Theorem brwdom2 7900

Description: Alternate characterization of the weak dominance predicate which does not require special treatment of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brwdom2	|- ( Y e. V -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )

Distinct variable groups:   y, X, z   y, Y, z

Allowed substitution hints:   V( y, z)

Proof of Theorem brwdom2

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3087	. 2 |- ( Y e. V -> Y e. _V )
2		0wdom 7897	. . . . . 6 |- ( Y e. _V -> (/) ~<_* Y )
3		breq1 4404	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> ( X ~<_* Y <-> (/) ~<_* Y ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 222	. . . . 5 |- ( Y e. _V -> ( X = (/) -> X ~<_* Y ) )
5	4	imp 429	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X = (/) ) -> X ~<_* Y )
6		0elpw 4570	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P Y
7		f1o0 5784	. . . . . . . 8 |- (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
8		f1ofo 5757	. . . . . . . 8 |- ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/) -> (/) : (/) -onto-> (/) )
9		0ex 4531	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
10		foeq1 5725	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( z : (/) -onto-> (/) <-> (/) : (/) -onto-> (/) ) )
11	9, 10	spcev 3170	. . . . . . . 8 |- ( (/) : (/) -onto-> (/) -> E. z z : (/) -onto-> (/) )
12	7, 8, 11	mp2b 10	. . . . . . 7 |- E. z z : (/) -onto-> (/)
13		foeq2 5726	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( z : y -onto-> (/) <-> z : (/) -onto-> (/) ) )
14	13	exbidv 1681	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( E. z z : y -onto-> (/) <-> E. z z : (/) -onto-> (/) ) )
15	14	rspcev 3179	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. ~P Y /\ E. z z : (/) -onto-> (/) ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> (/) )
16	6, 12, 15	mp2an 672	. . . . . 6 |- E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> (/)
17		foeq3 5727	. . . . . . . 8 |- ( X = (/) -> ( z : y -onto-> X <-> z : y -onto-> (/) ) )
18	17	exbidv 1681	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> ( E. z z : y -onto-> X <-> E. z z : y -onto-> (/) ) )
19	18	rexbidv 2868	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> ( E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> (/) ) )
20	16, 19	mpbiri 233	. . . . 5 |- ( X = (/) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
21	20	adantl 466	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X = (/) ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
22	5, 21	2thd 240	. . 3 |- ( ( Y e. _V /\ X = (/) ) -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
23		brwdomn0 7896	. . . . 5 |- ( X =/= (/) -> ( X ~<_* Y <-> E. x x : Y -onto-> X ) )
24	23	adantl 466	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( X ~<_* Y <-> E. x x : Y -onto-> X ) )
25		foeq1 5725	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x : Y -onto-> X <-> z : Y -onto-> X ) )
26	25	cbvexv 1984	. . . . . 6 |- ( E. x x : Y -onto-> X <-> E. z z : Y -onto-> X )
27		pwidg 3982	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. _V -> Y e. ~P Y )
28	27	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ E. z z : Y -onto-> X ) -> Y e. ~P Y )
29		foeq2 5726	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( z : y -onto-> X <-> z : Y -onto-> X ) )
30	29	exbidv 1681	. . . . . . . . 9 |- ( y = Y -> ( E. z z : y -onto-> X <-> E. z z : Y -onto-> X ) )
31	30	rspcev 3179	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. ~P Y /\ E. z z : Y -onto-> X ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
32	28, 31	sylancom 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ E. z z : Y -onto-> X ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
33	32	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. z z : Y -onto-> X -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
34	26, 33	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. x x : Y -onto-> X -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
35		n0 3755	. . . . . . . . . . 11 |- ( X =/= (/) <-> E. w w e. X )
36	35	biimpi 194	. . . . . . . . . 10 |- ( X =/= (/) -> E. w w e. X )
37	36	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> E. w w e. X )
38		vex 3081	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
39		difexg 4549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y e. _V -> ( Y \ y ) e. _V )
40		snex 4642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { w } e. _V
41		xpexg 6618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y \ y ) e. _V /\ { w } e. _V ) -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) e. _V )
42	39, 40, 41	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. _V -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) e. _V )
43		unexg 6492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. _V /\ ( ( Y \ y ) X. { w } ) e. _V ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
44	38, 42, 43	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. _V -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
45	44	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
46	45	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
47		fofn 5731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z : y -onto-> X -> z Fn y )
48	47	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) -> z Fn y )
49	48	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> z Fn y )
50		vex 3081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
51		fnconstg 5707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. _V -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) Fn ( Y \ y ) )
52	50, 51	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) Fn ( Y \ y ) )
53		disjdif 3860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y i^i ( Y \ y ) ) = (/)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( y i^i ( Y \ y ) ) = (/) )
55		fnun 5626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z Fn y /\ ( ( Y \ y ) X. { w } ) Fn ( Y \ y ) ) /\ ( y i^i ( Y \ y ) ) = (/) ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn ( y u. ( Y \ y ) ) )
56	49, 52, 54, 55	syl21anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn ( y u. ( Y \ y ) ) )
57		elpwi 3978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ~P Y -> y C_ Y )
58		undif 3868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C_ Y <-> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
59	57, 58	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ~P Y -> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
60	59	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
61	60	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
62	61	fneq2d 5611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn ( y u. ( Y \ y ) ) <-> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn Y ) )
63	56, 62	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn Y )
64		rnun 5354	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = ( ran z u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) )
65		forn 5732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z : y -onto-> X -> ran z = X )
66	65	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> ran z = X )
67	66	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ran z = X )
68	67	uneq1d 3618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ran z u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = ( X u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) )
69		fconst6g 5708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. X -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) : ( Y \ y ) --> X )
70		frn 5674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Y \ y ) X. { w } ) : ( Y \ y ) --> X -> ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X )
71	69, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. X -> ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X )
72	71	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X )
73		ssequn2 3638	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X <-> ( X u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
74	72, 73	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( X u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
75	68, 74	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ran z u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
76	64, 75	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ran ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
77		df-fo 5533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X <-> ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn Y /\ ran ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X ) )
78	63, 76, 77	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X )
79		foeq1 5725	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) -> ( x : Y -onto-> X <-> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X ) )
80	79	spcegv 3164	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V -> ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
81	46, 78, 80	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> E. x x : Y -onto-> X )
82	37, 81	exlimddv 1693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> E. x x : Y -onto-> X )
83	82	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ y e. ~P Y ) -> ( z : y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
84	83	exlimdv 1691	. . . . . 6 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ y e. ~P Y ) -> ( E. z z : y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
85	84	rexlimdva 2947	. . . . 5 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
86	34, 85	impbid 191	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. x x : Y -onto-> X <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
87	24, 86	bitrd 253	. . 3 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
88	22, 87	pm2.61dane 2770	. 2 |- ( Y e. _V -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
89	1, 88	syl 16	1 |- ( Y e. V -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   =/= wne 2648   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   \ cdif 3434   u. cun 3435   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3746   ~Pcpw 3969   {csn 3986   class class class wbr 4401   X. cxp 4947   ran crn 4950   Fn wfn 5522   -->wf 5523   -onto->wfo 5525   -1-1-onto->wf1o 5526   ~<_^* cwdom 7884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-wdom 7886

This theorem is referenced by:  brwdom3  7909