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Theorem c1lip1 22133
Description: C1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1lip1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
c1lip1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
c1lip1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
c1lip1.dv  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
c1lip1.cn  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
Assertion
Ref Expression
c1lip1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, k    x, A, y, k    x, B, y, k    x, F, y, k

Proof of Theorem c1lip1
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9592 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 ne0i 3791 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  RR  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  RR  =/=  (/)
4 ral0 3932 . . . . 5  |-  A. x  e.  (/)  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
5 c1lip1.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
65rexrd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
7 c1lip1.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
87rexrd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9 icc0 11573 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  =  (/)  <->  B  <  A ) )
1110biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
1211raleqdv 3064 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) )  <->  A. x  e.  (/)  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
134, 12mpbiri 233 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
1413ralrimivw 2879 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  A. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
15 r19.2z 3917 . . 3  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  A. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
163, 14, 15sylancr 663 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
175adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
187adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
19 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
20 c1lip1.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
2120adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
22 c1lip1.dv . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2322adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
24 c1lip1.cn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2524adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( F  |`  ( A [,] B
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> RR ) )
26 eqid 2467 . . . . 5  |-  sup (
( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup (
( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )
2717, 18, 19, 21, 23, 25, 26c1liplem1 22132 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) ) )
28 oveq1 6289 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) )  =  ( sup ( ( abs " ( ( RR 
_D  F ) "
( A [,] B
) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) ) )
2928breq2d 4459 . . . . . . 7  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )
3029imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  <-> 
( a  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) ) )
31302ralbidv 2908 . . . . 5  |-  ( k  =  sup ( ( abs " ( ( RR  _D  F )
" ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  <->  A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) ) )
3231rspcev 3214 . . . 4  |-  ( ( sup ( ( abs " ( ( RR 
_D  F ) "
( A [,] B
) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  ( sup ( ( abs " (
( RR  _D  F
) " ( A [,] B ) ) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )  ->  E. k  e.  RR  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )
3327, 32syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  E. k  e.  RR  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) ) )
34 iccssre 11602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
355, 7, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
3736sseld 3503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  ->  x  e.  RR )
)
3836sseld 3503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( A [,] B )  -> 
y  e.  RR ) )
3937, 38anim12d 563 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
4039imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
41 lttri4 9665 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  <  x ) )
4240, 41syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  <  x ) )
43 breq1 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <  b  <->  x  <  b ) )
44 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  x  ->  ( F `  a )  =  ( F `  x ) )
4544oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  x  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) )  =  ( ( F `
 b )  -  ( F `  x ) ) )
4645fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  x ) ) ) )
47 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  x  ->  (
b  -  a )  =  ( b  -  x ) )
4847fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  x  ->  ( abs `  ( b  -  a ) )  =  ( abs `  (
b  -  x ) ) )
4948oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( b  -  x ) ) ) )
5046, 49breq12d 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  x
) ) ) ) )
5143, 50imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  (
( a  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) ) )  <->  ( x  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  x
) ) ) ) ) )
52 breq2 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  y  ->  (
x  <  b  <->  x  <  y ) )
53 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  y  ->  ( F `  b )  =  ( F `  y ) )
5453oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  y  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 y )  -  ( F `  x ) ) )
5554fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
56 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  y  ->  (
b  -  x )  =  ( y  -  x ) )
5756fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  y  ->  ( abs `  ( b  -  x ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
5857oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  y  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  x
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) ) )
5955, 58breq12d 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  x ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
6052, 59imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  y  ->  (
( x  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  x ) ) ) )  <->  ( x  <  y  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) ) )
6151, 60rspc2v 3223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( x  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) ) )
6261ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  <  y )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( x  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) ) )
63 pm2.27 39 . . . . . . . . 9  |-  ( x  <  y  ->  (
( x  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
6463adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  <  y )  ->  (
( x  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
6562, 64syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  <  y )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
66 0le0 10621 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
67 fvres 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A [,] B )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
6867ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
69 cncff 21132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
7024, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B
) --> RR )
72 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
73 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( F  |`  ( A [,] B ) ) `  x )  e.  RR )
7471, 72, 73syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 x )  e.  RR )
7568, 74eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7675recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
7776subidd 9914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) )  =  0 )
7877abs00bd 13083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  x ) ) )  =  0 )
7935ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
80 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
8179, 80sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  x  e.  RR )
