MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnf Structured version   Unicode version

Theorem cantnf 8124
Description: The Cantor Normal Form theorem. The function  ( A CNF  B ), which maps a finitely supported function from  B to  A to the sum  ( ( A  ^o  f ( a 1 ) )  o.  a 1 )  +o  ( ( A  ^o  f ( a 2 ) )  o.  a 2 )  +o 
... over all indexes  a  <  B such that  f ( a ) is nonzero, is an order isomorphism from the ordering  T of finitely supported functions to the set  ( A  ^o  B
) under the natural order. Setting 
A  =  om and letting  B be arbitrarily large, the surjectivity of this function implies that every ordinal has a Cantor normal form (and injectivity, together with coherence cantnfres 8108, implies that such a representation is unique). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
Assertion
Ref Expression
cantnf  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) 
Isom  T ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, B    w, A, x, y, z    x, S, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cantnf
Dummy variables  f 
c  g  k  t  u  v  a  b  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnfs.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnfs.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 oemapval.t . . 3  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
51, 2, 3, 4oemapso 8113 . 2  |-  ( ph  ->  T  Or  S )
6 oecl 7199 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
72, 3, 6syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
8 eloni 4894 . . . 4  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  B ) )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Ord  ( A  ^o  B ) )
10 ordwe 4897 . . 3  |-  ( Ord  ( A  ^o  B
)  ->  _E  We  ( A  ^o  B ) )
11 weso 4876 . . 3  |-  (  _E  We  ( A  ^o  B )  ->  _E  Or  ( A  ^o  B
) )
12 sopo 4823 . . 3  |-  (  _E  Or  ( A  ^o  B )  ->  _E  Po  ( A  ^o  B
) )
139, 10, 11, 124syl 21 . 2  |-  ( ph  ->  _E  Po  ( A  ^o  B ) )
141, 2, 3cantnff 8105 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B ) )
15 frn 5743 . . . . 5  |-  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  ->  ran  ( A CNF  B )  C_  ( A  ^o  B
) )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( A CNF  B
)  C_  ( A  ^o  B ) )
17 onss 6621 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  ( A  ^o  B )  C_  On )
187, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  C_  On )
1918sseld 3508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  On ) )
20 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  y  ->  (
t  e.  ( A  ^o  B )  <->  y  e.  ( A  ^o  B ) ) )
21 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  y  ->  (
t  e.  ran  ( A CNF  B )  <->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
2220, 21imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  y  ->  (
( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B )
)  <->  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
2322imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  y  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B
) ) )  <->  ( ph  ->  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) ) ) )
24 r19.21v 2872 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  t  ( ph  ->  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) ) )
25 ordelss 4900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  ( A  ^o  B )  /\  t  e.  ( A  ^o  B
) )  ->  t  C_  ( A  ^o  B
) )
269, 25sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  t  C_  ( A  ^o  B ) )
2726sselda 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B
) )  /\  y  e.  t )  ->  y  e.  ( A  ^o  B
) )
28 pm5.5 336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  (
( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
)  <->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B
) )  /\  y  e.  t )  ->  (
( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
)  <->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
3029ralbidva 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A. y  e.  t  (
y  e.  ( A  ^o  B )  -> 
y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  <->  A. y  e.  t  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
31 dfss3 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t 
C_  ran  ( A CNF  B )  <->  A. y  e.  t  y  e.  ran  ( A CNF  B ) )
3230, 31syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A. y  e.  t  (
y  e.  ( A  ^o  B )  -> 
y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  <->  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )
33 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  (/)  ->  ( t  e.  ran  ( A CNF 
B )  <->  (/)  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  A  e.  On )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  ->  A  e.  On )
363adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  B  e.  On )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  ->  B  e.  On )
38 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  -> 
t  e.  ( A  ^o  B ) )
39 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  -> 
t  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
407adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A  ^o  B )  e.  On )
41 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  t  e.  ( A  ^o  B
) )
42 onelon 4909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  ^o  B
)  e.  On  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  -> 
t  e.  On )
4340, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  t  e.  On )
44 on0eln0 4939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  On  ->  ( (/) 
e.  t  <->  t  =/=  (/) ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( (/) 
e.  t  <->  t  =/=  (/) ) )
4645biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  ->  (/) 
e.  t )
47 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. |^| { c  e.  On  | 
t  e.  ( A  ^o  c ) }  =  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) }
48 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) )  =  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) )
49 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1st `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  =  <. a ,  b >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )  =  ( 1st `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )
50 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  =  <. a ,  b >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )  =  ( 2nd `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )
511, 35, 37, 4, 38, 39, 46, 47, 48, 49, 50cantnflem4 8123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  -> 
t  e.  ran  ( A CNF  B ) )
