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Theorem c1lip1 21474
Description: C1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1lip1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
c1lip1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
c1lip1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
c1lip1.dv  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
c1lip1.cn  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
Assertion
Ref Expression
c1lip1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, k    x, A, y, k    x, B, y, k    x, F, y, k

Proof of Theorem c1lip1
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9391 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 ne0i 3648 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  RR  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  RR  =/=  (/)
4 ral0 3789 . . . . 5  |-  A. x  e.  (/)  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
5 c1lip1.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
65rexrd 9438 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
7 c1lip1.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
87rexrd 9438 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9 icc0 11353 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  =  (/)  <->  B  <  A ) )
1110biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
1211raleqdv 2928 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) )  <->  A. x  e.  (/)  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
134, 12mpbiri 233 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
1413ralrimivw 2805 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  A. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
15 r19.2z 3774 . . 3  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  A. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
163, 14, 15sylancr 663 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
175adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
187adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
19 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
20 c1lip1.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
2120adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
22 c1lip1.dv . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2322adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
24 c1lip1.cn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2524adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( F  |`  ( A [,] B
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> RR ) )
26 eqid 2443 . . . . 5  |-  sup (
( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup (
( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )
2717, 18, 19, 21, 23, 25, 26c1liplem1 21473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) ) )
28 oveq1 6103 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) )  =  ( sup ( ( abs " ( ( RR 
_D  F ) "
( A [,] B
) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) ) )
2928breq2d 4309 . . . . . . 7  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )
3029imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  <-> 
( a  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) ) )
31302ralbidv 2762 . . . . 5  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  <->  A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) ) )
3231rspcev 3078 . . . 4  |-  ( ( sup ( ( abs " ( ( RR 
_D  F ) "
( A [,] B
) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )  ->  E. k  e.  RR  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )
3327, 32syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  E. k  e.  RR  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )
34 iccssre 11382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
355, 7, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
3736sseld 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  ->  x  e.  RR )
)
3836sseld 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( A [,] B )  -> 
y  e.  RR ) )
3937, 38anim12d 563 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
4039imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
41 lttri4 9464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  <  x ) )
4240, 41syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  <  x ) )
43 breq1 4300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <  b  <->  x  <  b ) )
44 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  x  ->  ( F `  a )  =  ( F `  x ) )
4544oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  x  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) )  =  ( ( F `
 b )  -  ( F `  x ) ) )
4645fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  x ) ) ) )
47 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  x  ->  (
b  -  a )  =  ( b  -  x ) )
4847fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  x  ->  ( abs `  ( b  -  a ) )  =  ( abs `  (
b  -  x ) ) )
4948oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( b  -  x ) ) ) )
5046, 49breq12d 4310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  x
) ) ) ) )
5143, 50imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  (
( a  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) ) )  <->  ( x  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  x
) ) ) ) ) )
52 breq2 4301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  y  ->  (
x  <  b  <->  x  <  y ) )
53 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  y  ->  ( F `  b )  =  ( F `  y ) )
5453oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  y  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 y )  -  ( F `  x ) ) )
5554fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
56 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  y  ->  (
b  -  x )  =  ( y  -  x ) )
5756fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  y  ->  ( abs `  ( b  -  x ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
5857oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  y  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  x
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) ) )
5955, 58breq12d 4310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  x ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
6052, 59imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  y  ->  (
( x  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  x ) ) ) )  <->  ( x  <  y  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) ) )
6151, 60rspc2v 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( x  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) ) )
6261ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  <  y )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( x  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) ) )
63 pm2.27 39 . . . . . . . . 9  |-  ( x  <  y  ->  (
( x  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
6463adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  <  y )  ->  (
( x  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
6562, 64syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  <  y )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
66 0le0 10416 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
67 fvres 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A [,] B )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
6867ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
69 cncff 20474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
7024, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B
) --> RR )
72 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
73 ffvelrn 5846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( F  |`  ( A [,] B ) ) `  x )  e.  RR )
7471, 72, 73syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 x )  e.  RR )
7568, 74eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7675recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
