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Theorem cantnfle 8179
Description: A lower bound on the CNF function. Since  ( ( A CNF 
B ) `  F
) is defined as the sum of  ( A  ^o  x )  .o  ( F `  x ) over all  x in the support of  F, it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all  C  e.  B instead of just those  C in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
cantnfcl.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
cantnfcl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
cantnfval.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
cantnfle.c  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
Assertion
Ref Expression
cantnfle  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( ( A CNF  B ) `  F
) )
Distinct variable groups:    z, k, B    z, C    A, k,
z    k, F, z    S, k, z    k, G, z    ph, k, z
Allowed substitution hints:    C( k)    H( z, k)

Proof of Theorem cantnfle
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6311 . . 3  |-  ( ( F `  C )  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C ) )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  (/) ) )
21sseq1d 3492 . 2  |-  ( ( F `  C )  =  (/)  ->  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( ( A CNF 
B ) `  F
)  <->  ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  C_  ( ( A CNF  B ) `  F ) ) )
3 cantnfs.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 suppssdm 6936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F supp  (/) )  C_  dom  F
5 cantnfcl.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
6 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
7 cantnfs.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
86, 7, 3cantnfs 8174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : B --> A  /\  F finSupp 
(/) ) ) )
95, 8mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F : B --> A  /\  F finSupp  (/) ) )
109simpld 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : B --> A )
11 fdm 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : B --> A  ->  dom  F  =  B )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  B )
134, 12syl5sseq 3513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  C_  B )
143, 13ssexd 4569 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  e. 
_V )
15 cantnfcl.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
166, 7, 3, 15, 5cantnfcl 8175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( F supp 
(/) )  /\  dom  G  e.  om ) )
1716simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  _E  We  ( F supp  (/) ) )
1815oiiso 8056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F supp  (/) )  e. 
_V  /\  _E  We  ( F supp  (/) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G , 
( F supp  (/) ) ) )
1914, 17, 18syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) ) )
20 isof1o 6229 . . . . . . . 8  |-  ( G 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp  (/) ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp 
(/) ) )
2221adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp  (/) ) )
23 f1ocnv 5841 . . . . . 6  |-  ( G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp  (/) )  ->  `' G : ( F supp  (/) ) -1-1-onto-> dom  G
)
24 f1of 5829 . . . . . 6  |-  ( `' G : ( F supp  (/) ) -1-1-onto-> dom  G  ->  `' G : ( F supp  (/) ) --> dom 
G )
2522, 23, 243syl 18 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  `' G : ( F supp  (/) ) --> dom  G )
26 cantnfle.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
2726anim1i 571 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( C  e.  B  /\  ( F `  C
)  =/=  (/) ) )
2810adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  F : B --> A )
29 ffn 5744 . . . . . . . 8  |-  ( F : B --> A  ->  F  Fn  B )
3028, 29syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  F  Fn  B )
313adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  B  e.  On )
32 0ex 4554 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  (/) 
e.  _V )
34 elsuppfn 6931 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  B  /\  B  e.  On  /\  (/)  e.  _V )  ->  ( C  e.  ( F supp  (/) )  <->  ( C  e.  B  /\  ( F `  C )  =/=  (/) ) ) )
3530, 31, 33, 34syl3anc 1265 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( C  e.  ( F supp  (/) )  <->  ( C  e.  B  /\  ( F `  C )  =/=  (/) ) ) )
3627, 35mpbird 236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  C  e.  ( F supp  (/) ) )
3725, 36ffvelrnd 6036 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( `' G `  C )  e.  dom  G )
3816simprd 465 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  om )
3938adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  dom  G  e.  om )
40 eqimss 3517 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  dom  G  ->  x  C_  dom  G )
4140biantrurd 511 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( `' G `  C )  e.  x  <->  ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x ) ) )
42 eleq2 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( `' G `  C )  e.  x  <->  ( `' G `  C )  e.  dom  G ) )
4341, 42bitr3d 259 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  <->  ( `' G `  C )  e.  dom  G ) )
44 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( H `  x
)  =  ( H `
 dom  G )
)
4544sseq2d 3493 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  x )  <->  ( ( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  dom  G ) ) )
4643, 45imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( ( x 
C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  x ) )  <->  ( ( `' G `  C )  e.  dom  G  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  dom  G ) ) ) )
4746imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( ( ph  /\  ( F `  C
)  =/=  (/) )  -> 
( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  x ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  (
( `' G `  C )  e.  dom  G  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  dom  G ) ) ) ) )
48 sseq1 3486 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  dom  G  <->  (/)  C_  dom  G ) )
49 eleq2 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( `' G `  C )  e.  x  <->  ( `' G `  C )  e.  (/) ) )
5048, 49anbi12d 716 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  <->  ( (/)  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  (/) ) ) )
51 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( H `
 x )  =  ( H `  (/) ) )
5251sseq2d 3493 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  x )  <->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  (/) ) ) )
5350, 52imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x
