MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthp1lem2 Unicode version

Theorem canthp1lem2 8484
Description: Lemma for canthp1 8485. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
canthp1lem2.1  |-  ( ph  ->  1o  ~<  A )
canthp1lem2.2  |-  ( ph  ->  F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o ) )
canthp1lem2.3  |-  ( ph  ->  G : ( ( A  +c  1o ) 
\  { ( F `
 A ) } ) -1-1-onto-> A )
canthp1lem2.4  |-  H  =  ( ( G  o.  F )  o.  (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) )
canthp1lem2.5  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  ( H `  ( `' r " { y } ) )  =  y ) ) }
canthp1lem2.6  |-  B  = 
U. dom  W
Assertion
Ref Expression
canthp1lem2  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    x, r,
y, A    B, r, x, y    H, r, x, y    ph, r, x, y    W, r, x, y
Allowed substitution hints:    F( x, y, r)    G( x, y, r)

Proof of Theorem canthp1lem2
StepHypRef Expression
1 canthp1lem2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1o  ~<  A )
2 relsdom 7075 . . . . . . 7  |-  Rel  ~<
32brrelex2i 4878 . . . . . 6  |-  ( 1o 
~<  A  ->  A  e. 
_V )
41, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
5 pwexg 4343 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ~P A  e.  _V )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P A  e.  _V )
7 canthp1lem2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o ) )
8 f1oeng 7085 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  _V  /\  F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o ) )  ->  ~P A  ~~  ( A  +c  1o ) )
96, 7, 8syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ~P A  ~~  ( A  +c  1o ) )
10 ensym 7115 . . 3  |-  ( ~P A  ~~  ( A  +c  1o )  -> 
( A  +c  1o )  ~~  ~P A )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  +c  1o )  ~~  ~P A )
12 canth2g 7220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~<  ~P A )
134, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  ~<  ~P A
)
14 sdomen2 7211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P A  ~~  ( A  +c  1o )  -> 
( A  ~<  ~P A  <->  A 
~<  ( A  +c  1o ) ) )
159, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  ~<  ~P A  <->  A 
~<  ( A  +c  1o ) ) )
1613, 15mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  ~<  ( A  +c  1o ) )
17 sdomnen 7095 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~<  ( A  +c  1o )  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
19 omelon 7557 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  e.  On
20 onenon 7792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( om  e.  On  ->  om  e.  dom  card )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  dom  card
22 canthp1lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  G : ( ( A  +c  1o ) 
\  { ( F `
 A ) } ) -1-1-onto-> A )
23 dff1o3 5639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o )  <->  ( F : ~P A -onto-> ( A  +c  1o )  /\  Fun  `' F ) )
2423simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o )  ->  Fun  `' F )
257, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Fun  `' F )
26 f1ofo 5640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o )  ->  F : ~P A -onto-> ( A  +c  1o ) )
277, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F : ~P A -onto->
( A  +c  1o ) )
28 f1ofn 5634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A  +c  1o )  ->  F  Fn  ~P A
)
29 fnresdm 5513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F  Fn  ~P A  -> 
( F  |`  ~P A
)  =  F )
307, 28, 293syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ~P A
)  =  F )
31 foeq1 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  |`  ~P A
)  =  F  -> 
( ( F  |`  ~P A ) : ~P A -onto-> ( A  +c  1o )  <->  F : ~P A -onto->
( A  +c  1o ) ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ~P A ) : ~P A -onto-> ( A  +c  1o )  <->  F : ~P A -onto->
( A  +c  1o ) ) )
3327, 32mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ~P A
) : ~P A -onto->
( A  +c  1o ) )
34 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F `
 A )  e. 