7776subidd 9712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) )  =  0 )
7877abs00bd 12785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  x ) ) )  =  0 )
7935ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
80 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
8179, 80sseldd 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  x  e.  RR )
8281recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  x  e.  CC )
8382subidd 9712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  -  x )  =  0 )
8483abs00bd 12785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  x ) )  =  0 )
8584oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) )  =  ( k  x.  0 ) )
86 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  k  e.  RR )
8786recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  k  e.  CC )
8887mul01d 9573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
8985, 88eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) )  =  0 )
9078, 89breq12d 4310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  x ) ) )  <->  0  <_  0 ) )
9166, 90mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  x ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) ) )
92 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
9392oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 y )  -  ( F `  x ) ) )
9493fveq2d 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
95 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  x )  =  ( y  -  x ) )
9695fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( x  -  x ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
9796oveq2d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) ) )
9894, 97breq12d 4310 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  x ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
9991, 98syl5ibcom 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  =  y  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
10099imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  =  y )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
101100a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  =  y )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
102 breq1 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  y  ->  (
a  <  b  <->  y  <  b ) )
103 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  ( F `  a )  =  ( F `  y ) )
104103oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  y  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) )  =  ( ( F `
 b )  -  ( F `  y ) ) )
105104fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  y ) ) ) )
106 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  (
b  -  a )  =  ( b  -  y ) )
107106fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  y  ->  ( abs `  ( b  -  a ) )  =  ( abs `  (
b  -  y ) ) )
108107oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  y  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( b  -  y ) ) ) )
109105, 108breq12d 4310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  y
) ) ) ) )
110102, 109imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  y  ->  (
( a  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) ) )  <->  ( y  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  y
) ) ) ) ) )
111 breq2 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  x  ->  (
y  <  b  <->  y  <  x ) )
112 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  x  ->  ( F `  b )  =  ( F `  x ) )
113112oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  x  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 x )  -  ( F `  y ) ) )
114113fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y ) ) ) )
115 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  x  ->  (
b  -  y )  =  ( x  -  y ) )
116115fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  x  ->  ( abs `  ( b  -  y ) )  =  ( abs `  (
x  -  y ) ) )
117116oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  x  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  y
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( x  -  y ) ) ) )
118114, 117breq12d 4310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  x  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  y ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) )
119111, 118imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  x  ->  (
( y  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  y ) ) ) )  <->  ( y  <  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
120110, 119rspc2v 3084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( A [,] B )  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( y  < 
x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
121120ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( y  < 
x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
122121ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( y  < 
x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
123 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  y  <  x )
124 fvres 5709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
125124ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
126 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
y  e.  ( A [,] B ) )
127 ffvelrn 5846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( F  |`  ( A [,] B ) ) `  y )  e.  RR )
12871, 126, 127syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 y )  e.  RR )
129125, 128eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
130129recnd 9417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
13176, 130abssubd 12944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
132131adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
133 recn 9377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
134 recn 9377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
135 abssub 12819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
136133, 134, 135syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
13740, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
138137adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
139138oveq2d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) ) )
140132, 139breq12d 4310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  y ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
141140biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  y ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  x ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
142123, 141embantd 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
( y  <  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  y ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
143122, 142syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
14465, 101, 1433jaodan 1284 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  (
x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  <  x ) )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
14542, 144mpdan 668 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
146145ralrimdvva 2816 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
147146reximdva 2833 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( E. k  e.  RR  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
14833, 147mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
14916, 148, 7, 5ltlecasei 9487 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721    C_ wss 3333   (/)c0 3642   class class class wbr 4297    |` cres 4847   "cima 4848   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^pm cpm 7220   supcsup 7695   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287    x. cmul 9292   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   [,]cicc 11308   abscabs 12728   -cn->ccncf 20457    _D cdv 21343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347
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