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Theorem cantnfOLD 8165
Description: The Cantor Normal Form theorem. The function  ( A CNF  B ), which maps a finitely supported function from  B to  A to the sum  ( ( A  ^o  f ( a 1 ) )  o.  a 1 )  +o  ( ( A  ^o  f ( a 2 ) )  o.  a 2 )  +o 
... over all indexes  a  <  B such that  f ( a ) is nonzero, is an order isomorphism from the ordering  T of finitely supported functions to the set  ( A  ^o  B
) under the natural order. Setting 
A  =  om and letting  B be arbitrarily large, the surjectivity of this function implies that every ordinal has a Cantor normal form (and injectivity, together with coherence cantnfres 8127, implies that such a representation is unique). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) Obsolete version of cantnf 8143 as of 2-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfsOLD.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfsOLD.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfsOLD.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapvalOLD.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
Assertion
Ref Expression
cantnfOLD  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) 
Isom  T ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, B    w, A, x, y, z    x, S, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cantnfOLD
Dummy variables  f 
c  g  k  t  u  v  a  b  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfsOLD.1 . . 3  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnfsOLD.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnfsOLD.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 oemapvalOLD.t . . 3  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
51, 2, 3, 4oemapso 8132 . 2  |-  ( ph  ->  T  Or  S )
6 oecl 7223 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
72, 3, 6syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
8 eloni 5419 . . . 4  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  B ) )
97, 8syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Ord  ( A  ^o  B ) )
10 ordwe 5422 . . 3  |-  ( Ord  ( A  ^o  B
)  ->  _E  We  ( A  ^o  B ) )
11 weso 4813 . . 3  |-  (  _E  We  ( A  ^o  B )  ->  _E  Or  ( A  ^o  B
) )
12 sopo 4760 . . 3  |-  (  _E  Or  ( A  ^o  B )  ->  _E  Po  ( A  ^o  B
) )
139, 10, 11, 124syl 21 . 2  |-  ( ph  ->  _E  Po  ( A  ^o  B ) )
141, 2, 3cantnff 8124 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B ) )
15 frn 5719 . . . . 5  |-  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  ->  ran  ( A CNF  B )  C_  ( A  ^o  B
) )
1614, 15syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( A CNF  B
)  C_  ( A  ^o  B ) )
17 onss 6607 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  ( A  ^o  B )  C_  On )
187, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  C_  On )
1918sseld 3440 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  On ) )
20 eleq1 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  y  ->  (
t  e.  ( A  ^o  B )  <->  y  e.  ( A  ^o  B ) ) )
21 eleq1 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  y  ->  (
t  e.  ran  ( A CNF  B )  <->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
2220, 21imbi12d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  y  ->  (
( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B )
)  <->  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
2322imbi2d 314 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  y  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B
) ) )  <->  ( ph  ->  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) ) ) )
24 r19.21v 2808 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  t  ( ph  ->  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) ) )
25 ordelss 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  ( A  ^o  B )  /\  t  e.  ( A  ^o  B
) )  ->  t  C_  ( A  ^o  B
) )
269, 25sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  t  C_  ( A  ^o  B ) )
2726sselda 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B
) )  /\  y  e.  t )  ->  y  e.  ( A  ^o  B
) )
28 pm5.5 334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  (
( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
)  <->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B
) )  /\  y  e.  t )  ->  (
( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
)  <->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
3029ralbidva 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A. y  e.  t  (
y  e.  ( A  ^o  B )  -> 
y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  <->  A. y  e.  t  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
31 dfss3 3431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t 
C_  ran  ( A CNF  B )  <->  A. y  e.  t  y  e.  ran  ( A CNF  B ) )
3230, 31syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A. y  e.  t  (
y  e.  ( A  ^o  B )  -> 
y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  <->  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )
33 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  (/)  ->  ( t  e.  ran  ( A CNF 
B )  <->  (/)  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
342adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  A  e.  On )
3534adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  ->  A  e.  On )
363adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  B  e.  On )
3736adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  ->  B  e.  On )
38 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  -> 
