Theorem cantnf 8129

Description: The Cantor Normal Form theorem. The function ( A CNF B ), which maps a finitely supported function from B to A to the sum ( ( A ^o f ( a 1 ) ) o. a 1 ) +o ( ( A ^o f ( a 2 ) ) o. a 2 ) +o ... over all indexes a < B such that f ( a ) is nonzero, is an order isomorphism from the ordering T of finitely supported functions to the set ( A ^o B ) under the natural order. Setting A = om and letting B be arbitrarily large, the surjectivity of this function implies that every ordinal has a Cantor normal form (and injectivity, together with coherence cantnfres 8113, implies that such a representation is unique). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
oemapval.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
cantnf	|- ( ph -> ( A CNF B ) Isom T , _E ( S , ( A ^o B ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, B   w, A, x, y, z   x, S, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( w)   S( w)   T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cantnf

Dummy variables f c g k t u v a b d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . 3 |- S = dom ( A CNF B )
2		cantnfs.a	. . 3 |- ( ph -> A e. On )
3		cantnfs.b	. . 3 |- ( ph -> B e. On )
4		oemapval.t	. . 3 |- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
5	1, 2, 3, 4	oemapso 8118	. 2 |- ( ph -> T Or S )
6		oecl 7205	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ^o B ) e. On )
7	2, 3, 6	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^o B ) e. On )
8		eloni 4897	. . . 4 |- ( ( A ^o B ) e. On -> Ord ( A ^o B ) )
9	7, 8	syl 16	. . 3 |- ( ph -> Ord ( A ^o B ) )
10		ordwe 4900	. . 3 |- ( Ord ( A ^o B ) -> _E We ( A ^o B ) )
11		weso 4879	. . 3 |- ( _E We ( A ^o B ) -> _E Or ( A ^o B ) )
12		sopo 4826	. . 3 |- ( _E Or ( A ^o B ) -> _E Po ( A ^o B ) )
13	9, 10, 11, 12	4syl 21	. 2 |- ( ph -> _E Po ( A ^o B ) )
14	1, 2, 3	cantnff 8110	. . 3 |- ( ph -> ( A CNF B ) : S --> ( A ^o B ) )
15		frn 5743	. . . . 5 |- ( ( A CNF B ) : S --> ( A ^o B ) -> ran ( A CNF B ) C_ ( A ^o B ) )
16	14, 15	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ran ( A CNF B ) C_ ( A ^o B ) )
17		onss 6625	. . . . . . . 8 |- ( ( A ^o B ) e. On -> ( A ^o B ) C_ On )
18	7, 17	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^o B ) C_ On )
19	18	sseld 3498	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. On ) )
20		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( t = y -> ( t e. ( A ^o B ) <-> y e. ( A ^o B ) ) )
21		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( t = y -> ( t e. ran ( A CNF B ) <-> y e. ran ( A CNF B ) ) )
22	20, 21	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( t = y -> ( ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) <-> ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) ) )
23	22	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( t = y -> ( ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) <-> ( ph -> ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) ) ) )
24		r19.21v 2862	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. t ( ph -> ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) ) <-> ( ph -> A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) ) )
25		ordelss 4903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Ord ( A ^o B ) /\ t e. ( A ^o B ) ) -> t C_ ( A ^o B ) )
26	9, 25	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( A ^o B ) ) -> t C_ ( A ^o B ) )
27	26	sselda 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A ^o B ) ) /\ y e. t ) -> y e. ( A ^o B ) )
28		pm5.5 336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( A ^o B ) -> ( ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) <-> y e. ran ( A CNF B ) ) )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A ^o B ) ) /\ y e. t ) -> ( ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) <-> y e. ran ( A CNF B ) ) )
30	29	ralbidva 2893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( A ^o B ) ) -> ( A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) <-> A. y e. t y e. ran ( A CNF B ) ) )
31		dfss3 3489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t C_ ran ( A CNF B ) <-> A. y e. t y e. ran ( A CNF B ) )
32	30, 31	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( A ^o B ) ) -> ( A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) <-> t C_ ran ( A CNF B ) ) )
33		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = (/) -> ( t e. ran ( A CNF B ) <-> (/) e. ran ( A CNF B ) ) )
34	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> A e. On )
35	34	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) /\ t =/= (/) ) -> A e. On )
36	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> B e. On )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) /\ t =/= (/) ) -> B e. On )
38		simplrl 761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) /\ t =/= (/) ) -> t e. ( A ^o B ) )
39		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) /\ t =/= (/) ) -> t C_ ran ( A CNF B ) )
40	7	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( A ^o B ) e. On )
41		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> t e. ( A ^o B ) )
