MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff1o Structured version   Unicode version

Theorem cantnff1o 8133
Description: Simplify the isomorphism of cantnf 8108 to simple bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnff1o.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnff1o.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnff1o.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
Assertion
Ref Expression
cantnff1o  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S -1-1-onto-> ( A  ^o  B
) )

Proof of Theorem cantnff1o
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnff1o.1 . . 3  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnff1o.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnff1o.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 eqid 2467 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  (
( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  ( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
51, 2, 3, 4cantnf 8108 . 2  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) 
Isom  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
6 isof1o 6207 . 2  |-  ( ( A CNF  B )  Isom  {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  ( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) } ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A CNF  B ) : S -1-1-onto-> ( A  ^o  B ) )
75, 6syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S -1-1-onto-> ( A  ^o  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {copab 4504    _E cep 4789   Oncon0 4878   dom cdm 4999   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586    Isom wiso 5587  (class class class)co 6282    ^o coe 7126   CNF ccnf 8074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-seqom 7110  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-oexp 7133  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-cnf 8075
This theorem is referenced by:  oef1o  8137  oef1oOLD  8138  cnfcomlem  8139  cnfcom  8140  cnfcom2lem  8141  cnfcom2  8142  cnfcom3lem  8143  cnfcom3  8144  cnfcomlemOLD  8147  cnfcomOLD  8148  cnfcom2lemOLD  8149  cnfcom2OLD  8150  cnfcom3lemOLD  8151  cnfcom3OLD  8152
  Copyright terms: Public domain W3C validator