MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff1o Structured version   Unicode version

Theorem cantnff1o 7926
Description: Simplify the isomorphism of cantnf 7901 to simple bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnff1o.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnff1o.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnff1o.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
Assertion
Ref Expression
cantnff1o  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S -1-1-onto-> ( A  ^o  B
) )

Proof of Theorem cantnff1o
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnff1o.1 . . 3  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnff1o.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnff1o.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 eqid 2443 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  (
( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  ( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
51, 2, 3, 4cantnf 7901 . 2  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) 
Isom  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
6 isof1o 6016 . 2  |-  ( ( A CNF  B )  Isom  {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  ( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) } ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A CNF  B ) : S -1-1-onto-> ( A  ^o  B ) )
75, 6syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S -1-1-onto-> ( A  ^o  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   {copab 4349    _E cep 4630   Oncon0 4719   dom cdm 4840   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418    Isom wiso 5419  (class class class)co 6091    ^o coe 6919   CNF ccnf 7867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-seqom 6903  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-oexp 6926  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-cnf 7868
This theorem is referenced by:  oef1o  7930  oef1oOLD  7931  cnfcomlem  7932  cnfcom  7933  cnfcom2lem  7934  cnfcom2  7935  cnfcom3lem  7936  cnfcom3  7937  cnfcomlemOLD  7940  cnfcomOLD  7941  cnfcom2lemOLD  7942  cnfcom2OLD  7943  cnfcom3lemOLD  7944  cnfcom3OLD  7945
  Copyright terms: Public domain W3C validator