_V
35 f1osng 5675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F `  A )  e.  _V )  ->  { <. A ,  ( F `  A )
>. } : { A }
-1-1-onto-> { ( F `  A ) } )
364, 34, 35sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  { <. A ,  ( F `  A )
>. } : { A }
-1-1-onto-> { ( F `  A ) } )
377, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  F  Fn  ~P A
)
38 pwidg 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  ~P A )
394, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  A  e.  ~P A
)
40 fnressn 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  A  e.  ~P A )  ->  ( F  |`  { A }
)  =  { <. A ,  ( F `  A ) >. } )
4137, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { A } )  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )
42 f1oeq1 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F  |`  { A } )  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. }  ->  ( ( F  |`  { A } ) : { A } -1-1-onto-> {
( F `  A
) }  <->  { <. A , 
( F `  A
) >. } : { A } -1-1-onto-> { ( F `  A ) } ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  { A } ) : { A } -1-1-onto-> { ( F `  A ) }  <->  { <. A , 
( F `  A
) >. } : { A } -1-1-onto-> { ( F `  A ) } ) )
4436, 43mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { A } ) : { A } -1-1-onto-> { ( F `  A ) } )
45 f1ofo 5640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  |`  { A } ) : { A } -1-1-onto-> { ( F `  A ) }  ->  ( F  |`  { A } ) : { A } -onto-> { ( F `  A ) } )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { A } ) : { A } -onto-> { ( F `  A ) } )
47 resdif 5655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( F  |`  ~P A
) : ~P A -onto->
( A  +c  1o )  /\  ( F  |`  { A } ) : { A } -onto-> {
( F `  A
) } )  -> 
( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> ( ( A  +c  1o ) 
\  { ( F `
 A ) } ) )
4825, 33, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> ( ( A  +c  1o ) 
\  { ( F `
 A ) } ) )
49 f1oco 5657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G : ( ( A  +c  1o ) 
\  { ( F `
 A ) } ) -1-1-onto-> A  /\  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> ( ( A  +c  1o )  \  { ( F `
 A ) } ) )  ->  ( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A )
5022, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A )
51 resco 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  =  ( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) )
52 f1oeq1 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  o.  F
)  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  =  ( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) )  ->  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A  <-> 
( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A ) )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  o.  F
)  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A  <->  ( G  o.  ( F  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A )
5450, 53sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A )
55 f1of 5633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  o.  F
)  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A  ->  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) --> A )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) --> A )
57 0elpw 4329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e.  ~P A
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  x  =  A )  -> 
(/)  e.  ~P A
)
59 sdom0 7198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  -.  1o  ~< 
(/)
60 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (/)  =  A  ->  ( 1o 
~<  (/)  <->  1o  ~<  A ) )
6159, 60mtbii 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (/)  =  A  ->  -.  1o  ~<  A )
6261necon2ai 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1o 
~<  A  ->  (/)  =/=  A
)
631, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  -> 
(/)  =/=  A )
6463ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  x  =  A )  -> 
(/)  =/=  A )
65 eldifsn 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  \  { A } )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  =/=  A ) )
6658, 64, 65sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  x  =  A )  -> 
(/)  e.  ( ~P A  \  { A }
) )
67 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  -.  x  =  A
)  ->  x  e.  ~P A )
68 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  -.  x  =  A
)  ->  -.  x  =  A )
6968neneqad 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  -.  x  =  A
)  ->  x  =/=  A )
70 eldifsn 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P A  \  { A } )  <-> 
( x  e.  ~P A  /\  x  =/=  A
) )
7167, 69, 70sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P A )  /\  -.  x  =  A
)  ->  x  e.  ( ~P A  \  { A } ) )
7266, 71ifclda 3726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P A )  ->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x )  e.  ( ~P A  \  { A } ) )
73 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) )  =  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) )
7472, 73fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) : ~P A --> ( ~P A  \  { A } ) )
75 fco 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) --> A  /\  ( x  e. 
~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/)
,  x ) ) : ~P A --> ( ~P A  \  { A } ) )  -> 
( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) : ~P A --> A )
7656, 74, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) : ~P A --> A )
77 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) : ~P A
--> ( ~P A  \  { A } )  ->  ran  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) )  C_  ( ~P A  \  { A } ) )
7874, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e. 
~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/)
,  x ) ) 
C_  ( ~P A  \  { A } ) )
79 cores 5332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ran  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) )  C_  ( ~P A  \  { A } )  ->  (
( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) )  =  ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) )  =  ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) )
81 canthp1lem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  =  ( ( G  o.  F )  o.  (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) )
8280, 81syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) )  =  H )
8382feq1d 5539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) )  o.  ( x  e. 