52 fczsupp0 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  X.  { (/) } ) supp  (/) )  =  (/)
5352eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  =  ( ( B  X.  { (/)
} ) supp  (/) )
54 oieq2 7950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  =  ( ( B  X.  { (/) } ) supp  (/) )  -> OrdIso (  _E  ,  (/) )  = OrdIso (  _E  ,  ( ( B  X.  { (/) } ) supp  (/) ) ) )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- OrdIso (  _E  ,  (/) )  = OrdIso (  _E  ,  ( ( B  X.  { (/) } ) supp  (/) ) )
56 ne0i 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
57 ne0i 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  ( A  ^o  B )  =/=  (/) )
5857ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A  ^o  B )  =/=  (/) )
59 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  B )  =  ( (/)  ^o  B ) )
6059neeq1d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  B )  =/=  (/)  <->  ( (/)  ^o  B
)  =/=  (/) ) )
6158, 60syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( (/) 
^o  B )  =/=  (/) ) )
6261necon2d 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( (/)  ^o  B )  =  (/)  ->  A  =/=  (/) ) )
63 on0eln0 4939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
64 oe0m1 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
6563, 64bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  =/=  (/)  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
6636, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  =/=  (/)  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
67 on0eln0 4939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
6834, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
6962, 66, 683imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  =/=  (/)  ->  (/)  e.  A
) )
7056, 69syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
y  e.  B  ->  (/) 
e.  A ) )
7170imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  y  e.  B
)  ->  (/)  e.  A
)
72 fconstmpt 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  X.  { (/) } )  =  ( y  e.  B  |->  (/) )
7371, 72fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  X.  { (/) } ) : B --> A )
74 0ex 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (/)  e.  _V
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
763, 75fczfsuppd 7859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( B  X.  { (/)
} ) finSupp  (/) )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  X.  { (/) } ) finSupp  (/) )
781, 2, 3cantnfs 8097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( B  X.  { (/) } )  e.  S  <->  ( ( B  X.  { (/) } ) : B --> A  /\  ( B  X.  { (/) } ) finSupp  (/) ) ) )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( B  X.  { (/)
} )  e.  S  <->  ( ( B  X.  { (/)
} ) : B --> A  /\  ( B  X.  { (/) } ) finSupp  (/) ) ) )
8073, 77, 79mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  X.  { (/) } )  e.  S )
81 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )
821, 34, 36, 55, 80, 81cantnfval 8099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( A CNF  B ) `
 ( B  X.  { (/) } ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  (/) ) ) )
83 we0 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  _E  We  (/)
84 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |- OrdIso (  _E  ,  (/) )  = OrdIso (  _E  ,  (/) )
8584oien 7975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  _E  We  (/) )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  ~~  (/) )
8674, 83, 85mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  ~~  (/)
87 en0 7590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  ~~  (/)  <->  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  =  (/) )
8886, 87mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  =  (/)
8988fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  (/) ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )
9081seqom0g 7133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/) )
9174, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
9289, 91eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  (/) ) )  =  (/)
9382, 92syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( A CNF  B ) `
 ( B  X.  { (/) } ) )  =  (/) )
9414adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B ) )
95 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  ->  ( A CNF  B )  Fn  S
)
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A CNF  B )  Fn  S
)
97 fnfvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A CNF  B )  Fn  S  /\  ( B  X.  { (/) } )  e.  S )  -> 
( ( A CNF  B
) `  ( B  X.  { (/) } ) )  e.  ran  ( A CNF 
B ) )
9896, 80, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( A CNF  B ) `
 ( B  X.  { (/) } ) )  e.  ran  ( A CNF 
B ) )
9993, 98eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (/)  e.  ran  ( A CNF  B )
)
10033, 51, 99pm2.61ne 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B
) )
101100expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( t  C_ 
ran  ( A CNF  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
10232, 101sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A. y  e.  t  (
y  e.  ( A  ^o  B )  -> 
y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  -> 
t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
103102ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  ( A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
104103com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
105104a2i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  ->  A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
106105a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) ) )
10724, 106syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  On  ->  ( A. y  e.  t 
( ph  ->  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B
) ) )  -> 
( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B
) ) ) ) )
10823, 107tfis2 6686 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  On  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
109108com3l 81 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  ( t  e.  On  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
11019, 109mpdd 40 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
111110ssrdv 3515 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
11216, 111eqssd 3526 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( A CNF  B
)  =  ( A  ^o  B ) )
113 dffo2 5805 . . 3  |-  ( ( A CNF  B ) : S -onto-> ( A  ^o  B )  <->  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  /\  ran  ( A CNF 
B )  =  ( A  ^o  B ) ) )
11414, 112, 113sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S -onto-> ( A  ^o  B ) )
