MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brwdom3i Structured version   Unicode version

Theorem brwdom3i 7899
Description: Weak dominance implies existence of a covering function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
brwdom3i  |-  ( X  ~<_*  Y  ->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) )
Distinct variable groups:    f, X, x, y    f, Y, x, y

Proof of Theorem brwdom3i
StepHypRef Expression
1 relwdom 7882 . . . 4  |-  Rel  ~<_*
21brrelexi 4977 . . 3  |-  ( X  ~<_*  Y  ->  X  e.  _V )
31brrelex2i 4978 . . 3  |-  ( X  ~<_*  Y  ->  Y  e.  _V )
4 brwdom3 7898 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . 2  |-  ( X  ~<_*  Y  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
65ibi 241 1  |-  ( X  ~<_*  Y  ->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3068   class class class wbr 4390   ` cfv 5516    ~<_* cwdom 7873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-wdom 7875
This theorem is referenced by:  unwdomg  7900  xpwdomg  7901
  Copyright terms: Public domain W3C validator