Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff Unicode version

Theorem cantnff 7585
 Description: The CNF function is a function from finitely supported functions from to , to the ordinal exponential . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1 CNF
cantnfs.2
cantnfs.3
Assertion
Ref Expression
cantnff CNF

Proof of Theorem cantnff
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2919 . . . . . 6
21cnvex 5365 . . . . 5
3 imaexg 5176 . . . . 5
4 eqid 2404 . . . . . 6 OrdIso OrdIso
54oiexg 7460 . . . . 5 OrdIso
62, 3, 5mp2b 10 . . . 4 OrdIso
7 fvex 5701 . . . 4 seq𝜔
86, 7csbex 3222 . . 3 OrdIso seq𝜔
98a1i 11 . 2 OrdIso seq𝜔
10 eqid 2404 . . . 4
11 cantnfs.2 . . . 4
12 cantnfs.3 . . . 4
1310, 11, 12cantnffval 7574 . . 3 CNF OrdIso seq𝜔
14 cantnfs.1 . . . . 5 CNF
1510, 11, 12cantnfdm 7575 . . . . 5 CNF
1614, 15syl5eq 2448 . . . 4
1716mpteq1d 4250 . . 3 OrdIso seq𝜔 OrdIso seq𝜔
1813, 17eqtr4d 2439 . 2 CNF OrdIso seq𝜔
1911adantr 452 . . . . . . . 8
2012adantr 452 . . . . . . . 8
21 eqid 2404 . . . . . . . 8 OrdIso OrdIso
22 simpr 448 . . . . . . . 8
23 eqid 2404 . . . . . . . 8 seq𝜔 OrdIso OrdIso seq𝜔 OrdIso OrdIso
2414, 19, 20, 21, 22, 23cantnfval 7579 . . . . . . 7 CNF seq𝜔 OrdIso OrdIso OrdIso
2524adantr 452 . . . . . 6 CNF seq𝜔 OrdIso OrdIso OrdIso
26 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13
2726cnvex 5365 . . . . . . . . . . . 12
28 imaexg 5176 . . . . . . . . . . . 12
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
3014, 19, 20, 21, 22cantnfcl 7578 . . . . . . . . . . . 12 OrdIso
3130simpld 446 . . . . . . . . . . 11
3221oien 7463 . . . . . . . . . . 11 OrdIso
3329, 31, 32sylancr 645 . . . . . . . . . 10 OrdIso
3433adantr 452 . . . . . . . . 9 OrdIso
35 cnvimass 5183 . . . . . . . . . . . 12
3614, 11, 12cantnfs 7577 . . . . . . . . . . . . . 14
3736simprbda 607 . . . . . . . . . . . . 13
38 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . 13
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12
4035, 39syl5sseq 3356 . . . . . . . . . . 11
4140adantr 452 . . . . . . . . . 10
42 feq3 5537 . . . . . . . . . . . . . 14
4337, 42syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . 13
4443imp 419 . . . . . . . . . . . 12
45 f00 5587 . . . . . . . . . . . 12
4644, 45sylib 189 . . . . . . . . . . 11
4746simprd 450 . . . . . . . . . 10
48 sseq0 3619 . . . . . . . . . 10
4941, 47, 48syl2anc 643 . . . . . . . . 9
5034, 49breqtrd 4196 . . . . . . . 8 OrdIso
51 en0 7129 . . . . . . . 8 OrdIso OrdIso
5250, 51sylib 189 . . . . . . 7 OrdIso
5352fveq2d 5691 . . . . . 6 seq𝜔 OrdIso OrdIso OrdIso seq𝜔 OrdIso OrdIso
54 0ex 4299 . . . . . . 7
5523seqom0g 6672 . . . . . . 7 seq𝜔 OrdIso OrdIso
5654, 55mp1i 12 . . . . . 6 seq𝜔 OrdIso OrdIso
5725, 53, 563eqtrd 2440 . . . . 5 CNF
58 el1o 6702 . . . . 5 CNF CNF
5957, 58sylibr 204 . . . 4 CNF
6047oveq2d 6056 . . . . 5
6119adantr 452 . . . . . 6
62 oe0 6725 . . . . . 6
6361, 62syl 16 . . . . 5
6460, 63eqtrd 2436 . . . 4
6559, 64eleqtrrd 2481 . . 3 CNF
6619adantr 452 . . . 4
6720adantr 452 . . . 4
6822adantr 452 . . . 4
69 on0eln0 4596 . . . . . 6
7019, 69syl 16 . . . . 5
7170biimpar 472 . . . 4
7240adantr 452 . . . 4
7314, 66, 67, 68, 71, 67, 72cantnflt2 7584 . . 3 CNF
7465, 73pm2.61dane 2645 . 2 CNF
759, 18, 74fmpt2d 5857 1 CNF
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  crab 2670  cvv 2916  csb 3211   cdif 3277   wss 3280  c0 3588   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cep 4452   wwe 4500  con0 4541  com 4804  ccnv 4836   cdm 4837  cima 4840  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040   cmpt2 6042  seq𝜔cseqom 6663  c1o 6676   coa 6680   comu 6681   coe 6682   cmap 6977   cen 7065  cfn 7068  OrdIsocoi 7434   CNF ccnf 7572 This theorem is referenced by:  cantnfp1  7593  cantnflem1  7601  cantnflem3  7603  cantnflem4  7604  cantnf  7605 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-seqom 6664  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-oexp 6689  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-cnf 7573
 Copyright terms: Public domain W3C validator