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Theorem cantnfle 7879
Description: A lower bound on the CNF function. Since  ( ( A CNF 
B ) `  F
) is defined as the sum of  ( A  ^o  x )  .o  ( F `  x ) over all  x in the support of  F, it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all  C  e.  B instead of just those  C in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
cantnfcl.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
cantnfcl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
cantnfval.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
cantnfle.c  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
Assertion
Ref Expression
cantnfle  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( ( A CNF  B ) `  F
) )
Distinct variable groups:    z, k, B    z, C    A, k,
z    k, F, z    S, k, z    k, G, z    ph, k, z
Allowed substitution hints:    C( k)    H( z, k)

Proof of Theorem cantnfle
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6099 . . 3  |-  ( ( F `  C )  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C ) )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  (/) ) )
21sseq1d 3383 . 2  |-  ( ( F `  C )  =  (/)  ->  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( ( A CNF 
B ) `  F
)  <->  ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  C_  ( ( A CNF  B ) `  F ) ) )
3 cantnfs.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 suppssdm 6703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F supp  (/) )  C_  dom  F
5 cantnfcl.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
6 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
7 cantnfs.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
86, 7, 3cantnfs 7874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : B --> A  /\  F finSupp 
(/) ) ) )
95, 8mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F : B --> A  /\  F finSupp  (/) ) )
109simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : B --> A )
11 fdm 5563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : B --> A  ->  dom  F  =  B )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  B )
134, 12syl5sseq 3404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  C_  B )
143, 13ssexd 4439 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  e. 
_V )
15 cantnfcl.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
166, 7, 3, 15, 5cantnfcl 7875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( F supp 
(/) )  /\  dom  G  e.  om ) )
1716simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  _E  We  ( F supp  (/) ) )
1815oiiso 7751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F supp  (/) )  e. 
_V  /\  _E  We  ( F supp  (/) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G , 
( F supp  (/) ) ) )
1914, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) ) )
20 isof1o 6016 . . . . . . . 8  |-  ( G 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp  (/) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp 
(/) ) )
2221adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp  (/) ) )
23 f1ocnv 5653 . . . . . 6  |-  ( G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp  (/) )  ->  `' G : ( F supp  (/) ) -1-1-onto-> dom  G
)
24 f1of 5641 . . . . . 6  |-  ( `' G : ( F supp  (/) ) -1-1-onto-> dom  G  ->  `' G : ( F supp  (/) ) --> dom 
G )
2522, 23, 243syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  `' G : ( F supp  (/) ) --> dom  G )
26 cantnfle.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
2726anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( C  e.  B  /\  ( F `  C
)  =/=  (/) ) )
2810adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  F : B --> A )
29 ffn 5559 . . . . . . . 8  |-  ( F : B --> A  ->  F  Fn  B )
3028, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  F  Fn  B )
313adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  B  e.  On )
32 0ex 4422 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  (/) 
e.  _V )
34 elsuppfn 6698 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  B  /\  B  e.  On  /\  (/)  e.  _V )  ->  ( C  e.  ( F supp  (/) )  <->  ( C  e.  B  /\  ( F `  C )  =/=  (/) ) ) )
3530, 31, 33, 34syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( C  e.  ( F supp  (/) )  <->  ( C  e.  B  /\  ( F `  C )  =/=  (/) ) ) )
3627, 35mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  C  e.  ( F supp  (/) ) )
3725, 36ffvelrnd 5844 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( `' G `  C )  e.  dom  G )
3816simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  om )
3938adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  dom  G  e.  om )
40 eqimss 3408 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  dom  G  ->  x  C_  dom  G )
4140biantrurd 508 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( `' G `  C )  e.  x  <->  ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x ) ) )
42 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( `' G `  C )  e.  x  <->  ( `' G `  C )  e.  dom  G ) )
4341, 42bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  <->  ( `' G `  C )  e.  dom  G ) )
44 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( H `  x
)  =  ( H `
 dom  G )
)
4544sseq2d 3384 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  x )  <->  ( ( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  dom  G ) ) )
4643, 45imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( ( x 
C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  x ) )  <->  ( ( `' G `  C )  e.  dom  G  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  dom  G ) ) ) )
4746imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  G  -> 
( ( ( ph  /\  ( F `  C
)  =/=  (/) )  -> 
( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  x ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  (
( `' G `  C )  e.  dom  G  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  dom  G ) ) ) ) )
48 sseq1 3377 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  dom  G  <->  (/)  C_  dom  G ) )
49 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( `' G `  C )  e.  x  <->  ( `' G `  C )  e.  (/) ) )
5048, 49anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  <->  ( (/)  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  (/) ) ) )
51 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( H `
 x )  =  ( H `  (/) ) )
5251sseq2d 3384 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  x )  <->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  (/) ) ) )
5350, 52imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x
)  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  x )
)  <->  ( ( (/)  C_ 
dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  (/) )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  (/) ) ) ) )
