Theorem c1lip1 22567

Description: C1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
c1lip1.a	|- ( ph -> A e. RR )
c1lip1.b	|- ( ph -> B e. RR )
c1lip1.f	|- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
c1lip1.dv	|- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
c1lip1.cn	|- ( ph -> ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )

Assertion

Ref	Expression
c1lip1	|- ( ph -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y, k   x, A, y, k   x, B, y, k   x, F, y, k

Proof of Theorem c1lip1

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9585	. . . 4 |- 0 e. RR
2	1	ne0ii 3790	. . 3 |- RR =/= (/)
3		ral0 3922	. . . . 5 |- A. x e. (/) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) )
4		c1lip1.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
5	4	rexrd 9632	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
6		c1lip1.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
7	6	rexrd 9632	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
8		icc0 11580	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
10	9	biimpar 483	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( A [,] B ) = (/) )
11	10	raleqdv 3057	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) <-> A. x e. (/) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
12	3, 11	mpbiri 233	. . . 4 |- ( ( ph /\ B < A ) -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
13	12	ralrimivw 2869	. . 3 |- ( ( ph /\ B < A ) -> A. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
14		r19.2z 3906	. . 3 |- ( ( RR =/= (/) /\ A. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
15	2, 13, 14	sylancr 661	. 2 |- ( ( ph /\ B < A ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
16	4	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A e. RR )
17	6	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> B e. RR )
18		simpr 459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A <_ B )
19		c1lip1.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
20	19	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
21		c1lip1.dv	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
22	21	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( ( RR _D F ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
23		c1lip1.cn	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
24	23	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
25		eqid 2454	. . . . 5 |- sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < )
26	16, 17, 18, 20, 22, 24, 25	c1liplem1 22566	. . . 4 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) e. RR /\ A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) )
27		oveq1 6277	. . . . . . . 8 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) = ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) )
28	27	breq2d 4451	. . . . . . 7 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) )
29	28	imbi2d 314	. . . . . 6 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) )
30	29	2ralbidv 2898	. . . . 5 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) )
31	30	rspcev 3207	. . . 4 |- ( ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) e. RR /\ A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) -> E. k e. RR A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) )
32	26, 31	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> E. k e. RR A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) )
33		breq1 4442	. . . . . . . . . 10 |- ( a = x -> ( a < b <-> x < b ) )
34		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = x -> ( F ` a ) = ( F ` x ) )
35	34	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = x -> ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) = ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) )
36	35	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) )
37		oveq2 6278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = x -> ( b - a ) = ( b - x ) )
38	37	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = x -> ( abs ` ( b - a ) ) = ( abs ` ( b - x ) ) )
39	38	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) )
40	36, 39	breq12d 4452	. . . . . . . . . 10 |- ( a = x -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) ) )
41	33, 40	imbi12d 318	. . . . . . . . 9 |- ( a = x -> ( ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> ( x < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) ) ) )
42		breq2 4443	. . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( x < b <-> x < y ) )
43		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = y -> ( F ` b ) = ( F ` y ) )
44	43	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = y -> ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) = ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) )
45	44	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = y -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
46		oveq1 6277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = y -> ( b - x ) = ( y - x ) )
47	46	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = y -> ( abs ` ( b - x ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
48	47	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = y -> ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
49	45, 48	breq12d 4452	. . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
50	42, 49	imbi12d 318	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( ( x < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) ) <-> ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) ) )
51	41, 50	rspc2v 3216	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) ) )
52	51	ad2antlr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x < y ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) ) )
53		pm2.27 39	. . . . . . . 8 |- ( x < y -> ( ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
54	53	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x < y ) -> ( ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
55	52, 54	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x < y ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
56		0le0 10621	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 0
57		fvres 5862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( A [,] B ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
58	57	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
59		cncff 21566	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
60	23, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
61	60	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
62		simpl 455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
63		ffvelrn 6005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) e. RR )
64	61, 62, 63	syl2an 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) e. RR )
65	58, 64	eqeltrrd 2543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
66	65	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
67	66	subidd 9910	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) = 0 )
68	67	abs00bd 13209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) = 0 )
69		iccssre 11609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
70	4, 6, 69	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
71	70	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
72		simprl 754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
73	71, 72	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> x e. RR )
74	73	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> x e. CC )
