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Theorem canthwelem 8481
Description: Lemma for canthnum 8480. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
canthwe.1  |-  O  =  { <. x ,  r
>.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) }
canthwe.2  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
canthwe.3  |-  B  = 
U. dom  W
canthwe.4  |-  C  =  ( `' ( W `
 B ) " { ( B F ( W `  B
) ) } )
Assertion
Ref Expression
canthwelem  |-  ( A  e.  V  ->  -.  F : O -1-1-> A )
Distinct variable groups:    u, r, x, y, B    C, r, x    O, r, u, x, y    V, r, u, x, y    A, r, u, x, y    F, r, u, x, y    W, r, u, x, y
Allowed substitution hints:    C( y, u)

Proof of Theorem canthwelem
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  B  =  B
2 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( W `
 B )  =  ( W `  B
)
31, 2pm3.2i 442 . . . . . . 7  |-  ( B  =  B  /\  ( W `  B )  =  ( W `  B ) )
4 canthwe.2 . . . . . . . 8  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
5 elex 2924 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
65adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  A  e.  _V )
7 df-ov 6043 . . . . . . . . 9  |-  ( x F r )  =  ( F `  <. x ,  r >. )
8 f1f 5598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : O -1-1-> A  ->  F : O --> A )
98ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  ->  F : O --> A )
10 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )
)
11 opabid 4421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
x ,  r >.  e.  { <. x ,  r
>.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) }  <->  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )
1210, 11sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  ->  <. x ,  r >.  e.  { <. x ,  r
>.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) } )
13 canthwe.1 . . . . . . . . . . 11  |-  O  =  { <. x ,  r
>.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) }
1412, 13syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  ->  <. x ,  r >.  e.  O )
159, 14ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( F `  <. x ,  r >. )  e.  A )
167, 15syl5eqel 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
17 canthwe.3 . . . . . . . 8  |-  B  = 
U. dom  W
184, 6, 16, 17fpwwe2 8474 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( B W ( W `  B )  /\  ( B F ( W `  B ) )  e.  B )  <->  ( B  =  B  /\  ( W `  B )  =  ( W `  B ) ) ) )
193, 18mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( B W ( W `  B
)  /\  ( B F ( W `  B ) )  e.  B ) )
2019simprd 450 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( B F ( W `  B
) )  e.  B
)
21 canthwe.4 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( `' ( W `
 B ) " { ( B F ( W `  B
) ) } )
2221, 21xpeq12i 4859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  X.  C )  =  ( ( `' ( W `  B )
" { ( B F ( W `  B ) ) } )  X.  ( `' ( W `  B
) " { ( B F ( W `
 B ) ) } ) )
2322ineq2i 3499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) )  =  ( ( W `  B )  i^i  (
( `' ( W `
 B ) " { ( B F ( W `  B
) ) } )  X.  ( `' ( W `  B )
" { ( B F ( W `  B ) ) } ) ) )
2421, 23oveq12i 6052 . . . . . . . . 9  |-  ( C F ( ( W `
 B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  =  ( ( `' ( W `  B )
" { ( B F ( W `  B ) ) } ) F ( ( W `  B )  i^i  ( ( `' ( W `  B
) " { ( B F ( W `
 B ) ) } )  X.  ( `' ( W `  B ) " {
( B F ( W `  B ) ) } ) ) ) )
2519simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  B W ( W `  B ) )
264, 6, 25fpwwe2lem3 8464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A
)  /\  ( B F ( W `  B ) )  e.  B )  ->  (
( `' ( W `
 B ) " { ( B F ( W `  B
) ) } ) F ( ( W `
 B )  i^i  ( ( `' ( W `  B )
" { ( B F ( W `  B ) ) } )  X.  ( `' ( W `  B
) " { ( B F ( W `
 B ) ) } ) ) ) )  =  ( B F ( W `  B ) ) )
2720, 26mpdan 650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( `' ( W `  B
) " { ( B F ( W `
 B ) ) } ) F ( ( W `  B
)  i^i  ( ( `' ( W `  B ) " {
( B F ( W `  B ) ) } )  X.  ( `' ( W `
 B ) " { ( B F ( W `  B
) ) } ) ) ) )  =  ( B F ( W `  B ) ) )
2824, 27syl5eq 2448 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( C F ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) ) )  =  ( B F ( W `  B ) ) )
29 df-ov 6043 . . . . . . . 8  |-  ( C F ( ( W `
 B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  =  ( F `  <. C ,  ( ( W `
 B )  i^i  ( C  X.  C
) ) >. )
30 df-ov 6043 . . . . . . . 8  |-  ( B F ( W `  B ) )  =  ( F `  <. B ,  ( W `  B ) >. )
3128, 29, 303eqtr3g 2459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( F `  <. C ,  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) ) >.
