Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cantnff 8184
 Description: The CNF function is a function from finitely supported functions from to , to the ordinal exponential . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s CNF
cantnfs.a
cantnfs.b
Assertion
Ref Expression
cantnff CNF

Proof of Theorem cantnff
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5880 . . . 4 seq𝜔
21csbex 4541 . . 3 OrdIso supp seq𝜔
32a1i 11 . 2 OrdIso supp seq𝜔
4 eqid 2453 . . . 4 finSupp finSupp
5 cantnfs.a . . . 4
6 cantnfs.b . . . 4
74, 5, 6cantnffval 8173 . . 3 CNF finSupp OrdIso supp seq𝜔
8 cantnfs.s . . . . 5 CNF
94, 5, 6cantnfdm 8174 . . . . 5 CNF finSupp
108, 9syl5eq 2499 . . . 4 finSupp
1110mpteq1d 4487 . . 3 OrdIso supp seq𝜔 finSupp OrdIso supp seq𝜔
127, 11eqtr4d 2490 . 2 CNF OrdIso supp seq𝜔
135adantr 467 . . . . . . . 8
146adantr 467 . . . . . . . 8
15 eqid 2453 . . . . . . . 8 OrdIso supp OrdIso supp
16 simpr 463 . . . . . . . 8
17 eqid 2453 . . . . . . . 8 seq𝜔 OrdIso supp OrdIso supp seq𝜔 OrdIso supp OrdIso supp
188, 13, 14, 15, 16, 17cantnfval 8178 . . . . . . 7 CNF seq𝜔 OrdIso supp OrdIso supp OrdIso supp
1918adantr 467 . . . . . 6 CNF seq𝜔 OrdIso supp OrdIso supp OrdIso supp
20 ovex 6323 . . . . . . . . . . 11 supp
218, 13, 14, 15, 16cantnfcl 8177 . . . . . . . . . . . 12 supp OrdIso supp
2221simpld 461 . . . . . . . . . . 11 supp
2315oien 8058 . . . . . . . . . . 11 supp supp OrdIso supp supp
2420, 22, 23sylancr 670 . . . . . . . . . 10 OrdIso supp supp
2524adantr 467 . . . . . . . . 9 OrdIso supp supp
26 suppssdm 6932 . . . . . . . . . . . 12 supp
278, 5, 6cantnfs 8176 . . . . . . . . . . . . . 14 finSupp
2827simprbda 629 . . . . . . . . . . . . 13
29 fdm 5738 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12
3126, 30syl5sseq 3482 . . . . . . . . . . 11 supp
3231adantr 467 . . . . . . . . . 10 supp
33 feq3 5717 . . . . . . . . . . . . . 14
3428, 33syl5ibcom 224 . . . . . . . . . . . . 13
3534imp 431 . . . . . . . . . . . 12
36 f00 5770 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36sylib 200 . . . . . . . . . . 11
3837simprd 465 . . . . . . . . . 10
39 sseq0 3768 . . . . . . . . . 10 supp supp
4032, 38, 39syl2anc 667 . . . . . . . . 9 supp
4125, 40breqtrd 4430 . . . . . . . 8 OrdIso supp
42 en0 7637 . . . . . . . 8 OrdIso supp OrdIso supp
4341, 42sylib 200 . . . . . . 7 OrdIso supp
4443fveq2d 5874 . . . . . 6 seq𝜔 OrdIso supp OrdIso supp OrdIso supp seq𝜔 OrdIso supp OrdIso supp
45 0ex 4538 . . . . . . 7
4617seqom0g 7178 . . . . . . 7 seq𝜔 OrdIso supp OrdIso supp
4745, 46mp1i 13 . . . . . 6 seq𝜔 OrdIso supp OrdIso supp
4819, 44, 473eqtrd 2491 . . . . 5 CNF
49 el1o 7206 . . . . 5 CNF CNF
5048, 49sylibr 216 . . . 4 CNF
5138oveq2d 6311 . . . . 5
5213adantr 467 . . . . . 6
53 oe0 7229 . . . . . 6
5452, 53syl 17 . . . . 5
5551, 54eqtrd 2487 . . . 4
5650, 55eleqtrrd 2534 . . 3 CNF
5713adantr 467 . . . 4
5814adantr 467 . . . 4
5916adantr 467 . . . 4
60 on0eln0 5481 . . . . . 6
6113, 60syl 17 . . . . 5
6261biimpar 488 . . . 4
6331adantr 467 . . . 4 supp
648, 57, 58, 59, 62, 58, 63cantnflt2 8183 . . 3 CNF
6556, 64pm2.61dane 2713 . 2 CNF
663, 12, 65fmpt2d 6058 1 CNF
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1446   wcel 1889   wne 2624  crab 2743  cvv 3047  csb 3365   wss 3406  c0 3733   class class class wbr 4405   cmpt 4464   cep 4746   wwe 4795   cdm 4837  con0 5426  wf 5581  cfv 5585  (class class class)co 6295   cmpt2 6297  com 6697   supp csupp 6919  seq𝜔cseqom 7169  c1o 7180   coa 7184   comu 7185   coe 7186   cmap 7477   cen 7571   finSupp cfsupp 7888  OrdIsocoi 8029   CNF ccnf 8171 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-seqom 7170  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-oexp 7193  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-oi 8030  df-cnf 8172 This theorem is referenced by:  cantnfp1  8191  cantnflem1  8199  cantnflem3  8201  cantnflem4  8202  cantnf  8203
 Copyright terms: Public domain W3C validator