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Theorem cantnflem1d 8218
Description: Lemma for cantnf 8223. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) (Revised by AV, 2-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
oemapval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
oemapval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
oemapvali.r  |-  ( ph  ->  F T G )
oemapvali.x  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
cantnflem1.o  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  ( G supp  (/) ) )
cantnflem1.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( O `  k ) )  .o  ( G `  ( O `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
Assertion
Ref Expression
cantnflem1d  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  e.  ( H `
 suc  ( `' O `  X )
) )
Distinct variable groups:    k, c, w, x, y, z, B    A, c, k, w, x, y, z    T, c, k    k, F, w, x, y, z    S, c, k, x, y, z    G, c, k, w, x, y, z    x, H, y    k, O, w, x, y, z    ph, k, x, y, z    k, X, w, x, y, z    F, c    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)    H( z, w, k, c)    O( c)    X( c)

Proof of Theorem cantnflem1d
StepHypRef Expression
1 cantnfs.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2 cantnfs.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
3 cantnfs.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
4 oemapval.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
5 oemapval.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
6 oemapval.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
7 oemapvali.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F T G )
8 oemapvali.x . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
93, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8oemapvali 8214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  A. w  e.  B  ( X  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) )
109simp1d 1026 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
11 onelon 5466 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  On )
122, 10, 11syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  On )
13 oecl 7264 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
141, 12, 13syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
153, 1, 2cantnfs 8196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  e.  S  <->  ( G : B --> A  /\  G finSupp 
(/) ) ) )
166, 15mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G : B --> A  /\  G finSupp  (/) ) )
1716simpld 465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
1817, 10ffvelrnd 6045 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  A )
19 onelon 5466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  X )  e.  A )  -> 
( G `  X
)  e.  On )
201, 18, 19syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  On )
21 omcl 7263 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( G `  X )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  e.  On )
2214, 20, 21syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  e.  On )
23 suppssdm 6953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G supp  (/) )  C_  dom  G
24 fdm 5755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : B --> A  ->  dom  G  =  B )
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  G  =  B )
2623, 25syl5sseq 3491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G supp  (/) )  C_  B )
272, 26ssexd 4563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G supp  (/) )  e. 
_V )
28 cantnflem1.o . . . . . . . . . . . 12  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  ( G supp  (/) ) )
293, 1, 2, 28, 6cantnfcl 8197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( G supp 
(/) )  /\  dom  O  e.  om ) )
3029simpld 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _E  We  ( G supp  (/) ) )
3128oiiso 8077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G supp  (/) )  e. 
_V  /\  _E  We  ( G supp  (/) ) )  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O , 
( G supp  (/) ) ) )
3227, 30, 31syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  ( G supp  (/) ) ) )
33 isof1o 6240 . . . . . . . . 9  |-  ( O 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  ( G supp  (/) ) )  ->  O : dom  O -1-1-onto-> ( G supp  (/) ) )
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O : dom  O -1-1-onto-> ( G supp 
(/) ) )
35 f1ocnv 5848 . . . . . . . 8  |-  ( O : dom  O -1-1-onto-> ( G supp  (/) )  ->  `' O : ( G supp  (/) ) -1-1-onto-> dom  O
)
36 f1of 5836 . . . . . . . 8  |-  ( `' O : ( G supp  (/) ) -1-1-onto-> dom  O  ->  `' O : ( G supp  (/) ) --> dom 
O )
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' O : ( G supp  (/) ) --> dom  O )
383, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8cantnflem1a 8215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G supp  (/) ) )
3937, 38ffvelrnd 6045 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' O `  X )  e.  dom  O )
4029simprd 469 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  O  e.  om )
41 elnn 6728 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' O `  X )  e.  dom  O  /\  dom  O  e. 
