MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brwdom2 Structured version   Unicode version

Theorem brwdom2 7988
Description: Alternate characterization of the weak dominance predicate which does not require special treatment of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
brwdom2  |-  ( Y  e.  V  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. y  e.  ~P  Y E. z  z : y -onto-> X ) )
Distinct variable groups:    y, X, z    y, Y, z
Allowed substitution hints:    V( y, z)

Proof of Theorem brwdom2
Dummy variables  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3115 . 2  |-  ( Y  e.  V  ->  Y  e.  _V )
2 0wdom 7985 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  _V  ->  (/)  ~<_*  Y )
3 breq1 4443 . . . . . 6  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X  ~<_*  Y 
<->  (/) 
~<_* 
Y ) )
42, 3syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( X  =  (/)  ->  X  ~<_*  Y ) )
54imp 429 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  =  (/) )  ->  X  ~<_*  Y )
6 0elpw 4609 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ~P Y
7 f1o0 5841 . . . . . . . 8  |-  (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
8 f1ofo 5814 . . . . . . . 8  |-  ( (/) :
(/)
-1-1-onto-> (/) 
->  (/) : (/) -onto-> (/) )
9 0ex 4570 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
10 foeq1 5782 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  ( z : (/) -onto-> (/)  <->  (/) : (/) -onto-> (/) ) )
119, 10spcev 3198 . . . . . . . 8  |-  ( (/) :
(/) -onto-> (/)  ->  E. z 
z : (/) -onto-> (/) )
127, 8, 11mp2b 10 . . . . . . 7  |-  E. z 
z : (/) -onto-> (/)
13 foeq2 5783 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( z : y -onto-> (/)  <->  z : (/)
-onto-> (/) ) )
1413exbidv 1685 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. z  z : y
-onto-> (/) 
<->  E. z  z :
(/) -onto-> (/) ) )
1514rspcev 3207 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  ~P Y  /\  E. z  z :
(/) -onto-> (/) )  ->  E. y  e.  ~P  Y E. z 
z : y -onto-> (/) )
166, 12, 15mp2an 672 . . . . . 6  |-  E. y  e.  ~P  Y E. z 
z : y -onto-> (/)
17 foeq3 5784 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  (/)  ->  ( z : y -onto-> X  <->  z :
y -onto-> (/) ) )
1817exbidv 1685 . . . . . . 7  |-  ( X  =  (/)  ->  ( E. z  z : y
-onto-> X  <->  E. z  z : y -onto-> (/) ) )
1918rexbidv 2966 . . . . . 6  |-  ( X  =  (/)  ->  ( E. y  e.  ~P  Y E. z  z :
y -onto-> X  <->  E. y  e.  ~P  Y E. z  z : y -onto-> (/) ) )
2016, 19mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  E. y  e.  ~P  Y E. z 
z : y -onto-> X )
2120adantl 466 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  =  (/) )  ->  E. y  e.  ~P  Y E. z  z : y -onto-> X )
225, 212thd 240 . . 3  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  =  (/) )  -> 
( X  ~<_*  Y  <->  E. y  e.  ~P  Y E. z  z : y -onto-> X ) )
23 brwdomn0 7984 . . . . 5  |-  ( X  =/=  (/)  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. x  x : Y -onto-> X ) )
2423adantl 466 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. x  x : Y -onto-> X ) )
25 foeq1 5782 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x : Y -onto-> X  <->  z : Y -onto-> X ) )
2625cbvexv 1990 . . . . . 6  |-  ( E. x  x : Y -onto-> X 
<->  E. z  z : Y -onto-> X )
27 pwidg 4016 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  _V  ->  Y  e.  ~P Y )
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  _V  /\  X  =/=  (/) )  /\  E. z  z : Y -onto-> X )  ->  Y  e.  ~P Y )
29 foeq2 5783 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
z : y -onto-> X  <-> 
z : Y -onto-> X
) )
3029exbidv 1685 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  ( E. z  z :
y -onto-> X  <->  E. z  z : Y -onto-> X ) )
3130rspcev 3207 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  ~P Y  /\  E. z  z : Y -onto-> X )  ->  E. y  e.  ~P  Y E. z 
z : y -onto-> X )
3228, 31sylancom 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  _V  /\  X  =/=  (/) )  /\  E. z  z : Y -onto-> X )  ->  E. y  e.  ~P  Y E. z 
z : y -onto-> X )
3332ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. z  z : Y -onto-> X  ->  E. y  e.  ~P  Y E. z 
z : y -onto-> X ) )
3426, 33syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. x  x : Y -onto-> X  ->  E. y  e.  ~P  Y E. z 
z : y -onto-> X ) )
35 n0 3787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  X )
3635biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =/=  (/)  ->  E. w  w  e.  X )
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  e.  _V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y
-onto-> X ) )  ->  E. w  w  e.  X )
38 vex 3109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
39 difexg 4588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( Y  \  y )  e. 
