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Theorem cantnflem1dOLD 8061
Description: Lemma for cantnfOLD 8065. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) Obsolete version of cantnflem1a 8035 as of 2-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfsOLD.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfsOLD.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfsOLD.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapvalOLD.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
oemapvalOLD.3  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
oemapvalOLD.4  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
oemapvalOLD.5  |-  ( ph  ->  F T G )
oemapvalOLD.6  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
cantnflem1OLD.o  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
cantnflem1OLD.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( O `  k ) )  .o  ( G `  ( O `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
Assertion
Ref Expression
cantnflem1dOLD  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  e.  ( H `
 suc  ( `' O `  X )
) )
Distinct variable groups:    k, c, w, x, y, z, B    A, c, k, w, x, y, z    T, c, k    k, F, w, x, y, z    S, c, k, x, y, z    G, c, k, w, x, y, z    x, H, y    k, O, w, x, y, z    ph, k, x, y, z    k, X, w, x, y, z    F, c    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)    H( z, w, k, c)    O( c)    X( c)

Proof of Theorem cantnflem1dOLD
StepHypRef Expression
1 cantnfsOLD.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2 cantnfsOLD.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
3 cantnfsOLD.1 . . . . . . . . 9  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
4 oemapvalOLD.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
5 oemapvalOLD.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
6 oemapvalOLD.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
7 oemapvalOLD.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F T G )
8 oemapvalOLD.6 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
93, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8oemapvali 8034 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  A. w  e.  B  ( X  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) )
109simp1d 1006 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
11 onelon 4830 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  On )
122, 10, 11syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  On )
13 oecl 7123 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
141, 12, 13syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
153, 1, 2cantnfsOLD 8046 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  e.  S  <->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
166, 15mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1716simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
1817, 10ffvelrnd 5947 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  A )
19 onelon 4830 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  X )  e.  A )  -> 
( G `  X
)  e.  On )
201, 18, 19syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  On )
21 omcl 7122 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( G `  X )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  e.  On )
2214, 20, 21syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  e.  On )
23 cnvimass 5282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  G
24 fdm 5656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : B --> A  ->  dom  G  =  B )
2517, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  G  =  B )
2623, 25syl5sseq 3478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  C_  B
)
272, 26ssexd 4525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  e.  _V )
28 cantnflem1OLD.o . . . . . . . . . . . 12  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
293, 1, 2, 28, 6cantnfclOLD 8047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  O  e. 
om ) )
3029simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _E  We  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
3128oiiso 7895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' G "
( _V  \  1o ) )  e.  _V  /\  _E  We  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
O ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) ) )
3227, 30, 31syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) ) )
33 isof1o 6140 . . . . . . . . 9  |-  ( O 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  O : dom  O -1-1-onto-> ( `' G "
( _V  \  1o ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O : dom  O -1-1-onto-> ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
35 f1ocnv 5749 . . . . . . . 8  |-  ( O : dom  O -1-1-onto-> ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  ->  `' O :
( `' G "
( _V  \  1o ) ) -1-1-onto-> dom  O )
36 f1of 5737 . . . . . . . 8  |-  ( `' O : ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) -1-1-onto-> dom 
O  ->  `' O : ( `' G " ( _V  \  1o ) ) --> dom  O
)
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' O : ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) --> dom  O )
383, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8cantnflem1aOLD 8058 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
3937, 38ffvelrnd 5947 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' O `  X )  e.  dom  O )
4029simprd 461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  O  e.  om )
41 elnn 6627 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' O `  X )  e.  dom  O  /\  dom  O  e. 
