Theorem cantnf 8143

Description: The Cantor Normal Form theorem. The function ( A CNF B ), which maps a finitely supported function from B to A to the sum ( ( A ^o f ( a 1 ) ) o. a 1 ) +o ( ( A ^o f ( a 2 ) ) o. a 2 ) +o ... over all indexes a < B such that f ( a ) is nonzero, is an order isomorphism from the ordering T of finitely supported functions to the set ( A ^o B ) under the natural order. Setting A = om and letting B be arbitrarily large, the surjectivity of this function implies that every ordinal has a Cantor normal form (and injectivity, together with coherence cantnfres 8127, implies that such a representation is unique). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
oemapval.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
cantnf	|- ( ph -> ( A CNF B ) Isom T , _E ( S , ( A ^o B ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, B   w, A, x, y, z   x, S, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( w)   S( w)   T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cantnf

Dummy variables f c g k t u v a b d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . 3 |- S = dom ( A CNF B )
2		cantnfs.a	. . 3 |- ( ph -> A e. On )
3		cantnfs.b	. . 3 |- ( ph -> B e. On )
4		oemapval.t	. . 3 |- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
5	1, 2, 3, 4	oemapso 8132	. 2 |- ( ph -> T Or S )
6		oecl 7223	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ^o B ) e. On )
7	2, 3, 6	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^o B ) e. On )
8		eloni 5419	. . . 4 |- ( ( A ^o B ) e. On -> Ord ( A ^o B ) )
9	7, 8	syl 17	. . 3 |- ( ph -> Ord ( A ^o B ) )
10		ordwe 5422	. . 3 |- ( Ord ( A ^o B ) -> _E We ( A ^o B ) )
11		weso 4813	. . 3 |- ( _E We ( A ^o B ) -> _E Or ( A ^o B ) )
12		sopo 4760	. . 3 |- ( _E Or ( A ^o B ) -> _E Po ( A ^o B ) )
13	9, 10, 11, 12	4syl 21	. 2 |- ( ph -> _E Po ( A ^o B ) )
14	1, 2, 3	cantnff 8124	. . 3 |- ( ph -> ( A CNF B ) : S --> ( A ^o B ) )
15		frn 5719	. . . . 5 |- ( ( A CNF B ) : S --> ( A ^o B ) -> ran ( A CNF B ) C_ ( A ^o B ) )
16	14, 15	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ran ( A CNF B ) C_ ( A ^o B ) )
17		onss 6607	. . . . . . . 8 |- ( ( A ^o B ) e. On -> ( A ^o B ) C_ On )
18	7, 17	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^o B ) C_ On )
19	18	sseld 3440	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. On ) )
20		eleq1 2474	. . . . . . . . . 10 |- ( t = y -> ( t e. ( A ^o B ) <-> y e. ( A ^o B ) ) )
21		eleq1 2474	. . . . . . . . . 10 |- ( t = y -> ( t e. ran ( A CNF B ) <-> y e. ran ( A CNF B ) ) )
22	20, 21	imbi12d 318	. . . . . . . . 9 |- ( t = y -> ( ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) <-> ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) ) )
23	22	imbi2d 314	. . . . . . . 8 |- ( t = y -> ( ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) <-> ( ph -> ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) ) ) )
24		r19.21v 2808	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. t ( ph -> ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) ) <-> ( ph -> A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) ) )
25		ordelss 5425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Ord ( A ^o B ) /\ t e. ( A ^o B ) ) -> t C_ ( A ^o B ) )
26	9, 25	sylan 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( A ^o B ) ) -> t C_ ( A ^o B ) )
27	26	sselda 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A ^o B ) ) /\ y e. t ) -> y e. ( A ^o B ) )
28		pm5.5 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( A ^o B ) -> ( ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) <-> y e. ran ( A CNF B ) ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A ^o B ) ) /\ y e. t ) -> ( ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) <-> y e. ran ( A CNF B ) ) )
30	29	ralbidva 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( A ^o B ) ) -> ( A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) <-> A. y e. t y e. ran ( A CNF B ) ) )
31		dfss3 3431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t C_ ran ( A CNF B ) <-> A. y e. t y e. ran ( A CNF B ) )
32	30, 31	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( A ^o B ) ) -> ( A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) <-> t C_ ran ( A CNF B ) ) )
33		eleq1 2474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = (/) -> ( t e. ran ( A CNF B ) <-> (/) e. ran ( A CNF B ) ) )
34	2	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> A e. On )
35	34	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) /\ t =/= (/) ) -> A e. On )
36	3	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> B e. On )
37	36	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) /\ t =/= (/) ) -> B e. On )
38		simplrl 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) /\ t =/= (/) ) -> t e. ( A ^o B ) )
39		simplrr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) /\ t =/= (/) ) -> t C_ ran ( A CNF B ) )
40	7	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( A ^o B ) e. On )
41		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> t e. ( A ^o B ) )
42		onelon 5434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A ^o B ) e. On /\ t e. ( A ^o B ) ) -> t e. On )
43	40, 41, 42	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> t e. On )