~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/)
,  x ) ) ) : ~P A --> A 
<->  H : ~P A --> A ) )
8476, 83mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H : ~P A --> A )
85 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P A  i^i  dom  card )  C_  ~P A
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ~P A  i^i  dom 
card )  C_  ~P A )
87 canthp1lem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  ( H `  ( `' r " { y } ) )  =  y ) ) }
88 canthp1lem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  = 
U. dom  W
89 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } )  =  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )
9087, 88, 89canth4 8478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  _V  /\  H : ~P A --> A  /\  ( ~P A  i^i  dom  card )  C_  ~P A
)  ->  ( B  C_  A  /\  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } )  C.  B  /\  ( H `  B
)  =  ( H `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) ) ) )
914, 84, 86, 90syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  C_  A  /\  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } ) 
C.  B  /\  ( H `  B )  =  ( H `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) ) )
9291simp1d 969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
9391simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } ) 
C.  B )
9493pssned 3405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  =/=  B )
9594necomd 2650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =/=  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) )
9691simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( H `  B
)  =  ( H `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) ) )
9781fveq1i 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( H `
 B )  =  ( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 B )
9881fveq1i 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( H `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  ( ( ( G  o.  F )  o.  (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )
9996, 97, 983eqtr3g 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 B )  =  ( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) ) )
100 elpw2g 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  e.  ~P A  <->  B 
C_  A ) )
1014, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ~P A 
<->  B  C_  A )
)
10292, 101mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  ~P A
)
103 fvco3 5759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) : ~P A --> ( ~P A  \  { A } )  /\  B  e.  ~P A )  -> 
( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 B )  =  ( ( G  o.  F ) `  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  B ) ) )
10474, 102, 103syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 B )  =  ( ( G  o.  F ) `  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  B ) ) )
10593pssssd 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } ) 
C_  B )
106105, 92sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } ) 
C_  A )
107 elpw2g 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  e.  ~P A  <->  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  C_  A )
)
1084, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  e.  ~P A  <->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  C_  A ) )
109106, 108mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  e.  ~P A )
110 fvco3 5759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) : ~P A --> ( ~P A  \  { A } )  /\  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e. 
~P A )  -> 
( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  ( ( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) ) )
11174, 109, 110syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  o.  F )  o.  ( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) ) `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  ( ( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) ) )
11299, 104, 1113eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) `  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  B ) )  =  ( ( G  o.  F ) `  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) ) )
113112adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  B
) )  =  ( ( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) ) )
114 ifcl 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
(/)  e.  ~P A  /\  B  e.  ~P A )  ->  if ( B  =  A ,  (/) ,  B )  e.  ~P A )
11557, 102, 114sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  if ( B  =  A ,  (/) ,  B
)  e.  ~P A
)
116 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  B  ->  (
x  =  A  <->  B  =  A ) )
117 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
118116, 117ifbieq2d 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x )  =  if ( B  =  A ,  (/) ,  B ) )
119118, 73fvmptg 5763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  ~P A  /\  if ( B  =  A ,  (/) ,  B
)  e.  ~P A
)  ->  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  B
)  =  if ( B  =  A ,  (/)
,  B ) )
120102, 115, 119syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/)
,  x ) ) `
 B )  =  if ( B  =  A ,  (/) ,  B
) )
121 pssne 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( B 
C.  A  ->  B  =/=  A )
122121neneqd 2583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( B 
C.  A  ->  -.  B  =  A )
123 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  B  =  A  ->  if ( B  =  A ,  (/) ,  B )  =  B )
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B 
C.  A  ->  if ( B  =  A ,  (/) ,  B )  =  B )
125120, 124sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  B )  =  B )
126125fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  B
) )  =  ( ( G  o.  F
) `  B )
)
127 ifcl 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
(/)  e.  ~P A  /\  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  e.  ~P A )  ->  if ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =  A ,  (/) ,  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  e.  ~P A )
12857, 109, 127sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  if ( ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } )  =  A ,  (/) ,  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) )  e. 