om )  ->  ( `' O `  X )  e.  om )
4239, 40, 41syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' O `  X )  e.  om )
43 cantnflem1OLD.h . . . . . . 7  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( O `  k ) )  .o  ( G `  ( O `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
4443cantnfvalf 8015 . . . . . 6  |-  H : om
--> On
4544ffvelrni 5945 . . . . 5  |-  ( ( `' O `  X )  e.  om  ->  ( H `  ( `' O `  X )
)  e.  On )
4642, 45syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  ( `' O `  X ) )  e.  On )
47 oaword1 7137 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  e.  On  /\  ( H `  ( `' O `  X ) )  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) )  C_  (
( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) ) )
4822, 46, 47syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  C_  ( (
( A  ^o  X
)  .o  ( G `
 X ) )  +o  ( H `  ( `' O `  X ) ) ) )
493, 1, 2, 28, 6, 43cantnfsucOLD 8050 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' O `  X )  e.  om )  ->  ( H `  suc  ( `' O `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X )
) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) ) )
5042, 49mpdan 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  ( `' O `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X )
) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) ) )
51 f1ocnvfv2 6100 . . . . . . . 8  |-  ( ( O : dom  O -1-1-onto-> ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  /\  X  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( O `  ( `' O `  X ) )  =  X )
5234, 38, 51syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  ( `' O `  X ) )  =  X )
5352oveq2d 6230 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X )
) )  =  ( A  ^o  X ) )
5452fveq2d 5791 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  ( O `  ( `' O `  X )
) )  =  ( G `  X ) )
5553, 54oveq12d 6232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X ) ) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  =  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) ) )
5655oveq1d 6229 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X ) ) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) )  +o  ( H `  ( `' O `  X ) ) ) )
5750, 56eqtrd 2433 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  ( `' O `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( G `
 X ) )  +o  ( H `  ( `' O `  X ) ) ) )
5848, 57sseqtr4d 3467 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  C_  ( H `  suc  ( `' O `  X ) ) )
59 onss 6543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
602, 59syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  C_  On )
6160sselda 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
6212adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  X  e.  On )
63 onsseleq 4846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( x  C_  X  <->  ( x  e.  X  \/  x  =  X )
) )
6461, 62, 63syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  C_  X  <->  ( x  e.  X  \/  x  =  X ) ) )
65 orcom 385 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  \/  x  =  X )  <->  ( x  =  X  \/  x  e.  X )
)
6664, 65syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  C_  X  <->  ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ) )
6766ifbid 3892 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) )  =  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )
6867mpteq2dva 4466 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) )
6968fveq2d 5791 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  =  ( ( A CNF  B ) `  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) ) )
703, 1, 2cantnfsOLD 8046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : B --> A  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
715, 70mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F : B --> A  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
7271simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : B --> A )
7372ffvelrnda 5946 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( F `  y )  e.  A )
74 ne0i 3730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  X )  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
7518, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
76 on0eln0 4860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
771, 76syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
7875, 77mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
7978adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (/)  e.  A
)
80 ifcl 3912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  A  /\  (/) 
e.  A )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  e.  A )
8173, 79, 80syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  e.  A )
82 eqid 2392 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) )
8381, 82fmptd 5970 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) : B --> A )
8471simprd 461 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin )
85 df1o2 7078 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  =  { (/) }
8685difeq2i 3546 . . . . . . . . . 10  |-  ( _V 
\  1o )  =  ( _V  \  { (/)
} )
8786imaeq2i 5260 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) " ( _V  \  1o ) )  =  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) " ( _V  \  { (/) } ) )
8886imaeq2i 5260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  =  ( `' F " ( _V  \  { (/)
} ) )
89 eqimss2 3483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  =  ( `' F " ( _V  \  { (/)
} ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  { (/)
} ) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
9088, 89mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  { (/)
} ) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
9172, 90suppssrOLD 5936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  (/) )
9291ifeq1d 3888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  if (
y  e.  X ,  (/)
,  (/) ) )
93 ifid 3907 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( y  e.  X ,  (/)
,  (/) )  =  (/)
9492, 93syl6eq 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  (/) )
9594suppss2OLD 6447 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  { (/) } ) ) 
C_  ( `' F " ( _V  \  1o ) ) )
9687, 95syl5eqss 3474 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  1o ) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
97 ssfi 7674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  1o ) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin )
9884, 96, 97syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  1o ) )  e.  Fin )
993, 1, 2cantnfsOLD 8046 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) )  e.  S  <->  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) : B --> A  /\  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) ) )
10083, 98, 99mpbir2and 920 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) )  e.  S
)
10172, 10ffvelrnd 5947 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  A )
102 eldifn 3554 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( B  \  X )  ->  -.  y  e.  X )
103102adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  X ) )  ->  -.  y  e.  X )
104 iffalse 3879 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  X  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  (/) )
105103, 104syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  X ) )  ->  if (
y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) )  =  (/) )
106105suppss2OLD 6447 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  { (/) } ) ) 
C_  X )
10787, 106syl5eqss 3474 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )
" ( _V  \  1o ) )  C_  X
)
108 fveq2 5787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
109108adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  X )  ->  ( F `  x
)  =  ( F `
 X ) )
110109ifeq1da 3900 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) ) )
111 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  X  <->  x  e.  X ) )
112 fveq2 5787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
113111, 112ifbieq1d 3893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  if (
x  e.  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) )
114 fvex 5797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
115 0ex 4510 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
116114, 115ifex 3938 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  X , 
( F `  x
) ,  (/) )  e. 