)  =  ( F `
 <. B ,  ( W `  B )
>. ) )
32 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  F : O -1-1-> A )
33 cnvimass 5183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( W `  B
) " { ( B F ( W `
 B ) ) } )  C_  dom  ( W `  B )
344, 6fpwwe2lem2 8463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( B W ( W `  B
)  <->  ( ( B 
C_  A  /\  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B
) )  /\  (
( W `  B
)  We  B  /\  A. y  e.  B  [. ( `' ( W `  B ) " {
y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  B )  i^i  (
u  X.  u ) ) )  =  y ) ) ) )
3525, 34mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( B 
C_  A  /\  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B
) )  /\  (
( W `  B
)  We  B  /\  A. y  e.  B  [. ( `' ( W `  B ) " {
y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  B )  i^i  (
u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
3635simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( B  C_  A  /\  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B ) ) )
3736simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B ) )
38 dmss 5028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W `  B ) 
C_  ( B  X.  B )  ->  dom  ( W `  B ) 
C_  dom  ( B  X.  B ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  dom  ( W `  B )  C_  dom  ( B  X.  B
) )
40 dmxpss 5259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( B  X.  B )  C_  B
4139, 40syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  dom  ( W `  B )  C_  B
)
4233, 41syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( `' ( W `  B )
" { ( B F ( W `  B ) ) } )  C_  B )
4321, 42syl5eqss 3352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  C  C_  B
)
4436simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  B  C_  A
)
4543, 44sstrd 3318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  C  C_  A
)
46 inss2 3522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) )  C_  ( C  X.  C
)
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( W `
 B )  i^i  ( C  X.  C
) )  C_  ( C  X.  C ) )
4835simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( W `
 B )  We  B  /\  A. y  e.  B  [. ( `' ( W `  B
) " { y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  B
)  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) )
4948simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( W `  B )  We  B
)
50 wess 4529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C 
C_  B  ->  (
( W `  B
)  We  B  -> 
( W `  B
)  We  C ) )
5143, 49, 50sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( W `  B )  We  C
)
52 weinxp 4904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W `  B )  We  C  <->  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) )  We  C
)
5351, 52sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( W `
 B )  i^i  ( C  X.  C
) )  We  C
)
54 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W `
 B )  e. 
_V
5554cnvex 5365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' ( W `  B )  e.  _V
56 imaexg 5176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( W `  B
)  e.  _V  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( B F ( W `  B ) ) } )  e. 
_V )
5755, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( W `  B
) " { ( B F ( W `
 B ) ) } )  e.  _V
5821, 57eqeltri 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  C  e. 
_V
5954inex1 4304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) )  e. 
_V
60 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  C  /\  r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  ->  x  =  C )
6160sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  C  /\  r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  -> 
( x  C_  A  <->  C 
C_  A ) )
62 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  C  /\  r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  -> 
r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) ) )
6360, 60xpeq12d 4862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  C  /\  r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  -> 
( x  X.  x
)  =  ( C  X.  C ) )
6462, 63sseq12d 3337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  C  /\  r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  -> 
( r  C_  (
x  X.  x )  <-> 
( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) ) 
C_  ( C  X.  C ) ) )
65 weeq2 4531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  C  ->  (
r  We  x  <->  r  We  C ) )
66 weeq1 4530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( ( W `
 B )  i^i  ( C  X.  C
) )  ->  (
r  We  C  <->  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) )  We  C
) )
6765, 66sylan9bb 681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  C  /\  r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  -> 
( r  We  x  <->  ( ( W `  B
)  i^i  ( C  X.  C ) )  We  C ) )
6861, 64, 673anbi123d 1254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  C  /\  r  =  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) )  -> 
( ( x  C_  A  /\  r  C_  (
x  X.  x )  /\  r  We  x
)  <->  ( C  C_  A  /\  ( ( W `
 B )  i^i  ( C  X.  C
) )  C_  ( C  X.  C )  /\  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) )  We  C ) ) )
6958, 59, 68opelopaba 4431 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. C ,  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) >.  e.  { <. x ,  r >.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  (
x  X.  x )  /\  r  We  x
