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Theorem bwth 20418
Description: The glorious Bolzano-Weierstrass theorem. The first general topology theorem ever proved. The first mention of this theorem can be found in a course by Weierstrass from 1865. In his course Weierstrass called it a lemma. He didn't know how famous this theorem would be. He used a Euclidean space instead of a general compact space. And he was not aware of the Heine-Borel property. But the concepts of neighborhood and limit point were already there although not precisely defined. Cantor was one of his students. He published and used the theorem in an article from 1872. The rest of the general topology followed from that. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) Revised by BL to significantly shorten the proof and avoid infinity, regularity, and choice. (Revised by Brendan Leahy, 26-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
bwt2.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
bwth  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X

Proof of Theorem bwth
Dummy variables  o 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm3.24 892 . . . . . . 7  |-  -.  (
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( b  e.  z  ->  -.  ( ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
-.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) )
32nrex 2841 . . . . 5  |-  -.  E. b  e.  z  (
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
4 r19.29 2924 . . . . 5  |-  ( ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )  ->  E. b  e.  z  ( ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
-.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) )
53, 4mto 180 . . . 4  |-  -.  ( A. b  e.  z 
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
65a1i 11 . . 3  |-  ( z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  -.  ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
)
76nrex 2841 . 2  |-  -.  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
8 ralnex 2833 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  -.  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
9 cmptop 20403 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
10 bwt2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. J
1110islp3 20155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( (
limPt `  J ) `  A )  <->  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
12113expa 1207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )  <->  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) ) ) )
1312notbid 296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( -.  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
1413ralbidva 2823 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A. x  e.  X  -.  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )  <->  A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) ) ) )
159, 14sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( A. x  e.  X  -.  x  e.  (
( limPt `  J ) `  A )  <->  A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
168, 15syl5bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
17 rexanali 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  <->  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) )
18 nne 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/)  <->  ( b  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )
19 vex 3047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
20 sneq 3977 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  =  x  ->  { o }  =  { x } )
2120difeq2d 3550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  =  x  ->  ( A  \  { o } )  =  ( A 
\  { x }
) )
2221ineq2d 3633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  =  x  ->  (
b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) ) )
2322eqeq1d 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  =  x  ->  (
( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/)  <->  (
b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) ) )
2419, 23spcev 3140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { x }
) )  =  (/)  ->  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) )
2518, 24sylbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/)  ->  E. o
( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) )
2625anim2i 572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  b  /\  -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  -> 
( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) )
2726reximi 2854 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) ) )
2817, 27sylbir 217 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) ) )
2928ralimi 2780 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  X  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) ) )
3010cmpcov2 20398 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. b  e.  J  (
x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) )
3130ex 436 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A. x  e.  X  E. b  e.  J  (
x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) ) )
3229, 31syl5 33 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) ) )
3332adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) ) )
3416, 33sylbid 219 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) ) )
35343adant3 1027 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) ) )
36 inss2 3652 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P J  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3736sseli 3427 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
38 sseq2 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  U. z  -> 
( A  C_  X  <->  A 
C_  U. z ) )
3938biimpac 489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  X  /\  X  =  U. z
)  ->  A  C_  U. z
)
40 infssuni 7862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  z  e.  Fin  /\  A  C_  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin )
41403expa 1207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  z  e.  Fin )  /\  A  C_  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
4241ancoms 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  U. z  /\  ( -.  A  e. 
Fin  /\  z  e.  Fin ) )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
4339, 42sylan 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  X  =  U. z )  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  z  e.  Fin )
)  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
4443an42s 835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  ( z  e. 
Fin  /\  X  =  U. z ) )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
4544anassrs 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  z  e.  Fin )  /\  X  =  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
4637, 45sylanl2 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
47 0fin 7796 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  Fin
48 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
4947, 48mpbiri 237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  e.  Fin )
50 snfi 7647 . . . . . . . . . . 11  |-  { o }  e.  Fin
51 unfi 7835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  e.  Fin  /\ 
{ o }  e.  Fin )  ->  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  u.  {
o } )  e. 
Fin )
5249, 50, 51sylancl 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  u.  { o } )  e.  Fin )
53 ssun1 3596 . . . . . . . . . . . 12  |-  b  C_  ( b  u.  {
o } )
54 ssun1 3596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( A  u.  { o } )
55 undif1 3841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  { o } )  u.  {
o } )  =  ( A  u.  {
o } )
5654, 55sseqtr4i 3464 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( ( A  \  { o } )  u.  { o } )
57 ss2in 3658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  C_  ( b  u.  { o } )  /\  A  C_  (
( A  \  {
o } )  u. 
{ o } ) )  ->  ( b  i^i  A )  C_  (
( b  u.  {
o } )  i^i  ( ( A  \  { o } )  u.  { o } ) ) )
5853, 56, 57mp2an 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  i^i  A )  C_  ( ( b  u. 
{ o } )  i^i  ( ( A 
\  { o } )  u.  { o } ) )
59 incom 3624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  b )  =  ( b  i^i  A
)
60 undir 3691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  u.  {
o } )  =  ( ( b  u. 
{ o } )  i^i  ( ( A 
\  { o } )  u.  { o } ) )
6158, 59, 603sstr4i 3470 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  b )  C_  ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  u.  { o } )
62 ssfi 7789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  u.  { o } )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  b
)  C_  ( (
b  i^i  ( A  \  { o } ) )  u.  { o } ) )  -> 
( A  i^i  b
)  e.  Fin )
6352, 61, 62sylancl 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
6463exlimiv 1775 . . . . . . . 8  |-  ( E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/)  ->  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
6564ralimi 2780 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/)  ->  A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin )
6646, 65anim12ci 570 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
)  /\  X  =  U. z )  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) )  ->  ( A. b  e.  z 
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
)
6766expl 623 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) )  ->  ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
6867reximdva 2861 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
69683adant1 1025 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
7035, 69syld 45 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
717, 70mt3i 130 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737    \ cdif 3400    u. cun 3401    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   {csn 3967   U.cuni 4197   ` cfv 5581   Fincfn 7566   Topctop 19910   limPtclp 20143   Compccmp 20394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-fin 7570  df-top 19914  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-lp 20145  df-cmp 20395
This theorem is referenced by:  poimirlem30  31963  fourierdlem42  38006  fourierdlem42OLD  38007
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