t  e.  ( A  ^o  B ) )
39 simplrr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  -> 
t  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
407adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A  ^o  B )  e.  On )
41 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  t  e.  ( A  ^o  B
) )
42 onelon 5434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  ^o  B
)  e.  On  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  -> 
t  e.  On )
4340, 41, 42syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  t  e.  On )
44 on0eln0 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  On  ->  ( (/) 
e.  t  <->  t  =/=  (/) ) )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( (/) 
e.  t  <->  t  =/=  (/) ) )
4645biimpar 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  ->  (/) 
e.  t )
47 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. |^| { c  e.  On  | 
t  e.  ( A  ^o  c ) }  =  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) }
48 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) )  =  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) )
49 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1st `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  =  <. a ,  b >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )  =  ( 1st `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )
50 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  =  <. a ,  b >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )  =  ( 2nd `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )
511, 35, 37, 4, 38, 39, 46, 47, 48, 49, 50cantnflem4OLD 8164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  -> 
t  e.  ran  ( A CNF  B ) )
52 fconstmpt 4866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  X.  { (/) } )  =  ( y  e.  B  |->  (/) )
5352mptpreima 5315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( `' ( B  X.  { (/)
} ) " ( _V  \  1o ) )  =  { y  e.  B  |  (/)  e.  ( _V  \  1o ) }
54 neirr 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  -.  (/)  =/=  (/)
55 dif1o 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (/)  e.  ( _V  \  1o ) 
<->  ( (/)  e.  _V  /\  (/)  =/=  (/) ) )
5655simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (/)  e.  ( _V  \  1o )  ->  (/)  =/=  (/) )
5754, 56mto 176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -.  (/)  e.  ( _V  \  1o )
5857rgenw 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  A. y  e.  B  -.  (/)  e.  ( _V  \  1o )
59 rabeq0 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { y  e.  B  |  (/) 
e.  ( _V  \  1o ) }  =  (/)  <->  A. y  e.  B  -.  (/) 
e.  ( _V  \  1o ) )
6058, 59mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { y  e.  B  |  (/)  e.  ( _V  \  1o ) }  =  (/)
6153, 60eqtr2i 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  =  ( `' ( B  X.  { (/) } ) "
( _V  \  1o ) )
62 oieq2 7971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  =  ( `' ( B  X.  { (/) } ) " ( _V 
\  1o ) )  -> OrdIso (  _E  ,  (/) )  = OrdIso (  _E  , 
( `' ( B  X.  { (/) } )
" ( _V  \  1o ) ) ) )
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- OrdIso (  _E  ,  (/) )  = OrdIso (  _E  ,  ( `' ( B  X.  { (/) } ) " ( _V 
\  1o ) ) )
64 ne0i 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
65 ne0i 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  ( A  ^o  B )  =/=  (/) )
6665ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A  ^o  B )  =/=  (/) )
67 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  B )  =  ( (/)  ^o  B ) )
6867neeq1d 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  B )  =/=  (/)  <->  ( (/)  ^o  B
)  =/=  (/) ) )
6966, 68syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( (/) 
^o  B )  =/=  (/) ) )
7069necon2d 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( (/)  ^o  B )  =  (/)  ->  A  =/=  (/) ) )
71 on0eln0 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
72 oe0m1 7207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
7371, 72bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  =/=  (/)  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
7436, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  =/=  (/)  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
75 on0eln0 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
7634, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
7770, 74, 763imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  =/=  (/)  ->  (/)  e.  A
) )
7864, 77syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
y  e.  B  ->  (/) 
e.  A ) )
7978imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  y  e.  B
)  ->  (/)  e.  A
)
8079, 52fmptd 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  X.  { (/) } ) : B --> A )
81 0fin 7781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (/)  e.  Fin
8261, 81eqeltrri 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( `' ( B  X.  { (/)
} ) " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( `' ( B  X.  { (/) } ) "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin )
841, 2, 3cantnfsOLD 8146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( B  X.  { (/) } )  e.  S  <->  ( ( B  X.  { (/) } ) : B --> A  /\  ( `' ( B  X.  { (/) } ) "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) ) )
8584adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( B  X.  { (/)
} )  e.  S  <->  ( ( B  X.  { (/)
} ) : B --> A  /\  ( `' ( B  X.  { (/) } ) " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
