MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c1lip3 Structured version   Unicode version

Theorem c1lip3 22245
Description: C1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1lip3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
c1lip3.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
c1lip3.f  |-  ( ph  ->  ( F  |`  RR )  e.  ( ( C^n `  RR ) `
 1 ) )
c1lip3.rn  |-  ( ph  ->  ( F " RR )  C_  RR )
c1lip3.dm  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  dom  F )
Assertion
Ref Expression
c1lip3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, k    x, A, y, k    x, B, y, k    x, F, y, k

Proof of Theorem c1lip3
StepHypRef Expression
1 c1lip3.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 c1lip3.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 c1lip3.f . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  RR )  e.  ( ( C^n `  RR ) `
 1 ) )
4 df-ima 5017 . . . 4  |-  ( F
" RR )  =  ran  ( F  |`  RR )
5 c1lip3.rn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F " RR )  C_  RR )
64, 5syl5eqssr 3554 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  RR )  C_  RR )
7 iccssre 11616 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
81, 2, 7syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
9 c1lip3.dm . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  dom  F )
108, 9ssind 3727 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( RR  i^i  dom  F ) )
11 dmres 5299 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  RR )  =  ( RR  i^i  dom  F )
1210, 11syl6sseqr 3556 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  dom  ( F  |`  RR ) )
131, 2, 3, 6, 12c1lip2 22244 . 2  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( ( F  |`  RR ) `  y
)  -  ( ( F  |`  RR ) `  x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
148sseld 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  ->  x  e.  RR ) )
158sseld 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  y  e.  RR ) )
1614, 15anim12d 563 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
1716imp 429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
18 fvres 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F  |`  RR ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
19 fvres 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( F  |`  RR ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
2018, 19oveqan12rd 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( F  |`  RR ) `  y
)  -  ( ( F  |`  RR ) `  x ) )  =  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )
2120fveq2d 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  RR ) `  y )  -  ( ( F  |`  RR ) `  x
) ) )  =  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) ) )
2221breq1d 4462 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( ( F  |`  RR ) `  y )  -  ( ( F  |`  RR ) `  x
) ) )  <_ 
( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) )  <-> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
2322biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( ( F  |`  RR ) `  y )  -  ( ( F  |`  RR ) `  x
) ) )  <_ 
( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
2417, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( ( F  |`  RR ) `  y )  -  ( ( F  |`  RR ) `  x
) ) )  <_ 
( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
2524anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( abs `  (
( ( F  |`  RR ) `  y )  -  ( ( F  |`  RR ) `  x
) ) )  <_ 
( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
2625ralimdva 2875 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( ( F  |`  RR ) `  y
)  -  ( ( F  |`  RR ) `  x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
2726ralimdva 2875 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( ( F  |`  RR ) `  y )  -  ( ( F  |`  RR ) `  x
) ) )  <_ 
( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
2827reximdv 2941 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( ( F  |`  RR ) `  y )  -  ( ( F  |`  RR ) `  x
) ) )  <_ 
( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
2913, 28mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818    i^i cin 3480    C_ wss 3481   class class class wbr 4452   dom cdm 5004   ran crn 5005    |` cres 5006   "cima 5007   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   RRcr 9501   1c1 9503    x. cmul 9507    <_ cle 9639    - cmin 9815   [,]cicc 11542   abscabs 13042   C^nccpn 22114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-fi 7881  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-exp 12145  df-hash 12384  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-starv 14582  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-unif 14590  df-hom 14591  df-cco 14592  df-rest 14690  df-topn 14691  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-prds 14715  df-xrs 14769  df-qtop 14774  df-imas 14775  df-xps 14777  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-mulg 15909  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-met 18260  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-cnfld 18268  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-topsp 19249  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367  df-nei 19444  df-lp 19482  df-perf 19483  df-cn 19573  df-cnp 19574  df-haus 19661  df-cmp 19732  df-tx 19908  df-hmeo 20101  df-fil 20192  df-fm 20284  df-flim 20285  df-flf 20286  df-xms 20668  df-ms 20669  df-tms 20670  df-cncf 21227  df-limc 22115  df-dv 22116  df-dvn 22117  df-cpn 22118
This theorem is referenced by:  aalioulem3  22574
  Copyright terms: Public domain W3C validator