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Theorem c0snmgmhm 40422
Description: The constant mapping to zero is a magma homomorphism from a magma with one element to any monoid. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
zrrhm.b  |-  B  =  ( Base `  T
)
zrrhm.0  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
zrrhm.h  |-  H  =  ( x  e.  B  |->  .0.  )
Assertion
Ref Expression
c0snmgmhm  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm  /\  ( # `  B )  =  1 )  ->  H  e.  ( T MgmHom  S ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, S    x, T    x,  .0.
Allowed substitution hint:    H( x)

Proof of Theorem c0snmgmhm
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndmgm 16622 . . . . 5  |-  ( S  e.  Mnd  ->  S  e. Mgm )
21anim1i 578 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  ->  ( S  e. Mgm  /\  T  e. Mgm ) )
323adant3 1050 . . 3  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm  /\  ( # `  B )  =  1 )  ->  ( S  e. Mgm  /\  T  e. Mgm )
)
43ancomd 458 . 2  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm  /\  ( # `  B )  =  1 )  ->  ( T  e. Mgm  /\  S  e. Mgm )
)
5 zrrhm.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  T
)
6 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( Base `  T )  e.  _V
75, 6eqeltri 2545 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
8 hash1snb 12634 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  (
( # `  B )  =  1  <->  E. b  B  =  { b } ) )
97, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (
# `  B )  =  1  <->  E. b  B  =  { b } )
10 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
11 zrrhm.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
1210, 11mndidcl 16632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  S
) )
1312adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  ->  .0. 
e.  ( Base `  S
) )
1413adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  { b } )  ->  .0.  e.  ( Base `  S
) )
1514adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  {
b } )  /\  x  e.  B )  ->  .0.  e.  ( Base `  S ) )
16 zrrhm.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( x  e.  B  |->  .0.  )
1715, 16fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  { b } )  ->  H : B --> ( Base `  S
) )
1816a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  { b } )  ->  H  =  ( x  e.  B  |->  .0.  ) )
19 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  {
b } )  /\  x  =  b )  ->  .0.  =  .0.  )
20 ssnid 3989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  b  e. 
{ b }
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  { b }  ->  b  e.  {
b } )
22 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  { b }  ->  ( b  e.  B  <->  b  e.  {
b } ) )
2321, 22mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  { b }  ->  b  e.  B
)
2423adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  { b } )  ->  b  e.  B )
2518, 19, 24, 14fvmptd 5969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  { b } )  ->  ( H `  b )  =  .0.  )
26 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  {
b } )  /\  ( H `  b )  =  .0.  )  -> 
( H `  b
)  =  .0.  )
2726, 26oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  {
b } )  /\  ( H `  b )  =  .0.  )  -> 
( ( H `  b ) ( +g  `  S ) ( H `
 b ) )  =  (  .0.  ( +g  `  S )  .0.  ) )
28 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
2910, 28, 11mndlid 16635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  .0.  e.  ( Base `  S
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  S
)  .0.  )  =  .0.  )
3012, 29mpdan 681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  Mnd  ->  (  .0.  ( +g  `  S
)  .0.  )  =  .0.  )
3130adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  ->  (  .0.  ( +g  `  S
)  .0.  )  =  .0.  )
3231adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  { b } )  ->  (  .0.  ( +g  `  S
)  .0.  )  =  .0.  )
3332adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  {
b } )  /\  ( H `  b )  =  .0.  )  -> 
(  .0.  ( +g  `  S )  .0.  )  =  .0.  )
34 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  ->  T  e. Mgm )
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  { b } )  ->  T  e. Mgm )
3635adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  {
b } )  /\  b  e.  B )  ->  T  e. Mgm )
37 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  {
b } )  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  B )
38 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
395, 38mgmcl 16569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  e. Mgm  /\  b  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
b ( +g  `  T
) b )  e.  B )
4036, 37, 37, 39syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  {
b } )  /\  b  e.  B )  ->  ( b ( +g  `  T ) b )  e.  B )
41 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =  { b }  ->  ( ( b ( +g  `  T
) b )  e.  B  <->  ( b ( +g  `  T ) b )  e.  {
b } ) )
42 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b ( +g  `  T
) b )  e. 