)  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  x )
)  <->  ( ( (/)  C_ 
dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  (/) )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  (/) ) ) ) )
54 sseq1 3486 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  dom  G  <->  y  C_  dom  G ) )
55 eleq2 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( `' G `  C )  e.  x  <->  ( `' G `  C )  e.  y ) )
5654, 55anbi12d 716 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x
)  <->  ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) ) )
57 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  x )  =  ( H `  y ) )
5857sseq2d 3493 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  x )  <->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  y )
) )
5956, 58imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  x ) )  <->  ( (
y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) ) ) )
60 sseq1 3486 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  C_  dom  G  <->  suc  y  C_  dom  G
) )
61 eleq2 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( `' G `  C )  e.  x  <->  ( `' G `  C )  e.  suc  y ) )
6260, 61anbi12d 716 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  <->  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  suc  y ) ) )
63 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( H `  x
)  =  ( H `
 suc  y )
)
6463sseq2d 3493 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  x )  <->  ( ( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) ) )
6562, 64imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( x 
C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  x ) )  <->  ( ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  suc  y )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
66 noel 3766 . . . . . . . . . 10  |-  -.  ( `' G `  C )  e.  (/)
6766pm2.21i 135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' G `  C )  e.  (/)  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  (/) ) )
6867adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  (/) )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  (/) ) )
6968a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( ( (/)  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  (/) )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  (/) ) ) )
70 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' G `  C )  e.  _V
7170elsuc 5509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' G `  C )  e.  suc  y  <->  ( ( `' G `  C )  e.  y  \/  ( `' G `  C )  =  y ) )
72 sssucid 5517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  C_  suc  y
73 sstr 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  suc  y  /\  suc  y  C_  dom  G
)  ->  y  C_  dom  G )
7472, 73mpan 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( suc  y  C_  dom  G  -> 
y  C_  dom  G )
7574ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) )  ->  y  C_ 
dom  G )
76 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) )  ->  ( `' G `  C )  e.  y )
77 pm2.27 41 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( ( y 
C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) ) )
7875, 76, 77syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) )  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) ) )
79 cantnfval.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
8079cantnfvalf 8173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  H : om
--> On
8180ffvelrni 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  om  ->  ( H `  y )  e.  On )
8281ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( H `  y )  e.  On )
837ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  A  e.  On )
843ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  B  e.  On )
8513ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( F supp  (/) )  C_  B )
86 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  suc  y  C_  dom  G )
87 sucidg 5518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  suc  y )
8887ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  y  e.  suc  y )
8986, 88sseldd 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  y  e.  dom  G )
9015oif 8049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  G : dom  G --> ( F supp  (/) )
9190ffvelrni 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  dom  G  -> 
( G `  y
)  e.  ( F supp  (/) ) )
9289, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( G `  y )  e.  ( F supp  (/) ) )
9385, 92sseldd 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( G `  y )  e.  B
)
94 onelon 5465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( G `  y )  e.  B )  -> 
( G `  y
)  e.  On )
9584, 93, 94syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( G `  y )  e.  On )
96 oecl 7245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  y )  e.  On )  -> 
( A  ^o  ( G `  y )
)  e.  On )
9783, 95, 96syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( A  ^o  ( G `  y ) )  e.  On )
9810ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  F : B --> A )
9998, 93ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  e.  A )
100 onelon 5465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 y ) )  e.  A )  -> 
( F `  ( G `  y )
)  e.  On )
10183, 99, 100syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  e.  On )
102 omcl 7244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  ^o  ( G `  y )
)  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 y ) )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  On )
10397, 101, 102syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) )  e.  On )
104 oaword2 7260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( H `  y
)  e.  On  /\  ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  On )  -> 
( H `  y
)  C_  ( (
( A  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y ) ) )
10582, 103, 104syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( H `  y )  C_  (
( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y ) ) )
106 simplll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ph )
107 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  y  e.  om )
1086, 7, 3, 15, 5, 79cantnfsuc 8178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( H `  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) )  +o  ( H `  y )
) )
109106, 107, 108syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( H `  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y ) ) )
110105, 109sseqtr4d 3502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( H `  y )  C_  ( H `  suc  y ) )
111 sstr 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y )  /\  ( H `  y )  C_  ( H `  suc  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) )
