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Theorem cantnflem1d 7896
Description: Lemma for cantnf 7901. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) (Revised by AV, 2-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
oemapval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
oemapval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
oemapvali.r  |-  ( ph  ->  F T G )
oemapvali.x  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
cantnflem1.o  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  ( G supp  (/) ) )
cantnflem1.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( O `  k ) )  .o  ( G `  ( O `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
Assertion
Ref Expression
cantnflem1d  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  e.  ( H `
 suc  ( `' O `  X )
) )
Distinct variable groups:    k, c, w, x, y, z, B    A, c, k, w, x, y, z    T, c, k    k, F, w, x, y, z    S, c, k, x, y, z    G, c, k, w, x, y, z    x, H, y    k, O, w, x, y, z    ph, k, x, y, z    k, X, w, x, y, z    F, c    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)    H( z, w, k, c)    O( c)    X( c)

Proof of Theorem cantnflem1d
StepHypRef Expression
1 cantnfs.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2 cantnfs.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
3 cantnfs.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
4 oemapval.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
5 oemapval.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
6 oemapval.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
7 oemapvali.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F T G )
8 oemapvali.x . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
93, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8oemapvali 7892 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  A. w  e.  B  ( X  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) )
109simp1d 1000 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
11 onelon 4744 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  On )
122, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  On )
13 oecl 6977 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
141, 12, 13syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
153, 1, 2cantnfs 7874 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  e.  S  <->  ( G : B --> A  /\  G finSupp 
(/) ) ) )
166, 15mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G : B --> A  /\  G finSupp  (/) ) )
1716simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
1817, 10ffvelrnd 5844 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  A )
19 onelon 4744 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  X )  e.  A )  -> 
( G `  X
)  e.  On )
201, 18, 19syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  On )
21 omcl 6976 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( G `  X )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  e.  On )
2214, 20, 21syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  e.  On )
23 suppssdm 6703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G supp  (/) )  C_  dom  G
24 fdm 5563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : B --> A  ->  dom  G  =  B )
2517, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  G  =  B )
2623, 25syl5sseq 3404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G supp  (/) )  C_  B )
272, 26ssexd 4439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G supp  (/) )  e. 
_V )
28 cantnflem1.o . . . . . . . . . . . 12  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  ( G supp  (/) ) )
293, 1, 2, 28, 6cantnfcl 7875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( G supp 
(/) )  /\  dom  O  e.  om ) )
3029simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _E  We  ( G supp  (/) ) )
3128oiiso 7751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G supp  (/) )  e. 
_V  /\  _E  We  ( G supp  (/) ) )  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O , 
( G supp  (/) ) ) )
3227, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  ( G supp  (/) ) ) )
33 isof1o 6016 . . . . . . . . 9  |-  ( O 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  ( G supp  (/) ) )  ->  O : dom  O -1-1-onto-> ( G supp  (/) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O : dom  O -1-1-onto-> ( G supp 
(/) ) )
35 f1ocnv 5653 . . . . . . . 8  |-  ( O : dom  O -1-1-onto-> ( G supp  (/) )  ->  `' O : ( G supp  (/) ) -1-1-onto-> dom  O
)
36 f1of 5641 . . . . . . . 8  |-  ( `' O : ( G supp  (/) ) -1-1-onto-> dom  O  ->  `' O : ( G supp  (/) ) --> dom 
O )
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' O : ( G supp  (/) ) --> dom  O )
383, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8cantnflem1a 7893 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G supp  (/) ) )
3937, 38ffvelrnd 5844 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' O `  X )  e.  dom  O )
4029simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  O  e.  om )
41 elnn 6486 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' O `  X )  e.  dom  O  /\  dom  O  e. 