) }  <->  ( C  C_  A  /\  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) )  C_  ( C  X.  C
)  /\  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) )  We  C
) )
7045, 47, 53, 69syl3anbrc 1138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  <. C ,  ( ( W `  B
)  i^i  ( C  X.  C ) ) >.  e.  { <. x ,  r
>.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) } )
7170, 13syl6eleqr 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  <. C ,  ( ( W `  B
)  i^i  ( C  X.  C ) ) >.  e.  O )
726, 44ssexd 4310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  B  e.  _V )
7354a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( W `  B )  e.  _V )
74 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  B  /\  r  =  ( W `  B ) )  ->  x  =  B )
7574sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  B  /\  r  =  ( W `  B ) )  -> 
( x  C_  A  <->  B 
C_  A ) )
76 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  B  /\  r  =  ( W `  B ) )  -> 
r  =  ( W `
 B ) )
7774, 74xpeq12d 4862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  B  /\  r  =  ( W `  B ) )  -> 
( x  X.  x
)  =  ( B  X.  B ) )
7876, 77sseq12d 3337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  B  /\  r  =  ( W `  B ) )  -> 
( r  C_  (
x  X.  x )  <-> 
( W `  B
)  C_  ( B  X.  B ) ) )
79 weeq2 4531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  (
r  We  x  <->  r  We  B ) )
80 weeq1 4530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  ( W `  B )  ->  (
r  We  B  <->  ( W `  B )  We  B
) )
8179, 80sylan9bb 681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  B  /\  r  =  ( W `  B ) )  -> 
( r  We  x  <->  ( W `  B )  We  B ) )
8275, 78, 813anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  B  /\  r  =  ( W `  B ) )  -> 
( ( x  C_  A  /\  r  C_  (
x  X.  x )  /\  r  We  x
)  <->  ( B  C_  A  /\  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B )  /\  ( W `  B )  We  B ) ) )
8382opelopabga 4428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( W `  B )  e.  _V )  -> 
( <. B ,  ( W `  B )
>.  e.  { <. x ,  r >.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x ) }  <->  ( B  C_  A  /\  ( W `
 B )  C_  ( B  X.  B
)  /\  ( W `  B )  We  B
) ) )
8472, 73, 83syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( <. B , 
( W `  B
) >.  e.  { <. x ,  r >.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x ) }  <->  ( B  C_  A  /\  ( W `
 B )  C_  ( B  X.  B
)  /\  ( W `  B )  We  B
) ) )
8544, 37, 49, 84mpbir3and 1137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  <. B ,  ( W `  B )
>.  e.  { <. x ,  r >.  |  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x ) } )
8685, 13syl6eleqr 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  <. B ,  ( W `  B )
>.  e.  O )
87 f1fveq 5967 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : O -1-1-> A  /\  ( <. C ,  ( ( W `  B
)  i^i  ( C  X.  C ) ) >.  e.  O  /\  <. B , 
( W `  B
) >.  e.  O ) )  ->  ( ( F `  <. C , 
( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) )
>. )  =  ( F `  <. B , 
( W `  B
) >. )  <->  <. C , 
( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C ) )
>.  =  <. B , 
( W `  B
) >. ) )
8832, 71, 86, 87syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( F `
 <. C ,  ( ( W `  B
)  i^i  ( C  X.  C ) ) >.
)  =  ( F `
 <. B ,  ( W `  B )
>. )  <->  <. C ,  ( ( W `  B
)  i^i  ( C  X.  C ) ) >.  =  <. B ,  ( W `  B )
>. ) )
8931, 88mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  <. C ,  ( ( W `  B
)  i^i  ( C  X.  C ) ) >.  =  <. B ,  ( W `  B )
>. )
9058, 59opth1 4394 . . . . . 6  |-  ( <. C ,  ( ( W `  B )  i^i  ( C  X.  C
) ) >.  =  <. B ,  ( W `  B ) >.  ->  C  =  B )
9189, 90syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  C  =  B )
9220, 91eleqtrrd 2481 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( B F ( W `  B
) )  e.  C
)
9392, 21syl6eleq 2494 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( B F ( W `  B
) )  e.  ( `' ( W `  B ) " {
( B F ( W `  B ) ) } ) )
94 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( B F ( W `  B ) )  e. 
_V
9594eliniseg 5192 . . . 4  |-  ( ( B F ( W `
 B ) )  e.  B  ->  (
( B F ( W `  B ) )  e.  ( `' ( W `  B
) " { ( B F ( W `
 B ) ) } )  <->  ( B F ( W `  B ) ) ( W `  B ) ( B F ( W `  B ) ) ) )
9620, 95syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( ( B F ( W `  B ) )  e.  ( `' ( W `
 B ) " { ( B F ( W `  B
) ) } )  <-> 
( B F ( W `  B ) ) ( W `  B ) ( B F ( W `  B ) ) ) )
9793, 96mpbid 202 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( B F ( W `  B
) ) ( W `
 B ) ( B F ( W `
 B ) ) )
98 weso 4533 . . . 4  |-  ( ( W `  B )  We  B  ->  ( W `  B )  Or  B )
9949, 98syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  ( W `  B )  Or  B
)
100 sonr 4484 . . 3  |-  ( ( ( W `  B
)  Or  B  /\  ( B F ( W `
 B ) )  e.  B )  ->  -.  ( B F ( W `  B ) ) ( W `  B ) ( B F ( W `  B ) ) )
10199, 20, 100syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : O -1-1-> A )  ->  -.  ( B F ( W `  B ) ) ( W `  B ) ( B F ( W `  B ) ) )
10297, 101pm2.65da 560 1  |-  ( A  e.  V  ->  -.  F : O -1-1-> A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [.wsbc 3121    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   {copab 4225    Or wor 4462    We wwe 4500    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413  (class class class)co 6040
This theorem is referenced by:  canthwe  8482
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-riota 6508  df-recs 6592  df-oi 7435
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