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Theorem cantnfleOLD 8123
Description: A lower bound on the CNF function. Since  ( ( A CNF 
B ) `  F
) is defined as the sum of  ( A  ^o  x )  .o  ( F `  x ) over all  x in the support of  F, it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all  C  e.  B instead of just those  C in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) Obsolete version of cantnfle 8093 as of 28-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfsOLD.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfsOLD.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfsOLD.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
cantnfvalOLD.3  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cantnfvalOLD.4  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
cantnfvalOLD.5  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
cantnfleOLD.5  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
Assertion
Ref Expression
cantnfleOLD  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( ( A CNF  B ) `  F
) )
Distinct variable groups:    z, k, B    z, C    A, k,
z    k, F, z    S, k, z    k, G, z    ph, k, z
Allowed substitution hints:    C( k)    H( z, k)

Proof of Theorem cantnfleOLD
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6289 . . 3  |-  ( ( F `  C )  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C ) )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  (/) ) )
21sseq1d 3516 . 2  |-  ( ( F `  C )  =  (/)  ->  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( ( A CNF 
B ) `  F
)  <->  ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  C_  ( ( A CNF  B ) `  F ) ) )
3 cantnfsOLD.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 cnvimass 5347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  F
5 cantnfvalOLD.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
6 cantnfsOLD.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
7 cantnfsOLD.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
86, 7, 3cantnfsOLD 8118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : B --> A  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
95, 8mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F : B --> A  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
109simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : B --> A )
11 fdm 5725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : B --> A  ->  dom  F  =  B )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  B )
134, 12syl5sseq 3537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  B
)
143, 13ssexd 4584 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V )
15 cantnfvalOLD.3 . . . . . . . . . . 11  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
166, 7, 3, 15, 5cantnfclOLD 8119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  G  e. 
om ) )
1716simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
1815oiiso 7965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V  /\  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
1914, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
20 isof1o 6206 . . . . . . . 8  |-  ( G 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2221adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
23 f1ocnv 5818 . . . . . 6  |-  ( G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  ->  `' G :
( `' F "
( _V  \  1o ) ) -1-1-onto-> dom  G )
24 f1of 5806 . . . . . 6  |-  ( `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) -1-1-onto-> dom 
G  ->  `' G : ( `' F " ( _V  \  1o ) ) --> dom  G
)
2522, 23, 243syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) --> dom  G )
26 cantnfleOLD.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
2726adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  C  e.  B )
28 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( F `  C
)  =/=  (/) )
29 fvex 5866 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 C )  e. 
_V
30 dif1o 7152 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  C )  e.  ( _V  \  1o )  <->  ( ( F `
 C )  e. 
_V  /\  ( F `  C )  =/=  (/) ) )
3129, 30mpbiran 918 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  C )  e.  ( _V  \  1o )  <->  ( F `  C )  =/=  (/) )
3228, 31sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( F `  C
)  e.  ( _V 
\  1o ) )
3310adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  F : B --> A )
34 ffn 5721 . . . . . . 7  |-  ( F : B --> A  ->  F  Fn  B )
35 elpreima 5992 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  B  ->  ( C  e.  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  <->  ( C  e.  B  /\  ( F `  C )  e.  ( _V  \  1o ) ) ) )
3633, 34, 353syl 20 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( C  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( C  e.  B  /\  ( F `  C
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
3727, 32, 36mpbir2and 922 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  C  e.  ( `' F " ( _V  \  1o ) ) )
3825, 37ffvelrnd 6017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( `' G `  C )  e.  dom  G )
3916simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  om )
4039adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  dom  G  e.  om )
41 eqimss 3541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  dom  G  ->  x  C_  dom  G )
4241biantrurd 508 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( `' G `  C )  e.  x  <->  ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x ) ) )
43 eleq2 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( `' G `  C )  e.  x  <->  ( `' G `  C )  e.  dom  G ) )
4442, 43bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  <->  ( `' G `  C )  e.  dom  G ) )
45 fveq2 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( H `  x
)  =  ( H `
 dom  G )
)
4645sseq2d 3517 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  x )  <->  ( ( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  dom  G ) ) )
4744, 46imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( ( x 
C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  x ) )  <->  ( ( `' G `  C )  e.  dom  G  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  dom  G ) ) ) )
4847imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( ( ph  /\  ( F `  C
)  =/=  (/) )  -> 
( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  x ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  (
( `' G `  C )  e.  dom  G  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  dom  G ) ) ) ) )
49 sseq1 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  dom  G  <->  (/)  C_  dom  G ) )
50 eleq2 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( `' G `  C )  e.  x  <->  ( `' G `  C )  e.  (/) ) )
5149, 50anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  <->  ( (/)  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  (/) ) ) )
