Theorem bwth 19778

Description: The glorious Bolzano-Weierstrass theorem. The first general topology theorem ever proved. The first mention of this theorem can be found in a course by Weierstrass from 1865. In his course Weierstrass called it a lemma. He didn't know how famous this theorem would be. He used a Euclidean space instead of a general compact space. And he was not aware of the Heine-Borel property. But the concepts of neighborhood and limit point were already there although not precisely defined. Cantor was one of his students. He published and used the theorem in an article from 1872. The rest of the general topology followed from that. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) Revised by BL to significantly shorten the proof and avoid infinity, regularity, and choice. (Revised by Brendan Leahy, 26-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
bwt2.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
bwth	|- ( ( J e. Comp /\ A C_ X /\ -. A e. Fin ) -> E. x e. X x e. ( ( limPt ` J ) ` A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, J   x, X

Proof of Theorem bwth

Dummy variables o b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 880	. . . . . . 7 |- -. ( ( A i^i b ) e. Fin /\ -. ( A i^i b ) e. Fin )
2	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( b e. z -> -. ( ( A i^i b ) e. Fin /\ -. ( A i^i b ) e. Fin ) )
3	2	nrex 2922	. . . . 5 |- -. E. b e. z ( ( A i^i b ) e. Fin /\ -. ( A i^i b ) e. Fin )
4		r19.29 3002	. . . . 5 |- ( ( A. b e. z ( A i^i b ) e. Fin /\ E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin ) -> E. b e. z ( ( A i^i b ) e. Fin /\ -. ( A i^i b ) e. Fin ) )
5	3, 4	mto 176	. . . 4 |- -. ( A. b e. z ( A i^i b ) e. Fin /\ E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin )
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( z e. ( ~P J i^i Fin ) -> -. ( A. b e. z ( A i^i b ) e. Fin /\ E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin ) )
7	6	nrex 2922	. 2 |- -. E. z e. ( ~P J i^i Fin ) ( A. b e. z ( A i^i b ) e. Fin /\ E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin )
8		ralnex 2913	. . . . . 6 |- ( A. x e. X -. x e. ( ( limPt ` J ) ` A ) <-> -. E. x e. X x e. ( ( limPt ` J ) ` A ) )
9		cmptop 19763	. . . . . . 7 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
10		bwt2.1	. . . . . . . . . . 11 |- X = U. J
11	10	islp3 19515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ x e. X ) -> ( x e. ( ( limPt ` J ) ` A ) <-> A. b e. J ( x e. b -> ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) ) ) )
12	11	3expa 1196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ x e. X ) -> ( x e. ( ( limPt ` J ) ` A ) <-> A. b e. J ( x e. b -> ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) ) ) )
13	12	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ x e. X ) -> ( -. x e. ( ( limPt ` J ) ` A ) <-> -. A. b e. J ( x e. b -> ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) ) ) )
14	13	ralbidva 2903	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( A. x e. X -. x e. ( ( limPt ` J ) ` A ) <-> A. x e. X -. A. b e. J ( x e. b -> ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) ) ) )
15	9, 14	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ A C_ X ) -> ( A. x e. X -. x e. ( ( limPt ` J ) ` A ) <-> A. x e. X -. A. b e. J ( x e. b -> ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) ) ) )
16	8, 15	syl5bbr 259	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ A C_ X ) -> ( -. E. x e. X x e. ( ( limPt ` J ) ` A ) <-> A. x e. X -. A. b e. J ( x e. b -> ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) ) ) )
17		rexanali 2920	. . . . . . . . 9 |- ( E. b e. J ( x e. b /\ -. ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) ) <-> -. A. b e. J ( x e. b -> ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) ) )
18		nne 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) <-> ( b i^i ( A \ { x } ) ) = (/) )
19		vex 3121	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
20		sneq 4043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( o = x -> { o } = { x } )
21	20	difeq2d 3627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o = x -> ( A \ { o } ) = ( A \ { x } ) )
22	21	ineq2d 3705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o = x -> ( b i^i ( A \ { o } ) ) = ( b i^i ( A \ { x } ) ) )