44		on0eln0 5464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t e. On -> ( (/) e. t <-> t =/= (/) ) )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( (/) e. t <-> t =/= (/) ) )
46	45	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) /\ t =/= (/) ) -> (/) e. t )
47		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } = U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) }
48		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( iota d E. a e. On E. b e. ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) ( d = <. a , b >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) .o a ) +o b ) = t ) ) = ( iota d E. a e. On E. b e. ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) ( d = <. a , b >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) .o a ) +o b ) = t ) )
49		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1st ` ( iota d E. a e. On E. b e. ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) ( d = <. a , b >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) .o a ) +o b ) = t ) ) ) = ( 1st ` ( iota d E. a e. On E. b e. ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) ( d = <. a , b >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) .o a ) +o b ) = t ) ) )
50		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2nd ` ( iota d E. a e. On E. b e. ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) ( d = <. a , b >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) .o a ) +o b ) = t ) ) ) = ( 2nd ` ( iota d E. a e. On E. b e. ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) ( d = <. a , b >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { c e. On | t e. ( A ^o c ) } ) .o a ) +o b ) = t ) ) )
51	1, 35, 37, 4, 38, 39, 46, 47, 48, 49, 50	cantnflem4 8142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) /\ t =/= (/) ) -> t e. ran ( A CNF B ) )
52		fczsupp0 6931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( B X. { (/) } ) supp (/) ) = (/)
53	52	eqcomi 2415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (/) = ( ( B X. { (/) } ) supp (/) )
54		oieq2 7971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (/) = ( ( B X. { (/) } ) supp (/) ) -> OrdIso ( _E , (/) ) = OrdIso ( _E , ( ( B X. { (/) } ) supp (/) ) ) )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- OrdIso ( _E , (/) ) = OrdIso ( _E , ( ( B X. { (/) } ) supp (/) ) )
56		ne0i 3743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. B -> B =/= (/) )
57		ne0i 3743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( t e. ( A ^o B ) -> ( A ^o B ) =/= (/) )
58	57	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( A ^o B ) =/= (/) )
59		oveq1 6284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
60	59	neeq1d 2680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) =/= (/) <-> ( (/) ^o B ) =/= (/) ) )
61	58, 60	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( A = (/) -> ( (/) ^o B ) =/= (/) ) )
62	61	necon2d 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) = (/) -> A =/= (/) ) )
63		on0eln0 5464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
64		oe0m1 7207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
65	63, 64	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( B e. On -> ( B =/= (/) <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
66	36, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( B =/= (/) <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
67		on0eln0 5464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A e. On -> ( (/) e. A <-> A =/= (/) ) )
68	34, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( (/) e. A <-> A =/= (/) ) )
69	62, 66, 68	3imtr4d 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( B =/= (/) -> (/) e. A ) )
70	56, 69	syl5 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( y e. B -> (/) e. A ) )
71	70	imp 427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) /\ y e. B ) -> (/) e. A )
72		fconstmpt 4866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B X. { (/) } ) = ( y e. B |-> (/) )
73	71, 72	fmptd 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( B X. { (/) } ) : B --> A )
74		0ex 4525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (/) e. _V
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> (/) e. _V )
76	3, 75	fczfsuppd 7880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( B X. { (/) } ) finSupp (/) )
77	76	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( B X. { (/) } ) finSupp (/) )
78	1, 2, 3	cantnfs 8116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( B X. { (/) } ) e. S <-> ( ( B X. { (/) } ) : B --> A /\ ( B X. { (/) } ) finSupp (/) ) ) )
79	78	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ( B X. { (/) } ) e. S <-> ( ( B X. { (/) } ) : B --> A /\ ( B X. { (/) } ) finSupp (/) ) ) )
80	73, 77, 79	mpbir2and 923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( B X. { (/) } ) e. S )
81		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
82	1, 34, 36, 55, 80, 81	cantnfval 8118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ( A CNF B ) ` ( B X. { (/) } ) ) = (seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom OrdIso ( _E , (/) ) ) )
83		we0 4817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- _E We (/)
