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Theorem cantnf 8224
Description: The Cantor Normal Form theorem. The function  ( A CNF  B ), which maps a finitely supported function from  B to  A to the sum  ( ( A  ^o  f ( a 1 ) )  o.  a 1 )  +o  ( ( A  ^o  f ( a 2 ) )  o.  a 2 )  +o 
... over all indexes  a  <  B such that  f ( a ) is nonzero, is an order isomorphism from the ordering  T of finitely supported functions to the set  ( A  ^o  B
) under the natural order. Setting 
A  =  om and letting  B be arbitrarily large, the surjectivity of this function implies that every ordinal has a Cantor normal form (and injectivity, together with coherence cantnfres 8208, implies that such a representation is unique). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
Assertion
Ref Expression
cantnf  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) 
Isom  T ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, B    w, A, x, y, z    x, S, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cantnf
Dummy variables  f 
c  g  k  t  u  v  a  b  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnfs.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnfs.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 oemapval.t . . 3  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
51, 2, 3, 4oemapso 8213 . 2  |-  ( ph  ->  T  Or  S )
6 oecl 7265 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
72, 3, 6syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
8 eloni 5452 . . . 4  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  B ) )
97, 8syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Ord  ( A  ^o  B ) )
10 ordwe 5455 . . 3  |-  ( Ord  ( A  ^o  B
)  ->  _E  We  ( A  ^o  B ) )
11 weso 4844 . . 3  |-  (  _E  We  ( A  ^o  B )  ->  _E  Or  ( A  ^o  B
) )
12 sopo 4791 . . 3  |-  (  _E  Or  ( A  ^o  B )  ->  _E  Po  ( A  ^o  B
) )
139, 10, 11, 124syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  _E  Po  ( A  ^o  B ) )
141, 2, 3cantnff 8205 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B ) )
15 frn 5758 . . . . 5  |-  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  ->  ran  ( A CNF  B )  C_  ( A  ^o  B
) )
1614, 15syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( A CNF  B
)  C_  ( A  ^o  B ) )
17 onss 6644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  ( A  ^o  B )  C_  On )
187, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  C_  On )
1918sseld 3443 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  On ) )
20 eleq1 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  y  ->  (
t  e.  ( A  ^o  B )  <->  y  e.  ( A  ^o  B ) ) )
21 eleq1 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  y  ->  (
t  e.  ran  ( A CNF  B )  <->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
2220, 21imbi12d 326 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  y  ->  (
( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B )
)  <->  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
2322imbi2d 322 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  y  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B
) ) )  <->  ( ph  ->  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) ) ) )
24 r19.21v 2805 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  t  ( ph  ->  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) ) )
25 ordelss 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  ( A  ^o  B )  /\  t  e.  ( A  ^o  B
) )  ->  t  C_  ( A  ^o  B
) )
269, 25sylan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  t  C_  ( A  ^o  B ) )
2726sselda 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B
) )  /\  y  e.  t )  ->  y  e.  ( A  ^o  B
) )
28 pm5.5 342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  (
( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
)  <->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B
) )  /\  y  e.  t )  ->  (
( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
)  <->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
3029ralbidva 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A. y  e.  t  (
y  e.  ( A  ^o  B )  -> 
y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  <->  A. y  e.  t  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
31 dfss3 3434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t 
C_  ran  ( A CNF  B )  <->  A. y  e.  t  y  e.  ran  ( A CNF  B ) )
3230, 31syl6bbr 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A. y  e.  t  (
y  e.  ( A  ^o  B )  -> 
y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  <->  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )
33 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  (/)  ->  ( t  e.  ran  ( A CNF 
B )  <->  (/)  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
342adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  A  e.  On )
3534adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  ->  A  e.  On )
363adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  B  e.  On )
3736adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  ->  B  e.  On )
38 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  -> 
