Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  c0snmhm Structured version   Unicode version

Theorem c0snmhm 39534
Description: The constant mapping to zero is a monoid homomorphism from the trivial monoid (consisting of the zero only) to any monoid. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
zrrhm.b  |-  B  =  ( Base `  T
)
zrrhm.0  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
zrrhm.h  |-  H  =  ( x  e.  B  |->  .0.  )
c0snmhm.z  |-  Z  =  ( 0g `  T
)
Assertion
Ref Expression
c0snmhm  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd  /\  B  =  { Z } )  ->  H  e.  ( T MndHom  S ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, S    x, T    x,  .0.    x, Z
Allowed substitution hint:    H( x)

Proof of Theorem c0snmhm
StepHypRef Expression
1 pm3.22 450 . . 3  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  ( T  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )
)
213adant3 1025 . 2  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd  /\  B  =  { Z } )  ->  ( T  e. 
Mnd  /\  S  e.  Mnd ) )
3 simp1 1005 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd  /\  B  =  { Z } )  ->  S  e.  Mnd )
4 mndmgm 16543 . . . . 5  |-  ( T  e.  Mnd  ->  T  e. Mgm )
543ad2ant2 1027 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd  /\  B  =  { Z } )  ->  T  e. Mgm )
6 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( B  =  { Z }  ->  ( # `  B
)  =  ( # `  { Z } ) )
7 c0snmhm.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( 0g `  T
)
8 fvex 5891 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  T )  e. 
_V
97, 8eqeltri 2503 . . . . . . 7  |-  Z  e. 
_V
10 hashsng 12555 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( # `
 { Z }
)  =  1 )
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( # `  { Z } )  =  1
126, 11syl6eq 2479 . . . . 5  |-  ( B  =  { Z }  ->  ( # `  B
)  =  1 )
13123ad2ant3 1028 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd  /\  B  =  { Z } )  ->  ( # `  B
)  =  1 )
14 zrrhm.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  T
)
15 zrrhm.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
16 zrrhm.h . . . . 5  |-  H  =  ( x  e.  B  |->  .0.  )
1714, 15, 16c0snmgmhm 39533 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm  /\  ( # `  B )  =  1 )  ->  H  e.  ( T MgmHom  S ) )
183, 5, 13, 17syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd  /\  B  =  { Z } )  ->  H  e.  ( T MgmHom  S ) )
1916a1i 11 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd  /\  B  =  { Z } )  ->  H  =  ( x  e.  B  |->  .0.  ) )
20 eqidd 2423 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd  /\  B  =  { Z } )  /\  x  =  Z )  ->  .0.  =  .0.  )
219snid 4026 . . . . . 6  |-  Z  e. 
{ Z }
22 eleq2 2496 . . . . . 6  |-  ( B  =  { Z }  ->  ( Z  e.  B  <->  Z  e.  { Z }
) )
2321, 22mpbiri 236 . . . . 5  |-  ( B  =  { Z }  ->  Z  e.  B )
24233ad2ant3 1028 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd  /\  B  =  { Z } )  ->  Z  e.  B
)
25 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2625, 15mndidcl 16553 . . . . 5  |-  ( S  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  S
) )
27263ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd  /\  B  =  { Z } )  ->  .0.  e.  ( Base `  S ) )
2819, 20, 24, 27fvmptd 5970 . . 3  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd  /\  B  =  { Z } )  ->  ( H `  Z )  =  .0.  )
2918, 28jca 534 . 2  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd  /\  B  =  { Z } )  ->  ( H  e.  ( T MgmHom  S )  /\  ( H `  Z )  =  .0.  ) )
30 eqid 2422 . . 3  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
31 eqid 2422 . . 3  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
3214, 25, 30, 31, 7, 15ismhm0 39424 . 2  |-  ( H  e.  ( T MndHom  S
)  <->  ( ( T  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  /\  ( H  e.  ( T MgmHom  S )  /\  ( H `
 Z )  =  .0.  ) ) )
332, 29, 32sylanbrc 668 1  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd  /\  B  =  { Z } )  ->  H  e.  ( T MndHom  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3080   {csn 3998    |-> cmpt 4482   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1c1 9547   #chash 12521   Basecbs 15120   +g cplusg 15189   0gc0g 15337  Mgmcmgm 16485   Mndcmnd 16534   MndHom cmhm 16579   MgmHom cmgmhm 39396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-hash 12522  df-0g 15339  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-mgmhm 39398
This theorem is referenced by:  c0snghm  39535
  Copyright terms: Public domain W3C validator