84		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- OrdIso ( _E , (/) ) = OrdIso ( _E , (/) )
85	84	oien 7996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( (/) e. _V /\ _E We (/) ) -> dom OrdIso ( _E , (/) ) ~~ (/) )
86	74, 83, 85	mp2an 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- dom OrdIso ( _E , (/) ) ~~ (/)
87		en0 7615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( dom OrdIso ( _E , (/) ) ~~ (/) <-> dom OrdIso ( _E , (/) ) = (/) )
88	86, 87	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- dom OrdIso ( _E , (/) ) = (/)
89	88	fveq2i 5851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom OrdIso ( _E , (/) ) ) = (seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` (/) )
90	81	seqom0g 7157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (/) e. _V -> (seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` (/) ) = (/) )
91	74, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` (/) ) = (/)
92	89, 91	eqtri 2431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) .o ( ( B X. { (/) } ) ` (OrdIso ( _E , (/) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom OrdIso ( _E , (/) ) ) = (/)
93	82, 92	syl6eq 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ( A CNF B ) ` ( B X. { (/) } ) ) = (/) )
94	14	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( A CNF B ) : S --> ( A ^o B ) )
95		ffn 5713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A CNF B ) : S --> ( A ^o B ) -> ( A CNF B ) Fn S )
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( A CNF B ) Fn S )
97		fnfvelrn 6005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A CNF B ) Fn S /\ ( B X. { (/) } ) e. S ) -> ( ( A CNF B ) ` ( B X. { (/) } ) ) e. ran ( A CNF B ) )
98	96, 80, 97	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ( A CNF B ) ` ( B X. { (/) } ) ) e. ran ( A CNF B ) )
99	93, 98	eqeltrrd 2491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> (/) e. ran ( A CNF B ) )
100	33, 51, 99	pm2.61ne 2718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( t e. ( A ^o B ) /\ t C_ ran ( A CNF B ) ) ) -> t e. ran ( A CNF B ) )
101	100	expr 613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( A ^o B ) ) -> ( t C_ ran ( A CNF B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) )
102	32, 101	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( A ^o B ) ) -> ( A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) )
103	102	ex 432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> ( A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) )
104	103	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) )
105	104	a2i 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph -> A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) )
106	105	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( t e. On -> ( ( ph -> A. y e. t ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) ) )
107	24, 106	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( t e. On -> ( A. y e. t ( ph -> ( y e. ( A ^o B ) -> y e. ran ( A CNF B ) ) ) -> ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) ) )
108	23, 107	tfis2 6673	. . . . . . 7 |- ( t e. On -> ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) )
109	108	com3l 81	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> ( t e. On -> t e. ran ( A CNF B ) ) ) )
110	19, 109	mpdd 38	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. ( A ^o B ) -> t e. ran ( A CNF B ) ) )
111	110	ssrdv 3447	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^o B ) C_ ran ( A CNF B ) )
112	16, 111	eqssd 3458	. . 3 |- ( ph -> ran ( A CNF B ) = ( A ^o B ) )
113		dffo2 5781	. . 3 |- ( ( A CNF B ) : S -onto-> ( A ^o B ) <-> ( ( A CNF B ) : S --> ( A ^o B ) /\ ran ( A CNF B ) = ( A ^o B ) ) )
114	14, 112, 113	sylanbrc 662	. 2 |- ( ph -> ( A CNF B ) : S -onto-> ( A ^o B ) )
115	2	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. S /\ g e. S ) /\ f T g ) ) -> A e. On )
116	3	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. S /\ g e. S ) /\ f T g ) ) -> B e. On )
117		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = t -> ( x ` z ) = ( x ` t ) )
118		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = t -> ( y ` z ) = ( y ` t ) )
119	117, 118	eleq12d 2484	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = t -> ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) <-> ( x ` t ) e. ( y ` t ) ) )
120		eleq1 2474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = t -> ( z e. w <-> t e. w ) )
121	120	imbi1d 315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = t -> ( ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) )
122	121	ralbidv 2842	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = t -> ( A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. w e. B ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) )
123	119, 122	anbi12d 709	. . . . . . . . . 10 |- ( z = t -> ( ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( x ` t ) e. ( y ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) )
124	123	cbvrexv 3034	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. t e. B ( ( x ` t ) e. ( y ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) )
125		fveq1 5847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( x ` t ) = ( u ` t ) )
