Theorem c1lip1 22997

Description: C1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
c1lip1.a	|- ( ph -> A e. RR )
c1lip1.b	|- ( ph -> B e. RR )
c1lip1.f	|- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
c1lip1.dv	|- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
c1lip1.cn	|- ( ph -> ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )

Assertion

Ref	Expression
c1lip1	|- ( ph -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y, k   x, A, y, k   x, B, y, k   x, F, y, k

Proof of Theorem c1lip1

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9668	. . . 4 |- 0 e. RR
2	1	ne0ii 3749	. . 3 |- RR =/= (/)
3		ral0 3885	. . . . 5 |- A. x e. (/) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) )
4		c1lip1.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
5	4	rexrd 9715	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
6		c1lip1.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
7	6	rexrd 9715	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
8		icc0 11712	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
10	9	biimpar 492	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( A [,] B ) = (/) )
11	10	raleqdv 3004	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) <-> A. x e. (/) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
12	3, 11	mpbiri 241	. . . 4 |- ( ( ph /\ B < A ) -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
13	12	ralrimivw 2814	. . 3 |- ( ( ph /\ B < A ) -> A. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
14		r19.2z 3869	. . 3 |- ( ( RR =/= (/) /\ A. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
15	2, 13, 14	sylancr 674	. 2 |- ( ( ph /\ B < A ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
16	4	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A e. RR )
17	6	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> B e. RR )
18		simpr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A <_ B )
19		c1lip1.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
20	19	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
21		c1lip1.dv	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
22	21	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( ( RR _D F ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
23		c1lip1.cn	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
24	23	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
25		eqid 2461	. . . . 5 |- sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < )
26	16, 17, 18, 20, 22, 24, 25	c1liplem1 22996	. . . 4 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) e. RR /\ A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) )
27		oveq1 6321	. . . . . . . 8 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) = ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) )
28	27	breq2d 4427	. . . . . . 7 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) )
29	28	imbi2d 322	. . . . . 6 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) )
30	29	2ralbidv 2843	. . . . 5 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) )
31	30	rspcev 3161	. . . 4 |- ( ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) e. RR /\ A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) -> E. k e. RR A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) )
32	26, 31	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> E. k e. RR A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) )
33		breq1 4418	. . . . . . . . . 10 |- ( a = x -> ( a < b <-> x < b ) )
34		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = x -> ( F ` a ) = ( F ` x ) )
35	34	oveq2d 6330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = x -> ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) = ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) )
36	35	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) )
37		oveq2 6322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = x -> ( b - a ) = ( b - x ) )
38	37	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = x -> ( abs ` ( b - a ) ) = ( abs ` ( b - x ) ) )
39	38	oveq2d 6330	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) )
40	36, 39	breq12d 4428	. . . . . . . . . 10 |- ( a = x -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) ) )
41	33, 40	imbi12d 326	. . . . . . . . 9 |- ( a = x -> ( ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> ( x < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) ) ) )
42		breq2 4419	. . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( x < b <-> x < y ) )
43		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = y -> ( F ` b ) = ( F ` y ) )
44	43	oveq1d 6329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = y -> ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) = ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) )
45	44	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = y -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
46		oveq1 6321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = y -> ( b - x ) = ( y - x ) )
47	46	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = y -> ( abs ` ( b - x ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
48	47	oveq2d 6330	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = y -> ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
49	45, 48	breq12d 4428	. . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
50	42, 49	imbi12d 326	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( ( x < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) ) <-> ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) ) )
51	41, 50	rspc2v 3170	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) ) )
52	51	ad2antlr 738	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x < y ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) ) )
53		pm2.27 40	. . . . . . . 8 |- ( x < y -> ( ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
54	53	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x < y ) -> ( ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
55	52, 54	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x < y ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
56		0le0 10726	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 0
57		fvres 5901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( A [,] B ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
58	57	ad2antrl 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
59		cncff 21973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
60	23, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
61	60	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
62		simpl 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
63		ffvelrn 6042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) e. RR )
64	61, 62, 63	syl2an 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) e. RR )
65	58, 64	eqeltrrd 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
66	65	recnd 9694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
67	66	subidd 9999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) = 0 )
68	67	abs00bd 13402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) = 0 )
69		iccssre 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
70	4, 6, 69	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
71	70	ad3antrrr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
72		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
73	71, 72	sseldd 3444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> x e. RR )
74	73	recnd 9694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> x e. CC )
75	74	subidd 9999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x - x ) = 0 )
76	75	abs00bd 13402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( x - x ) ) = 0 )
77	76	oveq2d 6330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) = ( k x. 0 ) )
78		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> k e. RR )
79	78	recnd 9694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> k e. CC )
