Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brtrclfv2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem brtrclfv2 36390
Description: Two ways to indicate two elements are related by the transitive closure of a relation. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
brtrclfv2 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> Y e. |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) )
Distinct variable groups:   R, f   U, f   f, V   f, W   f, X   f, Y
Proof of Theorem brtrclfv2
Dummy variables g r s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4396 . . . 4 |- ( X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } )
21a1i 11 . . 3 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } ) )
3 trclfv 13141 . . . . 5 |- ( R e. W -> ( t+ ` R ) = |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } )
43breqd 4406 . . . 4 |- ( R e. W -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y ) )
543ad2ant3 1053 . . 3 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y ) )
6 elimasng 5200 . . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V ) -> ( Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } ) )
763adant3 1050 . . 3 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } ) )
82, 5, 73bitr4d 293 . 2 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) ) )
9 intimasn 36320 . . . . 5 |- ( X e. U -> ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) = |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } )
1093ad2ant1 1051 . . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) = |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } )
11 simpl3 1035 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> R e. W )
12 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- { X } e. _V
13 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- f e. _V
1412, 13xpex 6614 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { X } X. f ) e. _V
15 unexg 6611 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. W /\ ( { X } X. f ) e. _V ) -> ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V )
1611, 14, 15sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V )
17 trclfvlb 13149 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V -> ( R u. ( { X } X. f ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
1817unssad 3602 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V -> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
20 trclfvcotrg 13157 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
22 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> X e. U )
23 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. U -> X e. { X } )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> X e. { X } )
25 inelcm 3823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. { X } /\ X e. { X } ) -> ( { X } i^i { X } ) =/= (/) )
2624, 24, 25syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( { X } i^i { X } ) =/= (/) )
27 xpima2 5287 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { X } i^i { X } ) =/= (/) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) = f )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) = f )
2916, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( R u. ( { X } X. f ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
3029unssbd 3603 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( { X } X. f ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
31 imass1 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { X } X. f ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) C_ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) C_ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
3328, 32eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> f C_ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
34 imaundir 5255 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R u. ( { X } X. f ) ) " ( { X } u. f ) ) = ( ( R " ( { X } u. f ) ) u. ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) )
35 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f )
36 imassrn 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) C_ ran ( { X } X. f )
37 rnxpss 5275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran ( { X } X. f ) C_ f
3836, 37sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) C_ f
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) C_ f )
4035, 39unssd 3601 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) u. ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) ) C_ f )
4134, 40syl5eqss 3462 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( R u. ( { X } X. f ) ) " ( { X } u. f ) ) C_ f )
42 trclimalb2 36389 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V /\ ( ( R u. ( { X } X. f ) ) " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) C_ f )
4316, 41, 42syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) C_ f )
4433, 43eqssd 3435 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
45 sbcan 3298 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) <-> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) ) )
46 sbcan 3298 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) <-> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r ) )
47 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V
48 sbcssg 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) )
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r )
50 csbconstg 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R = R )
5147, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R = R
52 csbvarg 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r = ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
5347, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r = ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) )
5451, 53sseq12i 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r <-> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
5549, 54bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r <-> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
56 sbcssg 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) )
5747, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r )
58 csbcog 36312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) = ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r o. [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) )
5947, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) = ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r o. [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r )
6053, 53coeq12i 5003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r o. [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
6159, 60eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
6261, 53sseq12i 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r <-> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
6357, 62bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r <-> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
6455, 63anbi12i 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r ) <-> ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) )
6546, 64bitri 257 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) <-> ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) )
66 sbceq2g 3783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) <-> f = [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) ) )
6747, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) <-> f = [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) )
68 csbima12 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) = ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } )
6953imaeq1i 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } )
70 csbconstg 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } = { X } )
7147, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } = { X }
7271imaeq2i 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } )
7368, 69, 723eqtri 2497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } )
7473eqeq2i 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) <-> f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
7567, 74bitri 257 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) <-> f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
7665, 75anbi12i 711 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) ) <-> ( ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) /\ f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) ) )
7745, 76sylbbr 219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) /\ f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) ) -> [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
7819, 21, 44, 77syl21anc 1291 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
7978spesbcd 3338 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
8079ex 441 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) ) )
81 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( g = ( s " { X } ) <-> f = ( s " { X } ) ) )
8281rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) <-> E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } f = ( s " { X } ) ) )
83 imaeq1 5169 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = r -> ( s " { X } ) = ( r " { X } ) )
8483eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = r -> ( f = ( s " { X } ) <-> f = ( r " { X } ) ) )
8584rexab2 3193 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } f = ( s " { X } ) <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
8682, 85syl6bb 269 . . . . . . . . . 10 |- ( g = f -> ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) ) )
8713, 86elab 3173 . . . . . . . . 9 |- ( f e. { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
8880, 87syl6ibr 235 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> f e. { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } ) )
89 intss1 4241 . . . . . . . 8 |- ( f e. { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f )
9088, 89syl6 33 . . . . . . 7 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f ) )
9190alrimiv 1781 . . . . . 6 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> A. f ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f ) )
92 ssintab 4243 . . . . . 6 |- ( |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } <-> A. f ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f ) )
9391, 92sylibr 217 . . . . 5 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
94 ssintab 4243 . . . . . . 7 |- ( |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } <-> A. g ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ g ) )
9583eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10 |- ( s = r -> ( g = ( s " { X } ) <-> g = ( r " { X } ) ) )
9695rexab2 3193 . . . . . . . . 9 |- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) )
97 simpr 468 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> g = ( r " { X } ) )
98 imass1 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R C_ r -> ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) )
9998adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) )
100 imass1 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R C_ r -> ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " ( r " { X } ) ) )
101 imaco 5347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r o. r ) " { X } ) = ( r " ( r " { X } ) )
102 imass1 5209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r o. r ) C_ r -> ( ( r o. r ) " { X } ) C_ ( r " { X } ) )
103101, 102syl5eqssr 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r o. r ) C_ r -> ( r " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) )
104100, 103sylan9ss 3431 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) )
10599, 104jca 541 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) )
106105adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) )
107 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . 14 |- r e. _V
108 imaexg 6749 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r e. _V -> ( r " { X } ) e. _V )
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( r " { X } ) e. _V
110 imaundi 5254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R " ( { X } u. f ) ) = ( ( R " { X } ) u. ( R " f ) )
111110sseq1i 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f <-> ( ( R " { X } ) u. ( R " f ) ) C_ f )
112 unss 3599 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R " { X } ) C_ f /\ ( R " f ) C_ f ) <-> ( ( R " { X } ) u. ( R " f ) ) C_ f )
113111, 112bitr4i 260 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f <-> ( ( R " { X } ) C_ f /\ ( R " f ) C_ f ) )
114 imaeq2 5170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( r " { X } ) -> ( R " f ) = ( R " ( r " { X } ) ) )
115 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( r " { X } ) -> f = ( r " { X } ) )
116114, 115sseq12d 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( r " { X } ) -> ( ( R " f ) C_ f <-> ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) )
117116cleq2lem 36285 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( r " { X } ) -> ( ( ( R " { X } ) C_ f /\ ( R " f ) C_ f ) <-> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) ) )
118113, 117syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( r " { X } ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f <-> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) ) )
119109, 118elab 3173 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r " { X } ) e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } <-> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) )
120106, 119sylibr 217 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> ( r " { X } ) e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
12197, 120eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
122121exlimiv 1784 . . . . . . . . 9 |- ( E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
12396, 122sylbi 200 . . . . . . . 8 |- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) -> g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
124 intss1 4241 . . . . . . . 8 |- ( g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ g )
125123, 124syl 17 . . . . . . 7 |- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ g )
12694, 125mpgbir 1681 . . . . . 6 |- |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) }
127126a1i 11 . . . . 5 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } )
12893, 127eqssd 3435 . . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } = |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
12910, 128eqtrd 2505 . . 3 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) = |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
130129eleq2d 2534 . 2 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) <-> Y e. |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) )
1318, 130bitrd 261 1 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> Y e. |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   A.wal 1450   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255   [_csb 3349   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965   |^|cint 4226   class class class wbr 4395   X. cxp 4837   ran crn 4840   "cima 4842   o. ccom 4843   ` cfv 5589   t+ctcl 13124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-trcl 13126  df-relexp 13161
This theorem is referenced by:  dffrege76  36606
  Copyright terms: Public domain W3C validator