~P A )
129 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  ->  ( x  =  A  <->  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =  A ) )
130 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  ->  x  =  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )
131129, 130ifbieq2d 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  ->  if (
x  =  A ,  (/)
,  x )  =  if ( ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } )  =  A ,  (/) ,  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) ) )
132131, 73fvmptg 5763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  e.  ~P A  /\  if ( ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =  A ,  (/)
,  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  e.  ~P A )  ->  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  =  if ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =  A ,  (/) ,  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
133109, 128, 132syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/)
,  x ) ) `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  if ( ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =  A ,  (/)
,  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) ) )
134133adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  =  if ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =  A ,  (/) ,  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
135 sspsstr 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } ) 
C_  B  /\  B  C.  A )  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  C.  A )
136105, 135sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  C.  A )
137136pssned 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =/= 
A )
138137neneqd 2583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  -.  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =  A )
139 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  ( `' ( W `
 B ) " { ( H `  B ) } )  =  A  ->  if ( ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =  A ,  (/)
,  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )
140138, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  if ( ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } )  =  A ,  (/)
,  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )  =  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )
141134, 140eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  =  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )
142141fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( (
x  e.  ~P A  |->  if ( x  =  A ,  (/) ,  x
) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )  =  ( ( G  o.  F ) `
 ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) ) )
143113, 126, 1423eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  B )  =  ( ( G  o.  F ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
144102, 121anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  ( B  e.  ~P A  /\  B  =/=  A
) )
145 eldifsn 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  ( ~P A  \  { A } )  <-> 
( B  e.  ~P A  /\  B  =/=  A
) )
146144, 145sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  B  e.  ( ~P A  \  { A } ) )
147 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  ( ~P A  \  { A } )  ->  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `
 B )  =  ( ( G  o.  F ) `  B
) )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  B )  =  ( ( G  o.  F
) `  B )
)
149109adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e. 
~P A )
150 eldifsn 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e.  ( ~P A  \  { A } )  <->  ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e. 
~P A  /\  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  =/= 
A ) )
151149, 137, 150sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e.  ( ~P A  \  { A } ) )
152 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e.  ( ~P A  \  { A } )  -> 
( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  =  ( ( G  o.  F ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
153151, 152syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  =  ( ( G  o.  F ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
154143, 148, 1533eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  B )  =  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) ) )
155 f1of1 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  o.  F
)  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-onto-> A  ->  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } )
-1-1-> A )
15654, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-> A
)
157156adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( G  o.  F
)  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-> A )
158 f1fveq 5967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) : ( ~P A  \  { A } ) -1-1-> A  /\  ( B  e.  ( ~P A  \  { A } )  /\  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  e.  ( ~P A  \  { A } ) ) )  ->  ( (
( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  B )  =  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  <-> 
B  =  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) ) )
159157, 146, 151, 158syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  (
( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  B )  =  ( ( ( G  o.  F )  |`  ( ~P A  \  { A } ) ) `  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } ) )  <-> 
B  =  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) ) )
160154, 159mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  B  C.  A )  ->  B  =  ( `' ( W `  B )
" { ( H `
 B ) } ) )
161160ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  C.  A  ->  B  =  ( `' ( W `  B
) " { ( H `  B ) } ) ) )
162161necon3ad 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  ( `' ( W `  B ) " {
( H `  B
) } )  ->  -.  B  C.  A ) )
16395, 162mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  B  C.  A
)
164 npss 3417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  B  C.  A  <->  ( B  C_  A  ->  B  =  A ) )
165163, 164sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  C_  A  ->  B  =  A ) )
16692, 165mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  A )
167 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  =  B
168 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W `
 B )  =  ( W `  B
)
169167, 168pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  B  /\  ( W `  B )  =  ( W `  B ) )
17085sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  dom  card )  ->  x  e.  ~P A )
171 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( H : ~P A --> A  /\  x  e.  ~P A )  ->  ( H `  x )  e.  A )
17284, 170, 171syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  dom  card ) )  ->  ( H `  x )  e.  A )
17387, 4, 172, 88fpwwe 8477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( B W ( W `  B
)  /\  ( H `  B )  e.  B
)  <->  ( B  =  B  /\  ( W `
 B )  =  ( W `  B
) ) ) )
174169, 173mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B W ( W `  B )  /\  ( H `  B )  e.  B
) )
175174simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B W ( W `
 B ) )
17687, 4fpwwelem 8476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B W ( W `  B )  <-> 
( ( B  C_  A  /\  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B ) )  /\  ( ( W `
 B )  We  B  /\  A. y  e.  B  ( H `  ( `' ( W `
 B ) " { y } ) )  =  y ) ) ) )
177175, 176mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  C_  A  /\  ( W `  B )  C_  ( B  X.  B ) )  /\  ( ( W `
 B )  We  B  /\  A. y  e.  B  ( H `  ( `' ( W `
 B ) " { y } ) )  =  y ) ) )
178177simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( W `  B )  We  B  /\  A. y  e.  B  ( H `  ( `' ( W `  B
) " { y } ) )  =  y ) )
179178simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( W `  B
)  We  B )
180 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W `
 B )  e. 
