Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthwe Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem canthwe 9094
 Description: The set of well-orders of a set strictly dominates . A stronger form of canth2 7743. Corollary 1.4(b) of [KanamoriPincus] p. 417. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
canthwe.1
Assertion
Ref Expression
canthwe
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem canthwe
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1030 . . . . . . . 8
2 selpw 3949 . . . . . . . 8
31, 2sylibr 217 . . . . . . 7
4 simp2 1031 . . . . . . . . 9
5 xpss12 4945 . . . . . . . . . 10
61, 1, 5syl2anc 673 . . . . . . . . 9
74, 6sstrd 3428 . . . . . . . 8
8 selpw 3949 . . . . . . . 8
97, 8sylibr 217 . . . . . . 7
103, 9jca 541 . . . . . 6
1110ssopab2i 4729 . . . . 5
12 canthwe.1 . . . . 5
13 df-xp 4845 . . . . 5
1411, 12, 133sstr4i 3457 . . . 4
15 pwexg 4585 . . . . 5
16 sqxpexg 6615 . . . . . 6
17 pwexg 4585 . . . . . 6
1816, 17syl 17 . . . . 5
19 xpexg 6612 . . . . 5
2015, 18, 19syl2anc 673 . . . 4
21 ssexg 4542 . . . 4
2214, 20, 21sylancr 676 . . 3
23 simpr 468 . . . . . . . 8
2423snssd 4108 . . . . . . 7
25 0ss 3766 . . . . . . . 8
2625a1i 11 . . . . . . 7
27 rel0 4963 . . . . . . . 8
28 br0 4442 . . . . . . . . 9
29 wesn 4911 . . . . . . . . 9
3028, 29mpbiri 241 . . . . . . . 8
3127, 30mp1i 13 . . . . . . 7
32 snex 4641 . . . . . . . 8
33 0ex 4528 . . . . . . . 8
34 simpl 464 . . . . . . . . . 10
3534sseq1d 3445 . . . . . . . . 9
36 simpr 468 . . . . . . . . . 10
3734sqxpeqd 4865 . . . . . . . . . 10
3836, 37sseq12d 3447 . . . . . . . . 9
39 weeq2 4828 . . . . . . . . . 10
40 weeq1 4827 . . . . . . . . . 10
4139, 40sylan9bb 714 . . . . . . . . 9
4235, 38, 413anbi123d 1365 . . . . . . . 8
4332, 33, 42opelopaba 4717 . . . . . . 7
4424, 26, 31, 43syl3anbrc 1214 . . . . . 6
4544, 12syl6eleqr 2560 . . . . 5
4645ex 441 . . . 4
47 eqid 2471 . . . . . . 7
48 snex 4641 . . . . . . . 8
4948, 33opth2 4680 . . . . . . 7
5047, 49mpbiran2 933 . . . . . 6
51 vex 3034 . . . . . . 7
52 sneqbg 4134 . . . . . . 7
5351, 52ax-mp 5 . . . . . 6
5450, 53bitri 257 . . . . 5
55542a1i 12 . . . 4
5646, 55dom2d 7628 . . 3
5722, 56mpd 15 . 2
58 eqid 2471 . . . . . . 7
5958fpwwe2cbv 9073 . . . . . 6
60 eqid 2471 . . . . . 6
61 eqid 2471 . . . . . 6
6212, 59, 60, 61canthwelem 9093 . . . . 5
63 f1of1 5827 . . . . 5
6462, 63nsyl 125 . . . 4
6564nexdv 1790 . . 3
66 ensym 7636 . . . 4
67 bren 7596 . . . 4
6866, 67sylib 201 . . 3
6965, 68nsyl 125 . 2
70 brsdom 7610 . 2
7157, 69, 70sylanbrc 677 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031  wsbc 3255   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  csn 3959  cop 3965  cuni 4190   class class class wbr 4395  copab 4453   wwe 4797   cxp 4837  ccnv 4838   cdm 4839  cima 4842   wrel 4844  wf1 5586  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308   cen 7584   cdom 7585   csdm 7586 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-oi 8043 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator