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Theorem bwthOLD 19014
Description: Obsolete version of bwth 19013 as of 26-Dec-2018. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bwt2.1OLD  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
bwthOLD  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X

Proof of Theorem bwthOLD
Dummy variables  f 
b  o  z  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmptop 18998 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
2 bwt2.1OLD . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
32islp3 18750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( (
limPt `  J ) `  A )  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
433exp 1186 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  C_  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) ) ) )
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A 
C_  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) ) ) )
65imp31 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  -> 
( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) ) ) )
76rexbidva 2732 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  E. x  e.  X  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
87notbid 294 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  -.  E. x  e.  X  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
983adant3 1008 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  -.  E. x  e.  X  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
10 nrexralim 2762 . . . 4  |-  ( -. 
E. x  e.  X  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  <->  A. x  e.  X  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  (
o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) )
11 uniexg 6377 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Comp  ->  U. J  e.  _V )
122, 11syl5eqel 2527 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  X  e. 
_V )
13 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  o  <->  x  e.  ( f `  x
) ) )
14 nne 2612 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )
15 ineq1 3545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  ( f `  x )  ->  (
o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x } ) ) )
1615eqeq1d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( f `  x )  ->  (
( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/)  <->  (
( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) ) )
1714, 16syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ( f `  x )  ->  ( -.  ( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/)  <->  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )
1813, 17anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ( f `  x )  ->  (
( x  e.  o  /\  -.  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) )  <->  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) )
1918ac6sg 8657 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ( A. x  e.  X  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  ( o  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =/=  (/) )  ->  E. f
( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) ) )
2012, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A. x  e.  X  E. o  e.  J  (
x  e.  o  /\  -.  ( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. f ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) ) ) )
21203ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A. x  e.  X  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  ( o  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =/=  (/) )  ->  E. f
( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) ) )
22 frn 5565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : X --> J  ->  ran  f  C_  J )
23 vex 2975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  f  e. 
_V
2423rnex 6512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  f  e.  _V
2524elpw 3866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  f  e.  ~P J  <->  ran  f  C_  J )
2622, 25sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : X --> J  ->  ran  f  e.  ~P J )
2726adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  ran  f  e.  ~P J
)
28 uniss 4112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  f  C_  J  ->  U.
ran  f  C_  U. J
)
2922, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : X --> J  ->  U. ran  f  C_  U. J
)
3029, 2syl6sseqr 3403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : X --> J  ->  U. ran  f  C_  X
)
31 df-ral 2720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) 
<-> 
A. x ( x  e.  X  ->  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) ) )
32 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  X  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) )
33 fdm 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f : X --> J  ->  dom  f  =  X
)
34 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( X  =  dom  f  -> 
( x  e.  X  <->  x  e.  dom  f ) )
3534biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( X  =  dom  f  -> 
( x  e.  X  ->  x  e.  dom  f
) )
36 ffun 5561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f : X --> J  ->  Fun  f )
37 fvelrn 5839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( Fun  f  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  ran  f
)
3837ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( Fun  f  ->  ( x  e.  dom  f  ->  (
f `  x )  e.  ran  f ) )
39 elunii 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( f `  x
)  e.  ran  f
)  ->  x  e.  U.
ran  f )
4039ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  e.  ( f `  x )  ->  (
( f `  x
)  e.  ran  f  ->  x  e.  U. ran  f ) )
41 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( f : X --> J  -> 
( x  e.  U. ran  f  ->  x  e. 
U. ran  f )
)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( U. ran  f  C_  X  -> 
( f : X --> J  ->  ( x  e. 
U. ran  f  ->  x  e.  U. ran  f
) ) )
4342com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  e.  U. ran  f  ->  ( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  x  e.  U. ran  f ) ) )
4440, 43syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( f `  x )  ->  (
( f `  x
)  e.  ran  f  ->  ( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  x  e.  U. ran  f ) ) ) )
4544com4l 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( f `  x )  e.  ran  f  -> 
( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  ( f `
 x )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) ) )
4638, 45syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Fun  f  ->  ( x  e.  dom  f  ->  (
f : X --> J  -> 
( U. ran  f  C_  X  ->  ( x  e.  ( f `  x
)  ->  x  e.  U.
ran  f ) ) ) ) )
4746com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Fun  f  ->  ( f : X --> J  ->  (
x  e.  dom  f  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  ( x  e.  ( f `  x
)  ->  x  e.  U.
