Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  btwncomand Structured version   Unicode version

Theorem btwncomand 29640
Description: Deduction form of btwncom 29639. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
btwncomand.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
btwncomand.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
btwncomand.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
btwncomand.4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
btwncomand.5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  Btwn  <. B ,  C >. )
Assertion
Ref Expression
btwncomand  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  Btwn  <. C ,  B >. )

Proof of Theorem btwncomand
StepHypRef Expression
1 btwncomand.5 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  Btwn  <. B ,  C >. )
2 btwncomand.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 btwncomand.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
4 btwncomand.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
5 btwncomand.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
6 btwncom 29639 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( A  Btwn  <. B ,  C >. 
<->  A  Btwn  <. C ,  B >. ) )
72, 3, 4, 5, 6syl13anc 1231 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  Btwn  <. B ,  C >. 
<->  A  Btwn  <. C ,  B >. ) )
87adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  Btwn  <. B ,  C >. 
<->  A  Btwn  <. C ,  B >. ) )
91, 8mpbid 210 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  Btwn  <. C ,  B >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804   <.cop 4020   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   NNcn 10543   EEcee 24167    Btwn cbtwn 24168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-sum 13490  df-ee 24170  df-btwn 24171  df-cgr 24172
This theorem is referenced by:  btwnouttr  29649  cgrxfr  29680  btwnconn1lem1  29712  btwnconn1lem2  29713  btwnconn1lem3  29714  btwnconn1lem8  29719  btwnconn1lem10  29721  btwnconn1lem11  29722  btwnconn3  29728  segcon2  29730  segleantisym  29740  colinbtwnle  29743  broutsideof2  29747  btwnoutside  29750  broutsideof3  29751  outsidele  29757  lineunray  29772  lineelsb2  29773
  Copyright terms: Public domain W3C validator