om )  ->  ( `' O `  X )  e.  om )
4239, 40, 41syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' O `  X )  e.  om )
43 cantnflem1.h . . . . . . 7  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( O `  k ) )  .o  ( G `  ( O `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
4443cantnfvalf 7873 . . . . . 6  |-  H : om
--> On
4544ffvelrni 5842 . . . . 5  |-  ( ( `' O `  X )  e.  om  ->  ( H `  ( `' O `  X )
)  e.  On )
4642, 45syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  ( `' O `  X ) )  e.  On )
47 oaword1 6991 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  e.  On  /\  ( H `  ( `' O `  X ) )  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) )  C_  (
( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) ) )
4822, 46, 47syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  C_  ( (
( A  ^o  X
)  .o  ( G `
 X ) )  +o  ( H `  ( `' O `  X ) ) ) )
493, 1, 2, 28, 6, 43cantnfsuc 7878 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' O `  X )  e.  om )  ->  ( H `  suc  ( `' O `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X )
) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) ) )
5042, 49mpdan 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  ( `' O `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X )
) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) ) )
51 f1ocnvfv2 5984 . . . . . . . 8  |-  ( ( O : dom  O -1-1-onto-> ( G supp 
(/) )  /\  X  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( O `  ( `' O `  X ) )  =  X )
5234, 38, 51syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  ( `' O `  X ) )  =  X )
5352oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X )
) )  =  ( A  ^o  X ) )
5452fveq2d 5695 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  ( O `  ( `' O `  X )
) )  =  ( G `  X ) )
5553, 54oveq12d 6109 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X ) ) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  =  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) ) )
5655oveq1d 6106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X ) ) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) )  +o  ( H `  ( `' O `  X ) ) ) )
5750, 56eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  ( `' O `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( G `
 X ) )  +o  ( H `  ( `' O `  X ) ) ) )
5848, 57sseqtr4d 3393 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  C_  ( H `  suc  ( `' O `  X ) ) )
59 onss 6402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
602, 59syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  C_  On )
6160sselda 3356 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
6212adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  X  e.  On )
63 onsseleq 4760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( x  C_  X  <->  ( x  e.  X  \/  x  =  X )
) )
6461, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  C_  X  <->  ( x  e.  X  \/  x  =  X ) ) )
65 orcom 387 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  \/  x  =  X )  <->  ( x  =  X  \/  x  e.  X )
)
6664, 65syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  C_  X  <->  ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ) )
6766ifbid 3811 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) )  =  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )
6867mpteq2dva 4378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) )
6968fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  =  ( ( A CNF  B ) `  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) ) )
703, 1, 2cantnfs 7874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : B --> A  /\  F finSupp 
(/) ) ) )
715, 70mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F : B --> A  /\  F finSupp  (/) ) )
7271simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : B --> A )
7372ffvelrnda 5843 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( F `  y )  e.  A )
74 ne0i 3643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  X )  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
7518, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
76 on0eln0 4774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
771, 76syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
7875, 77mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
7978adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (/)  e.  A
)
8073, 79ifcld 3832 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  e.  A )
81 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) )
8280, 81fmptd 5867 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) : B --> A )
83 mptexg 5947 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) )  e.  _V )
842, 83syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) )  e.  _V )
85 funmpt 5454 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) )
8685a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Fun  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )
8771simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F finSupp  (/) )
88 ssid 3375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F supp  (/) )  C_  ( F supp  (/) )
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  C_  ( F supp  (/) ) )
90 0ex 4422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  _V
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
9272, 89, 2, 91suppssr 6720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  ( F supp 
(/) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  (/) )
9392ifeq1d 3807 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  ( F supp 
(/) ) ) )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  if ( y  e.  X ,  (/) ,  (/) ) )
94 ifid 3826 . . . . . . . . . 10  |-  if ( y  e.  X ,  (/)
,  (/) )  =  (/)
9593, 94syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  ( F supp 
(/) ) ) )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  (/) )
9695, 2suppss2 6723 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) supp  (/) )  C_  ( F supp  (/) ) )
97 fsuppsssupp 7636 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  /\  ( F finSupp  (/) 
/\  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) supp  (/) )  C_  ( F supp  (/) ) ) )  -> 
( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) finSupp  (/) )
9884, 86, 87, 96, 97syl22anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) finSupp  (/) )
993, 1, 2cantnfs 7874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) )  e.  S  <->  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) : B --> A  /\  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) finSupp  (/) ) ) )
10082, 98, 99mpbir2and 913 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) )  e.  S
)
10172, 10ffvelrnd 5844 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  A )
102 eldifn 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( B  \  X )  ->  -.  y  e.  X )
103102adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  X ) )  ->  -.  y  e.  X )
104 iffalse 3799 . . . . . . . 8  |-  ( -.  y  e.  X  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  (/) )
105103, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  X ) )  ->  if (
y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) )  =  (/) )
106105, 2suppss2 6723 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) supp  (/) )  C_  X )
107 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
108107adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  X )  ->  ( F `  x
)  =  ( F `
 X ) )
109108ifeq1da 3819 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) ) )
110 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  X  <->  x  e.  X ) )
111 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
112110, 111ifbieq1d 3812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  if (
x  e.  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) )
113 fvex 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
114113, 90ifex 3858 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  X , 
( F `  x
) ,  (/) )  e. 
