantnflem1aOLD 8130 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
3937, 38ffvelrnd 6017 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' O `  X )  e.  dom  O )
4029simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  O  e.  om )
41 elnn 6695 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' O `  X )  e.  dom  O  /\  dom  O  e. 
om )  ->  ( `' O `  X )  e.  om )
4239, 40, 41syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' O `  X )  e.  om )
43 cantnflem1OLD.h . . . . . . 7  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( O `  k ) )  .o  ( G `  ( O `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
4443cantnfvalf 8087 . . . . . 6  |-  H : om
--> On
4544ffvelrni 6015 . . . . 5  |-  ( ( `' O `  X )  e.  om  ->  ( H `  ( `' O `  X )
)  e.  On )
4642, 45syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  ( `' O `  X ) )  e.  On )
47 oaword1 7203 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  e.  On  /\  ( H `  ( `' O `  X ) )  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) )  C_  (
( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) ) )
4822, 46, 47syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  C_  ( (
( A  ^o  X
)  .o  ( G `
 X ) )  +o  ( H `  ( `' O `  X ) ) ) )
493, 1, 2, 28, 6, 43cantnfsucOLD 8122 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' O `  X )  e.  om )  ->  ( H `  suc  ( `' O `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X )
) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) ) )
5042, 49mpdan 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  ( `' O `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X )
) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) ) )
51 f1ocnvfv2 6168 . . . . . . . 8  |-  ( ( O : dom  O -1-1-onto-> ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  /\  X  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( O `  ( `' O `  X ) )  =  X )
5234, 38, 51syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  ( `' O `  X ) )  =  X )
5352oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X )
) )  =  ( A  ^o  X ) )
5452fveq2d 5860 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  ( O `  ( `' O `  X )
) )  =  ( G `  X ) )
5553, 54oveq12d 6299 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X ) ) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  =  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) ) )
5655oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X ) ) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) )  +o  ( H `  ( `' O `  X ) ) ) )
5750, 56eqtrd 2484 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  ( `' O `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( G `
 X ) )  +o  ( H `  ( `' O `  X ) ) ) )
5848, 57sseqtr4d 3526 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  C_  ( H `  suc  ( `' O `  X ) ) )
59 onss 6611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
602, 59syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  C_  On )
6160sselda 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
6212adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  X  e.  On )
63 onsseleq 4909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( x  C_  X  <->  ( x  e.  X  \/  x  =  X )
) )
6461, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  C_  X  <->  ( x  e.  X  \/  x  =  X ) ) )
65 orcom 387 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  \/  x  =  X )  <->  ( x  =  X  \/  x  e.  X )
)
6664, 65syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  C_  X  <->  ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ) )
6766ifbid 3948 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) )  =  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )
6867mpteq2dva 4523 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) )
6968fveq2d 5860 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  =  ( ( A CNF  B ) `  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) ) )
703, 1, 2cantnfsOLD 8118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : B --> A  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
715, 70mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F : B --> A  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
7271simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : B --> A )
7372ffvelrnda 6016 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( F `  y )  e.  A )
74 ne0i 3776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  X )  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
7518, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
76 on0eln0 4923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
771, 76syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
7875, 77mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
7978adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (/)  e.  A
)
80 ifcl 3968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  A  /\  (/) 
e.  A )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  e.  A )
8173, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  e.  A )
82 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) )
8381, 82fmptd 6040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) : B --> A )
8471simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin )
85 df1o2 7144 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  =  { (/) }
8685difeq2i 3604 . . . . . . . . . 10  |-  ( _V 
\  1o )  =  ( _V  \  { (/)
} )
8786imaeq2i 5325 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) " ( _V  \  1o ) )  =  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) " ( _V  \  { (/) } ) )
8886imaeq2i 5325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  =  ( `' F " ( _V  \  { (/)
} ) )
89 eqimss2 3542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  =  ( `' F " ( _V  \  { (/)
} ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  { (/)
} ) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
9088, 89mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  { (/)
} ) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
9172, 90suppssrOLD 6006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  (/) )
9291ifeq1d 3944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  if (
y  e.  X ,  (/)
,  (/) ) )
93 ifid 3963 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( y  e.  X ,  (/)
,  (/) )  =  (/)
9492, 93syl6eq 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  (/) )
9594suppss2OLD 6515 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  { (/) } ) ) 
C_  ( `' F " ( _V  \  1o ) ) )
9687, 95syl5eqss 3533 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  1o ) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
97 ssfi 7742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  1o ) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin )
9884, 96, 97syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  1o ) )  e.  Fin )
993, 1, 2cantnfsOLD 8118 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) )  e.  S  <->  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) : B --> A  /\  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) ) )
10083, 98, 99mpbir2and 922 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) )  e.  S
)
10172, 10ffvelrnd 6017 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  A )
102 eldifn 3612 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( B  \  X )  ->  -.  y  e.  X )
103102adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  X ) )  ->  -.  y  e.  X )
104 iffalse 3935 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  X  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  (/) )
105103, 104syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  X ) )  ->  if (
y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) )  =  (/) )
106105suppss2OLD 6515 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  { (/) } ) ) 
C_  X )
10787, 106syl5eqss 3533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  1o ) )  C_  X
)
108 fveq2 5856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
109108adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  X )  ->  ( F `  x
)  =  ( F `
 X ) )
110109ifeq1da 3956 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) ) )
111 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  X  <->  x  e.  X ) )
112 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
113111, 112ifbieq1d 3949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  if (
x  e.  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) )
114 fvex 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
115 0ex 4567 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
116114, 115ifex 3995 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  X , 
( F `  x
) ,  (/) )  e. 