42		onelon 4912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A ^o B ) e. On /\ t e. ( A ^o B ) ) -> t e. On )
43	40, 41, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> t e. On )
44		on0eln0 4942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t e. On -> ( (/) e. t <-> t =/= (/) ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( (/) e. t <-> t =/= (/) ) )
46	45	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) /\ t =/= (/) ) -> (/) e. t )
47		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } = U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) }
48		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( iota d E. a e. On E. b e. ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) ( d = <. a , b >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) .o a ) +o b ) = t ) ) = ( iota d E. a e. On E. b e. ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) ( d = <. a , b >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) .o a ) +o b ) = t ) )
49		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1st ` ( iota d E. a e. On E. b e. ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) ( d = <. a , b >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) .o a ) +o b ) = t ) ) ) = ( 1st ` ( iota d E. a e. On E. b e. ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) ( d = <. a , b >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) .o a ) +o b ) = t ) ) )
50		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2nd ` ( iota d E. a e. On E. b e. ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) ( d = <. a , b >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) .o a ) +o b ) = t ) ) ) = ( 2nd ` ( iota d E. a e. On E. b e. ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) ( d = <. a , b >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) .o a ) +o b ) = t ) ) )
51	1, 35, 37, 4, 38, 39, 46, 47, 48, 49, 50	cantnflem4 8128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) /\ t =/= (/) ) -> t e. ran ( A CNF B ) )
52		fczsupp0 6947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( B X. { (/) } ) supp (/) ) = (/)
53	52	eqcomi 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (/) = ( ( B X. { (/) } ) supp (/) )
54		oieq2 7956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (/) = ( ( B X. { (/) } ) supp (/) ) -> OrdIso ( _E , (/) ) = OrdIso ( _E , ( ( B X. { (/) } ) supp (/) ) ) )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- OrdIso ( _E , (/) ) = OrdIso ( _E , ( ( B X. { (/) } ) supp (/) ) )
56		ne0i 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. B -> B =/= (/) )
57		ne0i 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( t e. ( A ^o B ) -> ( A ^o B ) =/= (/) )
58	57	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( A ^o B ) =/= (/) )
59		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
60	59	neeq1d 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) =/= (/) <-> ( (/) ^o B ) =/= (/) ) )
61	58, 60	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( A = (/) -> ( (/) ^o B ) =/= (/) ) )
62	61	necon2d 2683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) = (/) -> A =/= (/) ) )
63		on0eln0 4942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
64		oe0m1 7189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
65	63, 64	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( B e. On -> ( B =/= (/) <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
66	36, 65	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( B =/= (/) <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
67		on0eln0 4942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A e. On -> ( (/) e. A <-> A =/= (/) ) )
68	34, 67	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( (/) e. A <-> A =/= (/) ) )
69	62, 66, 68	3imtr4d 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( B =/= (/) -> (/) e. A ) )
70	56, 69	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( y e. B -> (/) e. A ) )
71	70	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) /\ y e. B ) -> (/) e. A )
72		fconstmpt 5052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B X. { (/) } ) = ( y e. B |-> (/) )
73	71, 72	fmptd 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( B X. { (/) } ) : B --> A )
74		0ex 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (/) e. _V
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> (/) e. _V )
76	3, 75	fczfsuppd 7865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( B X. { (/) } ) finSupp (/) )
77	76	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( B X. { (/) } ) finSupp (/) )
78	1, 2, 3	cantnfs 8102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( B X. { (/) } ) e. S <-> ( ( B X. { (/) } ) : B --> A /\ ( B X. { (/) } ) finSupp (/) ) ) )
79	78	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ( B X. { (/) } ) e. S <-> ( ( B X. { (/) } ) : B --> A /\ ( B X. { (/) } ) finSupp (/) ) ) )
80	73, 77, 79	mpbir2and 922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( B X. { (/) } ) e. S )
81		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
