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Theorem bwth 19996
Description: The glorious Bolzano-Weierstrass theorem. The first general topology theorem ever proved. The first mention of this theorem can be found in a course by Weierstrass from 1865. In his course Weierstrass called it a lemma. He didn't know how famous this theorem would be. He used a Euclidean space instead of a general compact space. And he was not aware of the Heine-Borel property. But the concepts of neighborhood and limit point were already there although not precisely defined. Cantor was one of his students. He published and used the theorem in an article from 1872. The rest of the general topology followed from that. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) Revised by BL to significantly shorten the proof and avoid infinity, regularity, and choice. (Revised by Brendan Leahy, 26-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
bwt2.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
bwth  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X

Proof of Theorem bwth
Dummy variables  o 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm3.24 880 . . . . . . 7  |-  -.  (
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( b  e.  z  ->  -.  ( ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
-.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) )
32nrex 2837 . . . . 5  |-  -.  E. b  e.  z  (
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
4 r19.29 2917 . . . . 5  |-  ( ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )  ->  E. b  e.  z  ( ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
-.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) )
53, 4mto 176 . . . 4  |-  -.  ( A. b  e.  z 
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
65a1i 11 . . 3  |-  ( z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  -.  ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
)
76nrex 2837 . 2  |-  -.  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
8 ralnex 2828 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  -.  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
9 cmptop 19981 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
10 bwt2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. J
1110islp3 19733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( (
limPt `  J ) `  A )  <->  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
12113expa 1194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )  <->  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) ) ) )
1312notbid 292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( -.  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
1413ralbidva 2818 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A. x  e.  X  -.  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )  <->  A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) ) ) )
159, 14sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( A. x  e.  X  -.  x  e.  (
( limPt `  J ) `  A )  <->  A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
168, 15syl5bbr 259 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
17 rexanali 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  <->  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) )
18 nne 2583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/)  <->  ( b  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )
19 vex 3037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
20 sneq 3954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  =  x  ->  { o }  =  { x } )
2120difeq2d 3536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  =  x  ->  ( A  \  { o } )  =  ( A 
\  { x }
) )
2221ineq2d 3614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  =  x  ->  (
b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  ( b  i^i  ( A  \  { x } ) ) )
2322eqeq1d 2384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  =  x  ->  (
( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/)  <->  (
b  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) ) )
2419, 23spcev 3126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { x }
) )  =  (/)  ->  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) )
2518, 24sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/)  ->  E. o
( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) )
2625anim2i 567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  b  /\  -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  -> 
( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) )
2726reximi 2850 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  -.  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) ) )
2817, 27sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) ) )
2928ralimi 2775 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  X  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  =  (/) ) )
3010cmpcov2 19976 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. b  e.  J  (
x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) )
3130ex 432 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A. x  e.  X  E. b  e.  J  (
x  e.  b  /\  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) ) )
3229, 31syl5 32 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  -> 
( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) ) )
3332adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( A. x  e.  X  -.  A. b  e.  J  ( x  e.  b  ->  ( b  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) ) ) )
3416, 33sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) ) )
35343adant3 1014 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) ) ) )
36 inss2 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P J  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3736sseli 3413 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
38 sseq2 3439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  U. z  -> 
( A  C_  X  <->  A 
C_  U. z ) )
3938biimpac 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  X  /\  X  =  U. z
)  ->  A  C_  U. z
)
40 infssuni 7726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  z  e.  Fin  /\  A  C_  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin )
41403expa 1194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  z  e.  Fin )  /\  A  C_  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
4241ancoms 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  U. z  /\  ( -.  A  e. 
Fin  /\  z  e.  Fin ) )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
4339, 42sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  X  =  U. z )  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  z  e.  Fin )
)  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
4443an42s 825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  ( z  e. 
Fin  /\  X  =  U. z ) )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
4544anassrs 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  z  e.  Fin )  /\  X  =  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
4637, 45sylanl2 649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
47 0fin 7663 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  Fin
48 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
4947, 48mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  e.  Fin )
50 snfi 7515 . . . . . . . . . . 11  |-  { o }  e.  Fin
51 unfi 7702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  i^i  ( A  \  { o } ) )  e.  Fin  /\ 
{ o }  e.  Fin )  ->  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  u.  {
o } )  e. 
Fin )
5249, 50, 51sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  u.  { o } )  e.  Fin )
53 ssun1 3581 . . . . . . . . . . . 12  |-  b  C_  ( b  u.  {
o } )
54 ssun1 3581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( A  u.  { o } )
55 undif1 3819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  { o } )  u.  {
o } )  =  ( A  u.  {
o } )
5654, 55sseqtr4i 3450 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( ( A  \  { o } )  u.  { o } )
57 ss2in 3639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  C_  ( b  u.  { o } )  /\  A  C_  (
( A  \  {
o } )  u. 
{ o } ) )  ->  ( b  i^i  A )  C_  (
( b  u.  {
o } )  i^i  ( ( A  \  { o } )  u.  { o } ) ) )
5853, 56, 57mp2an 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  i^i  A )  C_  ( ( b  u. 
{ o } )  i^i  ( ( A 
\  { o } )  u.  { o } ) )
59 incom 3605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  b )  =  ( b  i^i  A
)
60 undir 3672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  u.  {
o } )  =  ( ( b  u. 
{ o } )  i^i  ( ( A 
\  { o } )  u.  { o } ) )
6158, 59, 603sstr4i 3456 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  b )  C_  ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  u.  { o } )
62 ssfi 7656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  u.  { o } )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  b
)  C_  ( (
b  i^i  ( A  \  { o } ) )  u.  { o } ) )  -> 
( A  i^i  b
)  e.  Fin )
6352, 61, 62sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/)  ->  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
6463exlimiv 1730 . . . . . . . 8  |-  ( E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/)  ->  ( A  i^i  b )  e. 
Fin )
6564ralimi 2775 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/)  ->  A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin )
6646, 65anim12ci 565 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
)  /\  X  =  U. z )  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) )  ->  ( A. b  e.  z 
( A  i^i  b
)  e.  Fin  /\  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin )
)
6766expl 616 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) )  ->  ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
6867reximdva 2857 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A  \  {
o } ) )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
69683adant1 1012 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. z  /\  A. b  e.  z  E. o ( b  i^i  ( A 
\  { o } ) )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
7035, 69syld 44 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  ->  E. z  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( A. b  e.  z  ( A  i^i  b )  e.  Fin  /\ 
E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
717, 70mt3i 126 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733    \ cdif 3386    u. cun 3387    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   {csn 3944   U.cuni 4163   ` cfv 5496   Fincfn 7435   Topctop 19479   limPtclp 19721   Compccmp 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-fin 7439  df-top 19484  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-lp 19723  df-cmp 19973
This theorem is referenced by:  fourierdlem42  32097
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