54 sseq1 3377 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  dom  G  <->  y  C_  dom  G ) )
55 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( `' G `  C )  e.  x  <->  ( `' G `  C )  e.  y ) )
5654, 55anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x
)  <->  ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) ) )
57 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  x )  =  ( H `  y ) )
5857sseq2d 3384 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  x )  <->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  y )
) )
5956, 58imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  x ) )  <->  ( (
y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) ) ) )
60 sseq1 3377 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  C_  dom  G  <->  suc  y  C_  dom  G
) )
61 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( `' G `  C )  e.  x  <->  ( `' G `  C )  e.  suc  y ) )
6260, 61anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  <->  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  suc  y ) ) )
63 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( H `  x
)  =  ( H `
 suc  y )
)
6463sseq2d 3384 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  x )  <->  ( ( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) ) )
6562, 64imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( x 
C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  x ) )  <->  ( ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  suc  y )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
66 noel 3641 . . . . . . . . . 10  |-  -.  ( `' G `  C )  e.  (/)
6766pm2.21i 131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' G `  C )  e.  (/)  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  (/) ) )
6867adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  (/) )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  (/) ) )
6968a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( ( (/)  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  (/) )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  (/) ) ) )
70 fvex 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' G `  C )  e.  _V
7170elsuc 4788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' G `  C )  e.  suc  y  <->  ( ( `' G `  C )  e.  y  \/  ( `' G `  C )  =  y ) )
72 sssucid 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  C_  suc  y
73 sstr 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  suc  y  /\  suc  y  C_  dom  G
)  ->  y  C_  dom  G )
7472, 73mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( suc  y  C_  dom  G  -> 
y  C_  dom  G )
7574ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) )  ->  y  C_ 
dom  G )
76 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) )  ->  ( `' G `  C )  e.  y )
77 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( ( y 
C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) ) )
7875, 76, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) )  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) ) )
79 cantnfval.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
8079cantnfvalf 7873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  H : om
--> On
8180ffvelrni 5842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  om  ->  ( H `  y )  e.  On )
8281ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( H `  y )  e.  On )
837ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  A  e.  On )
843ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  B  e.  On )
8513ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( F supp  (/) )  C_  B )
86 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  suc  y  C_  dom  G )
87 sucidg 4797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  suc  y )
8887ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  y  e.  suc  y )
8986, 88sseldd 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  y  e.  dom  G )
9015oif 7744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  G : dom  G --> ( F supp  (/) )
9190ffvelrni 5842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  dom  G  -> 
( G `  y
)  e.  ( F supp  (/) ) )
9289, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( G `  y )  e.  ( F supp  (/) ) )
9385, 92sseldd 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( G `  y )  e.  B
)
94 onelon 4744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( G `  y )  e.  B )  -> 
( G `  y
)  e.  On )
9584, 93, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( G `  y )  e.  On )
96 oecl 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  y )  e.  On )  -> 
( A  ^o  ( G `  y )
)  e.  On )
9783, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( A  ^o  ( G `  y ) )  e.  On )
9810ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  F : B --> A )
9998, 93ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  e.  A )
100 onelon 4744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 y ) )  e.  A )  -> 
( F `  ( G `  y )
)  e.  On )
10183, 99, 100syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  e.  On )
102 omcl 6976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  ^o  ( G `  y )
)  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 y ) )  e.  On )  -> 
( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  On )
10397, 101, 102syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) )  e.  On )
104 oaword2 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( H `  y
)  e.  On  /\  ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  On )  -> 
( H `  y
)  C_  ( (
( A  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y ) ) )
10582, 103, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( H `  y )  C_  (
( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y ) ) )
106 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ph )
107 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  y  e.  om )
1086, 7, 3, 15, 5, 79cantnfsuc 7878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( H `  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) )  +o  ( H `  y )
) )
109106, 107, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( H `  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y ) ) )
110105, 109sseqtr4d 3393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( H `  y )  C_  ( H `  suc  y ) )
111 sstr 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y )  /\  ( H `  y )  C_  ( H `  suc  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) )
112111expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H `  y ) 
C_  ( H `  suc  y )  ->  (
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) ) )
113110, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C ) )  C_  ( H `  y )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  suc  y ) ) )
