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Theorem cantnf 7906
Description: The Cantor Normal Form theorem. The function  ( A CNF  B ), which maps a finitely supported function from  B to  A to the sum  ( ( A  ^o  f ( a 1 ) )  o.  a 1 )  +o  ( ( A  ^o  f ( a 2 ) )  o.  a 2 )  +o 
... over all indexes  a  <  B such that  f ( a ) is nonzero, is an order isomorphism from the ordering  T of finitely supported functions to the set  ( A  ^o  B
) under the natural order. Setting 
A  =  om and letting  B be arbitrarily large, the surjectivity of this function implies that every ordinal has a Cantor normal form (and injectivity, together with coherence cantnfres 7890, implies that such a representation is unique). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
Assertion
Ref Expression
cantnf  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) 
Isom  T ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, B    w, A, x, y, z    x, S, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cantnf
Dummy variables  f 
c  g  k  t  u  v  a  b  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
2 cantnfs.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cantnfs.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
4 oemapval.t . . 3  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
51, 2, 3, 4oemapso 7895 . 2  |-  ( ph  ->  T  Or  S )
6 oecl 6982 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
72, 3, 6syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
8 eloni 4734 . . . 4  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  B ) )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Ord  ( A  ^o  B ) )
10 ordwe 4737 . . 3  |-  ( Ord  ( A  ^o  B
)  ->  _E  We  ( A  ^o  B ) )
11 weso 4716 . . 3  |-  (  _E  We  ( A  ^o  B )  ->  _E  Or  ( A  ^o  B
) )
12 sopo 4663 . . 3  |-  (  _E  Or  ( A  ^o  B )  ->  _E  Po  ( A  ^o  B
) )
139, 10, 11, 124syl 21 . 2  |-  ( ph  ->  _E  Po  ( A  ^o  B ) )
141, 2, 3cantnff 7887 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B ) )
15 frn 5570 . . . . 5  |-  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  ->  ran  ( A CNF  B )  C_  ( A  ^o  B
) )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( A CNF  B
)  C_  ( A  ^o  B ) )
17 onss 6407 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  ( A  ^o  B )  C_  On )
187, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  C_  On )
1918sseld 3360 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  On ) )
20 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  y  ->  (
t  e.  ( A  ^o  B )  <->  y  e.  ( A  ^o  B ) ) )
21 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  y  ->  (
t  e.  ran  ( A CNF  B )  <->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
2220, 21imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  y  ->  (
( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B )
)  <->  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
2322imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  y  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B
) ) )  <->  ( ph  ->  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) ) ) )
24 r19.21v 2808 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  t  ( ph  ->  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) ) )
25 ordelss 4740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  ( A  ^o  B )  /\  t  e.  ( A  ^o  B
) )  ->  t  C_  ( A  ^o  B
) )
269, 25sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  t  C_  ( A  ^o  B ) )
2726sselda 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B
) )  /\  y  e.  t )  ->  y  e.  ( A  ^o  B
) )
28 pm5.5 336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  (
( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
)  <->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B
) )  /\  y  e.  t )  ->  (
( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
)  <->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
3029ralbidva 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A. y  e.  t  (
y  e.  ( A  ^o  B )  -> 
y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  <->  A. y  e.  t  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
31 dfss3 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t 
C_  ran  ( A CNF  B )  <->  A. y  e.  t  y  e.  ran  ( A CNF  B ) )
3230, 31syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A. y  e.  t  (
y  e.  ( A  ^o  B )  -> 
y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  <->  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )
33 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  (/)  ->  ( t  e.  ran  ( A CNF 
B )  <->  (/)  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  A  e.  On )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  ->  A  e.  On )
363adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  B  e.  On )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  ->  B  e.  On )
38 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  -> 
t  e.  ( A  ^o  B ) )
39 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  -> 
t  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
407adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A  ^o  B )  e.  On )
41 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  t  e.  ( A  ^o  B
) )
42 onelon 4749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  ^o  B
)  e.  On  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  -> 
t  e.  On )
4340, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  t  e.  On )
44 on0eln0 4779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  On  ->  ( (/) 
e.  t  <->  t  =/=  (/) ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( (/) 
e.  t  <->  t  =/=  (/) ) )
4645biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  ->  (/) 
e.  t )
47 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. |^| { c  e.  On  | 
t  e.  ( A  ^o  c ) }  =  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) }
48 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) )  =  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) )
49 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1st `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  =  <. a ,  b >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )  =  ( 1st `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )
50 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  =  <. a ,  b >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )  =  ( 2nd `  ( iota d E. a  e.  On  E. b  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } ) ( d  = 
<. a ,  b >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { c  e.  On  |  t  e.  ( A  ^o  c ) } )  .o  a )  +o  b )  =  t ) ) )
511, 35, 37, 4, 38, 39, 46, 47, 48, 49, 50cantnflem4 7905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  t  =/=  (/) )  -> 
t  e.  ran  ( A CNF  B ) )
52 fczsupp0 6723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  X.  { (/) } ) supp  (/) )  =  (/)
5352eqcomi 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  =  ( ( B  X.  { (/)
} ) supp  (/) )
54 oieq2 7732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  =  ( ( B  X.  { (/) } ) supp  (/) )  -> OrdIso (  _E  ,  (/) )  = OrdIso (  _E  ,  ( ( B  X.  { (/) } ) supp  (/) ) ) )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- OrdIso (  _E  ,  (/) )  = OrdIso (  _E  ,  ( ( B  X.  { (/) } ) supp  (/) ) )
56 ne0i 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
57 ne0i 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  ( A  ^o  B )  =/=  (/) )
5857ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A  ^o  B )  =/=  (/) )
59 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  B )  =  ( (/)  ^o  B ) )
6059neeq1d 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  B )  =/=  (/)  <->  ( (/)  ^o  B
)  =/=  (/) ) )
6158, 60syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( (/) 
^o  B )  =/=  (/) ) )
6261necon2d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( (/)  ^o  B )  =  (/)  ->  A  =/=  (/) ) )
63 on0eln0 4779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
64 oe0m1 6966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
6563, 64bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  =/=  (/)  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
6636, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  =/=  (/)  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
67 on0eln0 4779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
6834, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
6962, 66, 683imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  =/=  (/)  ->  (/)  e.  A
) )
7056, 69syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
y  e.  B  ->  (/) 
e.  A ) )
7170imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( A  ^o  B )  /\  t  C_  ran  ( A CNF 
B ) ) )  /\  y  e.  B
)  ->  (/)  e.  A
)
72 fconstmpt 4887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  X.  { (/) } )  =  ( y  e.  B  |->  (/) )
7371, 72fmptd 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  X.  { (/) } ) : B --> A )
74 0ex 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (/)  e.  _V
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
763, 75fczfsuppd 7643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( B  X.  { (/)
} ) finSupp  (/) )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  X.  { (/) } ) finSupp  (/) )
781, 2, 3cantnfs 7879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( B  X.  { (/) } )  e.  S  <->  ( ( B  X.  { (/) } ) : B --> A  /\  ( B  X.  { (/) } ) finSupp  (/) ) ) )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( B  X.  { (/)
} )  e.  S  <->  ( ( B  X.  { (/)
} ) : B --> A  /\  ( B  X.  { (/) } ) finSupp  (/) ) ) )
8073, 77, 79mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( B  X.  { (/) } )  e.  S )
81 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) )
821, 34, 36, 55, 80, 81cantnfval 7881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( A CNF  B ) `
 ( B  X.  { (/) } ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  (/) ) ) )
83 we0 4720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  _E  We  (/)
84 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |- OrdIso (  _E  ,  (/) )  = OrdIso (  _E  ,  (/) )
8584oien 7757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  _E  We  (/) )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  ~~  (/) )
8674, 83, 85mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  ~~  (/)
87 en0 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  ~~  (/)  <->  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  =  (/) )
8886, 87mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom OrdIso (  _E  ,  (/) )  =  (/)
8988fveq2i 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  (/) ) )  =  (seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )
9081seqom0g 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) )  .o  (
( B  X.  { (/)
} ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k ) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/) )
9174, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
9289, 91eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k )
)  .o  ( ( B  X.  { (/) } ) `  (OrdIso (  _E  ,  (/) ) `  k
) ) )  +o  z ) ) ,  (/) ) `  dom OrdIso (  _E  ,  (/) ) )  =  (/)
9382, 92syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( A CNF  B ) `
 ( B  X.  { (/) } ) )  =  (/) )
9414adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B ) )
95 ffn 5564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  ->  ( A CNF  B )  Fn  S
)
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( A CNF  B )  Fn  S
)
97 fnfvelrn 5845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A CNF  B )  Fn  S  /\  ( B  X.  { (/) } )  e.  S )  -> 
( ( A CNF  B
) `  ( B  X.  { (/) } ) )  e.  ran  ( A CNF 
B ) )
9896, 80, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (
( A CNF  B ) `
 ( B  X.  { (/) } ) )  e.  ran  ( A CNF 
B ) )
9993, 98eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  (/)  e.  ran  ( A CNF  B )
)
10033, 51, 99pm2.61ne 2691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  /\  t  C_  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B
) )
101100expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( t  C_ 
ran  ( A CNF  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
10232, 101sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( A. y  e.  t  (