ran  f ) ) ) ) )
4836, 47mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f : X --> J  -> 
( x  e.  dom  f  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  ( f `
 x )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) ) )
4948com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  dom  f  -> 
( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  ( f `
 x )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) ) )
5035, 49syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  X  ->  ( X  =  dom  f  -> 
( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  ( f `
 x )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) ) ) )
5150com4l 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( X  =  dom  f  -> 
( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ran  f ) ) ) ) )
5251eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( dom  f  =  X  -> 
( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ran  f ) ) ) ) )
5333, 52mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : X --> J  -> 
( U. ran  f  C_  X  ->  ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ran  f ) ) ) )
5453impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  (
x  e.  X  -> 
( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ran  f ) ) )
5554com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( f `  x )  ->  (
x  e.  X  -> 
( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  x  e.  U. ran  f ) ) )
5732, 56syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  X  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  e.  X  ->  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) ) )
5857pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  X  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) )
5958com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  e.  X  ->  x  e.  U. ran  f ) ) )
6059alimdv 1675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  ( A. x ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  A. x ( x  e.  X  ->  x  e.  U.
ran  f ) ) )
6131, 60syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  (
f `  x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  A. x ( x  e.  X  ->  x  e.  U. ran  f ) ) )
62613impia 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  A. x ( x  e.  X  ->  x  e.  U.
ran  f ) )
63 dfss2 3345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X 
C_  U. ran  f  <->  A. x
( x  e.  X  ->  x  e.  U. ran  f ) )
6462, 63sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  X  C_  U. ran  f
)
65 simp1 988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  U. ran  f  C_  X
)
6664, 65eqssd 3373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  X  =  U. ran  f
)
67663exp 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  f  C_  X  -> 
( f : X --> J  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  X  =  U. ran  f ) ) )
6830, 67mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : X --> J  -> 
( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  X  =  U. ran  f ) )
6968imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  X  =  U. ran  f )
7027, 69jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  ( ran  f  e.  ~P J  /\  X  =  U. ran  f ) )
712iscmp 18991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. a  e.  ~P  J ( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z
) ) )
72 unieq 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  ran  f  ->  U. a  =  U. ran  f )
7372eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  ran  f  -> 
( X  =  U. a 
<->  X  =  U. ran  f ) )
74 pweq 3863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =  ran  f  ->  ~P a  =  ~P ran  f )
7574ineq1d 3551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  ran  f  -> 
( ~P a  i^i 
Fin )  =  ( ~P ran  f  i^i 
Fin ) )
7675rexeqdv 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  ran  f  -> 
( E. z  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. z  <->  E. z  e.  ( ~P ran  f  i^i  Fin ) X  = 
U. z ) )
7773, 76imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ran  f  -> 
( ( X  = 
U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  <->  ( X  =  U. ran  f  ->  E. z  e.  ( ~P ran  f  i^i  Fin ) X  =  U. z ) ) )
7877rspcv 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  f  e.  ~P J  ->  ( A. a  e. 
~P  J ( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  ( X  =  U. ran  f  ->  E. z  e.  ( ~P ran  f  i^i  Fin ) X  =  U. z ) ) )
79 elin 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  <->  ( z  e.  ~P ran  f  /\  z  e.  Fin )
)
80 sseq2 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  =  U. z  -> 
( A  C_  X  <->  A 
C_  U. z ) )
81 infssuni 7602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  z  e.  Fin  /\  A  C_  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin )
82813exp 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( z  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. z  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
8382com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. z  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
84 elelpwi 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( b  e.  z  /\  z  e.  ~P ran  f )  ->  b  e.  ran  f )
8584ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b  e.  z  ->  (
z  e.  ~P ran  f  ->  b  e.  ran  f ) )
86 ffn 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f : X --> J  -> 
f  Fn  X )
87 fvelrnb 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f  Fn  X  ->  (
b  e.  ran  f  <->  E. x  e.  X  ( f `  x )  =  b ) )
88 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  F/ x  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin
89 nfra1 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  F/ x A. x  e.  X  ( x  e.  (
f `  x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )
90 nfre1 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  F/ x E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )
9189, 90nfim 1853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  F/ x
( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
9288, 91nfim 1853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  F/ x
( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) )
93 ineq2 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( b  =  ( f `  x )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( A  i^i  (
f `  x )
) )
9493eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( b  =  ( f `  x )  ->  (
( A  i^i  b
)  e.  Fin  <->  ( A  i^i  ( f `  x
) )  e.  Fin ) )
9594notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( b  =  ( f `  x )  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  <->  -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin ) )
9695biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( b  =  ( f `  x )  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
)
9796eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( f `  x )  =  b  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
)
98 difeq1 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/)  ->  (
( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  =  ( (/)  \  { x } ) )
99 0dif 3750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( (/)  \  { x } )  =  (/)
100 eqtr 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) ) 
\  { x }