_V )
40 snex 4681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { w }  e.  _V
41 xpexg 6702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  \  y
)  e.  _V  /\  { w }  e.  _V )  ->  ( ( Y 
\  y )  X. 
{ w } )  e.  _V )
4239, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
( Y  \  y
)  X.  { w } )  e.  _V )
43 unexg 6576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( ( Y  \ 
y )  X.  {
w } )  e. 
_V )  ->  (
z  u.  ( ( Y  \  y )  X.  { w }
) )  e.  _V )
4438, 42, 43sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
z  u.  ( ( Y  \  y )  X.  { w }
) )  e.  _V )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  =/=  (/) )  ->  (
z  u.  ( ( Y  \  y )  X.  { w }
) )  e.  _V )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
z  u.  ( ( Y  \  y )  X.  { w }
) )  e.  _V )
47 fofn 5788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z : y -onto-> X  -> 
z  Fn  y )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X )  ->  z  Fn  y )
4948ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  z  Fn  y )
50 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
51 fnconstg 5764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  _V  ->  (
( Y  \  y
)  X.  { w } )  Fn  ( Y  \  y ) )
5250, 51mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( Y  \  y
)  X.  { w } )  Fn  ( Y  \  y ) )
53 disjdif 3892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  i^i  ( Y  \ 
y ) )  =  (/)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
y  i^i  ( Y  \  y ) )  =  (/) )
55 fnun 5678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  Fn  y  /\  ( ( Y  \ 
y )  X.  {
w } )  Fn  ( Y  \  y
) )  /\  (
y  i^i  ( Y  \  y ) )  =  (/) )  ->  ( z  u.  ( ( Y 
\  y )  X. 
{ w } ) )  Fn  ( y  u.  ( Y  \ 
y ) ) )
5649, 52, 54, 55syl21anc 1222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
z  u.  ( ( Y  \  y )  X.  { w }
) )  Fn  (
y  u.  ( Y 
\  y ) ) )
57 elpwi 4012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ~P Y  -> 
y  C_  Y )
58 undif 3900 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  Y  <->  ( y  u.  ( Y  \  y
) )  =  Y )
5957, 58sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~P Y  -> 
( y  u.  ( Y  \  y ) )  =  Y )
6059ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  _V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y
-onto-> X ) )  -> 
( y  u.  ( Y  \  y ) )  =  Y )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
y  u.  ( Y 
\  y ) )  =  Y )
6261fneq2d 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( z  u.  (
( Y  \  y
)  X.  { w } ) )  Fn  ( y  u.  ( Y  \  y ) )  <-> 
( z  u.  (
( Y  \  y
)  X.  { w } ) )  Fn  Y ) )
6356, 62mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
z  u.  ( ( Y  \  y )  X.  { w }
) )  Fn  Y
)
64 rnun 5405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (
z  u.  ( ( Y  \  y )  X.  { w }
) )  =  ( ran  z  u.  ran  ( ( Y  \ 
y )  X.  {
w } ) )
65 forn 5789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z : y -onto-> X  ->  ran  z  =  X
)
6665ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Y  e.  _V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y
-onto-> X ) )  ->  ran  z  =  X
)
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  ran  z  =  X )
6867uneq1d 3650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  ( ran  z  u.  ran  ( ( Y  \ 
y )  X.  {
w } ) )  =  ( X  u.  ran  ( ( Y  \ 
y )  X.  {
w } ) ) )
69 fconst6g 5765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  X  ->  (
( Y  \  y
