Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c1liplem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem c1liplem1 23027
 Description: Lemma for c1lip1 23028. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1liplem1.a
c1liplem1.b
c1liplem1.le
c1liplem1.f
c1liplem1.dv
c1liplem1.cn
c1liplem1.k
Assertion
Ref Expression
c1liplem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem c1liplem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c1liplem1.k . . 3
2 imassrn 5185 . . . . . 6
3 absf 13477 . . . . . . 7
4 frn 5747 . . . . . . 7
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6
62, 5sstri 3427 . . . . 5
76a1i 11 . . . 4
8 dvf 22941 . . . . . . . 8
9 ffun 5742 . . . . . . . 8
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7
1110a1i 11 . . . . . 6
12 c1liplem1.dv . . . . . . . 8
13 cncff 22003 . . . . . . . 8
14 fdm 5745 . . . . . . . 8
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . 7
16 ssdmres 5132 . . . . . . 7
1715, 16sylibr 217 . . . . . 6
18 c1liplem1.a . . . . . . . 8
1918rexrd 9708 . . . . . . 7
20 c1liplem1.b . . . . . . . 8
2120rexrd 9708 . . . . . . 7
22 c1liplem1.le . . . . . . 7
23 lbicc2 11774 . . . . . . 7
2419, 21, 22, 23syl3anc 1292 . . . . . 6
25 funfvima2 6158 . . . . . . 7
2625imp 436 . . . . . 6
2711, 17, 24, 26syl21anc 1291 . . . . 5
28 ffun 5742 . . . . . . 7
293, 28ax-mp 5 . . . . . 6
30 imassrn 5185 . . . . . . . 8
31 frn 5747 . . . . . . . . 9
328, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8
3330, 32sstri 3427 . . . . . . 7
343fdmi 5746 . . . . . . 7
3533, 34sseqtr4i 3451 . . . . . 6
36 funfvima2 6158 . . . . . 6
3729, 35, 36mp2an 686 . . . . 5
38 ne0i 3728 . . . . 5
3927, 37, 383syl 18 . . . 4
40 ax-resscn 9614 . . . . . . . 8
41 ssid 3437 . . . . . . . 8
42 cncfss 22009 . . . . . . . 8
4340, 41, 42mp2an 686 . . . . . . 7
4443, 12sseldi 3416 . . . . . 6
45 cniccbdd 22490 . . . . . 6
4618, 20, 44, 45syl3anc 1292 . . . . 5
47 fvelima 5931 . . . . . . . . . 10
4829, 47mpan 684 . . . . . . . . 9
49 fvelima 5931 . . . . . . . . . . . . . 14
5010, 49mpan 684 . . . . . . . . . . . . 13
51 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5251adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5352fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5554fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5655breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5756rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5853, 57eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15
60 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15
6259, 61syl5ibcom 228 . . . . . . . . . . . . . 14
6362rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . . 13
6450, 63syl5 32 . . . . . . . . . . . 12
6564imp 436 . . . . . . . . . . 11
66 breq1 4398 . . . . . . . . . . 11
6765, 66syl5ibcom 228 . . . . . . . . . 10
6867rexlimdva 2871 . . . . . . . . 9
6948, 68syl5 32 . . . . . . . 8
7069ralrimiv 2808 . . . . . . 7
7170ex 441 . . . . . 6
7271reximdva 2858 . . . . 5
7346, 72mpd 15 . . . 4
74 suprcl 10591 . . . 4
757, 39, 73, 74syl3anc 1292 . . 3
761, 75syl5eqel 2553 . 2
77 simplrr 779 . . . . . . . . . . 11
78 fvres 5893 . . . . . . . . . . 11
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . 10
80 c1liplem1.cn . . . . . . . . . . . . . 14
81 cncff 22003 . . . . . . . . . . . . . 14
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
8382ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
8483, 77ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11
8584recnd 9687 . . . . . . . . . 10
8679, 85eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9
87 simplrl 778 . . . . . . . . . . 11
88 fvres 5893 . . . . . . . . . . 11
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . 10
9083, 87ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11
9190recnd 9687 . . . . . . . . . 10
9289, 91eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9
9386, 92subcld 10005 . . . . . . . 8
94 iccssre 11741 . . . . . . . . . . . . 13
9518, 20, 94syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
9695ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
9796, 77sseldd 3419 . . . . . . . . . 10
9896, 87sseldd 3419 . . . . . . . . . 10
9997, 98resubcld 10068 . . . . . . . . 9
10099recnd 9687 . . . . . . . 8
101 simpr 468 . . . . . . . . . 10
102 difrp 11360 . . . . . . . . . . 11
10398, 97, 102syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
104101, 103mpbid 215 . . . . . . . . 9
105104rpne0d 11369 . . . . . . . 8
10693, 100, 105absdivd 13594 . . . . . . 7
1076a1i 11 . . . . . . . . 9
10839ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
10973ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
11029a1i 11 . . . . . . . . . 10
11193, 100, 105divcld 10405 . . . . . . . . . . 11
112111, 34syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . 10
11398rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15
11497rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15
11598, 97, 101ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . 15
116 ubicc2 11775 . . . . . . . . . . . . . . 15
117113, 114, 115, 116syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