om )  ->  ( `' O `  X )  e.  om )
4239, 40, 41syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' O `  X )  e.  om )
43 cantnflem1.h . . . . . . 7  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( O `  k ) )  .o  ( G `  ( O `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
4443cantnfvalf 8195 . . . . . 6  |-  H : om
--> On
4544ffvelrni 6043 . . . . 5  |-  ( ( `' O `  X )  e.  om  ->  ( H `  ( `' O `  X )
)  e.  On )
4642, 45syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  ( `' O `  X ) )  e.  On )
47 oaword1 7278 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  e.  On  /\  ( H `  ( `' O `  X ) )  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) )  C_  (
( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) ) )
4822, 46, 47syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  C_  ( (
( A  ^o  X
)  .o  ( G `
 X ) )  +o  ( H `  ( `' O `  X ) ) ) )
493, 1, 2, 28, 6, 43cantnfsuc 8200 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' O `  X )  e.  om )  ->  ( H `  suc  ( `' O `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X )
) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) ) )
5042, 49mpdan 679 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  ( `' O `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X )
) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) ) )
51 f1ocnvfv2 6200 . . . . . . . 8  |-  ( ( O : dom  O -1-1-onto-> ( G supp 
(/) )  /\  X  e.  ( G supp  (/) ) )  ->  ( O `  ( `' O `  X ) )  =  X )
5234, 38, 51syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  ( `' O `  X ) )  =  X )
5352oveq2d 6330 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X )
) )  =  ( A  ^o  X ) )
5452fveq2d 5891 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  ( O `  ( `' O `  X )
) )  =  ( G `  X ) )
5553, 54oveq12d 6332 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X ) ) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  =  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) ) )
5655oveq1d 6329 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  ( O `  ( `' O `  X ) ) )  .o  ( G `  ( O `  ( `' O `  X ) ) ) )  +o  ( H `
 ( `' O `  X ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) )  +o  ( H `  ( `' O `  X ) ) ) )
5750, 56eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  ( `' O `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( G `
 X ) )  +o  ( H `  ( `' O `  X ) ) ) )
5848, 57sseqtr4d 3480 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
)  C_  ( H `  suc  ( `' O `  X ) ) )
59 onss 6643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
602, 59syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  C_  On )
6160sselda 3443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
6212adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  X  e.  On )
63 onsseleq 5482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( x  C_  X  <->  ( x  e.  X  \/  x  =  X )
) )
6461, 62, 63syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  C_  X  <->  ( x  e.  X  \/  x  =  X ) ) )
65 orcom 393 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  \/  x  =  X )  <->  ( x  =  X  \/  x  e.  X )
)
6664, 65syl6bb 269 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  C_  X  <->  ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ) )
6766ifbid 3914 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) )  =  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )
6867mpteq2dva 4502 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) )
6968fveq2d 5891 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  =  ( ( A CNF  B ) `  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) ) )
703, 1, 2cantnfs 8196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : B --> A  /\  F finSupp 
(/) ) ) )
715, 70mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F : B --> A  /\  F finSupp  (/) ) )
7271simpld 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : B --> A )
7372ffvelrnda 6044 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( F `  y )  e.  A )
74 ne0i 3748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  X )  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
7518, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
76 on0eln0 5496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
771, 76syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
7875, 77mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
7978adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (/)  e.  A
)
8073, 79ifcld 3935 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  e.  A )
81 eqid 2461 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) )
8280, 81fmptd 6068 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) : B --> A )
83 0ex 4548 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
8483a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
8571simprd 469 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F finSupp  (/) )
8672, 2, 84, 85fsuppmptif 7938 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) finSupp  (/) )
873, 1, 2cantnfs 8196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) )  e.  S  <->  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) : B --> A  /\  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) finSupp  (/) ) ) )
8882, 86, 87mpbir2and 938 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) )  e.  S
)
8972, 10ffvelrnd 6045 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  A )
90 eldifn 3567 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( B  \  X )  ->  -.  y  e.  X )
9190adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  X ) )  ->  -.  y  e.  X )
9291iffalsed 3903 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B  \  X ) )  ->  if (
y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) )  =  (/) )
9392, 2suppss2 6975 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) supp  (/) )  C_  X )
94 fveq2 5887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
9594adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  X )  ->  ( F `  x
)  =  ( F `
 X ) )
9695ifeq1da 3922 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) ) )
97 eleq1 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  X  <->  x  e.  X ) )
98 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
9997, 98ifbieq1d 3915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) )  =  if (
x  e.  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) )
100 fvex 5897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
101100, 83ifex 3960 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  X , 
( F `  x
) ,  (/) )  e. 