80	79	mul01d 9857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( k x. 0 ) = 0 )
81	77, 80	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) = 0 )
82	68, 81	breq12d 4428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) <-> 0 <_ 0 ) )
83	56, 82	mpbiri 241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) )
84		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
85	84	oveq1d 6329	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) = ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) )
86	85	fveq2d 5891	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
87		oveq1 6321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x - x ) = ( y - x ) )
88	87	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( abs ` ( x - x ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
89	88	oveq2d 6330	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
90	86, 89	breq12d 4428	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
91	83, 90	syl5ibcom 228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x = y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
92	91	imp 435	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x = y ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
93	92	a1d 26	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x = y ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
94		breq1 4418	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = y -> ( a < b <-> y < b ) )
95		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = y -> ( F ` a ) = ( F ` y ) )
96	95	oveq2d 6330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = y -> ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) = ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) )
97	96	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = y -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) )
98		oveq2 6322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = y -> ( b - a ) = ( b - y ) )
99	98	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = y -> ( abs ` ( b - a ) ) = ( abs ` ( b - y ) ) )
100	99	oveq2d 6330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = y -> ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) )
101	97, 100	breq12d 4428	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = y -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) ) )
102	94, 101	imbi12d 326	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> ( y < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) ) ) )
103		breq2 4419	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = x -> ( y < b <-> y < x ) )
104		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = x -> ( F ` b ) = ( F ` x ) )
105	104	oveq1d 6329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = x -> ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) = ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) )
106	105	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = x -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) )
107		oveq1 6321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = x -> ( b - y ) = ( x - y ) )
108	107	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = x -> ( abs ` ( b - y ) ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
109	108	oveq2d 6330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = x -> ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) )
110	106, 109	breq12d 4428	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = x -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) )
111	103, 110	imbi12d 326	. . . . . . . . . 10 |- ( b = x -> ( ( y < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) ) <-> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
112	102, 111	rspc2v 3170	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( A [,] B ) /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
113	112	ancoms 459	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
114	113	ad2antlr 738	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
115		simpr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> y < x )
116		fvres 5901	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( A [,] B ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) = ( F ` y ) )
117	116	ad2antll 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) = ( F ` y ) )
118		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
119		ffvelrn 6042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) e. RR )
120	61, 118, 119	syl2an 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) e. RR )
121	117, 120	eqeltrrd 2540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
122	121	recnd 9694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` y ) e. CC )
123	66, 122	abssubd 13563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
124	123	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
125	70	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
126	125	sseld 3442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) -> x e. RR ) )
127	125	sseld 3442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( y e. ( A [,] B ) -> y e. RR ) )
128	126, 127	anim12d 570	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. RR /\ y e. RR ) ) )
129	128	imp 435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x e. RR /\ y e. RR ) )
130		recn 9654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> x e. CC )
131		recn 9654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR -> y e. CC )
132		abssub 13437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
133	130, 131, 132	syl2an 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
134	129, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
135	134	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
136	135	oveq2d 6330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
137	124, 136	breq12d 4428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
138	137	biimpd 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
139	115, 138	embantd 56	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
140	114, 139	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
141		lttri4 9743	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
142	129, 141	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
143	55, 93, 140, 142	mpjao3dan 1344	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
144	143	ralrimdvva 2823	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
145	144	reximdva 2873	. . 3 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( E. k e. RR A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
146	32, 145	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
147	15, 146, 6, 4	ltlecasei 9767	1 |- ( ph -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   \/ w3o 990   = wceq 1454   e. wcel 1897   =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   C_ wss 3415   (/)c0 3742   class class class wbr 4415   |` cres 4854   "cima 4855   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   ^pm cpm 7498   supcsup 7979   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   x. cmul 9569   RR*cxr 9699   < clt 9700   <_ cle 9701   - cmin 9885   [,]cicc 11666   abscabs 13345   -cn->ccncf 21956   _D cdv 22866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-rest 15369  df-topn 15370  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-prds 15394  df-xrs 15448  df-qtop 15454  df-imas 15455  df-xps 15458  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-submnd 16631  df-mulg 16724  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-cnfld 19019  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-cld 20082  df-ntr 20083  df-cls 20084  df-nei 20162  df-lp 20200  df-perf 20201  df-cn 20291  df-cnp 20292  df-haus 20379  df-cmp 20450  df-tx 20625  df-hmeo 20818  df-fil 20909  df-fm 21001  df-flim 21002  df-flf 21003  df-xms 21383  df-ms 21384  df-tms 21385  df-cncf 21958  df-limc 22869  df-dv 22870

This theorem is referenced by:  c1lip2  22998