_V
117113, 82, 116fvmpt 5941 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  (
( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) )
118117ifeq2d 3945 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  if ( x  e.  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) )
119110, 118eqtr3d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  if ( x  e.  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) )
120 ifor 3973 . . . . . . . 8  |-  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  if ( x  e.  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )
121119, 120syl6reqr 2503 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) ) )
122121mpteq2ia 4519 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) ) )
1233, 1, 2, 100, 10, 101, 107, 122cantnfp1OLD 8129 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )  e.  S  /\  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) ) ) )
124123simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) ) )
12569, 124eqtrd 2484 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) ) )
126 onelon 4893 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( F `  X )  e.  A )  -> 
( F `  X
)  e.  On )
1271, 101, 126syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  On )
128 omsuc 7178 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( F `  X )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( A  ^o  X ) ) )
12914, 127, 128syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( A  ^o  X ) ) )
130 eloni 4878 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  X )  e.  On  ->  Ord  ( G `  X ) )
13120, 130syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Ord  ( G `  X ) )
1329simp2d 1010 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X ) )
133 ordsucss 6638 . . . . . . 7  |-  ( Ord  ( G `  X
)  ->  ( ( F `  X )  e.  ( G `  X
)  ->  suc  ( F `
 X )  C_  ( G `  X ) ) )
134131, 132, 133sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  suc  ( F `  X )  C_  ( G `  X )
)
135 suceloni 6633 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  X )  e.  On  ->  suc  ( F `  X )  e.  On )
136127, 135syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  suc  ( F `  X )  e.  On )
137 omwordi 7222 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  ( F `  X )  e.  On  /\  ( G `  X
)  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  e.  On )  -> 
( suc  ( F `  X )  C_  ( G `  X )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) ) ) )
138136, 20, 14, 137syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( suc  ( F `
 X )  C_  ( G `  X )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o 
suc  ( F `  X ) )  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
) ) )
139134, 138mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) ) )
140129, 139eqsstr3d 3524 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  ( A  ^o  X ) ) 
C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) ) )
1413, 1, 2, 100, 78, 12, 107cantnflt2OLD 8125 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X ) )
142 onelon 4893 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X ) )  ->  ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )  e.  On )
14314, 141, 142syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  On )
144 omcl 7188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( F `  X )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  e.  On )
14514, 127, 144syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  e.  On )
146 oaord 7198 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  e.  On  /\  (
( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  e.  On )  -> 
( ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X
)  <->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X ) )  +o  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  +o  ( A  ^o  X ) ) ) )
147143, 14, 145, 146syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X
)  <->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X ) )  +o  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  +o  ( A  ^o  X ) ) ) )
148141, 147mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( A  ^o  X ) ) )
149140, 148sseldd 3490 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) ) )
150125, 149eqeltrd 2531 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) ) )
15158, 150sseldd 3490 1  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  e.  ( H `
 suc  ( `' O `  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ifcif 3926   {csn 4014   U.cuni 4234   class class class wbr 4437   {copab 4494    |-> cmpt 4495    _E cep 4779    We wwe 4827   Ord word 4867   Oncon0 4868   suc csuc 4870   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   "cima 4992   -->wf 5574   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578    Isom wiso 5579  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   omcom 6685  seq𝜔cseqom 7114   1oc1o 7125    +o coa 7129    .o comu 7130    ^o coe 7131   Fincfn 7518  OrdIsocoi 7937   CNF ccnf 8081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-seqom 7115  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-oexp 7138  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-cnf 8082
This theorem is referenced by:  cantnflem1OLD  8134
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