126		fveq1 5847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> ( y ` t ) = ( v ` t ) )
127		eleq12 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x ` t ) = ( u ` t ) /\ ( y ` t ) = ( v ` t ) ) -> ( ( x ` t ) e. ( y ` t ) <-> ( u ` t ) e. ( v ` t ) ) )
128	125, 126, 127	syl2an 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( x ` t ) e. ( y ` t ) <-> ( u ` t ) e. ( v ` t ) ) )
129		fveq1 5847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( x ` w ) = ( u ` w ) )
130		fveq1 5847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = v -> ( y ` w ) = ( v ` w ) )
131	129, 130	eqeqan12d 2425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( x ` w ) = ( y ` w ) <-> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) )
132	131	imbi2d 314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> ( t e. w -> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) ) )
133	132	ralbidv 2842	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( A. w e. B ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. w e. B ( t e. w -> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) ) )
134	128, 133	anbi12d 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( ( x ` t ) e. ( y ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( u ` t ) e. ( v ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) ) ) )
135	134	rexbidv 2917	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( E. t e. B ( ( x ` t ) e. ( y ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. t e. B ( ( u ` t ) e. ( v ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) ) ) )
136	124, 135	syl5bb 257	. . . . . . . 8 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. t e. B ( ( u ` t ) e. ( v ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) ) ) )
137	136	cbvopabv 4463	. . . . . . 7 |- { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } = { <. u , v >. | E. t e. B ( ( u ` t ) e. ( v ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) ) }
138	4, 137	eqtri 2431	. . . . . 6 |- T = { <. u , v >. | E. t e. B ( ( u ` t ) e. ( v ` t ) /\ A. w e. B ( t e. w -> ( u ` w ) = ( v ` w ) ) ) }
139		simprll 764	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. S /\ g e. S ) /\ f T g ) ) -> f e. S )
140		simprlr 765	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. S /\ g e. S ) /\ f T g ) ) -> g e. S )
141		simprr 758	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. S /\ g e. S ) /\ f T g ) ) -> f T g )
142		eqid 2402	. . . . . 6 |- U. { c e. B | ( f ` c ) e. ( g ` c ) } = U. { c e. B | ( f ` c ) e. ( g ` c ) }
143		eqid 2402	. . . . . 6 |- OrdIso ( _E , ( g supp (/) ) ) = OrdIso ( _E , ( g supp (/) ) )
144		eqid 2402	. . . . . 6 |- seq𝜔 ( ( k e. _V , t e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( g supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( g ` (OrdIso ( _E , ( g supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o t ) ) , (/) ) = seq𝜔 ( ( k e. _V , t e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( g supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( g ` (OrdIso ( _E , ( g supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o t ) ) , (/) )
145	1, 115, 116, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144	cantnflem1 8139	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f e. S /\ g e. S ) /\ f T g ) ) -> ( ( A CNF B ) ` f ) e. ( ( A CNF B ) ` g ) )
146		fvex 5858	. . . . . 6 |- ( ( A CNF B ) ` g ) e. _V
147	146	epelc 4735	. . . . 5 |- ( ( ( A CNF B ) ` f ) _E ( ( A CNF B ) ` g ) <-> ( ( A CNF B ) ` f ) e. ( ( A CNF B ) ` g ) )
148	145, 147	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( f e. S /\ g e. S ) /\ f T g ) ) -> ( ( A CNF B ) ` f ) _E ( ( A CNF B ) ` g ) )
149	148	expr 613	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. S ) ) -> ( f T g -> ( ( A CNF B ) ` f ) _E ( ( A CNF B ) ` g ) ) )
150	149	ralrimivva 2824	. 2 |- ( ph -> A. f e. S A. g e. S ( f T g -> ( ( A CNF B ) ` f ) _E ( ( A CNF B ) ` g ) ) )
151		soisoi 6206	. 2 |- ( ( ( T Or S /\ _E Po ( A ^o B ) ) /\ ( ( A CNF B ) : S -onto-> ( A ^o B ) /\ A. f e. S A. g e. S ( f T g -> ( ( A CNF B ) ` f ) _E ( ( A CNF B ) ` g ) ) ) ) -> ( A CNF B ) Isom T , _E ( S , ( A ^o B ) ) )
152	5, 13, 114, 150, 151	syl22anc 1231	1 |- ( ph -> ( A CNF B ) Isom T , _E ( S , ( A ^o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   {crab 2757   _Vcvv 3058   C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   <.cop 3977   U.cuni 4190   |^|cint 4226   class class class wbr 4394   {copab 4451   _E cep 4731   Po wpo 4741   Or wor 4742   We wwe 4780   X. cxp 4820   dom cdm 4822   ran crn 4823   Ord word 5408   Oncon0 5409   iotacio 5530   Fn wfn 5563   -->wf 5564   -onto->wfo 5566   ` cfv 5568   Isom wiso 5569  (class class class)co 6277   |-> cmpt2 6279   1stc1st 6781   2ndc2nd 6782   supp csupp 6901  seq_𝜔cseqom 7148   +o coa 7163   .o comu 7164   ^o coe 7165   ~~ cen 7550   finSupp cfsupp 7862  OrdIsocoi 7967   CNF ccnf 8109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-seqom 7149  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-oexp 7172  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-cnf 8110

This theorem is referenced by:  oemapwe  8144  cantnffval2  8145  cantnff1o  8168