y  e.  ( A  ^o  B )  -> 
y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  -> 
t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )
103102ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  ( A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
104103com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) )  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
105104a2i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  ->  A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B )
) )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
106105a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  t  ( y  e.  ( A  ^o  B
)  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B ) ) )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) ) )
10724, 106syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  On  ->  ( A. y  e.  t 
( ph  ->  ( y  e.  ( A  ^o  B )  ->  y  e.  ran  ( A CNF  B
) ) )  -> 
( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B
) ) ) ) )
10823, 107tfis2 6472 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  On  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B
)  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
109108com3l 81 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  ( t  e.  On  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B ) ) ) )
11019, 109mpdd 40 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A  ^o  B )  ->  t  e.  ran  ( A CNF  B )
) )
111110ssrdv 3367 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  ^o  B
)  C_  ran  ( A CNF 
B ) )
11216, 111eqssd 3378 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( A CNF  B
)  =  ( A  ^o  B ) )
113 dffo2 5629 . . 3  |-  ( ( A CNF  B ) : S -onto-> ( A  ^o  B )  <->  ( ( A CNF  B ) : S --> ( A  ^o  B )  /\  ran  ( A CNF 
B )  =  ( A  ^o  B ) ) )
11414, 112, 113sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : S -onto-> ( A  ^o  B ) )
1152adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  A  e.  On )
1163adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  B  e.  On )
117 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  t  ->  (
x `  z )  =  ( x `  t ) )
118 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  t  ->  (
y `  z )  =  ( y `  t ) )
119117, 118eleq12d 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  t  ->  (
( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  <->  ( x `  t )  e.  ( y `  t ) ) )
120 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  t  ->  (
z  e.  w  <->  t  e.  w ) )
121120imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  t  ->  (
( z  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) )  <-> 
( t  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
122121ralbidv 2740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  t  ->  ( A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) )  <->  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
123119, 122anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  t  ->  (
( ( x `  z )  e.  ( y `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  ( (
x `  t )  e.  ( y `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) ) )
124123cbvrexv 2953 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  B  ( ( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  <->  E. t  e.  B  ( ( x `  t )  e.  ( y `  t )  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) )
125 fveq1 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  (
x `  t )  =  ( u `  t ) )
126 fveq1 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  v  ->  (
y `  t )  =  ( v `  t ) )
127 eleq12 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x `  t
)  =  ( u `
 t )  /\  ( y `  t
)  =  ( v `
 t ) )  ->  ( ( x `
 t )  e.  ( y `  t
)  <->  ( u `  t )  e.  ( v `  t ) ) )
128125, 126, 127syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( x `  t )  e.  ( y `  t )  <-> 
( u `  t
)  e.  ( v `
 t ) ) )
129 fveq1 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
x `  w )  =  ( u `  w ) )
130 fveq1 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
y `  w )  =  ( v `  w ) )
131129, 130eqeqan12d 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( x `  w )  =  ( y `  w )  <-> 
( u `  w
)  =  ( v `
 w ) ) )
132131imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( t  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  ( t  e.  w  ->  ( u `  w )  =  ( v `  w ) ) ) )
133132ralbidv 2740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `  w
)  =  ( v `
 w ) ) ) )
134128, 133anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( ( x `
 t )  e.  ( y `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) )  <->  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) ) )
135134rexbidv 2741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( E. t  e.  B  ( ( x `
 t )  e.  ( y `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) )  <->  E. t  e.  B  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) ) )
136124, 135syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( E. z  e.  B  ( ( x `
 z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) )  <->  E. t  e.  B  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) ) )
137136cbvopabv 4366 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  B  (
( x `  z
)  e.  ( y `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. u ,  v >.  |  E. t  e.  B  ( ( u `  t )  e.  ( v `  t )  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `  w )  =  ( v `  w ) ) ) }
1384, 137eqtri 2463 . . . . . 6  |-  T  =  { <. u ,  v
>.  |  E. t  e.  B  ( (
u `  t )  e.  ( v `  t
)  /\  A. w  e.  B  ( t  e.  w  ->  ( u `
 w )  =  ( v `  w
) ) ) }
139 simprll 761 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  f  e.  S )
140 simprlr 762 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  g  e.  S )
141 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  f T
g )
142 eqid 2443 . . . . . 6  |-  U. {
c  e.  B  | 
( f `  c
)  e.  ( g `
 c ) }  =  U. { c  e.  B  |  ( f `  c )  e.  ( g `  c ) }
143 eqid 2443 . . . . . 6  |- OrdIso (  _E  ,  ( g supp  (/) ) )  = OrdIso (  _E  , 
( g supp  (/) ) )
144 eqid 2443 . . . . . 6  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  t  e. 