8680, 83, 85mpbir2and 923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  X.  { (/) } )  e.  S )
87 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )
881, 34, 36, 63, 86, 87cantnfvalOLD 8148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( A CNF  B ) `
 ( B  X.  { (/) } ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  (/) ) ) )
89 0ex 4525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (/)  e.  _V
90 we0 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  _E  We  (/)
91 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |- OrdIso (  _E  ,  (/) )  = OrdIso (  _E  ,  (/) )
9291oien 7996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  _E  We  (/) )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  ~~  (/) )
9389, 90, 92mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  ~~  (/)
94 en0 7615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  ~~  (/)  <->  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  =  (/) )
9593, 94mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  =  (/)
9695fveq2i 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  (/) ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )
9787seqom0g 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/) )
9889, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
9996, 98eqtri 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  (/) ) )  =  (/)
10088, 99syl6eq 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( A CNF  B ) `
 ( B  X.  { (/) } ) )  =  (/) )
10114adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B ) )
102 ffn 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  ->  ( A CNF  B )  Fn  S
)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A CNF  B )  Fn  S
)
104 fnfvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A CNF  B )  Fn  S  /\  ( B  X.  { (/) } )  e.  S )  -> 
( ( A CNF  B
) `  ( B  X.  { (/) } ) )  e.  ran  ( A CNF 
B ) )
105103, 86, 104syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( A CNF  B ) `
 ( B  X.  { (/) } ) )  e.  ran  ( A CNF 
B ) )
106100, 105eqeltrrd 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (/)  e.  ran  ( A CNF  B )
)
10733, 51, 106pm2.61ne 2718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B
) )
108107expr 613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( t  C_ 
ran  ( A CNF  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
10932, 108sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A. y  e.  t  (
y  e.  ( A  ^o  B )  -> 
y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  -> 
t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
110109ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  ( A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
111110com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
112111a2i 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  ->  A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
113112a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) ) )
11424, 113syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  On  ->  ( A. y  e.  t 
( ph  ->  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B
) ) )  -> 
( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B
) ) ) ) )
11523, 114tfis2 6673 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  On  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
116115com3l 81 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  ( t  e.  On  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
11719, 116mpdd 38 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
118117ssrdv 3447 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
11916, 118eqssd 3458 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( A CNF  B
)  =  ( A  ^o  B ) )
120 dffo2 5781 . . 3  |-  ( ( A CNF  B ) : S -onto-> ( A  ^o  B )  <->  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  /\  ran  ( A CNF 
B )  =  ( A  ^o  B ) ) )
12114, 119, 120sylanbrc 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S -onto-> ( A  ^o  B ) )
1222adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  A  e.  On )
1233adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  B  e.  On )
124 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  t  ->  (
x `  z )  =  ( x `  t ) )
125 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  t  ->  (
y `  z )  =  ( y `  t ) )
126124, 125eleq12d 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  t  ->  (
( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  <->  ( x `  t )  e.  ( y `  t ) ) )
127 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  t  ->  (
z  e.  w  <->  t  e.  w ) )
128127imbi1d 315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  t  ->  (
( z  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) )  <-> 
( t  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
129128ralbidv 2842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  t  ->  ( A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) )  <->  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
130126, 129anbi12d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  t  ->  (
( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  ( (
x `  t )  e.  ( y `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) ) )
131130cbvrexv 3034 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  B  ( ( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  <->  E. t  e.  B  ( ( x `  t )  e.  ( y `  t )  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) )
