Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canth4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem canth4 9090
 Description: An "effective" form of Cantor's theorem canth 6267. For any function from the powerset of to , there are two definable sets and which witness non-injectivity of . Corollary 1.3 of [KanamoriPincus] p. 416. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
canth4.1
canth4.2
canth4.3
Assertion
Ref Expression
canth4
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem canth4
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . . . . . 8
2 eqid 2471 . . . . . . . 8
31, 2pm3.2i 462 . . . . . . 7
4 canth4.1 . . . . . . . 8
5 elex 3040 . . . . . . . . 9
653ad2ant1 1051 . . . . . . . 8
7 simpl2 1034 . . . . . . . . 9
8 simp3 1032 . . . . . . . . . 10
98sselda 3418 . . . . . . . . 9
107, 9ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8
11 canth4.2 . . . . . . . 8
124, 6, 10, 11fpwwe 9089 . . . . . . 7
133, 12mpbiri 241 . . . . . 6
1413simpld 466 . . . . 5
154, 6fpwwelem 9088 . . . . 5
1614, 15mpbid 215 . . . 4
1716simpld 466 . . 3
1817simpld 466 . 2
19 canth4.3 . . . . 5
20 cnvimass 5194 . . . . 5
2119, 20eqsstri 3448 . . . 4
2217simprd 470 . . . . . 6
23 dmss 5039 . . . . . 6
2422, 23syl 17 . . . . 5
25 dmxpid 5060 . . . . 5
2624, 25syl6sseq 3464 . . . 4
2721, 26syl5ss 3429 . . 3
2813simprd 470 . . 3
2916simprd 470 . . . . . . 7
3029simpld 466 . . . . . 6
31 weso 4830 . . . . . 6
3230, 31syl 17 . . . . 5
33 sonr 4781 . . . . 5
3432, 28, 33syl2anc 673 . . . 4
3519eleq2i 2541 . . . . 5
36 fvex 5889 . . . . . 6
3736eliniseg 5203 . . . . . 6
3836, 37ax-mp 5 . . . . 5
3935, 38bitri 257 . . . 4
4034, 39sylnibr 312 . . 3
4127, 28, 40ssnelpssd 3531 . 2
4229simprd 470 . . . 4
43 sneq 3969 . . . . . . . . 9
4443imaeq2d 5174 . . . . . . . 8
4544, 19syl6eqr 2523 . . . . . . 7
4645fveq2d 5883 . . . . . 6
47 id 22 . . . . . 6
4846, 47eqeq12d 2486 . . . . 5
4948rspcv 3132 . . . 4
5028, 42, 49sylc 61 . . 3
5150eqcomd 2477 . 2
5218, 41, 513jca 1210 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   cin 3389   wss 3390   wpss 3391  cpw 3942  csn 3959  cuni 4190   class class class wbr 4395  copab 4453   wor 4759   wwe 4797   cxp 4837  ccnv 4838   cdm 4839  cima 4842  wf 5585  cfv 5589  ccrd 8387 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-1st 6812  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-en 7588  df-oi 8043  df-card 8391 This theorem is referenced by:  canthnumlem  9091  canthp1lem2  9096
 Copyright terms: Public domain W3C validator