t  e.  ( A  ^o  B ) )
39 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  -> 
t  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
407adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A  ^o  B )  e.  On )
41 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  t  e.  ( A  ^o  B
) )
42 onelon 5467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  ^o  B
)  e.  On  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  -> 
t  e.  On )
4340, 41, 42syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  t  e.  On )
44 on0eln0 5497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  On  ->  ( (/) 
e.  t  <->  t  =/=  (/) ) )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( (/) 
e.  t  <->  t  =/=  (/) ) )
4645biimpar 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  ->  (/) 
e.  t )
47 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. |^| { c  e.  On  | 
t  e.  ( A  ^o  c ) }  =  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) }
48 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) )  =  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) )
49 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1st `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  =  <. a ,  b >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )  =  ( 1st `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )
50 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  =  <. a ,  b >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )  =  ( 2nd `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )
511, 35, 37, 4, 38, 39, 46, 47, 48, 49, 50cantnflem4 8223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  -> 
t  e.  ran  ( A CNF  B ) )
52 fczsupp0 6971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  X.  { (/) } ) supp  (/) )  =  (/)
5352eqcomi 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  =  ( ( B  X.  { (/)
} ) supp  (/) )
54 oieq2 8054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  =  ( ( B  X.  { (/) } ) supp  (/) )  -> OrdIso (  _E  ,  (/) )  = OrdIso (  _E  ,  ( ( B  X.  { (/) } ) supp  (/) ) ) )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- OrdIso (  _E  ,  (/) )  = OrdIso (  _E  ,  ( ( B  X.  { (/) } ) supp  (/) ) )
56 ne0i 3749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
57 ne0i 3749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  ( A  ^o  B )  =/=  (/) )
5857ad2antrl 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A  ^o  B )  =/=  (/) )
59 oveq1 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  B )  =  ( (/)  ^o  B ) )
6059neeq1d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  B )  =/=  (/)  <->  ( (/)  ^o  B
)  =/=  (/) ) )
6158, 60syl5ibcom 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( (/) 
^o  B )  =/=  (/) ) )
6261necon2d 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( (/)  ^o  B )  =  (/)  ->  A  =/=  (/) ) )
63 on0eln0 5497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
64 oe0m1 7249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
6563, 64bitr3d 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  =/=  (/)  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
6636, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  =/=  (/)  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
67 on0eln0 5497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
6834, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
6962, 66, 683imtr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  =/=  (/)  ->  (/)  e.  A
) )
7056, 69syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
y  e.  B  ->  (/) 
e.  A ) )
7170imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  y  e.  B
)  ->  (/)  e.  A
)
72 fconstmpt 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  X.  { (/) } )  =  ( y  e.  B  |->  (/) )
7371, 72fmptd 6069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  X.  { (/) } ) : B --> A )
74 0ex 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (/)  e.  _V
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
763, 75fczfsuppd 7927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( B  X.  { (/)
} ) finSupp  (/) )
7776adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  X.  { (/) } ) finSupp  (/) )
781, 2, 3cantnfs 8197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( B  X.  { (/) } )  e.  S  <->  ( ( B  X.  { (/) } ) : B --> A  /\  ( B  X.  { (/) } ) finSupp  (/) ) ) )
7978adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( B  X.  { (/)
} )  e.  S  <->  ( ( B  X.  { (/)
} ) : B --> A  /\  ( B  X.  { (/) } ) finSupp  (/) ) ) )
8073, 77, 79mpbir2and 938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  X.  { (/) } )  e.  S )
81 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )
821, 34, 36, 55, 80, 81cantnfval 8199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( A CNF  B ) `
 ( B  X.  { (/) } ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  (/) ) ) )
83 we0 4848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  _E  We  (/)
84 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |- OrdIso (  _E  ,  (/) )  = OrdIso (  _E  ,  (/) )