23	22	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( o = x -> ( ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) <-> ( b i^i ( A \ { x } ) ) = (/) ) )
24	19, 23	spcev 3210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b i^i ( A \ { x } ) ) = (/) -> E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) )
25	18, 24	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) -> E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) )
26	25	anim2i 569	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. b /\ -. ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) ) -> ( x e. b /\ E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) )
27	26	reximi 2935	. . . . . . . . 9 |- ( E. b e. J ( x e. b /\ -. ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) )
28	17, 27	sylbir 213	. . . . . . . 8 |- ( -. A. b e. J ( x e. b -> ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) )
29	28	ralimi 2860	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X -. A. b e. J ( x e. b -> ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) ) -> A. x e. X E. b e. J ( x e. b /\ E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) )
30	10	cmpcov2 19758	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Comp /\ A. x e. X E. b e. J ( x e. b /\ E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) ) -> E. z e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. z /\ A. b e. z E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) )
31	30	ex 434	. . . . . . 7 |- ( J e. Comp -> ( A. x e. X E. b e. J ( x e. b /\ E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) -> E. z e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. z /\ A. b e. z E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) ) )
32	29, 31	syl5 32	. . . . . 6 |- ( J e. Comp -> ( A. x e. X -. A. b e. J ( x e. b -> ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) ) -> E. z e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. z /\ A. b e. z E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) ) )
33	32	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ A C_ X ) -> ( A. x e. X -. A. b e. J ( x e. b -> ( b i^i ( A \ { x } ) ) =/= (/) ) -> E. z e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. z /\ A. b e. z E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) ) )
34	16, 33	sylbid 215	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ A C_ X ) -> ( -. E. x e. X x e. ( ( limPt ` J ) ` A ) -> E. z e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. z /\ A. b e. z E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) ) )
35	34	3adant3 1016	. . 3 |- ( ( J e. Comp /\ A C_ X /\ -. A e. Fin ) -> ( -. E. x e. X x e. ( ( limPt ` J ) ` A ) -> E. z e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. z /\ A. b e. z E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) ) )
36		inss2 3724	. . . . . . . . 9 |- ( ~P J i^i Fin ) C_ Fin
37	36	sseli 3505	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ~P J i^i Fin ) -> z e. Fin )
38		sseq2 3531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X = U. z -> ( A C_ X <-> A C_ U. z ) )
39	38	biimpac 486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ X /\ X = U. z ) -> A C_ U. z )
40		infssuni 7823	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. A e. Fin /\ z e. Fin /\ A C_ U. z ) -> E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin )
41	40	3expa 1196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ z e. Fin ) /\ A C_ U. z ) -> E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin )
42	41	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ U. z /\ ( -. A e. Fin /\ z e. Fin ) ) -> E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin )
43	39, 42	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ X /\ X = U. z ) /\ ( -. A e. Fin /\ z e. Fin ) ) -> E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin )
44	43	an42s 825	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ X /\ -. A e. Fin ) /\ ( z e. Fin /\ X = U. z ) ) -> E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin )
45	44	anassrs 648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ X /\ -. A e. Fin ) /\ z e. Fin ) /\ X = U. z ) -> E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin )
46	37, 45	sylanl2 651	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ X /\ -. A e. Fin ) /\ z e. ( ~P J i^i Fin ) ) /\ X = U. z ) -> E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin )
47		0fin 7759	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. Fin
48		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) -> ( ( b i^i ( A \ { o } ) ) e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
49	47, 48	mpbiri 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) -> ( b i^i ( A \ { o } ) ) e. Fin )
50		snfi 7608	. . . . . . . . . . 11 |- { o } e. Fin
51		unfi 7799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b i^i ( A \ { o } ) ) e. Fin /\ { o } e. Fin ) -> ( ( b i^i ( A \ { o } ) ) u. { o } ) e. Fin )
52	49, 50, 51	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) -> ( ( b i^i ( A \ { o } ) ) u. { o } ) e. Fin )
53		ssun1 3672	. . . . . . . . . . . 12 |- b C_ ( b u. { o } )
54		ssun1 3672	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ ( A u. { o } )
55		undif1 3908	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A \ { o } ) u. { o } ) = ( A u. { o } )
56	54, 55	sseqtr4i 3542	. . . . . . . . . . . 12 |- A C_ ( ( A \ { o } ) u. { o } )
57		ss2in 3730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b C_ ( b u. { o } ) /\ A C_ ( ( A \ { o } ) u. { o } ) ) -> ( b i^i A ) C_ ( ( b u. { o } ) i^i ( ( A \ { o } ) u. { o } ) ) )
58	53, 56, 57	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( b i^i A ) C_ ( ( b u. { o } ) i^i ( ( A \ { o } ) u. { o } ) )
59		incom 3696	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i b ) = ( b i^i A )
60		undir 3752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b i^i ( A \ { o } ) ) u. { o } ) = ( ( b u. { o } ) i^i ( ( A \ { o } ) u. { o } ) )
61	58, 59, 60	3sstr4i 3548	. . . . . . . . . 10 |- ( A i^i b ) C_ ( ( b i^i ( A \ { o } ) ) u. { o } )
62		ssfi 7752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b i^i ( A \ { o } ) ) u. { o } ) e. Fin /\ ( A i^i b ) C_ ( ( b i^i ( A \ { o } ) ) u. { o } ) ) -> ( A i^i b ) e. Fin )
63	52, 61, 62	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) -> ( A i^i b ) e. Fin )
64	63	exlimiv 1698	. . . . . . . 8 |- ( E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) -> ( A i^i b ) e. Fin )
65	64	ralimi 2860	. . . . . . 7 |- ( A. b e. z E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) -> A. b e. z ( A i^i b ) e. Fin )
66	46, 65	anim12ci 567	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A C_ X /\ -. A e. Fin ) /\ z e. ( ~P J i^i Fin ) ) /\ X = U. z ) /\ A. b e. z E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) -> ( A. b e. z ( A i^i b ) e. Fin /\ E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin ) )
67	66	expl 618	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ X /\ -. A e. Fin ) /\ z e. ( ~P J i^i Fin ) ) -> ( ( X = U. z /\ A. b e. z E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) -> ( A. b e. z ( A i^i b ) e. Fin /\ E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin ) ) )
68	67	reximdva 2942	. . . 4 |- ( ( A C_ X /\ -. A e. Fin ) -> ( E. z e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. z /\ A. b e. z E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) -> E. z e. ( ~P J i^i Fin ) ( A. b e. z ( A i^i b ) e. Fin /\ E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin ) ) )
69	68	3adant1 1014	. . 3 |- ( ( J e. Comp /\ A C_ X /\ -. A e. Fin ) -> ( E. z e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. z /\ A. b e. z E. o ( b i^i ( A \ { o } ) ) = (/) ) -> E. z e. ( ~P J i^i Fin ) ( A. b e. z ( A i^i b ) e. Fin /\ E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin ) ) )
70	35, 69	syld 44	. 2 |- ( ( J e. Comp /\ A C_ X /\ -. A e. Fin ) -> ( -. E. x e. X x e. ( ( limPt ` J ) ` A ) -> E. z e. ( ~P J i^i Fin ) ( A. b e. z ( A i^i b ) e. Fin /\ E. b e. z -. ( A i^i b ) e. Fin ) ) )
71	7, 70	mt3i 126	1 |- ( ( J e. Comp /\ A C_ X /\ -. A e. Fin ) -> E. x e. X x e. ( ( limPt ` J ) ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   \ cdif 3478   u. cun 3479   i^i cin 3480   C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033   U.cuni 4251   ` cfv 5594   Fincfn 7528   Topctop 19263   limPtclp 19503   Compccmp 19754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-fin 7532  df-top 19268  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-lp 19505  df-cmp 19755

This theorem is referenced by:  fourierdlem42  31763