Theorem brwdom2 7997

Description: Alternate characterization of the weak dominance predicate which does not require special treatment of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brwdom2	|- ( Y e. V -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )

Distinct variable groups:   y, X, z   y, Y, z

Allowed substitution hints:   V( y, z)

Proof of Theorem brwdom2

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3102	. 2 |- ( Y e. V -> Y e. _V )
2		0wdom 7994	. . . . . 6 |- ( Y e. _V -> (/) ~<_* Y )
3		breq1 4436	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> ( X ~<_* Y <-> (/) ~<_* Y ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 222	. . . . 5 |- ( Y e. _V -> ( X = (/) -> X ~<_* Y ) )
5	4	imp 429	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X = (/) ) -> X ~<_* Y )
6		0elpw 4602	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P Y
7		f1o0 5836	. . . . . . . 8 |- (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
8		f1ofo 5809	. . . . . . . 8 |- ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/) -> (/) : (/) -onto-> (/) )
9		0ex 4563	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
10		foeq1 5777	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( z : (/) -onto-> (/) <-> (/) : (/) -onto-> (/) ) )
11	9, 10	spcev 3185	. . . . . . . 8 |- ( (/) : (/) -onto-> (/) -> E. z z : (/) -onto-> (/) )
12	7, 8, 11	mp2b 10	. . . . . . 7 |- E. z z : (/) -onto-> (/)
13		foeq2 5778	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( z : y -onto-> (/) <-> z : (/) -onto-> (/) ) )
14	13	exbidv 1699	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( E. z z : y -onto-> (/) <-> E. z z : (/) -onto-> (/) ) )
15	14	rspcev 3194	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. ~P Y /\ E. z z : (/) -onto-> (/) ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> (/) )
16	6, 12, 15	mp2an 672	. . . . . 6 |- E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> (/)
17		foeq3 5779	. . . . . . . 8 |- ( X = (/) -> ( z : y -onto-> X <-> z : y -onto-> (/) ) )
18	17	exbidv 1699	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> ( E. z z : y -onto-> X <-> E. z z : y -onto-> (/) ) )
19	18	rexbidv 2952	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> ( E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> (/) ) )
20	16, 19	mpbiri 233	. . . . 5 |- ( X = (/) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
21	20	adantl 466	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X = (/) ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
22	5, 21	2thd 240	. . 3 |- ( ( Y e. _V /\ X = (/) ) -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
23		brwdomn0 7993	. . . . 5 |- ( X =/= (/) -> ( X ~<_* Y <-> E. x x : Y -onto-> X ) )
24	23	adantl 466	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( X ~<_* Y <-> E. x x : Y -onto-> X ) )
25		foeq1 5777	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x : Y -onto-> X <-> z : Y -onto-> X ) )
26	25	cbvexv 2008	. . . . . 6 |- ( E. x x : Y -onto-> X <-> E. z z : Y -onto-> X )
27		pwidg 4006	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. _V -> Y e. ~P Y )
28	27	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ E. z z : Y -onto-> X ) -> Y e. ~P Y )
29		foeq2 5778	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( z : y -onto-> X <-> z : Y -onto-> X ) )
30	29	exbidv 1699	. . . . . . . . 9 |- ( y = Y -> ( E. z z : y -onto-> X <-> E. z z : Y -onto-> X ) )
31	30	rspcev 3194	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. ~P Y /\ E. z z : Y -onto-> X ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
32	28, 31	sylancom 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ E. z z : Y -onto-> X ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
33	32	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. z z : Y -onto-> X -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
34	26, 33	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. x x : Y -onto-> X -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
35		n0 3776	. . . . . . . . . . 11 |- ( X =/= (/) <-> E. w w e. X )
36	35	biimpi 194	. . . . . . . . . 10 |- ( X =/= (/) -> E. w w e. X )
37	36	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> E. w w e. X )
38		vex 3096	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
39		difexg 4581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y e. _V -> ( Y \ y ) e. _V )
40		snex 4674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { w } e. _V
41		xpexg 6583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y \ y ) e. _V /\ { w } e. _V ) -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) e. _V )
42	39, 40, 41	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. _V -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) e. _V )
43		unexg 6582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. _V /\ ( ( Y \ y ) X. { w } ) e. _V ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
44	38, 42, 43	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. _V -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
45	44	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
46	45	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
47		fofn 5783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z : y -onto-> X -> z Fn y )
48	47	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) -> z Fn y )
49	48	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> z Fn y )
50		vex 3096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
51		fnconstg 5759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. _V -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) Fn ( Y \ y ) )
52	50, 51	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) Fn ( Y \ y ) )
53		disjdif 3882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y i^i ( Y \ y ) ) = (/)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( y i^i ( Y \ y ) ) = (/) )
55		fnun 5673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z Fn y /\ ( ( Y \ y ) X. { w } ) Fn ( Y \ y ) ) /\ ( y i^i ( Y \ y ) ) = (/) ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn ( y u. ( Y \ y ) ) )
56	49, 52, 54, 55	syl21anc 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn ( y u. ( Y \ y ) ) )
57		elpwi 4002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ~P Y -> y C_ Y )
58		undif 3890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C_ Y <-> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
59	57, 58	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ~P Y -> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
60	59	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
61	60	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
62	61	fneq2d 5658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn ( y u. ( Y \ y ) ) <-> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn Y ) )
63	56, 62	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn Y )
64		rnun 5400	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = ( ran z u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) )
65		forn 5784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z : y -onto-> X -> ran z = X )
66	65	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> ran z = X )
67	66	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ran z = X )
68	67	uneq1d 3639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ran z u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = ( X u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) )
69		fconst6g 5760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. X -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) : ( Y \ y ) --> X )
70		frn 5723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Y \ y ) X. { w } ) : ( Y \ y ) --> X -> ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X )
71	69, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. X -> ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X )
72	71	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X )
73		ssequn2 3659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X <-> ( X u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
74	72, 73	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( X u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
75	68, 74	eqtrd 2482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ran z u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
76	64, 75	syl5eq 2494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ran ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
77		df-fo 5580	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X <-> ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn Y /\ ran ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X ) )
78	63, 76, 77	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X )
79		foeq1 5777	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) -> ( x : Y -onto-> X <-> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X ) )
80	79	spcegv 3179	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V -> ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
81	46, 78, 80	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> E. x x : Y -onto-> X )
82	37, 81	exlimddv 1711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> E. x x : Y -onto-> X )
83	82	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ y e. ~P Y ) -> ( z : y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
84	83	exlimdv 1709	. . . . . 6 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ y e. ~P Y ) -> ( E. z z : y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
85	84	rexlimdva 2933	. . . . 5 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
86	34, 85	impbid 191	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. x x : Y -onto-> X <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
87	24, 86	bitrd 253	. . 3 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
88	22, 87	pm2.61dane 2759	. 2 |- ( Y e. _V -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
89	1, 88	syl 16	1 |- ( Y e. V -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1381   E.wex 1597   e. wcel 1802   =/= wne 2636   E.wrex 2792   _Vcvv 3093   \ cdif 3455   u. cun 3456   i^i cin 3457   C_ wss 3458   (/)c0 3767   ~Pcpw 3993   {csn 4010   class class class wbr 4433   X. cxp 4983   ran crn 4986   Fn wfn 5569   -->wf 5570   -onto->wfo 5572   -1-1-onto->wf1o 5573   ~<_^* cwdom 7981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-wdom 7983

This theorem is referenced by:  brwdom3  8006