Theorem brwdom2 7991

Description: Alternate characterization of the weak dominance predicate which does not require special treatment of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brwdom2	|- ( Y e. V -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )

Distinct variable groups:   y, X, z   y, Y, z

Allowed substitution hints:   V( y, z)

Proof of Theorem brwdom2

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3115	. 2 |- ( Y e. V -> Y e. _V )
2		0wdom 7988	. . . . . 6 |- ( Y e. _V -> (/) ~<_* Y )
3		breq1 4442	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> ( X ~<_* Y <-> (/) ~<_* Y ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 222	. . . . 5 |- ( Y e. _V -> ( X = (/) -> X ~<_* Y ) )
5	4	imp 427	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X = (/) ) -> X ~<_* Y )
6		0elpw 4606	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P Y
7		f1o0 5832	. . . . . . . 8 |- (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
8		f1ofo 5805	. . . . . . . 8 |- ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/) -> (/) : (/) -onto-> (/) )
9		0ex 4569	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
10		foeq1 5773	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( z : (/) -onto-> (/) <-> (/) : (/) -onto-> (/) ) )
11	9, 10	spcev 3198	. . . . . . . 8 |- ( (/) : (/) -onto-> (/) -> E. z z : (/) -onto-> (/) )
12	7, 8, 11	mp2b 10	. . . . . . 7 |- E. z z : (/) -onto-> (/)
13		foeq2 5774	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( z : y -onto-> (/) <-> z : (/) -onto-> (/) ) )
14	13	exbidv 1719	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( E. z z : y -onto-> (/) <-> E. z z : (/) -onto-> (/) ) )
15	14	rspcev 3207	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. ~P Y /\ E. z z : (/) -onto-> (/) ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> (/) )
16	6, 12, 15	mp2an 670	. . . . . 6 |- E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> (/)
17		foeq3 5775	. . . . . . . 8 |- ( X = (/) -> ( z : y -onto-> X <-> z : y -onto-> (/) ) )
18	17	exbidv 1719	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> ( E. z z : y -onto-> X <-> E. z z : y -onto-> (/) ) )
19	18	rexbidv 2965	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> ( E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> (/) ) )
20	16, 19	mpbiri 233	. . . . 5 |- ( X = (/) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
21	20	adantl 464	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X = (/) ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
22	5, 21	2thd 240	. . 3 |- ( ( Y e. _V /\ X = (/) ) -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
23		brwdomn0 7987	. . . . 5 |- ( X =/= (/) -> ( X ~<_* Y <-> E. x x : Y -onto-> X ) )
24	23	adantl 464	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( X ~<_* Y <-> E. x x : Y -onto-> X ) )
25		foeq1 5773	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x : Y -onto-> X <-> z : Y -onto-> X ) )
26	25	cbvexv 2029	. . . . . 6 |- ( E. x x : Y -onto-> X <-> E. z z : Y -onto-> X )
27		pwidg 4012	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. _V -> Y e. ~P Y )
28	27	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ E. z z : Y -onto-> X ) -> Y e. ~P Y )
29		foeq2 5774	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( z : y -onto-> X <-> z : Y -onto-> X ) )
30	29	exbidv 1719	. . . . . . . . 9 |- ( y = Y -> ( E. z z : y -onto-> X <-> E. z z : Y -onto-> X ) )
31	30	rspcev 3207	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. ~P Y /\ E. z z : Y -onto-> X ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
32	28, 31	sylancom 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ E. z z : Y -onto-> X ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
33	32	ex 432	. . . . . 6 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. z z : Y -onto-> X -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
34	26, 33	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. x x : Y -onto-> X -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
35		n0 3793	. . . . . . . . . . 11 |- ( X =/= (/) <-> E. w w e. X )
36	35	biimpi 194	. . . . . . . . . 10 |- ( X =/= (/) -> E. w w e. X )
37	36	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> E. w w e. X )
38		vex 3109	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
39		difexg 4585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y e. _V -> ( Y \ y ) e. _V )
40		snex 4678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { w } e. _V
41		xpexg 6575	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y \ y ) e. _V /\ { w } e. _V ) -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) e. _V )
42	39, 40, 41	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. _V -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) e. _V )
43		unexg 6574	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. _V /\ ( ( Y \ y ) X. { w } ) e. _V ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
44	38, 42, 43	sylancr 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. _V -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
45	44	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
46	45	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
47		fofn 5779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z : y -onto-> X -> z Fn y )
48	47	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) -> z Fn y )
49	48	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> z Fn y )
50		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
51		fnconstg 5755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. _V -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) Fn ( Y \ y ) )
52	50, 51	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) Fn ( Y \ y ) )
53		disjdif 3888	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y i^i ( Y \ y ) ) = (/)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( y i^i ( Y \ y ) ) = (/) )
55		fnun 5669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z Fn y /\ ( ( Y \ y ) X. { w } ) Fn ( Y \ y ) ) /\ ( y i^i ( Y \ y ) ) = (/) ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn ( y u. ( Y \ y ) ) )
56	49, 52, 54, 55	syl21anc 1225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn ( y u. ( Y \ y ) ) )
57		elpwi 4008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ~P Y -> y C_ Y )
58		undif 3896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C_ Y <-> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
59	57, 58	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ~P Y -> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
60	59	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
61	60	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
62	61	fneq2d 5654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn ( y u. ( Y \ y ) ) <-> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn Y ) )
63	56, 62	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn Y )
64		rnun 5399	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = ( ran z u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) )
65		forn 5780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z : y -onto-> X -> ran z = X )
66	65	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> ran z = X )
67	66	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ran z = X )
68	67	uneq1d 3643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ran z u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = ( X u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) )
69		fconst6g 5756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. X -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) : ( Y \ y ) --> X )
70		frn 5719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Y \ y ) X. { w } ) : ( Y \ y ) --> X -> ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X )
71	69, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. X -> ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X )
72	71	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X )
73		ssequn2 3663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X <-> ( X u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
74	72, 73	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( X u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
75	68, 74	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ran z u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
76	64, 75	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ran ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
77		df-fo 5576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X <-> ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn Y /\ ran ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X ) )
78	63, 76, 77	sylanbrc 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X )
79		foeq1 5773	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) -> ( x : Y -onto-> X <-> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X ) )
80	79	spcegv 3192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V -> ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
81	46, 78, 80	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> E. x x : Y -onto-> X )
82	37, 81	exlimddv 1731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> E. x x : Y -onto-> X )
83	82	expr 613	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ y e. ~P Y ) -> ( z : y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
84	83	exlimdv 1729	. . . . . 6 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ y e. ~P Y ) -> ( E. z z : y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
85	84	rexlimdva 2946	. . . . 5 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
86	34, 85	impbid 191	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. x x : Y -onto-> X <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
87	24, 86	bitrd 253	. . 3 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
88	22, 87	pm2.61dane 2772	. 2 |- ( Y e. _V -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
89	1, 88	syl 16	1 |- ( Y e. V -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   =/= wne 2649   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   class class class wbr 4439   X. cxp 4986   ran crn 4989   Fn wfn 5565   -->wf 5566   -onto->wfo 5568   -1-1-onto->wf1o 5569   ~<_^* cwdom 7975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-wdom 7977

This theorem is referenced by:  brwdom3  8000