Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  btwnconn1lem8 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem btwnconn1lem8 30861
 Description: Lemma for btwnconn1 30868. Now, we introduce the last three points used in the construction: , , and will turn out to be equal further down, and will provide us with the key to the final statement. We begin by establishing congruence of and . (Contributed by Scott Fenton, 8-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
btwnconn1lem8 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr

Proof of Theorem btwnconn1lem8
StepHypRef Expression
1 simpr2l 1067 . . . 4 Cgr Cgr Cgr
21ad2antll 735 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
3 simpr1r 1066 . . . . . 6 Cgr Cgr Cgr Cgr
43ad2antll 735 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
5 simp11 1038 . . . . . . . 8
6 simp2l1 1107 . . . . . . . 8
7 simp31 1044 . . . . . . . 8
8 simp2r1 1110 . . . . . . . 8
9 cgrcomlr 30765 . . . . . . . 8 Cgr Cgr
105, 6, 7, 6, 8, 9syl122anc 1277 . . . . . . 7 Cgr Cgr
11 cgrcom 30757 . . . . . . . 8 Cgr Cgr
125, 7, 6, 8, 6, 11syl122anc 1277 . . . . . . 7 Cgr Cgr
1310, 12bitrd 257 . . . . . 6 Cgr Cgr
1413adantr 467 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
154, 14mpbid 214 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
16 simp33 1046 . . . . 5
17 simp2r3 1112 . . . . 5
18 simp2l3 1109 . . . . . . 7
19 simpr1l 1065 . . . . . . . 8 Cgr Cgr Cgr
2019ad2antll 735 . . . . . . 7 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
215, 6, 18, 7, 20btwncomand 30782 . . . . . 6 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
22 simprll 772 . . . . . . 7 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
2322adantl 468 . . . . . 6 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
24 btwnintr 30786 . . . . . . . 8
255, 7, 6, 17, 18, 24syl122anc 1277 . . . . . . 7
2625adantr 467 . . . . . 6 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
2721, 23, 26mp2and 685 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
28 simpr2r 1068 . . . . . 6 Cgr Cgr Cgr Cgr
2928ad2antll 735 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
305, 8, 6, 16, 7, 6, 17, 2, 27, 15, 29cgrextendand 30776 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
31 brcgr3 30813 . . . . . 6 Cgr3 Cgr Cgr Cgr
325, 8, 6, 16, 7, 6, 17, 31syl133anc 1291 . . . . 5 Cgr3 Cgr Cgr Cgr
3332adantr 467 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr3 Cgr Cgr Cgr
3415, 30, 29, 33mpbir3and 1191 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr3
355, 8, 7cgrrflx2d 30751 . . . . 5 Cgr
3635adantr 467 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
3736, 4jca 535 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
382, 34, 373jca 1188 . 2 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr3 Cgr Cgr
39 simp1 1008 . . . . 5
40 simp2l 1034 . . . . 5
41 simp2r 1035 . . . . 5
4239, 40, 413jca 1188 . . . 4
43 simpl 459 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
44 simprl 764 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
4543, 44jca 535 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
46 btwnconn1lem7 30860 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr
4742, 45, 46syl2an 480 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
4847necomd 2679 . 2 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
49 brofs2 30844 . . . . . 6 Cgr3 Cgr Cgr
5049anbi1d 711 . . . . 5 Cgr3 Cgr Cgr
51 5segofs 30773 . . . . 5 Cgr
5250, 51sylbird 239 . . . 4 Cgr3 Cgr Cgr Cgr
535, 8, 6, 16, 7, 7, 6, 17, 8, 52syl333anc 1300 . . 3 Cgr3 Cgr Cgr Cgr
5453adantr 467 . 2 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr3 Cgr Cgr Cgr
5538, 48, 54mp2and 685 1 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wcel 1887   wne 2622  cop 3974   class class class wbr 4402  cfv 5582  cn 10609  cee 24918   cbtwn 24919  Cgrccgr 24920   cofs 30749  Cgr3ccgr3 30803 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-ee 24921  df-btwn 24922  df-cgr 24923  df-ofs 30750  df-ifs 30807  df-cgr3 30808 This theorem is referenced by:  btwnconn1lem9  30862  btwnconn1lem10  30863  btwnconn1lem11  30864
 Copyright terms: Public domain W3C validator