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Theorem cantnfOLD 8165
 Description: The Cantor Normal Form theorem. The function CNF , which maps a finitely supported function from to to the sum over all indexes such that is nonzero, is an order isomorphism from the ordering of finitely supported functions to the set under the natural order. Setting and letting be arbitrarily large, the surjectivity of this function implies that every ordinal has a Cantor normal form (and injectivity, together with coherence cantnfres 8127, implies that such a representation is unique). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) Obsolete version of cantnf 8143 as of 2-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfsOLD.1 CNF
cantnfsOLD.2
cantnfsOLD.3
oemapvalOLD.t
Assertion
Ref Expression
cantnfOLD CNF
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,,)

Proof of Theorem cantnfOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfsOLD.1 . . 3 CNF
2 cantnfsOLD.2 . . 3
3 cantnfsOLD.3 . . 3
4 oemapvalOLD.t . . 3
51, 2, 3, 4oemapso 8132 . 2
6 oecl 7223 . . . . 5
72, 3, 6syl2anc 659 . . . 4
8 eloni 5419 . . . 4
97, 8syl 17 . . 3
10 ordwe 5422 . . 3
11 weso 4813 . . 3
12 sopo 4760 . . 3
139, 10, 11, 124syl 21 . 2
141, 2, 3cantnff 8124 . . 3 CNF
15 frn 5719 . . . . 5 CNF CNF
1614, 15syl 17 . . . 4 CNF
17 onss 6607 . . . . . . . 8
187, 17syl 17 . . . . . . 7
1918sseld 3440 . . . . . 6
20 eleq1 2474 . . . . . . . . . 10
21 eleq1 2474 . . . . . . . . . 10 CNF CNF
2220, 21imbi12d 318 . . . . . . . . 9 CNF CNF
2322imbi2d 314 . . . . . . . 8 CNF CNF
24 r19.21v 2808 . . . . . . . . 9 CNF CNF
25 ordelss 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
269, 25sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2726sselda 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
28 pm5.5 334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CNF CNF
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CNF CNF
3029ralbidva 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 CNF CNF
31 dfss3 3431 . . . . . . . . . . . . . . 15 CNF CNF
3230, 31syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . 14 CNF CNF
33 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CNF CNF
342adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CNF
3534adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CNF
363adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CNF
3736adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CNF
38 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CNF
39 simplrr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CNF CNF
407adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CNF
41 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CNF
42 onelon 5434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4340, 41, 42syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CNF
44 on0eln0 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CNF
4645biimpar 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CNF
47 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
48 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
50 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
511, 35, 37, 4, 38, 39, 46, 47, 48, 49, 50cantnflem4OLD 8164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CNF CNF
52 fconstmpt 4866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5352mptpreima 5315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
54 neirr 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
55 dif1o 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5655simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5754, 56mto 176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5857rgenw 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
59 rabeq0 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6058, 59mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6153, 60eqtr2i 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
62 oieq2 7971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 OrdIso OrdIso
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 OrdIso OrdIso
64 ne0i 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
65 ne0i 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6665ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 CNF
67 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6867neeq1d 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6966, 68syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 CNF
7069necon2d 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 CNF
71 on0eln0 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
72 oe0m1 7207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7371, 72bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7436, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 CNF
75 on0eln0 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7634, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 CNF
7770, 74, 763imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 CNF
7864, 77syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 CNF
7978imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CNF
8079, 52fmptd 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CNF