75	74	subidd 9910	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x - x ) = 0 )
76	75	abs00bd 13209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( x - x ) ) = 0 )
77	76	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) = ( k x. 0 ) )
78		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> k e. RR )
79	78	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> k e. CC )
80	79	mul01d 9768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( k x. 0 ) = 0 )
81	77, 80	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) = 0 )
82	68, 81	breq12d 4452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) <-> 0 <_ 0 ) )
83	56, 82	mpbiri 233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) )
84		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
85	84	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) = ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) )
86	85	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
87		oveq1 6277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x - x ) = ( y - x ) )
88	87	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( abs ` ( x - x ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
89	88	oveq2d 6286	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
90	86, 89	breq12d 4452	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
91	83, 90	syl5ibcom 220	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x = y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
92	91	imp 427	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x = y ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
93	92	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x = y ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
94		breq1 4442	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = y -> ( a < b <-> y < b ) )
95		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = y -> ( F ` a ) = ( F ` y ) )
96	95	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = y -> ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) = ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) )
97	96	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = y -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) )
98		oveq2 6278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = y -> ( b - a ) = ( b - y ) )
99	98	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = y -> ( abs ` ( b - a ) ) = ( abs ` ( b - y ) ) )
100	99	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = y -> ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) )
101	97, 100	breq12d 4452	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = y -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) ) )
102	94, 101	imbi12d 318	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> ( y < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) ) ) )
103		breq2 4443	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = x -> ( y < b <-> y < x ) )
104		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = x -> ( F ` b ) = ( F ` x ) )
105	104	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = x -> ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) = ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) )
106	105	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = x -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) )
107		oveq1 6277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = x -> ( b - y ) = ( x - y ) )
108	107	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = x -> ( abs ` ( b - y ) ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
109	108	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = x -> ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) )
110	106, 109	breq12d 4452	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = x -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) )
111	103, 110	imbi12d 318	. . . . . . . . . 10 |- ( b = x -> ( ( y < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) ) <-> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
112	102, 111	rspc2v 3216	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( A [,] B ) /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
113	112	ancoms 451	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
114	113	ad2antlr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
115		simpr 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> y < x )
116		fvres 5862	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( A [,] B ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) = ( F ` y ) )
117	116	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) = ( F ` y ) )
118		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
119		ffvelrn 6005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) e. RR )
120	61, 118, 119	syl2an 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) e. RR )
121	117, 120	eqeltrrd 2543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
122	121	recnd 9611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` y ) e. CC )
123	66, 122	abssubd 13369	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
124	123	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
125	70	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
126	125	sseld 3488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) -> x e. RR ) )
127	125	sseld 3488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( y e. ( A [,] B ) -> y e. RR ) )
128	126, 127	anim12d 561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. RR /\ y e. RR ) ) )
129	128	imp 427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x e. RR /\ y e. RR ) )
130		recn 9571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> x e. CC )
131		recn 9571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR -> y e. CC )
132		abssub 13244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
133	130, 131, 132	syl2an 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
134	129, 133	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
135	134	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
136	135	oveq2d 6286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
137	124, 136	breq12d 4452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
138	137	biimpd 207	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
139	115, 138	embantd 54	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
140	114, 139	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
141		lttri4 9658	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
142	129, 141	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
143	55, 93, 140, 142	mpjao3dan 1293	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
144	143	ralrimdvva 2878	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
145	144	reximdva 2929	. . 3 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( E. k e. RR A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
146	32, 145	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
147	15, 146, 6, 4	ltlecasei 9681	1 |- ( ph -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   \/ w3o 970   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439   |` cres 4990   "cima 4991   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ^pm cpm 7413   supcsup 7892   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   x. cmul 9486   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   [,]cicc 11535   abscabs 13152   -cn->ccncf 21549   _D cdv 22436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440

This theorem is referenced by:  c1lip2  22568