{ b }  ->  ( b ( +g  `  T
) b )  =  b )
4341, 42syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  { b }  ->  ( ( b ( +g  `  T
) b )  e.  B  ->  ( b
( +g  `  T ) b )  =  b ) )
4443adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  { b } )  ->  (
( b ( +g  `  T ) b )  e.  B  ->  (
b ( +g  `  T
) b )  =  b ) )
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  {
b } )  /\  b  e.  B )  ->  ( ( b ( +g  `  T ) b )  e.  B  ->  ( b ( +g  `  T ) b )  =  b ) )
4640, 45mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  {
b } )  /\  b  e.  B )  ->  ( b ( +g  `  T ) b )  =  b )
4724, 46mpdan 681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  { b } )  ->  (
b ( +g  `  T
) b )  =  b )
4847fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  { b } )  ->  ( H `  ( b
( +g  `  T ) b ) )  =  ( H `  b
) )
4948adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  {
b } )  /\  ( H `  b )  =  .0.  )  -> 
( H `  (
b ( +g  `  T
) b ) )  =  ( H `  b ) )
5049, 26eqtr2d 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  {
b } )  /\  ( H `  b )  =  .0.  )  ->  .0.  =  ( H `  ( b ( +g  `  T ) b ) ) )
5127, 33, 503eqtrrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  {
b } )  /\  ( H `  b )  =  .0.  )  -> 
( H `  (
b ( +g  `  T
) b ) )  =  ( ( H `
 b ) ( +g  `  S ) ( H `  b
) ) )
5225, 51mpdan 681 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  { b } )  ->  ( H `  ( b
( +g  `  T ) b ) )  =  ( ( H `  b ) ( +g  `  S ) ( H `
 b ) ) )
53 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  { b }  ->  B  =  {
b } )
5453raleqdv 2979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  { b }  ->  ( A. c  e.  B  ( H `  ( a ( +g  `  T ) c ) )  =  ( ( H `  a ) ( +g  `  S
) ( H `  c ) )  <->  A. c  e.  { b }  ( H `  ( a
( +g  `  T ) c ) )  =  ( ( H `  a ) ( +g  `  S ) ( H `
 c ) ) ) )
5553, 54raleqbidv 2987 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  { b }  ->  ( A. a  e.  B  A. c  e.  B  ( H `  ( a ( +g  `  T ) c ) )  =  ( ( H `  a ) ( +g  `  S
) ( H `  c ) )  <->  A. a  e.  { b } A. c  e.  { b }  ( H `  ( a ( +g  `  T ) c ) )  =  ( ( H `  a ) ( +g  `  S
) ( H `  c ) ) ) )
5655adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  { b } )  ->  ( A. a  e.  B  A. c  e.  B  ( H `  ( a ( +g  `  T
) c ) )  =  ( ( H `
 a ) ( +g  `  S ) ( H `  c
) )  <->  A. a  e.  { b } A. c  e.  { b }  ( H `  ( a ( +g  `  T ) c ) )  =  ( ( H `  a ) ( +g  `  S
) ( H `  c ) ) ) )
57 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
58 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  (
a ( +g  `  T
) c )  =  ( b ( +g  `  T ) c ) )
5958fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  ( H `  ( a
( +g  `  T ) c ) )  =  ( H `  (
b ( +g  `  T
) c ) ) )
60 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  ( H `  a )  =  ( H `  b ) )
6160oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
( H `  a
) ( +g  `  S
) ( H `  c ) )  =  ( ( H `  b ) ( +g  `  S ) ( H `
 c ) ) )
6259, 61eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
( H `  (
a ( +g  `  T
) c ) )  =  ( ( H `
 a ) ( +g  `  S ) ( H `  c
) )  <->  ( H `  ( b ( +g  `  T ) c ) )  =  ( ( H `  b ) ( +g  `  S
) ( H `  c ) ) ) )
63 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  (
b ( +g  `  T
) c )  =  ( b ( +g  `  T ) b ) )
6463fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  ( H `  ( b
( +g  `  T ) c ) )  =  ( H `  (
b ( +g  `  T
) b ) ) )
65 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  ( H `  c )  =  ( H `  b ) )
6665oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  (
( H `  b
) ( +g  `  S
) ( H `  c ) )  =  ( ( H `  b ) ( +g  `  S ) ( H `
 b ) ) )
6764, 66eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  (
( H `  (
b ( +g  `  T
) c ) )  =  ( ( H `
 b ) ( +g  `  S ) ( H `  c
) )  <->  ( H `  ( b ( +g  `  T ) b ) )  =  ( ( H `  b ) ( +g  `  S
) ( H `  b ) ) ) )
6862, 672ralsng 3999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  _V  /\  b  e.  _V )  ->  ( A. a  e. 