52 fveq2 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( H `
 x )  =  ( H `  (/) ) )
5352sseq2d 3517 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  x )  <->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  (/) ) ) )
5451, 53imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x
)  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  x )
)  <->  ( ( (/)  C_ 
dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  (/) )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  (/) ) ) ) )
55 sseq1 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  dom  G  <->  y  C_  dom  G ) )
56 eleq2 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( `' G `  C )  e.  x  <->  ( `' G `  C )  e.  y ) )
5755, 56anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x
)  <->  ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) ) )
58 fveq2 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  x )  =  ( H `  y ) )
5958sseq2d 3517 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  x )  <->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  y )
) )
6057, 59imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  x ) )  <->  ( (
y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) ) ) )
61 sseq1 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  C_  dom  G  <->  suc  y  C_  dom  G
) )
62 eleq2 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( `' G `  C )  e.  x  <->  ( `' G `  C )  e.  suc  y ) )
6361, 62anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  <->  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  suc  y ) ) )
64 fveq2 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( H `  x
)  =  ( H `
 suc  y )
)
6564sseq2d 3517 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  x )  <->  ( ( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) ) )
6663, 65imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( x 
C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  x ) )  <->  ( ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  suc  y )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
67 noel 3774 . . . . . . . . . 10  |-  -.  ( `' G `  C )  e.  (/)
6867pm2.21i 131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' G `  C )  e.  (/)  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  (/) ) )
6968adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  (/) )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  (/) ) )
7069a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( ( (/)  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  (/) )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  (/) ) ) )
71 fvex 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' G `  C )  e.  _V
7271elsuc 4937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' G `  C )  e.  suc  y  <->  ( ( `' G `  C )  e.  y  \/  ( `' G `  C )  =  y ) )
73 sssucid 4945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  C_  suc  y
74 sstr 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  suc  y  /\  suc  y  C_  dom  G
)  ->  y  C_  dom  G )
7573, 74mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( suc  y  C_  dom  G  -> 
y  C_  dom  G )
7675ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) )  ->  y  C_ 
dom  G )
77 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) )  ->  ( `' G `  C )  e.  y )
78 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( ( y 
C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) ) )
7976, 77, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) )  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) ) )
80 cantnfvalOLD.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
8180cantnfvalf 8087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  H : om
--> On
8281ffvelrni 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  om  ->  ( H `  y )  e.  On )
8382ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( H `  y )  e.  On )
847ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  A  e.  On )
853ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  B  e.  On )
8613ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  C_  B
)
87 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  suc  y  C_  dom  G )
88 sucidg 4946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  suc  y )
8988ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  y  e.  suc  y )
9087, 89sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  y  e.  dom  G )
9115oif 7958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  G : dom  G --> ( `' F " ( _V  \  1o ) )
9291ffvelrni 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  dom  G  -> 
( G `  y
)  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
9390, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( G `  y )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
9486, 93sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( G `  y )  e.  B
)
95 onelon 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( G `  y )  e.  B )  -> 
( G `  y
)  e.  On )
9685, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( G `  y )  e.  On )
97 oecl 7189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  y )  e.  On )  -> 
( A  ^o  ( G `  y )
)  e.  On )
9884, 96, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( A  ^o  ( G `  y ) )  e.  On )
9910ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  F : B --> A )
10099, 94ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  e.  A )
101 onelon 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 y ) )  e.  A )  -> 
( F `  ( G `  y )
)  e.  On )
10284, 100, 101syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  e.  On )
103 omcl 7188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  ^o  ( G `  y )
)  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 y ) )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  On )
10498, 102, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) )  e.  On )
105 oaword2 7204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( H `  y
)  e.  On  /\  ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  On )  -> 
( H `  y
)  C_  ( (
( A  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y ) ) )
10683, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( H `  y )  C_  (
( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y ) ) )
107 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ph )
108 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  y  e.  om )
1096, 7, 3, 15, 5, 80cantnfsucOLD 8122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( H `  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) )  +o  ( H `  y )
) )
110107, 108, 109syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( H `  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y ) ) )