_V
115112, 81, 114fvmpt 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  (
( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) )
116115ifeq2d 3808 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  if ( x  e.  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) )
117109, 116eqtr3d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  if ( x  e.  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) )
118 ifor 3836 . . . . . . . 8  |-  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  if ( x  e.  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )
119117, 118syl6reqr 2494 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) ) )
120119mpteq2ia 4374 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) ) )
1213, 1, 2, 100, 10, 101, 106, 120cantnfp1 7889 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )  e.  S  /\  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) ) ) )
122121simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) ) )
12369, 122eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) ) )
124 onelon 4744 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( F `  X )  e.  A )  -> 
( F `  X
)  e.  On )
1251, 101, 124syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  On )
126 omsuc 6966 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( F `  X )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( A  ^o  X ) ) )
12714, 125, 126syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( A  ^o  X ) ) )
128 eloni 4729 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  X )  e.  On  ->  Ord  ( G `  X ) )
12920, 128syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Ord  ( G `  X ) )
1309simp2d 1001 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X ) )
131 ordsucss 6429 . . . . . . 7  |-  ( Ord  ( G `  X
)  ->  ( ( F `  X )  e.  ( G `  X
)  ->  suc  ( F `
 X )  C_  ( G `  X ) ) )
132129, 130, 131sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  suc  ( F `  X )  C_  ( G `  X )
)
133 suceloni 6424 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  X )  e.  On  ->  suc  ( F `  X )  e.  On )
134125, 133syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  suc  ( F `  X )  e.  On )
135 omwordi 7010 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  ( F `  X )  e.  On  /\  ( G `  X
)  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  e.  On )  -> 
( suc  ( F `  X )  C_  ( G `  X )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) ) ) )
136134, 20, 14, 135syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( suc  ( F `
 X )  C_  ( G `  X )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o 
suc  ( F `  X ) )  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
) ) )
137132, 136mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) ) )
138127, 137eqsstr3d 3391 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  ( A  ^o  X ) ) 
C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) ) )
1393, 1, 2, 100, 78, 12, 106cantnflt2 7881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X ) )
140 onelon 4744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X ) )  ->  ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )  e.  On )
14114, 139, 140syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  On )
142 omcl 6976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( F `  X )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  e.  On )
14314, 125, 142syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  e.  On )
144 oaord 6986 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  e.  On  /\  (
( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  e.  On )  -> 
( ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X
)  <->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X ) )  +o  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  +o  ( A  ^o  X ) ) ) )
145141, 14, 143, 144syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X
)  <->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X ) )  +o  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  +o  ( A  ^o  X ) ) ) )
146139, 145mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( A  ^o  X ) ) )
147138, 146sseldd 3357 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) ) )
148123, 147eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) ) )
14958, 148sseldd 3357 1  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  e.  ( H `
 suc  ( `' O `  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ifcif 3791   U.cuni 4091   class class class wbr 4292   {copab 4349    e. cmpt 4350    _E cep 4630    We wwe 4678   Ord word 4718   Oncon0 4719   suc csuc 4721   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   Fun wfun 5412   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418    Isom wiso 5419  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   omcom 6476   supp csupp 6690  seq𝜔cseqom 6902    +o coa 6917    .o comu 6918    ^o coe 6919   finSupp cfsupp 7620  OrdIsocoi 7723   CNF ccnf 7867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-seqom 6903  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-oexp 6926  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-cnf 7868
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