82	1, 34, 36, 55, 80, 81	cantnfval 8104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ( A CNF B ) ` ( B X. { (/) } ) ) = (seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom OrdIso ( _E , (/) ) ) )
83		we0 4883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- _E We (/)
84		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- OrdIso ( _E , (/) ) = OrdIso ( _E , (/) )
85	84	oien 7981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( (/) e. _V /\ _E We (/) ) -> dom OrdIso ( _E , (/) ) ~~ (/) )
86	74, 83, 85	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- dom OrdIso ( _E , (/) ) ~~ (/)
87		en0 7597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( dom OrdIso ( _E , (/) ) ~~ (/) <-> dom OrdIso ( _E , (/) ) = (/) )
88	86, 87	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- dom OrdIso ( _E , (/) ) = (/)
89	88	fveq2i 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom OrdIso ( _E , (/) ) ) = (seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` (/) )
90	81	seqom0g 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (/) e. _V -> (seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` (/) ) = (/) )
91	74, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` (/) ) = (/)
92	89, 91	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom OrdIso ( _E , (/) ) ) = (/)
93	82, 92	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ( A CNF B ) ` ( B X. { (/) } ) ) = (/) )
94	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( A CNF B ) : S --> ( A ^o B ) )
95		ffn 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A CNF B ) : S --> ( A ^o B ) -> ( A CNF B ) Fn S )
96	94, 95	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( A CNF B ) Fn S )
97		fnfvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A CNF B ) Fn S /\ ( B X. { (/) } ) e. S ) -> ( ( A CNF B ) ` ( B X. { (/) } ) ) e. ran ( A CNF B ) )
98	96, 80, 97	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ( A CNF B ) ` ( B X. { (/) } ) ) e. ran ( A CNF B ) )
99	93, 98	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> (/) e. ran ( A CNF B ) )
100	33, 51, 99	pm2.61ne 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> t e. ran ( A CNF B ) )
101	100	expr 615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( A ^o B ) ) -> ( t C_ ran ( A CNF B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) )
102	32, 101	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( A ^o B ) ) -> ( A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) )
103	102	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> ( A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) )
104	103	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) )
105	104	a2i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph -> A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) )
106	105	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( t e. On -> ( ( ph -> A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) ) )
107	24, 106	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( t e. On -> ( A. y e. t ( ph -> ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) ) )
108	23, 107	tfis2 6690	. . . . . . 7 |- ( t e. On -> ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) )
109	108	com3l 81	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> ( t e. On -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) )
110	19, 109	mpdd 40	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) )
111	110	ssrdv 3505	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^o B ) C_ ran ( A CNF B ) )
112	16, 111	eqssd 3516	. . 3 |- ( ph -> ran ( A CNF B ) = ( A ^o B ) )
113		dffo2 5805	. . 3 |- ( ( A CNF B ) : S -onto-> ( A ^o B ) <-> ( ( A CNF B ) : S --> ( A ^o B ) /\ ran ( A CNF B ) = ( A ^o B ) ) )
114	14, 112, 113	sylanbrc 664	. 2 |- ( ph -> ( A CNF B ) : S -onto-> ( A ^o B ) )
115	2	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. S /\ g e. S ) /\ f T g ) ) -> A e. On )
116	3	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. S /\ g e. S ) /\ f T g ) ) -> B e. On )
117		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = t -> ( x ` z ) = ( x ` t ) )
118		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = t -> ( y ` z ) = ( y ` t ) )
119	117, 118	eleq12d 2539	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = t -> ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) <-> ( x ` t ) e. ( y ` t ) ) )
120		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = t -> ( z e. w <-> t e. w ) )
121	120	imbi1d 317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = t -> ( ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) )
122	121	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = t -> ( A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. w e. B ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) )
123	119, 122	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( z = t -> ( ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( x ` t ) e. ( y ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) )
124	123	cbvrexv 3085	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. t e. B ( ( x ` t ) e. ( y ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) )
