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Theorem cantnfleOLD 8151
 Description: A lower bound on the CNF function. Since CNF is defined as the sum of over all in the support of , it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all instead of just those in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) Obsolete version of cantnfle 8121 as of 28-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfsOLD.1 CNF
cantnfsOLD.2
cantnfsOLD.3
cantnfvalOLD.3 OrdIso
cantnfvalOLD.4
cantnfvalOLD.5 seq𝜔
cantnfleOLD.5
Assertion
Ref Expression
cantnfleOLD CNF
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem cantnfleOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6285 . . 3
21sseq1d 3468 . 2 CNF CNF
3 cantnfsOLD.3 . . . . . . . . . 10
4 cnvimass 5176 . . . . . . . . . . 11
5 cantnfvalOLD.4 . . . . . . . . . . . . . 14
6 cantnfsOLD.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 CNF
7 cantnfsOLD.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
86, 7, 3cantnfsOLD 8146 . . . . . . . . . . . . . 14
95, 8mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
109simpld 457 . . . . . . . . . . . 12
11 fdm 5717 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11
134, 12syl5sseq 3489 . . . . . . . . . 10
143, 13ssexd 4540 . . . . . . . . 9
15 cantnfvalOLD.3 . . . . . . . . . . 11 OrdIso
166, 7, 3, 15, 5cantnfclOLD 8147 . . . . . . . . . 10
1716simpld 457 . . . . . . . . 9
1815oiiso 7995 . . . . . . . . 9
1914, 17, 18syl2anc 659 . . . . . . . 8
20 isof1o 6203 . . . . . . . 8
2119, 20syl 17 . . . . . . 7
2221adantr 463 . . . . . 6
23 f1ocnv 5810 . . . . . 6
24 f1of 5798 . . . . . 6
2522, 23, 243syl 20 . . . . 5
26 cantnfleOLD.5 . . . . . . 7
2726adantr 463 . . . . . 6
28 simpr 459 . . . . . . 7
29 fvex 5858 . . . . . . . 8
30 dif1o 7186 . . . . . . . 8
3129, 30mpbiran 919 . . . . . . 7
3228, 31sylibr 212 . . . . . 6
3310adantr 463 . . . . . . 7
34 ffn 5713 . . . . . . 7
35 elpreima 5984 . . . . . . 7
3633, 34, 353syl 20 . . . . . 6
3727, 32, 36mpbir2and 923 . . . . 5
3825, 37ffvelrnd 6009 . . . 4
3916simprd 461 . . . . . 6
4039adantr 463 . . . . 5
41 eqimss 3493 . . . . . . . . . 10
4241biantrurd 506 . . . . . . . . 9
43 eleq2 2475 . . . . . . . . 9
4442, 43bitr3d 255 . . . . . . . 8
45 fveq2 5848 . . . . . . . . 9
4645sseq2d 3469 . . . . . . . 8
4744, 46imbi12d 318 . . . . . . 7
4847imbi2d 314 . . . . . 6
49 sseq1 3462 . . . . . . . . 9
50 eleq2 2475 . . . . . . . . 9
5149, 50anbi12d 709 . . . . . . . 8
52 fveq2 5848 . . . . . . . . 9
5352sseq2d 3469 . . . . . . . 8
5451, 53imbi12d 318 . . . . . . 7
55 sseq1 3462 . . . . . . . . 9
56 eleq2 2475 . . . . . . . . 9
5755, 56anbi12d 709 . . . . . . . 8
58 fveq2 5848 . . . . . . . . 9
5958sseq2d 3469 . . . . . . . 8
6057, 59imbi12d 318 . . . . . . 7
61 sseq1 3462 . . . . . . . . 9
62 eleq2 2475 . . . . . . . . 9
6361, 62anbi12d 709 . . . . . . . 8
64 fveq2 5848 . . . . . . . . 9
6564sseq2d 3469 . . . . . . . 8
6663, 65imbi12d 318 . . . . . . 7
67 noel 3741 . . . . . . . . . 10
6867pm2.21i 131 . . . . . . . . 9
6968adantl 464 . . . . . . . 8
7069a1i 11 . . . . . . 7
71 fvex 5858 . . . . . . . . . . . 12
7271elsuc 5478 . . . . . . . . . . 11
73 sssucid 5486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
74 sstr 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7573, 74mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7675ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15
77 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 pm2.27 37 . . . . . . . . . . . . . . 15
7976, 77, 78syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14
80 cantnfvalOLD.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 seq𝜔
8180cantnfvalf 8115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8281ffvelrni 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8382ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
847ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
853ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8613ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
87 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
88 sucidg 5487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8988ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9087, 89sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9115oif 7988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9291ffvelrni 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9390, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9486, 93sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
95 onelon 5434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9685, 94, 95syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
97 oecl 7223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9884, 96, 97syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9910ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10099, 94ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
101 onelon 5434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10284, 100, 101syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103 omcl 7222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10498, 102, 103syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105 oaword2 7238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10683, 104, 105syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107 simplll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1096, 7, 3, 15, 5, 80cantnfsucOLD 8150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110107, 108, 109syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111106, 110sseqtr4d 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112 sstr 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
113112expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114111, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
115114adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14
11679, 115syld 42 . . . . . . . . . . . . 13
117116expr 613 . . . . . . . . . . . 12
118 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
119118fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
120 f1ocnvfv2 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
12122, 37, 120syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122121ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123119, 122eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124123oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125123fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126124, 125oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127 oaword1 7237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128104, 83, 127syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129128adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130126, 129eqsstr3d 3476 . . . . . . . . . . . . . . 15
131110adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15
132130, 131sseqtr4d 3478 . . . . . . . . . . . . . 14
133132expr 613 . . . . . . . . . . . . 13
134133a1dd 44 . . . . . . . . . . . 12
135117, 134jaod 378 . . . . . . . . . . 11
13672, 135syl5bi 217 . . . . . . . . . 10
137136expimpd 601 . . . . . . . . 9
138137com23 78 . . . . . . . 8
139138expcom 433 . . . . . . 7
14054, 60, 66, 70, 139finds2 6711 . . . . . 6
14148, 140vtoclga 3122 . . . . 5
14240, 141mpcom 34 . . . 4
14338, 142mpd 15 . . 3
1446, 7, 3, 15, 5, 80cantnfvalOLD 8148 . . . 4 CNF
145144adantr 463 . . 3 CNF
146143, 145sseqtr4d 3478 . 2 CNF
147 onelon 5434 . . . . . 6
1483, 26, 147syl2anc 659 . . . . 5
149 oecl 7223 . . . . 5
1507, 148, 149syl2anc 659 . . . 4
151 om0 7203 . . . 4
152150, 151syl 17 . . 3
153 0ss 3767 . . 3 CNF
154152, 153syl6eqss 3491 . 2 CNF
1552, 146, 154pm2.61ne 2718 1 CNF
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 366   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  cvv 3058   cdif 3410   wss 3413  c0 3737   cep 4731   wwe 4780  ccnv 4821   cdm 4822  cima 4825  con0 5409   csuc 5411   wfn 5563  wf 5564  wf1o 5567  cfv 5568   wiso 5569  (class class class)co 6277   cmpt2 6279  com 6682  seq𝜔cseqom 7148  c1o 7159   coa 7163   comu 7164   coe 7165  cfn 7553  OrdIsocoi 7967   CNF ccnf 8109 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-seqom 7149  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-oexp 7172  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-cnf 8110 This theorem is referenced by:  cantnflem3OLD  8163
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