Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  btwnconn1lem1 Structured version   Unicode version

Theorem btwnconn1lem1 30796
 Description: Lemma for btwnconn1 30810. The next several lemmas introduce various properties of hypothetical points that end up eliminating alternatives to connectivity. We begin by showing a congruence property of those hypothetical points. (Contributed by Scott Fenton, 8-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
btwnconn1lem1 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr

Proof of Theorem btwnconn1lem1
StepHypRef Expression
1 simp11 1035 . 2
2 simp13 1037 . 2
3 simp22 1039 . 2
4 simp23 1040 . 2
5 simp33 1043 . 2
6 simp31 1041 . 2
7 simp21 1038 . 2
8 simp12 1036 . . 3
9 simp1rr 1071 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr
109adantl 467 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr
11 simp2ll 1072 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr
1211adantl 467 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr
131, 8, 2, 3, 4, 10, 12btwnexch3and 30730 . 2 Cgr Cgr Cgr Cgr
14 simp2rl 1074 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr
1514adantl 467 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr
16 simp3rl 1078 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr
1716adantl 467 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr
181, 8, 7, 6, 5, 15, 17btwnexch3and 30730 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr
191, 6, 7, 5, 18btwncomand 30724 . 2 Cgr Cgr Cgr Cgr
20 simp3rr 1079 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
2120adantl 467 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
221, 6, 5, 3, 2, 21cgrcomand 30700 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
231, 3, 2, 6, 5, 22cgrcomlrand 30710 . 2 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
24 simp2lr 1073 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
2524adantl 467 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
26 simp2rr 1075 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
2726adantl 467 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
281, 7, 6, 7, 3, 27cgrcomland 30708 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
291, 3, 4, 6, 7, 7, 3, 25, 28cgrtr3and 30704 . 2 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 19, 23, 29cgrextendand 30718 1 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wcel 1872   wne 2593  cop 3940   class class class wbr 4359  cfv 5537  cn 10553  cee 24853   cbtwn 24854  Cgrccgr 24855 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7971  df-card 8318  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-n0 10814  df-z 10882  df-uz 11104  df-rp 11247  df-ico 11585  df-icc 11586  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-seq 12157  df-exp 12216  df-hash 12459  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-clim 13488  df-sum 13689  df-ee 24856  df-btwn 24857  df-cgr 24858  df-ofs 30692 This theorem is referenced by:  btwnconn1lem2  30797  btwnconn1lem4  30799
 Copyright terms: Public domain W3C validator