_V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( g supp  (/) ) ) `
 k ) )  .o  ( g `  (OrdIso (  _E  ,  ( g supp  (/) ) ) `  k ) ) )  +o  t ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
t  e.  _V  |->  ( ( ( A  ^o  (OrdIso (  _E  ,  ( g supp  (/) ) ) `  k ) )  .o  ( g `  (OrdIso (  _E  ,  (
g supp  (/) ) ) `  k ) ) )  +o  t ) ) ,  (/) )
1451, 115, 116, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144cantnflem1 7902 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  ( ( A CNF  B ) `  f
)  e.  ( ( A CNF  B ) `  g ) )
146 fvex 5706 . . . . . 6  |-  ( ( A CNF  B ) `  g )  e.  _V
147146epelc 4639 . . . . 5  |-  ( ( ( A CNF  B ) `
 f )  _E  ( ( A CNF  B
) `  g )  <->  ( ( A CNF  B ) `
 f )  e.  ( ( A CNF  B
) `  g )
)
148145, 147sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  S  /\  g  e.  S )  /\  f T g ) )  ->  ( ( A CNF  B ) `  f
)  _E  ( ( A CNF  B ) `  g ) )
149148expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  S ) )  -> 
( f T g  ->  ( ( A CNF 
B ) `  f
)  _E  ( ( A CNF  B ) `  g ) ) )
150149ralrimivva 2813 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  S  A. g  e.  S  ( f T g  ->  ( ( A CNF 
B ) `  f
)  _E  ( ( A CNF  B ) `  g ) ) )
151 soisoi 6024 . 2  |-  ( ( ( T  Or  S  /\  _E  Po  ( A  ^o  B ) )  /\  ( ( A CNF 
B ) : S -onto->
( A  ^o  B
)  /\  A. f  e.  S  A. g  e.  S  ( f T g  ->  (
( A CNF  B ) `
 f )  _E  ( ( A CNF  B
) `  g )
) ) )  -> 
( A CNF  B ) 
Isom  T ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
1525, 13, 114, 150, 151syl22anc 1219 1  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) 
Isom  T ,  _E  ( S ,  ( A  ^o  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   {crab 2724   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   (/)c0 3642   {csn 3882   <.cop 3888   U.cuni 4096   |^|cint 4133   class class class wbr 4297   {copab 4354    _E cep 4635    Po wpo 4644    Or wor 4645    We wwe 4683   Ord word 4723   Oncon0 4724    X. cxp 4843   dom cdm 4845   ran crn 4846   iotacio 5384    Fn wfn 5418   -->wf 5419   -onto->wfo 5421   ` cfv 5423    Isom wiso 5424  (class class class)co 6096    e. cmpt2 6098   1stc1st 6580   2ndc2nd 6581   supp csupp 6695  seq𝜔cseqom 6907    +o coa 6922    .o comu 6923    ^o coe 6924    ~~ cen 7312   finSupp cfsupp 7625  OrdIsocoi 7728   CNF ccnf 7872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-seqom 6908  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-oexp 6931  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-oi 7729  df-cnf 7873
This theorem is referenced by:  oemapwe  7907  cantnffval2  7908  cantnff1o  7931
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