_V
10299, 81, 101fvmpt 5970 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  (
( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) )
103102ifeq2d 3911 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  if ( x  e.  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) )
10496, 103eqtr3d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  if ( x  e.  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) ) )
105 ifor 3939 . . . . . . . 8  |-  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  x ) ,  if ( x  e.  X ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )
106104, 105syl6reqr 2514 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) )  =  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) ) )
107106mpteq2ia 4498 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  =  X ,  ( F `  X ) ,  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `
 y ) ,  (/) ) ) `  x
) ) )
1083, 1, 2, 88, 10, 89, 93, 107cantnfp1 8211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X ) ,  ( F `  x ) ,  (/) ) )  e.  S  /\  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) ) ) )
109108simprd 469 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( ( x  =  X  \/  x  e.  X
) ,  ( F `
 x ) ,  (/) ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) ) )
11069, 109eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) ) )
111 onelon 5466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( F `  X )  e.  A )  -> 
( F `  X
)  e.  On )
1121, 89, 111syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  On )
113 omsuc 7253 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( F `  X )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( A  ^o  X ) ) )
11414, 112, 113syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  =  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( A  ^o  X ) ) )
115 eloni 5451 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  X )  e.  On  ->  Ord  ( G `  X ) )
11620, 115syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Ord  ( G `  X ) )
1179simp2d 1027 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X ) )
118 ordsucss 6671 . . . . . . 7  |-  ( Ord  ( G `  X
)  ->  ( ( F `  X )  e.  ( G `  X
)  ->  suc  ( F `
 X )  C_  ( G `  X ) ) )
119116, 117, 118sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  suc  ( F `  X )  C_  ( G `  X )
)
120 suceloni 6666 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  X )  e.  On  ->  suc  ( F `  X )  e.  On )
121112, 120syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  suc  ( F `  X )  e.  On )
122 omwordi 7297 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  ( F `  X )  e.  On  /\  ( G `  X
)  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  e.  On )  -> 
( suc  ( F `  X )  C_  ( G `  X )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) ) ) )
123121, 20, 14, 122syl3anc 1276 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( suc  ( F `
 X )  C_  ( G `  X )  ->  ( ( A  ^o  X )  .o 
suc  ( F `  X ) )  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X )
) ) )
124119, 123mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  suc  ( F `  X ) )  C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) ) )
125114, 124eqsstr3d 3478 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  ( A  ^o  X ) ) 
C_  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X
) ) )
1263, 1, 2, 88, 78, 12, 93cantnflt2 8203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X ) )
127 onelon 5466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X ) )  ->  ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )  e.  On )
12814, 126, 127syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  On )
129 omcl 7263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( F `  X )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  e.  On )
13014, 112, 129syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  e.  On )
131 oaord 7273 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) )  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  e.  On  /\  (
( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  e.  On )  -> 
( ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X
)  <->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X ) )  +o  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  +o  ( A  ^o  X ) ) ) )
132128, 14, 130, 131syl3anc 1276 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A CNF 
B ) `  (
y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) )  e.  ( A  ^o  X
)  <->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X ) )  +o  ( ( A CNF  B
) `  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X , 
( F `  y
) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X )
)  +o  ( A  ^o  X ) ) ) )
133126, 132mpbid 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( ( A  ^o  X
)  .o  ( F `
 X ) )  +o  ( A  ^o  X ) ) )
134125, 133sseldd 3444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  ^o  X )  .o  ( F `  X
) )  +o  (
( A CNF  B ) `
 ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  X ,  ( F `  y ) ,  (/) ) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) ) )
135110, 134eqeltrd 2539 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  e.  ( ( A  ^o  X )  .o  ( G `  X ) ) )
13658, 135sseldd 3444 1  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  ( x  e.  B  |->  if ( x  C_  X , 
( F `  x
) ,  (/) ) ) )  e.  ( H `
 suc  ( `' O `  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   {crab 2752   _Vcvv 3056    \ cdif 3412    C_ wss 3415   (/)c0 3742   ifcif 3892   U.cuni 4211   class class class wbr 4415   {copab 4473    |-> cmpt 4474    _E cep 4761    We wwe 4810   `'ccnv 4851   dom cdm 4852   Ord word 5440   Oncon0 5441   suc csuc 5443   -->wf 5596   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600    Isom wiso 5601  (class class class)co 6314    |-> cmpt2 6316   omcom 6718   supp csupp 6940  seq𝜔cseqom 7189    +o coa 7204    .o comu 7205    ^o coe 7206   finSupp cfsupp 7908  OrdIsocoi 8049   CNF ccnf 8191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-seqom 7190  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-omul 7212  df-oexp 7213  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-oi 8050  df-cnf 8192
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