{ b } A. c  e.  { b }  ( H `  ( a ( +g  `  T ) c ) )  =  ( ( H `  a ) ( +g  `  S
) ( H `  c ) )  <->  ( H `  ( b ( +g  `  T ) b ) )  =  ( ( H `  b ) ( +g  `  S
) ( H `  b ) ) ) )
6957, 57, 68mp2an 686 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  { b } A. c  e.  {
b }  ( H `
 ( a ( +g  `  T ) c ) )  =  ( ( H `  a ) ( +g  `  S ) ( H `
 c ) )  <-> 
( H `  (
b ( +g  `  T
) b ) )  =  ( ( H `
 b ) ( +g  `  S ) ( H `  b
) ) )
7056, 69syl6bb 269 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  { b } )  ->  ( A. a  e.  B  A. c  e.  B  ( H `  ( a ( +g  `  T
) c ) )  =  ( ( H `
 a ) ( +g  `  S ) ( H `  c
) )  <->  ( H `  ( b ( +g  `  T ) b ) )  =  ( ( H `  b ) ( +g  `  S
) ( H `  b ) ) ) )
7152, 70mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  { b } )  ->  A. a  e.  B  A. c  e.  B  ( H `  ( a ( +g  `  T ) c ) )  =  ( ( H `  a ) ( +g  `  S
) ( H `  c ) ) )
7217, 71jca 541 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  /\  B  =  { b } )  ->  ( H : B --> ( Base `  S )  /\  A. a  e.  B  A. c  e.  B  ( H `  ( a
( +g  `  T ) c ) )  =  ( ( H `  a ) ( +g  `  S ) ( H `
 c ) ) ) )
7372ex 441 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  ->  ( B  =  { b }  ->  ( H : B --> ( Base `  S
)  /\  A. a  e.  B  A. c  e.  B  ( H `  ( a ( +g  `  T ) c ) )  =  ( ( H `  a ) ( +g  `  S
) ( H `  c ) ) ) ) )
7473exlimdv 1787 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  ->  ( E. b  B  =  { b }  ->  ( H : B --> ( Base `  S )  /\  A. a  e.  B  A. c  e.  B  ( H `  ( a
( +g  `  T ) c ) )  =  ( ( H `  a ) ( +g  `  S ) ( H `
 c ) ) ) ) )
759, 74syl5bi 225 . . 3  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm )  ->  ( ( # `  B
)  =  1  -> 
( H : B --> ( Base `  S )  /\  A. a  e.  B  A. c  e.  B  ( H `  ( a ( +g  `  T
) c ) )  =  ( ( H `
 a ) ( +g  `  S ) ( H `  c
) ) ) ) )
76753impia 1228 . 2  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm  /\  ( # `  B )  =  1 )  ->  ( H : B --> ( Base `  S
)  /\  A. a  e.  B  A. c  e.  B  ( H `  ( a ( +g  `  T ) c ) )  =  ( ( H `  a ) ( +g  `  S
) ( H `  c ) ) ) )
775, 10, 38, 28ismgmhm 40291 . 2  |-  ( H  e.  ( T MgmHom  S
)  <->  ( ( T  e. Mgm  /\  S  e. Mgm )  /\  ( H : B
--> ( Base `  S
)  /\  A. a  e.  B  A. c  e.  B  ( H `  ( a ( +g  `  T ) c ) )  =  ( ( H `  a ) ( +g  `  S
) ( H `  c ) ) ) ) )
784, 76, 77sylanbrc 677 1  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e. Mgm  /\  ( # `  B )  =  1 )  ->  H  e.  ( T MgmHom  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   {csn 3959    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1c1 9558   #chash 12553   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   0gc0g 15416  Mgmcmgm 16564   Mndcmnd 16613   MgmHom cmgmhm 40285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mgmhm 40287
This theorem is referenced by:  c0snmhm  40423
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