112111expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H `  y ) 
C_  ( H `  suc  y )  ->  (
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) ) )
113110, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C ) )  C_  ( H `  y )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  suc  y ) ) )
114113adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) )  ->  (
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) ) )
11578, 114syld 46 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) )  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) )
116115expr 619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( `' G `  C )  e.  y  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
117 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( `' G `  C )  =  y )
118117fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( G `  ( `' G `  C )
)  =  ( G `
 y ) )
119 f1ocnvfv2 6189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp 
(/) )  /\  C  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( G `  ( `' G `  C ) )  =  C )
12022, 36, 119syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( G `  ( `' G `  C ) )  =  C )
121120ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( G `  ( `' G `  C )
)  =  C )
122118, 121eqtr3d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( G `  y )  =  C )
123122oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( A  ^o  ( G `  y ) )  =  ( A  ^o  C
) )
124122fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  =  ( F `  C
) )
125123, 124oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  (
( A  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) ) )
126 oaword1 7259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  On  /\  ( H `  y )  e.  On )  ->  (
( A  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) 
C_  ( ( ( A  ^o  ( G `
 y ) )  .o  ( F `  ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y )
) )
127103, 82, 126syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) )  C_  (
( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y ) ) )
128127adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  (
( A  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) 
C_  ( ( ( A  ^o  ( G `
 y ) )  .o  ( F `  ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y )
) )
129125, 128eqsstr3d 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( ( ( A  ^o  ( G `
 y ) )  .o  ( F `  ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y )
) )
130109adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( H `  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `
 y ) )  .o  ( F `  ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y )
) )
131129, 130sseqtr4d 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) )
132131expr 619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( `' G `  C )  =  y  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) ) )
133132a1dd 48 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( `' G `  C )  =  y  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
134116, 133jaod 382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( ( `' G `  C )  e.  y  \/  ( `' G `  C )  =  y )  -> 
( ( ( y 
C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
13571, 134syl5bi 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( `' G `  C )  e.  suc  y  -> 
( ( ( y 
C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
136135expimpd 607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  ->  (
( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  suc  y )  ->  ( ( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
137136com23 82 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( suc  y  C_ 
dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  suc  y )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
138137expcom 437 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( suc  y  C_ 
dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  suc  y )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  suc  y ) ) ) ) )
13953, 59, 65, 69, 138finds2 6733 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  (
( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  (
( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x
)  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  x )
) ) )
14047, 139vtoclga 3146 . . . . 5  |-  ( dom 
G  e.  om  ->  ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  (
( `' G `  C )  e.  dom  G  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  dom  G ) ) ) )
14139, 140mpcom 38 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( ( `' G `  C )  e.  dom  G  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  dom  G ) ) )
14237, 141mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  dom  G ) )
1436, 7, 3, 15, 5, 79cantnfval 8176 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( H `  dom  G ) )
144143adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( H `  dom  G ) )
145142, 144sseqtr4d 3502 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( ( A CNF  B ) `  F
) )
146 onelon 5465 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  On )
1473, 26, 146syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
148 oecl 7245 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  C
)  e.  On )
1497, 147, 148syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  C
)  e.  On )
150 om0 7225 . . . 4  |-  ( ( A  ^o  C )  e.  On  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  (/) )  =  (/) )
151149, 150syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  =  (/) )
152 0ss 3792 . . 3  |-  (/)  C_  (
( A CNF  B ) `
 F )
153151, 152syl6eqss 3515 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  C_  ( ( A CNF  B
) `  F )
)
1542, 145, 153pm2.61ne 2740 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( ( A CNF  B ) `  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   _Vcvv 3082    C_ wss 3437   (/)c0 3762   class class class wbr 4421    _E cep 4760    We wwe 4809   `'ccnv 4850   dom cdm 4851   Oncon0 5440   suc csuc 5442    Fn wfn 5594   -->wf 5595   -1-1-onto->wf1o 5598   ` cfv 5599    Isom wiso 5600  (class class class)co 6303    |-> cmpt2 6305   omcom 6704   supp csupp 6923  seq𝜔cseqom 7170    +o coa 7185    .o comu 7186    ^o coe 7187   finSupp cfsupp 7887  OrdIsocoi 8028   CNF ccnf 8169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-seqom 7171  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-oexp 7194  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-oi 8029  df-cnf 8170
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