MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff1o Structured version   Unicode version

Theorem cantnff1o 8169
Description: Simplify the isomorphism of cantnf 8144 to simple bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnff1o.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnff1o.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnff1o.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
Assertion
Ref Expression
cantnff1o  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S -1-1-onto-> ( A  ^o  B
) )

Proof of Theorem cantnff1o
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnff1o.1 . . 3  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnff1o.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnff1o.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 eqid 2402 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  (
( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  ( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
51, 2, 3, 4cantnf 8144 . 2  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) 
Isom  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
6 isof1o 6204 . 2  |-  ( ( A CNF  B )  Isom  {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  ( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) } ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A CNF  B ) : S -1-1-onto-> ( A  ^o  B ) )
75, 6syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S -1-1-onto-> ( A  ^o  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755   {copab 4452    _E cep 4732   dom cdm 4823   Oncon0 5410   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569    Isom wiso 5570  (class class class)co 6278    ^o coe 7166   CNF ccnf 8110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-seqom 7150  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-oexp 7173  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-oi 7969  df-cnf 8111
This theorem is referenced by:  oef1o  8173  oef1oOLD  8174  cnfcomlem  8175  cnfcom  8176  cnfcom2lem  8177  cnfcom2  8178  cnfcom3lem  8179  cnfcom3  8180  cnfcomlemOLD  8183  cnfcomOLD  8184  cnfcom2lemOLD  8185  cnfcom2OLD  8186  cnfcom3lemOLD  8187  cnfcom3OLD  8188
  Copyright terms: Public domain W3C validator