81 0fin 7781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8261, 81eqeltrri 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CNF
841, 2, 3cantnfsOLD 8146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8584adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CNF
8680, 83, 85mpbir2and 923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CNF
87 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 seq𝜔 OrdIso OrdIso seq𝜔 OrdIso OrdIso
881, 34, 36, 63, 86, 87cantnfvalOLD 8148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CNF CNF seq𝜔 OrdIso OrdIso OrdIso
89 0ex 4525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
90 we0 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
91 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 OrdIso OrdIso
9291oien 7996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 OrdIso
9389, 90, 92mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 OrdIso
94 en0 7615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 OrdIso OrdIso
9593, 94mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 OrdIso
9695fveq2i 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 seq𝜔 OrdIso OrdIso OrdIso seq𝜔 OrdIso OrdIso
9787seqom0g 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 seq𝜔 OrdIso OrdIso
9889, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 seq𝜔 OrdIso OrdIso
9996, 98eqtri 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 seq𝜔 OrdIso OrdIso OrdIso
10088, 99syl6eq 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CNF CNF
10114adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CNF CNF
102 ffn 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CNF CNF
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CNF CNF
104 fnfvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CNF CNF CNF
105103, 86, 104syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CNF CNF CNF
106100, 105eqeltrrd 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CNF CNF
10733, 51, 106pm2.61ne 2718 . . . . . . . . . . . . . . 15 CNF CNF
108107expr 613 . . . . . . . . . . . . . 14 CNF CNF
10932, 108sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13 CNF CNF
110109ex 432 . . . . . . . . . . . 12 CNF CNF
111110com23 78 . . . . . . . . . . 11 CNF CNF
112111a2i 14 . . . . . . . . . 10 CNF CNF
113112a1i 11 . . . . . . . . 9 CNF CNF
11424, 113syl5bi 217 . . . . . . . 8 CNF CNF
11523, 114tfis2 6673 . . . . . . 7 CNF
116115com3l 81 . . . . . 6 CNF
11719, 116mpdd 38 . . . . 5 CNF
118117ssrdv 3447 . . . 4 CNF
11916, 118eqssd 3458 . . 3 CNF
120 dffo2 5781 . . 3 CNF CNF CNF
12114, 119, 120sylanbrc 662 . 2 CNF
1222adantr 463 . . . . . 6
1233adantr 463 . . . . . 6
124 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12
125 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12
126124, 125eleq12d 2484 . . . . . . . . . . 11
127 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . . 13
128127imbi1d 315 . . . . . . . . . . . 12
129128ralbidv 2842 . . . . . . . . . . 11
130126, 129anbi12d 709 . . . . . . . . . 10
131130cbvrexv 3034 . . . . . . . . 9
132 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . 12
133 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . 12
134 eleq12 2478 . . . . . . . . . . . 12
135132, 133, 134syl2an 475 . . . . . . . . . . 11
136 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . . . 14
137 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . . . 14
138136, 137eqeqan12d 2425 . . . . . . . . . . . . 13
139138imbi2d 314 . . . . . . . . . . . 12
140139ralbidv 2842 . . . . . . . . . . 11
141135, 140anbi12d 709 . . . . . . . . . 10
142141rexbidv 2917 . . . . . . . . 9
143131, 142syl5bb 257 . . . . . . . 8
144143cbvopabv 4463 . . . . . . 7
1454, 144eqtri 2431 . . . . . 6
146 simprll 764 . . . . . 6
147 simprlr 765 . . . . . 6
148 simprr 758 . . . . . 6
149 eqid 2402 . . . . . 6
150 eqid 2402 . . . . . 6 OrdIso OrdIso
151 eqid 2402 . . . . . 6 seq𝜔 OrdIso OrdIso seq𝜔 OrdIso OrdIso
1521, 122, 123, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151cantnflem1OLD 8162 . . . . 5 CNF CNF
153 fvex 5858 . . . . . 6 CNF
154153epelc 4735 . . . . 5 CNF CNF CNF CNF
155152, 154sylibr 212 . . . 4 CNF CNF
156155expr 613 . . 3 CNF CNF
157156ralrimivva 2824 . 2 CNF CNF
158 soisoi 6206 . 2 CNF CNF CNF CNF
1595, 13, 121, 157, 158syl22anc 1231 1 CNF
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wral 2753  wrex 2754  crab 2757  cvv 3058   cdif 3410   wss 3413  c0 3737  csn 3971  cop 3977  cuni 4190  cint 4226   class class class wbr 4394  copab 4451   cep 4731   wpo 4741   wor 4742   wwe 4780   cxp 4820  ccnv 4821   cdm 4822   crn 4823  cima 4825   word 5408  con0 5409  cio 5530   wfn 5563  wf 5564  wfo 5566  cfv 5568   wiso 5569  (class class class)co 6277   cmpt2 6279  c1st 6781  c2nd 6782  seq𝜔cseqom 7148  c1o 7159   coa 7163   comu 7164   coe 7165   cen 7550  cfn 7553  OrdIsocoi 7967   CNF ccnf 8109 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-seqom 7149  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-oexp 7172  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-cnf 8110 This theorem is referenced by:  oemapweOLD  8166  cantnffval2OLD  8167
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