111106, 110sseqtr4d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( H `  y )  C_  ( H `  suc  y ) )
112 sstr 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y )  /\  ( H `  y )  C_  ( H `  suc  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) )
113112expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H `  y ) 
C_  ( H `  suc  y )  ->  (
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) ) )
114111, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C ) )  C_  ( H `  y )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  suc  y ) ) )
115114adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) )  ->  (
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) ) )
11679, 115syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) )  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) )
117116expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( `' G `  C )  e.  y  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
118 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( `' G `  C )  =  y )
119118fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( G `  ( `' G `  C )
)  =  ( G `
 y ) )
120 f1ocnvfv2 6168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  C  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  ( `' G `  C ) )  =  C )
12122, 37, 120syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( G `  ( `' G `  C ) )  =  C )
122121ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( G `  ( `' G `  C )
)  =  C )
123119, 122eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( G `  y )  =  C )
124123oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( A  ^o  ( G `  y ) )  =  ( A  ^o  C
) )
125123fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  =  ( F `  C
) )
126124, 125oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  (
( A  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) ) )
127 oaword1 7203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  On  /\  ( H `  y )  e.  On )  ->  (
( A  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) 
C_  ( ( ( A  ^o  ( G `
 y ) )  .o  ( F `  ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y )
) )
128104, 83, 127syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) )  C_  (
( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y ) ) )
129128adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  (
( A  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) 
C_  ( ( ( A  ^o  ( G `
 y ) )  .o  ( F `  ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y )
) )
130126, 129eqsstr3d 3524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( ( ( A  ^o  ( G `
 y ) )  .o  ( F `  ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y )
) )
131110adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( H `  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `
 y ) )  .o  ( F `  ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y )
) )
132130, 131sseqtr4d 3526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) )
133132expr 615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( `' G `  C )  =  y  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) ) )
134133a1dd 46 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( `' G `  C )  =  y  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
135117, 134jaod 380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( ( `' G `  C )  e.  y  \/  ( `' G `  C )  =  y )  -> 
( ( ( y 
C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
13672, 135syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( `' G `  C )  e.  suc  y  -> 
( ( ( y 
C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
137136expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  ->  (
( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  suc  y )  ->  ( ( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
138137com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( suc  y  C_ 
dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  suc  y )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
139138expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( suc  y  C_ 
dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  suc  y )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  suc  y ) ) ) ) )
14054, 60, 66, 70, 139finds2 6713 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  (
( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  (
( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x
)  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  x )
) ) )
14148, 140vtoclga 3159 . . . . 5  |-  ( dom 
G  e.  om  ->  ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  (
( `' G `  C )  e.  dom  G  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  dom  G ) ) ) )
14240, 141mpcom 36 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( ( `' G `  C )  e.  dom  G  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  dom  G ) ) )
14338, 142mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  dom  G ) )
1446, 7, 3, 15, 5, 80cantnfvalOLD 8120 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( H `  dom  G ) )
145144adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( H `  dom  G ) )
146143, 145sseqtr4d 3526 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( ( A CNF  B ) `  F
) )
147 onelon 4893 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  On )
1483, 26, 147syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
149 oecl 7189 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  C
)  e.  On )
1507, 148, 149syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  C
)  e.  On )
151 om0 7169 . . . 4  |-  ( ( A  ^o  C )  e.  On  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  (/) )  =  (/) )
152150, 151syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  =  (/) )
153 0ss 3800 . . 3  |-  (/)  C_  (
( A CNF  B ) `
 F )
154152, 153syl6eqss 3539 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  C_  ( ( A CNF  B
) `  F )
)
1552, 146, 154pm2.61ne 2758 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( ( A CNF  B ) `  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3770    _E cep 4779    We wwe 4827   Oncon0 4868   suc csuc 4870   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   "cima 4992    Fn wfn 5573   -->wf 5574   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578    Isom wiso 5579  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   omcom 6685  seq𝜔cseqom 7114   1oc1o 7125    +o coa 7129    .o comu 7130    ^o coe 7131   Fincfn 7518  OrdIsocoi 7937   CNF ccnf 8081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-seqom 7115  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-oexp 7138  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-cnf 8082
This theorem is referenced by:  cantnflem3OLD  8135
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