Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  c0rhm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem c0rhm 39965
 Description: The constant mapping to zero is a ring homomorphism from any ring to the zero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
c0mhm.b
c0mhm.0
c0mhm.h
Assertion
Ref Expression
c0rhm NzRing RingHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem c0rhm
StepHypRef Expression
1 eldifi 3555 . . 3 NzRing
21anim2i 573 . 2 NzRing
3 ringgrp 17785 . . . 4
4 ringgrp 17785 . . . . 5
51, 4syl 17 . . . 4 NzRing
6 c0mhm.b . . . . 5
7 c0mhm.0 . . . . 5
8 c0mhm.h . . . . 5
96, 7, 8c0ghm 39964 . . . 4
103, 5, 9syl2an 480 . . 3 NzRing
11 eqid 2451 . . . . . . . . 9
12 eqid 2451 . . . . . . . . 9
1311, 7, 120ring1eq0 39925 . . . . . . . 8 NzRing
1413eqcomd 2457 . . . . . . 7 NzRing
1514mpteq2dv 4490 . . . . . 6 NzRing
1615adantl 468 . . . . 5 NzRing
178, 16syl5eq 2497 . . . 4 NzRing
18 eqid 2451 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
1918ringmgp 17786 . . . . 5 mulGrp
20 eqid 2451 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
2120ringmgp 17786 . . . . . 6 mulGrp
221, 21syl 17 . . . . 5 NzRing mulGrp
2318, 6mgpbas 17729 . . . . . 6 mulGrp
2420, 12ringidval 17737 . . . . . 6 mulGrp
25 eqid 2451 . . . . . 6
2623, 24, 25c0mhm 39963 . . . . 5 mulGrp mulGrp mulGrp MndHom mulGrp
2719, 22, 26syl2an 480 . . . 4 NzRing mulGrp MndHom mulGrp
2817, 27eqeltrd 2529 . . 3 NzRing mulGrp MndHom mulGrp
2910, 28jca 535 . 2 NzRing mulGrp MndHom mulGrp
3018, 20isrhm 17949 . 2 RingHom mulGrp MndHom mulGrp
312, 29, 30sylanbrc 670 1 NzRing RingHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   cdif 3401   cmpt 4461  cfv 5582  (class class class)co 6290  cbs 15121  c0g 15338  cmnd 16535   MndHom cmhm 16580  cgrp 16669   cghm 16880  mulGrpcmgp 17723  cur 17735  crg 17780   RingHom crh 17940  NzRingcnzr 18481 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-ghm 16881  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-rnghom 17943  df-nzr 18482 This theorem is referenced by:  zrtermoringc  40125
 Copyright terms: Public domain W3C validator