Theorem c1lip1 22133

Description: C1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
c1lip1.a	|- ( ph -> A e. RR )
c1lip1.b	|- ( ph -> B e. RR )
c1lip1.f	|- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
c1lip1.dv	|- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
c1lip1.cn	|- ( ph -> ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )

Assertion

Ref	Expression
c1lip1	|- ( ph -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y, k   x, A, y, k   x, B, y, k   x, F, y, k

Proof of Theorem c1lip1

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9592	. . . 4 |- 0 e. RR
2		ne0i 3791	. . . 4 |- ( 0 e. RR -> RR =/= (/) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- RR =/= (/)
4		ral0 3932	. . . . 5 |- A. x e. (/) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) )
5		c1lip1.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
6	5	rexrd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
7		c1lip1.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
8	7	rexrd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
9		icc0 11573	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
10	6, 8, 9	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
11	10	biimpar 485	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( A [,] B ) = (/) )
12	11	raleqdv 3064	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) <-> A. x e. (/) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
13	4, 12	mpbiri 233	. . . 4 |- ( ( ph /\ B < A ) -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
14	13	ralrimivw 2879	. . 3 |- ( ( ph /\ B < A ) -> A. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
15		r19.2z 3917	. . 3 |- ( ( RR =/= (/) /\ A. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
16	3, 14, 15	sylancr 663	. 2 |- ( ( ph /\ B < A ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
17	5	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A e. RR )
18	7	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> B e. RR )
19		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A <_ B )
20		c1lip1.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
21	20	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
22		c1lip1.dv	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
23	22	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( ( RR _D F ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
24		c1lip1.cn	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
25	24	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
26		eqid 2467	. . . . 5 |- sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < )
27	17, 18, 19, 21, 23, 25, 26	c1liplem1 22132	. . . 4 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) e. RR /\ A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) )
28		oveq1 6289	. . . . . . . 8 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) = ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) )
29	28	breq2d 4459	. . . . . . 7 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) )
30	29	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) )
31	30	2ralbidv 2908	. . . . 5 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) )
32	31	rspcev 3214	. . . 4 |- ( ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) e. RR /\ A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) -> E. k e. RR A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) )
33	27, 32	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> E. k e. RR A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) )
34		iccssre 11602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
35	5, 7, 34	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
36	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
37	36	sseld 3503	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) -> x e. RR ) )
38	36	sseld 3503	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( y e. ( A [,] B ) -> y e. RR ) )
39	37, 38	anim12d 563	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. RR /\ y e. RR ) ) )
40	39	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x e. RR /\ y e. RR ) )
41		lttri4 9665	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
42	40, 41	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
43		breq1 4450	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( a < b <-> x < b ) )
44		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = x -> ( F ` a ) = ( F ` x ) )
45	44	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = x -> ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) = ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) )
46	45	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = x -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) )
47		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = x -> ( b - a ) = ( b - x ) )
48	47	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = x -> ( abs ` ( b - a ) ) = ( abs ` ( b - x ) ) )
49	48	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = x -> ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) )
50	46, 49	breq12d 4460	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) ) )
51	43, 50	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( a = x -> ( ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> ( x < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) ) ) )
52		breq2 4451	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = y -> ( x < b <-> x < y ) )
53		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = y -> ( F ` b ) = ( F ` y ) )
54	53	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = y -> ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) = ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) )
55	54	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = y -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
56		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = y -> ( b - x ) = ( y - x ) )
57	56	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = y -> ( abs ` ( b - x ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
58	57	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = y -> ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
59	55, 58	breq12d 4460	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = y -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
60	52, 59	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( ( x < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) ) <-> ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) ) )
61	51, 60	rspc2v 3223	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) ) )
62	61	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x < y ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) ) )
63		pm2.27 39	. . . . . . . . 9 |- ( x < y -> ( ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
64	63	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x < y ) -> ( ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
65	62, 64	syld 44	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x < y ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
66		0le0 10621	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 0
67		fvres 5878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( A [,] B ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
68	67	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
69		cncff 21132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
70	24, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
71	70	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
72		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
73		ffvelrn 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) e. RR )
74	71, 72, 73	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) e. RR )
75	68, 74	eqeltrrd 2556	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
76	75	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
77	76	subidd 9914	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) = 0 )
78	77	abs00bd 13083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) = 0 )
79	35	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
80		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
81	79, 80	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> x e. RR )
82	81	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> x e. CC )
83	82	subidd 9914	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x - x ) = 0 )
84	83	abs00bd 13083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( x - x ) ) = 0 )
85	84	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) = ( k x. 0 ) )
86		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> k e. RR )
87	86	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> k e. CC )
88	87	mul01d 9774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( k x. 0 ) = 0 )
89	85, 88	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) = 0 )
90	78, 89	breq12d 4460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) <-> 0 <_ 0 ) )
91	66, 90	mpbiri 233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) )
92		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
93	92	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) = ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) )
94	93	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
95		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x - x ) = ( y - x ) )
96	95	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( abs ` ( x - x ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
97	96	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
98	94, 97	breq12d 4460	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
99	91, 98	syl5ibcom 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x = y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
100	99	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x = y ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
101	100	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x = y ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
102		breq1 4450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = y -> ( a < b <-> y < b ) )
103		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = y -> ( F ` a ) = ( F ` y ) )
104	103	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = y -> ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) = ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) )
105	104	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = y -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) )
106		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = y -> ( b - a ) = ( b - y ) )
107	106	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = y -> ( abs ` ( b - a ) ) = ( abs ` ( b - y ) ) )
108	107	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = y -> ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) )
109	105, 108	breq12d 4460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = y -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) ) )
110	102, 109	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = y -> ( ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> ( y < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) ) ) )
111		breq2 4451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = x -> ( y < b <-> y < x ) )
112		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = x -> ( F ` b ) = ( F ` x ) )
113	112	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = x -> ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) = ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) )
114	113	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = x -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) )
115		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = x -> ( b - y ) = ( x - y ) )
116	115	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = x -> ( abs ` ( b - y ) ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
117	116	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = x -> ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) )
118	114, 117	breq12d 4460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = x -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) )
119	111, 118	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = x -> ( ( y < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) ) <-> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
120	110, 119	rspc2v 3223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( A [,] B ) /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
121	120	ancoms 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
122	121	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
123		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> y < x )
124		fvres 5878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( A [,] B ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) = ( F ` y ) )
125	124	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) = ( F ` y ) )
126		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
127		ffvelrn 6017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) e. RR )
128	71, 126, 127	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) e. RR )
129	125, 128	eqeltrrd 2556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
130	129	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` y ) e. CC )
131	76, 130	abssubd 13243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
132	131	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
133		recn 9578	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> x e. CC )
134		recn 9578	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR -> y e. CC )
135		abssub 13118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
136	133, 134, 135	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
137	40, 136	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
138	137	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
139	138	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
140	132, 139	breq12d 4460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
141	140	biimpd 207	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
142	123, 141	embantd 54	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
143	122, 142	syld 44	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
144	65, 101, 143	3jaodan 1294	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( x < y \/ x = y \/ y < x ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
145	42, 144	mpdan 668	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
146	145	ralrimdvva 2888	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
147	146	reximdva 2938	. . 3 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( E. k e. RR A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
148	33, 147	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
149	16, 148, 7, 5	ltlecasei 9688	1 |- ( ph -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   \/ w3o 972   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   |` cres 5001   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ^pm cpm 7418   supcsup 7896   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   x. cmul 9493   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   [,]cicc 11528   abscabs 13026   -cn->ccncf 21115   _D cdv 22002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006

This theorem is referenced by:  c1lip2  22134