)  =  ( (/)  \  { x } )  /\  ( (/)  \  {
x } )  =  (/) )  ->  ( ( ( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  (/) )
101100ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  =  ( (/)  \  { x } )  ->  (
( (/)  \  { x } )  =  (/)  ->  ( ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) ) 
\  { x }
)  =  (/) ) )
102 difindir 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  ( ( ( f `  x )  \  {
x } )  i^i  ( ( A  \  { x } ) 
\  { x }
) )
103 eqtr 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( ( A 
\  { x }
)  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) ) 
\  { x }
)  /\  ( (
( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  (/) )  ->  ( ( ( f `  x ) 
\  { x }
)  i^i  ( ( A  \  { x }
)  \  { x } ) )  =  (/) )
104 difabs 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( A  \  { x } )  \  {
x } )  =  ( A  \  {
x } )
105104ineq2i 3549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( f `  x
)  \  { x } )  i^i  (
( A  \  {
x } )  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `  x
)  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x }
) )
106 eqtr2 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( ( A 
\  { x }
)  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x } ) )  /\  ( ( ( f `  x
)  \  { x } )  i^i  (
( A  \  {
x } )  \  { x } ) )  =  (/) )  -> 
( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) )
107 difindir 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( ( f `  x
)  i^i  A )  \  { x } )  =  ( ( ( f `  x ) 
\  { x }
)  i^i  ( A  \  { x } ) )
108107eqcomi 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( ( f `  x
)  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  ( ( ( f `  x )  i^i  A
)  \  { x } )
109 eqtr2 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `  x
)  i^i  A )  \  { x } )  /\  ( ( ( f `  x ) 
\  { x }
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) )  -> 
( ( ( f `
 x )  i^i 
A )  \  {
x } )  =  (/) )
110 0fin 7540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  (/)  e.  Fin
111 incom 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( f `  x )  i^i  A )  =  ( A  i^i  (
f `  x )
)
112111difeq1i 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( ( f `  x
)  i^i  A )  \  { x } )  =  ( ( A  i^i  ( f `  x ) )  \  { x } )
113112eleq1i 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  A
)  \  { x } )  e.  Fin  <->  (
( A  i^i  (
f `  x )
)  \  { x } )  e.  Fin )
114 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  A
)  \  { x } )  =  (/)  ->  ( ( ( ( f `  x )  i^i  A )  \  { x } )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
115113, 114syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  A
)  \  { x } )  =  (/)  ->  ( ( ( A  i^i  ( f `  x ) )  \  { x } )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
116110, 115mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  A
)  \  { x } )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  ( f `  x
) )  \  {
x } )  e. 
Fin )
117 snfi 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  { x }  e.  Fin
118 difinf 7582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( -.  ( A  i^i  ( f `  x
) )  e.  Fin  /\ 
{ x }  e.  Fin )  ->  -.  (
( A  i^i  (
f `  x )
)  \  { x } )  e.  Fin )
119117, 118mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin  ->  -.  ( ( A  i^i  ( f `  x
) )  \  {
x } )  e. 
Fin )
120119con4i 130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( ( A  i^i  (
f `  x )
)  \  { x } )  e.  Fin  ->  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
121109, 116, 1203syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `  x
)  i^i  A )  \  { x } )  /\  ( ( ( f `  x ) 
\  { x }
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) )  -> 
( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
122108, 121mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( ( f `  x )  \  {
x } )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/)  ->  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin )
123106, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( ( A 
\  { x }
)  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x } ) )  /\  ( ( ( f `  x
)  \  { x } )  i^i  (
( A  \  {
x } )  \  { x } ) )  =  (/) )  -> 
( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
124105, 123mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( ( ( f `  x )  \  {
x } )  i^i  ( ( A  \  { x } ) 
\  { x }
) )  =  (/)  ->  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
125124pm2.24d 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( ( ( f `  x )  \  {
x } )  i^i  ( ( A  \  { x } ) 
\  { x }
) )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
126103, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( ( A 
\  { x }
)  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) ) 
\  { x }
)  /\  ( (
( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
127126ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( ( f `  x )  \  {
x } )  i^i  ( ( A  \  { x } ) 
\  { x }
) )  =  ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  -> 
( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
128127eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  =  ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( ( A 
\  { x }
)  \  { x } ) )  -> 
( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
129102, 128ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
130101, 129syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  =  ( (/)  \  { x } )  ->  (
( (/)  \  { x } )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
13198, 99, 130mpisyl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A
) ) )
132131adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
133132imim2i 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( x  e.  X  -> 
( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  e.  X  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
134133sps 1800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( A. x ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  e.  X  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
13531, 134sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  ( x  e.  X  ->  ( -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A
) ) ) )
136135com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin  ->  ( x  e.  X  -> 
( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) )
13797, 136syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( f `  x )  =  b  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( x  e.  X  -> 
( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
138137com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  e.  X  ->  (
( f `  x
)  =  b  -> 
( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
13992, 138rexlimi 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( E. x  e.  X  ( f `  x )  =  b  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  (
f `  x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
14087, 139syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( f  Fn  X  ->  (
b  e.  ran  f  ->  ( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
141140com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f  Fn  X  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  (
f `  x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( b  e. 
