Theorem brwdom2 8088

Description: Alternate characterization of the weak dominance predicate which does not require special treatment of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brwdom2	|- ( Y e. V -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )

Distinct variable groups:   y, X, z   y, Y, z

Allowed substitution hints:   V( y, z)

Proof of Theorem brwdom2

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3054	. 2 |- ( Y e. V -> Y e. _V )
2		0wdom 8085	. . . . . 6 |- ( Y e. _V -> (/) ~<_* Y )
3		breq1 4405	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> ( X ~<_* Y <-> (/) ~<_* Y ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 226	. . . . 5 |- ( Y e. _V -> ( X = (/) -> X ~<_* Y ) )
5	4	imp 431	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X = (/) ) -> X ~<_* Y )
6		0elpw 4572	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P Y
7		f1o0 5849	. . . . . . . 8 |- (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
8		f1ofo 5821	. . . . . . . 8 |- ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/) -> (/) : (/) -onto-> (/) )
9		0ex 4535	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
10		foeq1 5789	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( z : (/) -onto-> (/) <-> (/) : (/) -onto-> (/) ) )
11	9, 10	spcev 3141	. . . . . . . 8 |- ( (/) : (/) -onto-> (/) -> E. z z : (/) -onto-> (/) )
12	7, 8, 11	mp2b 10	. . . . . . 7 |- E. z z : (/) -onto-> (/)
13		foeq2 5790	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( z : y -onto-> (/) <-> z : (/) -onto-> (/) ) )
14	13	exbidv 1768	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( E. z z : y -onto-> (/) <-> E. z z : (/) -onto-> (/) ) )
15	14	rspcev 3150	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. ~P Y /\ E. z z : (/) -onto-> (/) ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> (/) )
16	6, 12, 15	mp2an 678	. . . . . 6 |- E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> (/)
17		foeq3 5791	. . . . . . . 8 |- ( X = (/) -> ( z : y -onto-> X <-> z : y -onto-> (/) ) )
18	17	exbidv 1768	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> ( E. z z : y -onto-> X <-> E. z z : y -onto-> (/) ) )
19	18	rexbidv 2901	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> ( E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> (/) ) )
20	16, 19	mpbiri 237	. . . . 5 |- ( X = (/) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
21	20	adantl 468	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X = (/) ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
22	5, 21	2thd 244	. . 3 |- ( ( Y e. _V /\ X = (/) ) -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
23		brwdomn0 8084	. . . . 5 |- ( X =/= (/) -> ( X ~<_* Y <-> E. x x : Y -onto-> X ) )
24	23	adantl 468	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( X ~<_* Y <-> E. x x : Y -onto-> X ) )
25		foeq1 5789	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x : Y -onto-> X <-> z : Y -onto-> X ) )
26	25	cbvexv 2117	. . . . . 6 |- ( E. x x : Y -onto-> X <-> E. z z : Y -onto-> X )
27		pwidg 3964	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. _V -> Y e. ~P Y )
28	27	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ E. z z : Y -onto-> X ) -> Y e. ~P Y )
29		foeq2 5790	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( z : y -onto-> X <-> z : Y -onto-> X ) )
30	29	exbidv 1768	. . . . . . . . 9 |- ( y = Y -> ( E. z z : y -onto-> X <-> E. z z : Y -onto-> X ) )
31	30	rspcev 3150	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. ~P Y /\ E. z z : Y -onto-> X ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
32	28, 31	sylancom 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ E. z z : Y -onto-> X ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
33	32	ex 436	. . . . . 6 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. z z : Y -onto-> X -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
34	26, 33	syl5bi 221	. . . . 5 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. x x : Y -onto-> X -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
35		n0 3741	. . . . . . . . . . 11 |- ( X =/= (/) <-> E. w w e. X )
36	35	biimpi 198	. . . . . . . . . 10 |- ( X =/= (/) -> E. w w e. X )
37	36	ad2antlr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> E. w w e. X )
38		vex 3048	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
39		difexg 4551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y e. _V -> ( Y \ y ) e. _V )
40		snex 4641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { w } e. _V
41		xpexg 6593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y \ y ) e. _V /\ { w } e. _V ) -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) e. _V )
42	39, 40, 41	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. _V -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) e. _V )
43		unexg 6592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. _V /\ ( ( Y \ y ) X. { w } ) e. _V ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
44	38, 42, 43	sylancr 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. _V -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
45	44	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
46	45	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
47		fofn 5795	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z : y -onto-> X -> z Fn y )
48	47	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) -> z Fn y )
49	48	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> z Fn y )
50		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
51		fnconstg 5771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. _V -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) Fn ( Y \ y ) )
52	50, 51	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) Fn ( Y \ y ) )
53		disjdif 3839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y i^i ( Y \ y ) ) = (/)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( y i^i ( Y \ y ) ) = (/) )
55		fnun 5682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z Fn y /\ ( ( Y \ y ) X. { w } ) Fn ( Y \ y ) ) /\ ( y i^i ( Y \ y ) ) = (/) ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn ( y u. ( Y \ y ) ) )
56	49, 52, 54, 55	syl21anc 1267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn ( y u. ( Y \ y ) ) )
57		elpwi 3960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ~P Y -> y C_ Y )
58		undif 3848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C_ Y <-> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
59	57, 58	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ~P Y -> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
60	59	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
61	60	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
62	61	fneq2d 5667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn ( y u. ( Y \ y ) ) <-> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn Y ) )
63	56, 62	mpbid 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn Y )
64		rnun 5244	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = ( ran z u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) )
65		forn 5796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z : y -onto-> X -> ran z = X )
66	65	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> ran z = X )
67	66	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ran z = X )
68	67	uneq1d 3587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ran z u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = ( X u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) )
69		fconst6g 5772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. X -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) : ( Y \ y ) --> X )
70		frn 5735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Y \ y ) X. { w } ) : ( Y \ y ) --> X -> ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X )
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. X -> ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X )
72	71	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X )
73		ssequn2 3607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X <-> ( X u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
74	72, 73	sylib 200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( X u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
75	68, 74	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ran z u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
76	64, 75	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ran ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
77		df-fo 5588	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X <-> ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn Y /\ ran ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X ) )
78	63, 76, 77	sylanbrc 670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X )
79		foeq1 5789	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) -> ( x : Y -onto-> X <-> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X ) )
80	79	spcegv 3135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V -> ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
81	46, 78, 80	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> E. x x : Y -onto-> X )
82	37, 81	exlimddv 1781	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> E. x x : Y -onto-> X )
83	82	expr 620	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ y e. ~P Y ) -> ( z : y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
84	83	exlimdv 1779	. . . . . 6 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ y e. ~P Y ) -> ( E. z z : y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
85	84	rexlimdva 2879	. . . . 5 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
86	34, 85	impbid 194	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. x x : Y -onto-> X <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
87	24, 86	bitrd 257	. . 3 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
88	22, 87	pm2.61dane 2711	. 2 |- ( Y e. _V -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
89	1, 88	syl 17	1 |- ( Y e. V -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   =/= wne 2622   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   class class class wbr 4402   X. cxp 4832   ran crn 4835   Fn wfn 5577   -->wf 5578   -onto->wfo 5580   -1-1-onto->wf1o 5581   ~<_^* cwdom 8072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-wdom 8074

This theorem is referenced by:  brwdom3  8097