8584oien 8079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  _E  We  (/) )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  ~~  (/) )
8674, 83, 85mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  ~~  (/)
87 en0 7658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  ~~  (/)  <->  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  =  (/) )
8886, 87mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  =  (/)
8988fveq2i 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  (/) ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )
9081seqom0g 7199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/) )
9174, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
9289, 91eqtri 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  (/) ) )  =  (/)
9382, 92syl6eq 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( A CNF  B ) `
 ( B  X.  { (/) } ) )  =  (/) )
9414adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B ) )
95 ffn 5751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  ->  ( A CNF  B )  Fn  S
)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A CNF  B )  Fn  S
)
97 fnfvelrn 6042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A CNF  B )  Fn  S  /\  ( B  X.  { (/) } )  e.  S )  -> 
( ( A CNF  B
) `  ( B  X.  { (/) } ) )  e.  ran  ( A CNF 
B ) )
9896, 80, 97syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( A CNF  B ) `
 ( B  X.  { (/) } ) )  e.  ran  ( A CNF 
B ) )
9993, 98eqeltrrd 2541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (/)  e.  ran  ( A CNF  B )
)
10033, 51, 99pm2.61ne 2721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B
) )
101100expr 624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( t  C_ 
ran  ( A CNF  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
10232, 101sylbid 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A. y  e.  t  (
y  e.  ( A  ^o  B )  -> 
y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  -> 
t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
103102ex 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  ( A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
104103com23 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
105104a2i 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  ->  A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
106105a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) ) )
10724, 106syl5bi 225 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  On  ->  ( A. y  e.  t 
( ph  ->  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B
) ) )  -> 
( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B
) ) ) ) )
10823, 107tfis2 6710 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  On  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
109108com3l 84 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  ( t  e.  On  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
11019, 109mpdd 41 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
111110ssrdv 3450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
11216, 111eqssd 3461 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( A CNF  B
)  =  ( A  ^o  B ) )
113 dffo2 5820 . . 3  |-  ( ( A CNF  B ) : S -onto-> ( A  ^o  B )  <->  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  /\  ran  ( A CNF 
B )  =  ( A  ^o  B ) ) )
11414, 112, 113sylanbrc 675 . 2  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S -onto-> ( A  ^o  B ) )
1152adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  A  e.  On )
1163adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  B  e.  On )
117 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  t  ->  (
x `  z )  =  ( x `  t ) )
118 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  t  ->  (
y `  z )  =  ( y `  t ) )
119117, 118eleq12d 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  t  ->  (
( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  <->  ( x `  t )  e.  ( y `  t ) ) )
120 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  t  ->  (
z  e.  w  <->  t  e.  w ) )
121120imbi1d 323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  t  ->  (
( z  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) )  <-> 
( t  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
122121ralbidv 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  t  ->  ( A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) )  <->  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
123119, 122anbi12d 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  t  ->  (
( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  ( (
x `  t )  e.  ( y `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) ) )
124123cbvrexv 3032 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  B  ( ( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  <->  E. t  e.  B  ( ( x `  t )  e.  ( y `  t )  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) )
125 fveq1 5887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  (
x `  t )  =  ( u `  t ) )
126 fveq1 5887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  v  ->  (
y `  t )  =  ( v `  t ) )
127 eleq12 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x `  t