ran  f  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
14286, 141syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( f : X --> J  -> 
( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( b  e.  ran  f  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) )
143142imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( b  e.  ran  f  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
144143com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b  e.  ran  f  -> 
( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) )
14585, 144syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( b  e.  z  ->  (
z  e.  ~P ran  f  ->  ( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
146145com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( b  e.  z  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( z  e.  ~P ran  f  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
147146rexlimiv 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( z  e.  ~P ran  f  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) )
14883, 147syl8 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. z  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  ( z  e. 
~P ran  f  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) ) )
149148com4r 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ~P ran  f  ->  ( z  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. z  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) ) )
150149imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  ~P ran  f  /\  z  e.  Fin )  ->  ( A  C_  U. z  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  (
( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) )
151150com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A 
C_  U. z  ->  (
( z  e.  ~P ran  f  /\  z  e.  Fin )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
15280, 151syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  =  U. z  -> 
( A  C_  X  ->  ( ( z  e. 
~P ran  f  /\  z  e.  Fin )  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) ) )
153152com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ~P ran  f  /\  z  e.  Fin )  ->  ( X  = 
U. z  ->  ( A  C_  X  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) ) )
15479, 153sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  -> 
( X  =  U. z  ->  ( A  C_  X  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( (
f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) ) )
155154rexlimiv 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. z  e.  ( ~P
ran  f  i^i  Fin ) X  =  U. z  ->  ( A  C_  X  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( (
f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
1561553impd 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z  e.  ( ~P
ran  f  i^i  Fin ) X  =  U. z  ->  ( ( A 
C_  X  /\  -.  A  e.  Fin  /\  (
f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
15778, 156syl8 70 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  f  e.  ~P J  ->  ( A. a  e. 
~P  J ( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  ( X  =  U. ran  f  -> 
( ( A  C_  X  /\  -.  A  e. 
Fin  /\  ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) )
158157com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  f  e.  ~P J  ->  ( X  =  U. ran  f  ->  ( A. a  e.  ~P  J
( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z )  ->  (
( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin  /\  ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) )
159158imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  f  e.  ~P J  /\  X  =  U. ran  f )  ->  ( A. a  e.  ~P  J ( X  = 
U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  -> 
( ( A  C_  X  /\  -.  A  e. 
Fin  /\  ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
160159com3l 81 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. a  e.  ~P  J
( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z )  ->  (
( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin  /\  ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( ran  f  e.  ~P J  /\  X  =  U. ran  f )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) )
1611603expd 1204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  ~P  J
( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z )  ->  ( A  C_  X  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  (
( ran  f  e.  ~P J  /\  X  = 
U. ran  f )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) ) )
162161adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. a  e.  ~P  J
( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )  -> 
( A  C_  X  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  (
( ran  f  e.  ~P J  /\  X  = 
U. ran  f )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) ) )
16371, 162sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A 
C_  X  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  (
( ran  f  e.  ~P J  /\  X  = 
U. ran  f )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) ) )
1641633imp 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  (
( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( ( ran  f  e.  ~P J  /\  X  =  U. ran  f )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
165164com13 80 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  f  e.  ~P J  /\  X  =  U. ran  f )  ->  (
( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( ( J  e. 
Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
16670, 165mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  (
( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
167166exlimiv 1688 . . . . . 6  |-  ( E. f ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  (
( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
168167com12 31 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( E. f ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) )
16921, 168syld 44 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A. x  e.  X  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  ( o  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) )
17010, 169syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
1719, 170sylbid 215 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) )
172171pm2.18d 111 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091   dom cdm 4840   ran crn 4841   Fun wfun 5412    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418   Fincfn 7310   Topctop 18498   limPtclp 18738   Compccmp 18989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-reg 7807  ax-inf2 7847  ax-ac2 8632
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-fin 7314  df-r1 7971  df-rank 7972  df-card 8109  df-ac 8286  df-top 18503  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-lp 18740  df-cmp 18990
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