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Theorem brwdom3 8020
Description: Condition for weak dominance with a condition reminiscent of wdomd 8019. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
brwdom3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
Distinct variable groups:    f, X, x, y    f, Y, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, f)    W( x, y, f)

Proof of Theorem brwdom3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3127 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  _V )
2 elex 3127 . 2  |-  ( Y  e.  W  ->  Y  e.  _V )
3 brwdom2 8011 . . . . 5  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  e.  ~P  Y E. f  f : z -onto-> X ) )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  e.  ~P  Y E. f  f : z -onto-> X ) )
5 dffo3 6047 . . . . . . . 8  |-  ( f : z -onto-> X  <->  ( f : z --> X  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  z  x  =  ( f `  y ) ) )
65simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( f : z -onto-> X  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  z  x  =  ( f `  y ) )
7 elpwi 4025 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~P Y  -> 
z  C_  Y )
8 ssrexv 3570 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  Y  ->  ( E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P Y  -> 
( E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
109adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  ( E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
1110ralimdv 2877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  ( A. x  e.  X  E. y  e.  z  x  =  ( f `  y )  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
126, 11syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  (
f : z -onto-> X  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
1312eximdv 1686 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  z  e.  ~P Y )  ->  ( E. f  f :
z -onto-> X  ->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
1413rexlimdva 2959 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( E. z  e. 
~P  Y E. f 
f : z -onto-> X  ->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
154, 14sylbid 215 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  ~<_*  Y  ->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) ) )
16 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  X  e.  _V )
17 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  Y  e.  _V )
18 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( f `
 y )  <->  z  =  ( f `  y
) ) )
1918rexbidv 2978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  <->  E. y  e.  Y  z  =  ( f `  y
) ) )
20 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
f `  y )  =  ( f `  w ) )
2120eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
z  =  ( f `
 y )  <->  z  =  ( f `  w
) ) )
2221cbvrexv 3094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  Y  z  =  ( f `  y )  <->  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2319, 22syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  <->  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) ) )
2423cbvralv 3093 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  <->  A. z  e.  X  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2524biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2625adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w ) )
2726r19.21bi 2836 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) )  /\  z  e.  X )  ->  E. w  e.  Y  z  =  ( f `  w
) )
2816, 17, 27wdom2d 8018 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y ) )  ->  X  ~<_*  Y )
2928ex 434 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  ->  X  ~<_*  Y ) )
3029exlimdv 1700 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y )  ->  X  ~<_*  Y ) )
3115, 30impbid 191 . 2  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
321, 2, 31syl2an 477 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. f A. x  e.  X  E. y  e.  Y  x  =  ( f `  y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   class class class wbr 4453   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594    ~<_* cwdom 7995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-wdom 7997
This theorem is referenced by:  brwdom3i  8021
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