1152adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  A  e.  On )
1163adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  B  e.  On )
117 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  t  ->  (
x `  z )  =  ( x `  t ) )
118 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  t  ->  (
y `  z )  =  ( y `  t ) )
119117, 118eleq12d 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  t  ->  (
( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  <->  ( x `  t )  e.  ( y `  t ) ) )
120 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  t  ->  (
z  e.  w  <->  t  e.  w ) )
121120imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  t  ->  (
( z  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) )  <-> 
( t  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
122121ralbidv 2906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  t  ->  ( A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) )  <->  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
123119, 122anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  t  ->  (
( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  ( (
x `  t )  e.  ( y `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) ) )
124123cbvrexv 3094 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  B  ( ( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  <->  E. t  e.  B  ( ( x `  t )  e.  ( y `  t )  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) )
125 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  (
x `  t )  =  ( u `  t ) )
126 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  v  ->  (
y `  t )  =  ( v `  t ) )
127 eleq12 2543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x `  t
)  =  ( u `
 t )  /\  ( y `  t
)  =  ( v `
 t ) )  ->  ( ( x `
 t )  e.  ( y `  t
)  <->  ( u `  t )  e.  ( v `  t ) ) )
128125, 126, 127syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( x `  t )  e.  ( y `  t )  <-> 
( u `  t
)  e.  ( v `
 t ) ) )
129 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
x `  w )  =  ( u `  w ) )
130 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
y `  w )  =  ( v `  w ) )
131129, 130eqeqan12d 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( x `  w )  =  ( y `  w )  <-> 
( u `  w
)  =  ( v `
 w ) ) )
132131imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( t  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  ( t  e.  w  ->  ( u `  w )  =  ( v `  w ) ) ) )
133132ralbidv 2906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `  w
)  =  ( v `
 w ) ) ) )
134128, 133anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( ( x `
 t )  e.  ( y `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) )  <->  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) ) )
135134rexbidv 2978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( E. t  e.  B  ( ( x `
 t )  e.  ( y `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) )  <->  E. t  e.  B  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) ) )
136124, 135syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( E. z  e.  B  ( ( x `
 z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) )  <->  E. t  e.  B  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) ) )
137136cbvopabv 4522 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  (
( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. u ,  v >.  |  E. t  e.  B  ( ( u `  t )  e.  ( v `  t )  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `  w )  =  ( v `  w ) ) ) }
1384, 137eqtri 2496 . . . . . 6  |-  T  =  { <. u ,  v
>.  |  E. t  e.  B  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) }
139 simprll 761 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  f  e.  S )
140 simprlr 762 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  g  e.  S )
141 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  f T
g )
142 eqid 2467 . . . . . 6  |-  U. {
c  e.  B  | 
( f `  c
)  e.  ( g `
 c ) }  =  U. { c  e.  B  |  ( f `  c )  e.  ( g `  c ) }
143 eqid 2467 . . . . . 6  |- OrdIso (  _E  ,  ( g supp  (/) ) )  = OrdIso (  _E  , 
( g supp  (/) ) )
144 eqid 2467 . . . . . 6  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  t  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( g supp  (/) ) ) `
 k ) )  .o  ( g `  (OrdIso (  _E  ,  ( g supp  (/) ) ) `  k ) ) )  +o  t ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
t  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( g supp  (/) ) ) `  k ) )  .o  ( g `  (OrdIso (  _E  ,  (
g supp  (/) ) ) `  k ) ) )  +o  t ) ) ,  (/) )
1451, 115, 116, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144cantnflem1 8120 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  ( ( A CNF  B ) `  f
)  e.  ( ( A CNF  B ) `  g ) )
146 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( ( A CNF  B ) `  g )  e.  _V
147146epelc 4799 . . . . 5  |-  ( ( ( A CNF  B ) `
 f )  _E  ( ( A CNF  B
) `  g )  <->  ( ( A CNF  B ) `
 f )  e.  ( ( A CNF  B
) `  g )
)
148145, 147sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  ( ( A CNF  B ) `  f
)  _E  ( ( A CNF  B ) `  g ) )
149148expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  S ) )  -> 
( f T g  ->  ( ( A CNF 
B ) `  f
)  _E  ( ( A CNF  B ) `  g ) ) )
150149ralrimivva 2888 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  S  A. g  e.  S  ( f T g  ->  ( ( A CNF 
B ) `  f
)  _E  ( ( A CNF  B ) `  g ) ) )
151 soisoi 6223 . 2  |-  ( ( ( T  Or  S  /\  _E  Po  ( A  ^o  B ) )  /\  ( ( A CNF 
B ) : S -onto->
( A  ^o  B
)  /\  A. f  e.  S  A. g  e.  S  ( f T g  ->  (
( A CNF  B ) `
 f )  _E  ( ( A CNF  B
) `  g )
) ) )  -> 
( A CNF  B ) 
Isom  T ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
1525, 13, 114, 150, 151syl22anc 1229 1  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) 
Isom  T ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033   <.cop 4039   U.cuni 4251   |^|cint 4288   class class class wbr 4453   {copab 4510    _E cep 4795    Po wpo 4804    Or wor 4805    We wwe 4843   Ord word 4883   Oncon0 4884    X. cxp 5003   dom cdm 5005   ran crn 5006   iotacio 5555    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594    Isom wiso 5595  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   1stc1st 6793   2ndc2nd 6794   supp csupp 6913  seq𝜔cseqom 7124    +o coa 7139    .o comu 7140    ^o coe 7141    ~~ cen 7525   finSupp cfsupp 7841  OrdIsocoi 7946   CNF ccnf 8090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-seqom 7125  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-oexp 7148  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-cnf 8091
This theorem is referenced by:  oemapwe  8125  cantnffval2  8126  cantnff1o  8149
  Copyright terms: Public domain W3C validator