_V
117113, 82, 116fvmpt 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  (
( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) )
118117ifeq2d 3889 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  if ( x  e.  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) )
119110, 118eqtr3d 2435 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  if ( x  e.  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) )
120 ifor 3917 . . . . . . . 8  |-  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  if ( x  e.  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )
121119, 120syl6reqr 2452 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) ) )
122121mpteq2ia 4462 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) ) )
1233, 1, 2, 100, 10, 101, 107, 122cantnfp1OLD 8057 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )  e.  S  /\  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) ) ) )
124123simprd 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) ) )
12569, 124eqtrd 2433 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) ) )
126 onelon 4830 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( F `  X )  e.  A )  -> 
( F `  X
)  e.  On )
1271, 101, 126syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  On )
128 omsuc 7112 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( F `  X )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( A  ^o  X ) ) )
12914, 127, 128syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( A  ^o  X ) ) )
130 eloni 4815 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  X )  e.  On  ->  Ord  ( G `  X ) )
13120, 130syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Ord  ( G `  X ) )
1329simp2d 1007 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X ) )
133 ordsucss 6570 . . . . . . 7  |-  ( Ord  ( G `  X
)  ->  ( ( F `  X )  e.  ( G `  X
)  ->  suc  ( F `
 X )  C_  ( G `  X ) ) )
134131, 132, 133sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  suc  ( F `  X )  C_  ( G `  X )
)
135 suceloni 6565 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  X )  e.  On  ->  suc  ( F `  X )  e.  On )
136127, 135syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  suc  ( F `  X )  e.  On )
137 omwordi 7156 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  ( F `  X )  e.  On  /\  ( G `  X
)  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  e.  On )  -> 
( suc  ( F `  X )  C_  ( G `  X )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) ) ) )
138136, 20, 14, 137syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( suc  ( F `
 X )  C_  ( G `  X )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o 
suc  ( F `  X ) )  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
) ) )
139134, 138mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) ) )
140129, 139eqsstr3d 3465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  ( A  ^o  X ) ) 
C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) ) )
1413, 1, 2, 100, 78, 12, 107cantnflt2OLD 8053 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X ) )
142 onelon 4830 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X ) )  ->  ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )  e.  On )
14314, 141, 142syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  On )
144 omcl 7122 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( F `  X )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  e.  On )
14514, 127, 144syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  e.  On )
146 oaord 7132 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  e.  On  /\  (
( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  e.  On )  -> 
( ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X
)  <->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X ) )  +o  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  +o  ( A  ^o  X ) ) ) )
147143, 14, 145, 146syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X
)  <->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X ) )  +o  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  +o  ( A  ^o  X ) ) ) )
148141, 147mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( A  ^o  X ) ) )
149140, 148sseldd 3431 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) ) )
150125, 149eqeltrd 2480 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) ) )
15158, 150sseldd 3431 1  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  e.  ( H `
 suc  ( `' O `  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2587   A.wral 2742   E.wrex 2743   {crab 2746   _Vcvv 3047    \ cdif 3399    C_ wss 3402   (/)c0 3724   ifcif 3870   {csn 3957   U.cuni 4176   class class class wbr 4380   {copab 4437    |-> cmpt 4438    _E cep 4716    We wwe 4764   Ord word 4804   Oncon0 4805   suc csuc 4807   `'ccnv 4925   dom cdm 4926   "cima 4929   -->wf 5505   -1-1-onto->wf1o 5508   ` cfv 5509    Isom wiso 5510  (class class class)co 6214    |-> cmpt2 6216   omcom 6617  seq𝜔cseqom 7048   1oc1o 7059    +o coa 7063    .o comu 7064    ^o coe 7065   Fincfn 7453  OrdIsocoi 7867   CNF ccnf 8009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-se 4766  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-isom 5518  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-supp 6836  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-seqom 7049  df-1o 7066  df-2o 7067  df-oadd 7070  df-omul 7071  df-oexp 7072  df-er 7247  df-map 7358  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-fsupp 7763  df-oi 7868  df-cnf 8010
This theorem is referenced by:  cantnflem1OLD  8062
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