MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwnz Structured version   Unicode version

Theorem btwnz 10923
Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
btwnz  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  x  <  A  /\  E. y  e.  ZZ  A  <  y ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, A

Proof of Theorem btwnz
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 9836 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
2 arch 10751 . . . 4  |-  ( -u A  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  -u A  <  z )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  -u A  <  z
)
4 nnre 10501 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
5 ltnegcon1 10012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( -u A  < 
z  <->  -u z  <  A
) )
65ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  RR  ->  (
-u A  <  z  <->  -u z  <  A ) ) )
74, 6syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  NN  ->  (
-u A  <  z  <->  -u z  <  A ) ) )
87pm5.32d 637 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( z  e.  NN  /\  -u A  <  z )  <-> 
( z  e.  NN  /\  -u z  <  A ) ) )
9 nnnegz 10826 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN  ->  -u z  e.  ZZ )
10 breq1 4395 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u z  ->  (
x  <  A  <->  -u z  < 
A ) )
1110rspcev 3157 . . . . . . 7  |-  ( (
-u z  e.  ZZ  /\  -u z  <  A )  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A )
129, 11sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  <  A )  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A )
138, 12syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( z  e.  NN  /\  -u A  <  z )  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A ) )
1413expd 434 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  NN  ->  (
-u A  <  z  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A ) ) )
1514rexlimdv 2891 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. z  e.  NN  -u A  <  z  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A ) )
163, 15mpd 15 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A
)
17 arch 10751 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  A  <  y
)
18 nnz 10845 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
1918anim1i 566 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  A  <  y )  -> 
( y  e.  ZZ  /\  A  <  y ) )
2019reximi2 2868 . . 3  |-  ( E. y  e.  NN  A  <  y  ->  E. y  e.  ZZ  A  <  y
)
2117, 20syl 17 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. y  e.  ZZ  A  <  y
)
2216, 21jca 530 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  x  <  A  /\  E. y  e.  ZZ  A  <  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1840   E.wrex 2752   class class class wbr 4392   RRcr 9439    < clt 9576   -ucneg 9760   NNcn 10494   ZZcz 10823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-z 10824
This theorem is referenced by:  lbzbi  11131  rpnnen1lem1  11169  rpnnen1lem2  11170  rpnnen1lem3  11171  rpnnen1lem5  11173  fourierdlem64  37288
  Copyright terms: Public domain W3C validator