8281recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  x  e.  CC )
8382subidd 9914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  -  x )  =  0 )
8483abs00bd 13083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  x ) )  =  0 )
8584oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) )  =  ( k  x.  0 ) )
86 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  k  e.  RR )
8786recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  k  e.  CC )
8887mul01d 9774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
8985, 88eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) )  =  0 )
9078, 89breq12d 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  x ) ) )  <->  0  <_  0 ) )
9166, 90mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  x ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) ) )
92 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
9392oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 y )  -  ( F `  x ) ) )
9493fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
95 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  x )  =  ( y  -  x ) )
9695fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( x  -  x ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
9796oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  x
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) ) )
9894, 97breq12d 4460 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  x ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
9991, 98syl5ibcom 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  =  y  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
10099imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  =  y )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
101100a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  =  y )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
102 breq1 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  y  ->  (
a  <  b  <->  y  <  b ) )
103 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  ( F `  a )  =  ( F `  y ) )
104103oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  y  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) )  =  ( ( F `
 b )  -  ( F `  y ) ) )
105104fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  y ) ) ) )
106 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  (
b  -  a )  =  ( b  -  y ) )
107106fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  y  ->  ( abs `  ( b  -  a ) )  =  ( abs `  (
b  -  y ) ) )
108107oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  y  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( b  -  y ) ) ) )
109105, 108breq12d 4460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  y
) ) ) ) )
110102, 109imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  y  ->  (
( a  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 a ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  a ) ) ) )  <->  ( y  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  y
) ) ) ) ) )
111 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  x  ->  (
y  <  b  <->  y  <  x ) )
112 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  x  ->  ( F `  b )  =  ( F `  x ) )
113112oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  x  ->  (
( F `  b
)  -  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 x )  -  ( F `  y ) ) )
114113fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y ) ) ) )
115 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  x  ->  (
b  -  y )  =  ( x  -  y ) )
116115fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  x  ->  ( abs `  ( b  -  y ) )  =  ( abs `  (
x  -  y ) ) )
117116oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  x  ->  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  y
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( x  -  y ) ) ) )
118114, 117breq12d 4460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  x  ->  (
( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  y ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) )
119111, 118imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  x  ->  (
( y  <  b  ->  ( abs `  (
( F `  b
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
b  -  y ) ) ) )  <->  ( y  <  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
120110, 119rspc2v 3223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( A [,] B )  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( y  < 
x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
121120ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( y  < 
x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
122121ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( y  < 
x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  y )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )
123 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  y  <  x )
124 fvres 5878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
125124ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
126 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
y  e.  ( A [,] B ) )
127 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( F  |`  ( A [,] B ) ) `  y )  e.  RR )
12871, 126, 127syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A [,] B ) ) `
 y )  e.  RR )
129125, 128eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
130129recnd 9618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
13176, 130abssubd 13243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
132131adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x ) ) ) )
133 recn 9578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
134 recn 9578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
135 abssub 13118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
136133, 134, 135syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
13740, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
138137adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
139138oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
k  x.  ( abs `  ( x  -  y
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( y  -  x ) ) ) )
140132, 139breq12d 4460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  y ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
141140biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  y ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  x ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
142123, 141embantd 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  (
( y  <  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 y ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
x  -  y ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
143122, 142syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  <  x )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
14465, 101, 1433jaodan 1294 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  (
x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  <  x ) )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
14542, 144mpdan 668 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
146145ralrimdvva 2888 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  k  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  ( A [,] B ) A. b  e.  ( A [,] B ) ( a  <  b  ->  ( abs `  ( ( F `
 b )  -  ( F `  a ) ) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) ) )
147146reximdva 2938 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( E. k  e.  RR  A. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( a  < 
b  ->  ( abs `  ( ( F `  b )  -  ( F `  a )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( b  -  a
) ) ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) ) )
14833, 147mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 x ) ) )  <_  ( k  x.  ( abs `  (
y  -  x ) ) ) )
14916, 148, 7, 5ltlecasei 9688 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  x )
) )  <_  (
k  x.  ( abs `  ( y  -  x
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447    |` cres 5001   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^pm cpm 7418   supcsup 7896   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488    x. cmul 9493   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   [,]cicc 11528   abscabs 13026   -cn->ccncf 21115    _D cdv 22002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006
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