)  X.  { w } ) : ( Y  \  y ) --> X )
70 frn 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Y  \  y
)  X.  { w } ) : ( Y  \  y ) --> X  ->  ran  ( ( Y  \  y )  X.  { w }
)  C_  X )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  X  ->  ran  ( ( Y  \ 
y )  X.  {
w } )  C_  X )
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  ran  ( ( Y  \ 
y )  X.  {
w } )  C_  X )
73 ssequn2 3670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( ( Y  \ 
y )  X.  {
w } )  C_  X 
<->  ( X  u.  ran  ( ( Y  \ 
y )  X.  {
w } ) )  =  X )
7472, 73sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  ( X  u.  ran  ( ( Y  \  y )  X.  { w }
) )  =  X )
7568, 74eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  ( ran  z  u.  ran  ( ( Y  \ 
y )  X.  {
w } ) )  =  X )
7664, 75syl5eq 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  ran  ( z  u.  (
( Y  \  y
)  X.  { w } ) )  =  X )
77 df-fo 5585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  u.  ( ( Y  \  y )  X.  { w }
) ) : Y -onto-> X 
<->  ( ( z  u.  ( ( Y  \ 
y )  X.  {
w } ) )  Fn  Y  /\  ran  ( z  u.  (
( Y  \  y
)  X.  { w } ) )  =  X ) )
7863, 76, 77sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
z  u.  ( ( Y  \  y )  X.  { w }
) ) : Y -onto-> X )
79 foeq1 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  u.  ( ( Y  \ 
y )  X.  {
w } ) )  ->  ( x : Y -onto-> X  <->  ( z  u.  ( ( Y  \ 
y )  X.  {
w } ) ) : Y -onto-> X ) )
8079spcegv 3192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  u.  ( ( Y  \  y )  X.  { w }
) )  e.  _V  ->  ( ( z  u.  ( ( Y  \ 
y )  X.  {
w } ) ) : Y -onto-> X  ->  E. x  x : Y -onto-> X ) )
8146, 78, 80sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e. 
_V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y -onto-> X ) )  /\  w  e.  X )  ->  E. x  x : Y -onto-> X )
8237, 81exlimddv 1697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  _V  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( y  e.  ~P Y  /\  z : y
-onto-> X ) )  ->  E. x  x : Y -onto-> X )
8382expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  _V  /\  X  =/=  (/) )  /\  y  e.  ~P Y
)  ->  ( z : y -onto-> X  ->  E. x  x : Y -onto-> X ) )
8483exlimdv 1695 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  _V  /\  X  =/=  (/) )  /\  y  e.  ~P Y
)  ->  ( E. z  z : y
-onto-> X  ->  E. x  x : Y -onto-> X ) )
8584rexlimdva 2948 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. y  e.  ~P  Y E. z  z : y -onto-> X  ->  E. x  x : Y -onto-> X ) )
8634, 85impbid 191 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. x  x : Y -onto-> X  <->  E. y  e.  ~P  Y E. z  z : y -onto-> X ) )
8724, 86bitrd 253 . . 3  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. y  e.  ~P  Y E. z  z : y -onto-> X ) )
8822, 87pm2.61dane 2778 . 2  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. y  e.  ~P  Y E. z  z : y -onto-> X ) )
891, 88syl 16 1  |-  ( Y  e.  V  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. y  e.  ~P  Y E. z  z : y -onto-> X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2655   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    u. cun 3467    i^i cin 3468    C_ wss 3469   (/)c0 3778   ~Pcpw 4003   {csn 4020   class class class wbr 4440    X. cxp 4990   ran crn 4993    Fn wfn 5574   -->wf 5575   -onto->wfo 5577   -1-1-onto->wf1o 5578    ~<_* cwdom 7972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-wdom 7974
This theorem is referenced by:  brwdom3  7997
  Copyright terms: Public domain W3C validator