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Theorem brwdom3 7812
Description: Condition for weak dominance with a condition reminiscent of wdomd 7811. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
brwdom3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
Distinct variable groups:    f, X, x, y    f, Y, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, f)    W( x, y, f)

Proof of Theorem brwdom3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2996 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  _V )
2 elex 2996 . 2  |-  ( Y  e.  W  ->  Y  e.  _V )
3 brwdom2 7803 . . . . 5  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  e.  ~P  Y E. f  f : z -onto-> X ) )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  e.  ~P  Y E. f  f : z -onto-> X ) )
5 dffo3 5873 . . . . . . . 8  |-  ( f : z -onto-> X  <->  ( f : z --> X  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  z  x  =  ( f `  y ) ) )
65simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( f : z -onto-> X  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  z  x  =  ( f `  y ) )
7 elpwi 3884 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~P Y  -> 
z  C_  Y )
8 ssrexv 3432 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  Y  ->  ( E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P Y  -> 
( E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
109adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  ( E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
1110ralimdv 2810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  ( A. x  e.  X  E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
126, 11syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  (
f : z -onto-> X  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
1312eximdv 1676 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  ( E. f  f :
z -onto-> X  ->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
1413rexlimdva 2856 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( E. z  e. 
~P  Y E. f 
f : z -onto-> X  ->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
154, 14sylbid 215 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  ~<_*  Y  ->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
16 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  X  e.  _V )
17 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  Y  e.  _V )
18 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( f `
 y )  <->  z  =  ( f `  y
) ) )
1918rexbidv 2751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  <->  E. y  e.  Y  z  =  ( f `  y
) ) )
20 fveq2 5706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
f `  y )  =  ( f `  w ) )
2120eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
z  =  ( f `
 y )  <->  z  =  ( f `  w
) ) )
2221cbvrexv 2963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  Y  z  =  ( f `  y )  <->  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2319, 22syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  <->  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) ) )
2423cbvralv 2962 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  <->  A. z  e.  X  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2524biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2625adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w ) )
2726r19.21bi 2829 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) )  /\  z  e.  X )  ->  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2816, 17, 27wdom2d 7810 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  X  ~<_*  Y )
2928ex 434 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  ->  X  ~<_*  Y ) )
3029exlimdv 1690 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  ->  X  ~<_*  Y ) )
3115, 30impbid 191 . 2  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
321, 2, 31syl2an 477 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2730   E.wrex 2731   _Vcvv 2987    C_ wss 3343   ~Pcpw 3875   class class class wbr 4307   -->wf 5429   -onto->wfo 5431   ` cfv 5433    ~<_* cwdom 7787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-wdom 7789
This theorem is referenced by:  brwdom3i  7813
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