114113adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) )  ->  (
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) ) )
11578, 114syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y ) )  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) )
116115expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( `' G `  C )  e.  y  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
117 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( `' G `  C )  =  y )
118117fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( G `  ( `' G `  C )
)  =  ( G `
 y ) )
119 f1ocnvfv2 5984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp 
(/) )  /\  C  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( G `  ( `' G `  C ) )  =  C )
12022, 36, 119syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( G `  ( `' G `  C ) )  =  C )
121120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( G `  ( `' G `  C )
)  =  C )
122118, 121eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( G `  y )  =  C )
123122oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( A  ^o  ( G `  y ) )  =  ( A  ^o  C
) )
124122fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  =  ( F `  C
) )
125123, 124oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  (
( A  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) ) )
126 oaword1 6991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  On  /\  ( H `  y )  e.  On )  ->  (
( A  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) 
C_  ( ( ( A  ^o  ( G `
 y ) )  .o  ( F `  ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y )
) )
127103, 82, 126syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) )  C_  (
( ( A  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y ) ) )
128127adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  (
( A  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) 
C_  ( ( ( A  ^o  ( G `
 y ) )  .o  ( F `  ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y )
) )
129125, 128eqsstr3d 3391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( ( ( A  ^o  ( G `
 y ) )  .o  ( F `  ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y )
) )
130109adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  ( H `  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  ( G `
 y ) )  .o  ( F `  ( G `  y ) ) )  +o  ( H `  y )
) )
131129, 130sseqtr4d 3393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  =  y ) )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) )
132131expr 615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( `' G `  C )  =  y  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( F `
 C ) ) 
C_  ( H `  suc  y ) ) )
133132a1dd 46 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( `' G `  C )  =  y  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
134116, 133jaod 380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( ( `' G `  C )  e.  y  \/  ( `' G `  C )  =  y )  -> 
( ( ( y 
C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
13571, 134syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  /\  suc  y  C_  dom  G )  ->  ( ( `' G `  C )  e.  suc  y  -> 
( ( ( y 
C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
136135expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  ->  (
( suc  y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  suc  y )  ->  ( ( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
137136com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  /\  y  e.  om )  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( suc  y  C_ 
dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  suc  y )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  suc  y ) ) ) )
138137expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  (
( ( y  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  y )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  y ) )  -> 
( ( suc  y  C_ 
dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  suc  y )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  suc  y ) ) ) ) )
13953, 59, 65, 69, 138finds2 6504 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  (
( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  (
( x  C_  dom  G  /\  ( `' G `  C )  e.  x
)  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  x )
) ) )
14047, 139vtoclga 3036 . . . . 5  |-  ( dom 
G  e.  om  ->  ( ( ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  ->  (
( `' G `  C )  e.  dom  G  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  dom  G ) ) ) )
14139, 140mpcom 36 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( ( `' G `  C )  e.  dom  G  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C
) )  C_  ( H `  dom  G ) ) )
14237, 141mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( H `  dom  G ) )
1436, 7, 3, 15, 5, 79cantnfval 7876 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( H `  dom  G ) )
144143adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( ( A CNF  B
) `  F )  =  ( H `  dom  G ) )
145142, 144sseqtr4d 3393 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  =/=  (/) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( ( A CNF  B ) `  F
) )
146 onelon 4744 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  On )
1473, 26, 146syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
148 oecl 6977 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  C
)  e.  On )
1497, 147, 148syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  C
)  e.  On )
150 om0 6957 . . . 4  |-  ( ( A  ^o  C )  e.  On  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  (/) )  =  (/) )
151149, 150syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  =  (/) )
152 0ss 3666 . . 3  |-  (/)  C_  (
( A CNF  B ) `
 F )
153151, 152syl6eqss 3406 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  C_  ( ( A CNF  B
) `  F )
)
1542, 145, 153pm2.61ne 2686 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  ( F `  C )
)  C_  ( ( A CNF  B ) `  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   (/)c0 3637   class class class wbr 4292    _E cep 4630    We wwe 4678   Oncon0 4719   suc csuc 4721   `'ccnv 4839   dom cdm 4840    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418    Isom wiso 5419  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   omcom 6476   supp csupp 6690  seq𝜔cseqom 6902    +o coa 6917    .o comu 6918    ^o coe 6919   finSupp cfsupp 7620  OrdIsocoi 7723   CNF ccnf 7867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-seqom 6903  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-oexp 6926  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-cnf 7868
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