125		fveq1 5871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( x ` t ) = ( u ` t ) )
126		fveq1 5871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> ( y ` t ) = ( v ` t ) )
127		eleq12 2533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x ` t ) = ( u ` t ) /\ ( y ` t ) = ( v ` t ) ) -> ( ( x ` t ) e. ( y ` t ) <-> ( u ` t ) e. ( v ` t ) ) )
128	125, 126, 127	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( x ` t ) e. ( y ` t ) <-> ( u ` t ) e. ( v ` t ) ) )
129		fveq1 5871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( x ` w ) = ( u ` w ) )
130		fveq1 5871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = v -> ( y ` w ) = ( v ` w ) )
131	129, 130	eqeqan12d 2480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( x ` w ) = ( y ` w ) <-> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) )
132	131	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> ( t e. w -> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) ) )
133	132	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( A. w e. B ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. w e. B ( t e. w -> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) ) )
134	128, 133	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( ( x ` t ) e. ( y ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( u ` t ) e. ( v ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) ) ) )
135	134	rexbidv 2968	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( E. t e. B ( ( x ` t ) e. ( y ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. t e. B ( ( u ` t ) e. ( v ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) ) ) )
136	124, 135	syl5bb 257	. . . . . . . 8 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. t e. B ( ( u ` t ) e. ( v ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) ) ) )
137	136	cbvopabv 4526	. . . . . . 7 |- { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } = { <. u , v >. | E. t e. B ( ( u ` t ) e. ( v ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) ) }
138	4, 137	eqtri 2486	. . . . . 6 |- T = { <. u , v >. | E. t e. B ( ( u ` t ) e. ( v ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) ) }
139		simprll 763	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. S /\ g e. S ) /\ f T g ) ) -> f e. S )
140		simprlr 764	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. S /\ g e. S ) /\ f T g ) ) -> g e. S )
141		simprr 757	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. S /\ g e. S ) /\ f T g ) ) -> f T g )
142		eqid 2457	. . . . . 6 |- U. { c e. B | ( f ` c ) e. ( g ` c ) } = U. { c e. B | ( f ` c ) e. ( g ` c ) }
143		eqid 2457	. . . . . 6 |- OrdIso ( _E , ( g supp (/) ) ) = OrdIso ( _E , ( g supp (/) ) )
144		eqid 2457	. . . . . 6 |- seq𝜔 ( ( k e. _V , t e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( g supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( g ` (OrdIso ( _E , ( g supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o t ) ) , (/) ) = seq𝜔 ( ( k e. _V , t e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( g supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( g ` (OrdIso ( _E , ( g supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o t ) ) , (/) )
145	1, 115, 116, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144	cantnflem1 8125	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f e. S /\ g e. S ) /\ f T g ) ) -> ( ( A CNF B ) ` f ) e. ( ( A CNF B ) ` g ) )
146		fvex 5882	. . . . . 6 |- ( ( A CNF B ) ` g ) e. _V
147	146	epelc 4802	. . . . 5 |- ( ( ( A CNF B ) ` f ) _E ( ( A CNF B ) ` g ) <-> ( ( A CNF B ) ` f ) e. ( ( A CNF B ) ` g ) )
148	145, 147	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( f e. S /\ g e. S ) /\ f T g ) ) -> ( ( A CNF B ) ` f ) _E ( ( A CNF B ) ` g ) )
149	148	expr 615	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. S ) ) -> ( f T g -> ( ( A CNF B ) ` f ) _E ( ( A CNF B ) ` g ) ) )
150	149	ralrimivva 2878	. 2 |- ( ph -> A. f e. S A. g e. S ( f T g -> ( ( A CNF B ) ` f ) _E ( ( A CNF B ) ` g ) ) )
151		soisoi 6225	. 2 |- ( ( ( T Or S /\ _E Po ( A ^o B ) ) /\ ( ( A CNF B ) : S -onto-> ( A ^o B ) /\ A. f e. S A. g e. S ( f T g -> ( ( A CNF B ) ` f ) _E ( ( A CNF B ) ` g ) ) ) ) -> ( A CNF B ) Isom T , _E ( S , ( A ^o B ) ) )
152	5, 13, 114, 150, 151	syl22anc 1229	1 |- ( ph -> ( A CNF B ) Isom T , _E ( S , ( A ^o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   <.cop 4038   U.cuni 4251   |^|cint 4288   class class class wbr 4456   {copab 4514   _E cep 4798   Po wpo 4807   Or wor 4808   We wwe 4846   Ord word 4886   Oncon0 4887   X. cxp 5006   dom cdm 5008   ran crn 5009   iotacio 5555   Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594   Isom wiso 5595  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   supp csupp 6917  seq_𝜔cseqom 7130   +o coa 7145   .o comu 7146   ^o coe 7147   ~~ cen 7532   finSupp cfsupp 7847  OrdIsocoi 7952   CNF ccnf 8095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-seqom 7131  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-oexp 7154  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-cnf 8096

This theorem is referenced by:  oemapwe  8130  cantnffval2  8131  cantnff1o  8154