118 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . 14
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
120 lbicc2 11774 . . . . . . . . . . . . . . 15
121113, 114, 115, 120syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
122 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . 14
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
124119, 123oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12
125124oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
126 iccss2 11730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127126ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15
128127resabs1d 5140 . . . . . . . . . . . . . 14
12980ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
130 rescncf 22007 . . . . . . . . . . . . . . 15
131127, 129, 130sylc 61 . . . . . . . . . . . . . 14
132128, 131eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . 13
13340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
134 c1liplem1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
135134ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136 cnex 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137 reex 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
138136, 137elpm2 7521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
139138simplbi 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
140135, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
141138simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
142135, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143 iccssre 11741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14498, 97, 143syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
145 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fld fld
146145tgioo2 21899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fldt
147145, 146dvres 22945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
148133, 140, 142, 144, 147syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . 16
149 iccntr 21917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15098, 97, 149syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
151150reseq2d 5111 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152148, 151eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15
153152dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . 14
154 ioossicc 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
155154, 127syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15617ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
157155, 156sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . 15
158 ssdmres 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15
159157, 158sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14
160153, 159eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13
16198, 97, 101, 132, 160mvth 23023 . . . . . . . . . . . 12
162152fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
163162adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
164 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
165164ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
166163, 165eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16710a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16817ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
169155sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
170169impr 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
171 funfvima2 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
172171imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
173167, 168, 170, 172syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . 16
174166, 173eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15
175 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15
176174, 175syl5ibcom 228 . . . . . . . . . . . . . 14
177176expr 626 . . . . . . . . . . . . 13
178177rexlimdv 2870 . . . . . . . . . . . 12
179161, 178mpd 15 . . . . . . . . . . 11
180125, 179eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . 10
181 funfvima 6157 . . . . . . . . . . 11
182181imp 436 . . . . . . . . . 10
183110, 112, 180, 182syl21anc 1291 . . . . . . . . 9
184 suprub 10592 . . . . . . . . 9
185107, 108, 109, 183, 184syl31anc 1295 . . . . . . . 8
186185, 1syl6breqr 4436 . . . . . . 7
187106, 186eqbrtrrd 4418 . . . . . 6
18893abscld 13575 . . . . . . 7
18976ad2antrr 740 . . . . . . 7
190100, 105absrpcld 13587 . . . . . . 7
191188, 189, 190ledivmuld 11414 . . . . . 6
192187, 191mpbid 215 . . . . 5
193190rpcnd 11366 . . . . . 6
194189recnd 9687 . . . . . 6
195193, 194mulcomd 9682 . . . . 5
196192, 195breqtrd 4420 . . . 4
197196ex 441 . . 3
198197ralrimivva 2814 . 2
19976, 198jca 541 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cima 4842   wfun 5583  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cpm 7491  csup 7972  cc 9555  cr 9556   cmul 9562  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  crp 11325  cioo 11660  cicc 11663  cabs 13374  ctopn 15398  ctg 15414  ℂfldccnfld 19047  cnt 20109  ccncf 21986   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by:  c1lip1  23028
 Copyright terms: Public domain W3C validator