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Theorem bwth 19148
Description: The glorious Bolzano-Weierstrass theorem. The first general topology theorem ever proved. The first mention of this theorem can be found in a course by Weierstrass from 1865. In his course Weierstrass called it a lemma. He didn't know how famous this theorem would be. He used a Euclidean space instead of a general compact space. And he was not aware of the Heine-Borel property. But the concepts of neighborhood and limit point were already there although not precisely defined. Cantor was one of his students. He published and used the theorem in an article from 1872. The rest of the general topology followed from that. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) Revised by BL to significantly shorten the proof and avoid infinity, regularity, and choice. (Revised by Brendan Leahy, 26-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
bwt2.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
bwth  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X

Proof of Theorem bwth
Dummy variables  o 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm3.24 877 . . . . . . 7  |-  -.  (
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( b  e.  z  ->  -.  ( ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
-.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) )
32nrex 2924 . . . . 5  |-  -.  E. b  e.  z  (
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
4 r19.29 2963 . . . . 5  |-  ( ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )  ->  E. b  e.  z  ( ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
-.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) )
53, 4mto 176 . . . 4  |-  -.  ( A. b  e.  z 
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
65a1i 11 . . 3  |-  ( z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  -.  ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
)
76nrex 2924 . 2  |-  -.  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
8 ralnex 2852 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  -.  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
9 cmptop 19133 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
10 bwt2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. J
1110islp3 18885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( (
limPt `  J ) `  A )  <->  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
12113expa 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )  <->  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) ) ) )
1312notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( -.  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
1413ralbidva 2844 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A. x  e.  X  -.  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )  <->  A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) ) ) )
159, 14sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( A. x  e.  X  -.  x  e.  (
( limPt `  J ) `  A )  <->  A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
168, 15syl5bbr 259 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
17 rexanali 2883 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  <->  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) )
18 nne 2654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/)  <->  ( b  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )
19 vex 3081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
20 sneq 3998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  =  x  ->  { o }  =  { x } )
2120difeq2d 3585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  =  x  ->  ( A  \  { o } )  =  ( A 
\  { x }
) )
2221ineq2d 3663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  =  x  ->  (
b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) ) )
2322eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  =  x  ->  (
( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/)  <->  (
b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) ) )
2419, 23spcev 3170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { x }
) )  =  (/)  ->  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) )
2518, 24sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/)  ->  E. o
( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) )
2625anim2i 569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  b  /\  -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  -> 
( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) )
2726reximi 2929 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) ) )
2817, 27sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) ) )
2928ralimi 2819 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  X  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) ) )
3010cmpcov2 19128 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. b  e.  J  (
x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) )
3130ex 434 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A. x  e.  X  E. b  e.  J  (
x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) ) )
3229, 31syl5 32 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) ) )
3332adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) ) )
3416, 33sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) ) )
35343adant3 1008 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) ) )
36 inss2 3682 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P J  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3736sseli 3463 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
38 sseq2 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  U. z  -> 
( A  C_  X  <->  A 
C_  U. z ) )
3938biimpac 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  X  /\  X  =  U. z
)  ->  A  C_  U. z
)
40 infssuni 7716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  z  e.  Fin  /\  A  C_  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin )
41403expa 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  z  e.  Fin )  /\  A  C_  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
4241ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  U. z  /\  ( -.  A  e. 
Fin  /\  z  e.  Fin ) )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
4339, 42sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  X  =  U. z )  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  z  e.  Fin )
)  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
4443an42s 823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  ( z  e. 
Fin  /\  X  =  U. z ) )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
4544anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  z  e.  Fin )  /\  X  =  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
4637, 45sylanl2 651 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
47 0fin 7654 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  Fin
48 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
4947, 48mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  e.  Fin )
50 snfi 7503 . . . . . . . . . . 11  |-  { o }  e.  Fin
51 unfi 7693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  e.  Fin  /\ 
{ o }  e.  Fin )  ->  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  u.  {
o } )  e. 
Fin )
5249, 50, 51sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  u.  { o } )  e.  Fin )
53 ssun1 3630 . . . . . . . . . . . 12  |-  b  C_  ( b  u.  {
o } )
54 ssun1 3630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( A  u.  { o } )
55 undif1 3865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  { o } )  u.  {
o } )  =  ( A  u.  {
o } )
5654, 55sseqtr4i 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( ( A  \  { o } )  u.  { o } )
57 ss2in 3688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  C_  ( b  u.  { o } )  /\  A  C_  (
( A  \  {
o } )  u. 
{ o } ) )  ->  ( b  i^i  A )  C_  (
( b  u.  {
o } )  i^i  ( ( A  \  { o } )  u.  { o } ) ) )
5853, 56, 57mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  i^i  A )  C_  ( ( b  u. 
{ o } )  i^i  ( ( A 
\  { o } )  u.  { o } ) )
59 incom 3654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  b )  =  ( b  i^i  A
)
60 undir 3710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  u.  {
o } )  =  ( ( b  u. 
{ o } )  i^i  ( ( A 
\  { o } )  u.  { o } ) )
6158, 59, 603sstr4i 3506 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  b )  C_  ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  u.  { o } )
62 ssfi 7647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  u.  { o } )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  b
)  C_  ( (
b  i^i  ( A  \  { o } ) )  u.  { o } ) )  -> 
( A  i^i  b
)  e.  Fin )
6352, 61, 62sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
6463exlimiv 1689 . . . . . . . 8  |-  ( E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/)  ->  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
6564ralimi 2819 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/)  ->  A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin )
6646, 65anim12ci 567 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
)  /\  X  =  U. z )  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) )  ->  ( A. b  e.  z 
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
)
6766expl 618 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) )  ->  ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
6867reximdva 2934 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
69683adant1 1006 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
7035, 69syld 44 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
717, 70mt3i 126 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800    \ cdif 3436    u. cun 3437    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   {csn 3988   U.cuni 4202   ` cfv 5529   Fincfn 7423   Topctop 18633   limPtclp 18873   Compccmp 19124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-fin 7427  df-top 18638  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-lp 18875  df-cmp 19125
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