132 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  (
x `  t )  =  ( u `  t ) )
133 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  v  ->  (
y `  t )  =  ( v `  t ) )
134 eleq12 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x `  t
)  =  ( u `
 t )  /\  ( y `  t
)  =  ( v `
 t ) )  ->  ( ( x `
 t )  e.  ( y `  t
)  <->  ( u `  t )  e.  ( v `  t ) ) )
135132, 133, 134syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( x `  t )  e.  ( y `  t )  <-> 
( u `  t
)  e.  ( v `
 t ) ) )
136 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
x `  w )  =  ( u `  w ) )
137 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
y `  w )  =  ( v `  w ) )
138136, 137eqeqan12d 2425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( x `  w )  =  ( y `  w )  <-> 
( u `  w
)  =  ( v `
 w ) ) )
139138imbi2d 314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( t  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  ( t  e.  w  ->  ( u `  w )  =  ( v `  w ) ) ) )
140139ralbidv 2842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `  w
)  =  ( v `
 w ) ) ) )
141135, 140anbi12d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( ( x `
 t )  e.  ( y `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) )  <->  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) ) )
142141rexbidv 2917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( E. t  e.  B  ( ( x `
 t )  e.  ( y `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) )  <->  E. t  e.  B  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) ) )
143131, 142syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( E. z  e.  B  ( ( x `
 z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) )  <->  E. t  e.  B  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) ) )
144143cbvopabv 4463 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  (
( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. u ,  v >.  |  E. t  e.  B  ( ( u `  t )  e.  ( v `  t )  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `  w )  =  ( v `  w ) ) ) }
1454, 144eqtri 2431 . . . . . 6  |-  T  =  { <. u ,  v
>.  |  E. t  e.  B  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) }
146 simprll 764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  f  e.  S )
147 simprlr 765 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  g  e.  S )
148 simprr 758 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  f T
g )
149 eqid 2402 . . . . . 6  |-  U. {
c  e.  B  | 
( f `  c
)  e.  ( g `
 c ) }  =  U. { c  e.  B  |  ( f `  c )  e.  ( g `  c ) }
150 eqid 2402 . . . . . 6  |- OrdIso (  _E  ,  ( `' g
" ( _V  \  1o ) ) )  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' g " ( _V  \  1o ) ) )
151 eqid 2402 . . . . . 6  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  t  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' g
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( g `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' g " ( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  t
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  t  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( `' g
" ( _V  \  1o ) ) ) `  k ) )  .o  ( g `  (OrdIso (  _E  ,  ( `' g " ( _V  \  1o ) ) ) `  k ) ) )  +o  t
) ) ,  (/) )
1521, 122, 123, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151cantnflem1OLD 8162 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  ( ( A CNF  B ) `  f
)  e.  ( ( A CNF  B ) `  g ) )
153 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( ( A CNF  B ) `  g )  e.  _V
154153epelc 4735 . . . . 5  |-  ( ( ( A CNF  B ) `
 f )  _E  ( ( A CNF  B
) `  g )  <->  ( ( A CNF  B ) `
 f )  e.  ( ( A CNF  B
) `  g )
)
155152, 154sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  ( ( A CNF  B ) `  f
)  _E  ( ( A CNF  B ) `  g ) )
156155expr 613 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  S ) )  -> 
( f T g  ->  ( ( A CNF 
B ) `  f
)  _E  ( ( A CNF  B ) `  g ) ) )
157156ralrimivva 2824 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  S  A. g  e.  S  ( f T g  ->  ( ( A CNF 
B ) `  f
)  _E  ( ( A CNF  B ) `  g ) ) )
158 soisoi 6206 . 2  |-  ( ( ( T  Or  S  /\  _E  Po  ( A  ^o  B ) )  /\  ( ( A CNF 
B ) : S -onto->
( A  ^o  B
)  /\  A. f  e.  S  A. g  e.  S  ( f T g  ->  (
( A CNF  B ) `
 f )  _E  ( ( A CNF  B
) `  g )
) ) )  -> 
( A CNF  B ) 
Isom  T ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
1595, 13, 121, 157, 158syl22anc 1231 1  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) 
Isom  T ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   {crab 2757   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   <.cop 3977   U.cuni 4190   |^|cint 4226   class class class wbr 4394   {copab 4451    _E cep 4731    Po wpo 4741    Or wor 4742    We wwe 4780    X. cxp 4820   `'ccnv 4821   dom cdm 4822   ran crn 4823   "cima 4825   Ord word 5408   Oncon0 5409   iotacio 5530    Fn wfn 5563   -->wf 5564   -onto->wfo 5566   ` cfv 5568    Isom wiso 5569  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   1stc1st 6781   2ndc2nd 6782  seq𝜔cseqom 7148   1oc1o 7159    +o coa 7163    .o comu 7164    ^o coe 7165    ~~ cen 7550   Fincfn 7553  OrdIsocoi 7967   CNF ccnf 8109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-seqom 7149  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-oexp 7172  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-cnf 8110
This theorem is referenced by:  oemapweOLD  8166  cantnffval2OLD  8167
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