_V
181 weeq1 4530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  ( W `  B )  ->  (
r  We  B  <->  ( W `  B )  We  B
) )
182180, 181spcev 3003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W `  B )  We  B  ->  E. r 
r  We  B )
183179, 182syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. r  r  We  B )
184 ween 7872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  dom  card  <->  E. r 
r  We  B )
185183, 184sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  card )
186166, 185eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  card )
187 domtri2 7832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( om  e.  dom  card  /\  A  e.  dom  card )  ->  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om ) )
18821, 186, 187sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om ) )
189 infcda1 8029 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A
)
190188, 189syl6bir 221 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  A  ~<  om 
->  ( A  +c  1o )  ~~  A ) )
191 ensym 7115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +c  1o ) 
~~  A  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
192190, 191syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  A  ~<  om 
->  A  ~~  ( A  +c  1o ) ) )
19318, 192mt3d 119 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  ~<  om )
194 2onn 6842 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
195 nnsdom 7564 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  ~<  om )
196194, 195ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  2o  ~<  om
197 cdafi 8026 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  om  /\  2o  ~<  om )  ->  ( A  +c  2o )  ~<  om )
198193, 196, 197sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  +c  2o )  ~<  om )
199 isfinite 7563 . . . . . 6  |-  ( ( A  +c  2o )  e.  Fin  <->  ( A  +c  2o )  ~<  om )
200198, 199sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +c  2o )  e.  Fin )
201 sssucid 4618 . . . . . . . . . 10  |-  1o  C_  suc  1o
202 df-2o 6684 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  suc  1o
203201, 202sseqtr4i 3341 . . . . . . . . 9  |-  1o  C_  2o
204 xpss1 4943 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  C_  2o  ->  ( 1o  X.  { 1o } ) 
C_  ( 2o  X.  { 1o } ) )
205203, 204ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 1o 
X.  { 1o }
)  C_  ( 2o  X.  { 1o } )
206 unss2 3478 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1o  X.  { 1o } )  C_  ( 2o  X.  { 1o }
)  ->  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) ) 
C_  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) )
207205, 206mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) )  C_  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) )
208 ssun2 3471 . . . . . . . . 9  |-  ( 2o 
X.  { 1o }
)  C_  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) )
209 1onn 6841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  om
210209elexi 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  _V
211210sucid 4620 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  suc  1o
212211, 202eleqtrri 2477 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  2o
213210snid 3801 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  { 1o }
214 opelxpi 4869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1o  e.  2o  /\  1o  e.  { 1o }
)  ->  <. 1o ,  1o >.  e.  ( 2o 
X.  { 1o }
) )
215212, 213, 214mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  <. 1o ,  1o >.  e.  ( 2o 
X.  { 1o }
)
216208, 215sselii 3305 . . . . . . . 8  |-  <. 1o ,  1o >.  e.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o 
X.  { 1o }
) )
217 1n0 6698 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  =/=  (/)
218 df-ne 2569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  =/=  (/)  <->  -.  1o  =  (/) )
219217, 218mpbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1o  =  (/)
220 opelxp2 4871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( A  X.  { (/) } )  ->  1o  e.  {
(/) } )
221 elsni 3798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  e.  { (/) }  ->  1o  =  (/) )
222220, 221syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( A  X.  { (/) } )  ->  1o  =  (/) )
223219, 222mto 169 . . . . . . . . . 10  |-  -.  <. 1o ,  1o >.  e.  ( A  X.  { (/) } )
224 nnord 4812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  e.  om  ->  Ord  1o )