)  =  ( u `
 t )  /\  ( y `  t
)  =  ( v `
 t ) )  ->  ( ( x `
 t )  e.  ( y `  t
)  <->  ( u `  t )  e.  ( v `  t ) ) )
128125, 126, 127syl2an 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( x `  t )  e.  ( y `  t )  <-> 
( u `  t
)  e.  ( v `
 t ) ) )
129 fveq1 5887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
x `  w )  =  ( u `  w ) )
130 fveq1 5887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
y `  w )  =  ( v `  w ) )
131129, 130eqeqan12d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( x `  w )  =  ( y `  w )  <-> 
( u `  w
)  =  ( v `
 w ) ) )
132131imbi2d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( t  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  ( t  e.  w  ->  ( u `  w )  =  ( v `  w ) ) ) )
133132ralbidv 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `  w
)  =  ( v `
 w ) ) ) )
134128, 133anbi12d 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( ( x `
 t )  e.  ( y `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) )  <->  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) ) )
135134rexbidv 2913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( E. t  e.  B  ( ( x `
 t )  e.  ( y `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) )  <->  E. t  e.  B  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) ) )
136124, 135syl5bb 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( E. z  e.  B  ( ( x `
 z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) )  <->  E. t  e.  B  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) ) )
137136cbvopabv 4486 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  (
( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. u ,  v >.  |  E. t  e.  B  ( ( u `  t )  e.  ( v `  t )  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `  w )  =  ( v `  w ) ) ) }
1384, 137eqtri 2484 . . . . . 6  |-  T  =  { <. u ,  v
>.  |  E. t  e.  B  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) }
139 simprll 777 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  f  e.  S )
140 simprlr 778 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  g  e.  S )
141 simprr 771 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  f T
g )
142 eqid 2462 . . . . . 6  |-  U. {
c  e.  B  | 
( f `  c
)  e.  ( g `
 c ) }  =  U. { c  e.  B  |  ( f `  c )  e.  ( g `  c ) }
143 eqid 2462 . . . . . 6  |- OrdIso (  _E  ,  ( g supp  (/) ) )  = OrdIso (  _E  , 
( g supp  (/) ) )
144 eqid 2462 . . . . . 6  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  t  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( g supp  (/) ) ) `
 k ) )  .o  ( g `  (OrdIso (  _E  ,  ( g supp  (/) ) ) `  k ) ) )  +o  t ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
t  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( g supp  (/) ) ) `  k ) )  .o  ( g `  (OrdIso (  _E  ,  (
g supp  (/) ) ) `  k ) ) )  +o  t ) ) ,  (/) )
1451, 115, 116, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144cantnflem1 8220 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  ( ( A CNF  B ) `  f
)  e.  ( ( A CNF  B ) `  g ) )
146 fvex 5898 . . . . . 6  |-  ( ( A CNF  B ) `  g )  e.  _V
147146epelc 4766 . . . . 5  |-  ( ( ( A CNF  B ) `
 f )  _E  ( ( A CNF  B
) `  g )  <->  ( ( A CNF  B ) `
 f )  e.  ( ( A CNF  B
) `  g )
)
148145, 147sylibr 217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  ( ( A CNF  B ) `  f
)  _E  ( ( A CNF  B ) `  g ) )
149148expr 624 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  S ) )  -> 
( f T g  ->  ( ( A CNF 
B ) `  f
)  _E  ( ( A CNF  B ) `  g ) ) )
150149ralrimivva 2821 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  S  A. g  e.  S  ( f T g  ->  ( ( A CNF 
B ) `  f
)  _E  ( ( A CNF  B ) `  g ) ) )
151 soisoi 6244 . 2  |-  ( ( ( T  Or  S  /\  _E  Po  ( A  ^o  B ) )  /\  ( ( A CNF 
B ) : S -onto->
( A  ^o  B
)  /\  A. f  e.  S  A. g  e.  S  ( f T g  ->  (
( A CNF  B ) `
 f )  _E  ( ( A CNF  B
) `  g )
) ) )  -> 
( A CNF  B ) 
Isom  T ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
1525, 13, 114, 150, 151syl22anc 1277 1  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) 
Isom  T ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   _Vcvv 3057    C_ wss 3416   (/)c0 3743   {csn 3980   <.cop 3986   U.cuni 4212   |^|cint 4248   class class class wbr 4416   {copab 4474    _E cep 4762    Po wpo 4772    Or wor 4773    We wwe 4811    X. cxp 4851   dom cdm 4853   ran crn 4854   Ord word 5441   Oncon0 5442   iotacio 5563    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601    Isom wiso 5602  (class class class)co 6315    |-> cmpt2 6317   1stc1st 6818   2ndc2nd 6819   supp csupp 6941  seq𝜔cseqom 7190    +o coa 7205    .o comu 7206    ^o coe 7207    ~~ cen 7592   finSupp cfsupp 7909  OrdIsocoi 8050   CNF ccnf 8192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-seqom 7191  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-omul 7213  df-oexp 7214  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-oi 8051  df-cnf 8193
This theorem is referenced by:  oemapwe  8225  cantnffval2  8226  cantnff1o  8227
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