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Theorem bwth 19888
Description: The glorious Bolzano-Weierstrass theorem. The first general topology theorem ever proved. The first mention of this theorem can be found in a course by Weierstrass from 1865. In his course Weierstrass called it a lemma. He didn't know how famous this theorem would be. He used a Euclidean space instead of a general compact space. And he was not aware of the Heine-Borel property. But the concepts of neighborhood and limit point were already there although not precisely defined. Cantor was one of his students. He published and used the theorem in an article from 1872. The rest of the general topology followed from that. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) Revised by BL to significantly shorten the proof and avoid infinity, regularity, and choice. (Revised by Brendan Leahy, 26-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
bwt2.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
bwth  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X

Proof of Theorem bwth
Dummy variables  o 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm3.24 882 . . . . . . 7  |-  -.  (
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( b  e.  z  ->  -.  ( ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
-.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) )
32nrex 2898 . . . . 5  |-  -.  E. b  e.  z  (
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
4 r19.29 2978 . . . . 5  |-  ( ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )  ->  E. b  e.  z  ( ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
-.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) )
53, 4mto 176 . . . 4  |-  -.  ( A. b  e.  z 
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
65a1i 11 . . 3  |-  ( z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  -.  ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
)
76nrex 2898 . 2  |-  -.  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
8 ralnex 2889 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  -.  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
9 cmptop 19873 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
10 bwt2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. J
1110islp3 19625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( (
limPt `  J ) `  A )  <->  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
12113expa 1197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )  <->  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) ) ) )
1312notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( -.  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
1413ralbidva 2879 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A. x  e.  X  -.  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )  <->  A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) ) ) )
159, 14sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( A. x  e.  X  -.  x  e.  (
( limPt `  J ) `  A )  <->  A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
168, 15syl5bbr 259 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
17 rexanali 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  <->  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) )
18 nne 2644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/)  <->  ( b  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )
19 vex 3098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
20 sneq 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  =  x  ->  { o }  =  { x } )
2120difeq2d 3607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  =  x  ->  ( A  \  { o } )  =  ( A 
\  { x }
) )
2221ineq2d 3685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  =  x  ->  (
b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) ) )
2322eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  =  x  ->  (
( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/)  <->  (
b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) ) )
2419, 23spcev 3187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { x }
) )  =  (/)  ->  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) )
2518, 24sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/)  ->  E. o
( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) )
2625anim2i 569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  b  /\  -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  -> 
( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) )
2726reximi 2911 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) ) )
2817, 27sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) ) )
2928ralimi 2836 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  X  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) ) )
3010cmpcov2 19868 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. b  e.  J  (
x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) )
3130ex 434 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A. x  e.  X  E. b  e.  J  (
x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) ) )
3229, 31syl5 32 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) ) )
3332adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) ) )
3416, 33sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) ) )
35343adant3 1017 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) ) )
36 inss2 3704 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P J  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3736sseli 3485 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
38 sseq2 3511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  U. z  -> 
( A  C_  X  <->  A 
C_  U. z ) )
3938biimpac 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  X  /\  X  =  U. z
)  ->  A  C_  U. z
)
40 infssuni 7813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  z  e.  Fin  /\  A  C_  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin )
41403expa 1197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  z  e.  Fin )  /\  A  C_  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
4241ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  U. z  /\  ( -.  A  e. 
Fin  /\  z  e.  Fin ) )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
4339, 42sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  X  =  U. z )  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  z  e.  Fin )
)  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
4443an42s 827 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  ( z  e. 
Fin  /\  X  =  U. z ) )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
4544anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  z  e.  Fin )  /\  X  =  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
4637, 45sylanl2 651 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
47 0fin 7749 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  Fin
48 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
4947, 48mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  e.  Fin )
50 snfi 7598 . . . . . . . . . . 11  |-  { o }  e.  Fin
51 unfi 7789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  e.  Fin  /\ 
{ o }  e.  Fin )  ->  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  u.  {
o } )  e. 
Fin )
5249, 50, 51sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  u.  { o } )  e.  Fin )
53 ssun1 3652 . . . . . . . . . . . 12  |-  b  C_  ( b  u.  {
o } )
54 ssun1 3652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( A  u.  { o } )
55 undif1 3889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  { o } )  u.  {
o } )  =  ( A  u.  {
o } )
5654, 55sseqtr4i 3522 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( ( A  \  { o } )  u.  { o } )
57 ss2in 3710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  C_  ( b  u.  { o } )  /\  A  C_  (
( A  \  {
o } )  u. 
{ o } ) )  ->  ( b  i^i  A )  C_  (
( b  u.  {
o } )  i^i  ( ( A  \  { o } )  u.  { o } ) ) )
5853, 56, 57mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  i^i  A )  C_  ( ( b  u. 
{ o } )  i^i  ( ( A 
\  { o } )  u.  { o } ) )
59 incom 3676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  b )  =  ( b  i^i  A
)
60 undir 3732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  u.  {
o } )  =  ( ( b  u. 
{ o } )  i^i  ( ( A 
\  { o } )  u.  { o } ) )
6158, 59, 603sstr4i 3528 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  b )  C_  ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  u.  { o } )
62 ssfi 7742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  u.  { o } )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  b
)  C_  ( (
b  i^i  ( A  \  { o } ) )  u.  { o } ) )  -> 
( A  i^i  b
)  e.  Fin )
6352, 61, 62sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
6463exlimiv 1709 . . . . . . . 8  |-  ( E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/)  ->  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
6564ralimi 2836 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/)  ->  A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin )
6646, 65anim12ci 567 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
)  /\  X  =  U. z )  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) )  ->  ( A. b  e.  z 
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
)
6766expl 618 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) )  ->  ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
6867reximdva 2918 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
69683adant1 1015 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
7035, 69syld 44 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
717, 70mt3i 126 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234   ` cfv 5578   Fincfn 7518   Topctop 19372   limPtclp 19613   Compccmp 19864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-fin 7522  df-top 19377  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-lp 19615  df-cmp 19865
This theorem is referenced by:  fourierdlem42  31885
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