225 ordirr 4559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
1o  ->  -.  1o  e.  1o )
226209, 224, 225mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1o  e.  1o
227 opelxp1 4870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( 1o  X.  { 1o } )  ->  1o  e.  1o )
228226, 227mto 169 . . . . . . . . . 10  |-  -.  <. 1o ,  1o >.  e.  ( 1o  X.  { 1o } )
229223, 228pm3.2ni 828 . . . . . . . . 9  |-  -.  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( A  X.  { (/)
} )  \/  <. 1o ,  1o >.  e.  ( 1o  X.  { 1o } ) )
230 elun 3448 . . . . . . . . 9  |-  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( ( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 1o  X.  { 1o }
) )  <->  ( <. 1o ,  1o >.  e.  ( A  X.  { (/) } )  \/  <. 1o ,  1o >.  e.  ( 1o 
X.  { 1o }
) ) )
231229, 230mtbir 291 . . . . . . . 8  |-  -.  <. 1o ,  1o >.  e.  ( ( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 1o  X.  { 1o }
) )
232 ssnelpss 3651 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 1o  X.  { 1o }
) )  C_  (
( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 2o  X.  { 1o }
) )  ->  (
( <. 1o ,  1o >.  e.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) )  /\  -.  <. 1o ,  1o >.  e.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o 
X.  { 1o }
) ) )  -> 
( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) )  C.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) ) )
233216, 231, 232mp2ani 660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 1o  X.  { 1o }
) )  C_  (
( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 2o  X.  { 1o }
) )  ->  (
( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 1o  X.  { 1o }
) )  C.  (
( A  X.  { (/)
} )  u.  ( 2o  X.  { 1o }
) ) )
234207, 233syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) )  C.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) )
235 cdaval 8006 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  1o  e.  om )  -> 
( A  +c  1o )  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) ) )
2364, 209, 235sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +c  1o )  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) ) )
237 cdaval 8006 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  2o  e.  om )  -> 
( A  +c  2o )  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) )
2384, 194, 237sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +c  2o )  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) )
239236, 238psseq12d 3401 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +c  1o )  C.  ( A  +c  2o )  <->  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 1o  X.  { 1o } ) ) 
C.  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( 2o  X.  { 1o } ) ) ) )
240234, 239mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +c  1o )  C.  ( A  +c  2o ) )
241 php3 7252 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +c  2o )  e.  Fin  /\  ( A  +c  1o )  C.  ( A  +c  2o ) )  ->  ( A  +c  1o )  ~< 
( A  +c  2o ) )
242200, 240, 241syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ( A  +c  2o ) )
243 canthp1lem1 8483 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  A  ->  ( A  +c  2o )  ~<_  ~P A )
2441, 243syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +c  2o )  ~<_  ~P A )
245 sdomdomtr 7199 . . . 4  |-  ( ( ( A  +c  1o )  ~<  ( A  +c  2o )  /\  ( A  +c  2o )  ~<_  ~P A )  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A )
246242, 244, 245syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A )
247 sdomnen 7095 . . 3  |-  ( ( A  +c  1o ) 
~<  ~P A  ->  -.  ( A  +c  1o )  ~~  ~P A )
248246, 247syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( A  +c  1o )  ~~  ~P A
)
24911, 248pm2.65i 167 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280    C. wpss 3281   (/)c0 3588   ifcif 3699   ~Pcpw 3759   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   {copab 4225    e. cmpt 4226    We wwe 4500   Ord word 4540   Oncon0 4541   suc csuc 4543   omcom 4804    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    o. ccom 4841   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676   2oc2o 6677    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066    ~< csdm 7067   Fincfn 7068   cardccrd 7778    +c ccda 8003
This theorem is referenced by:  canthp1  8485
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004
  Copyright terms: Public domain W3C validator