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Theorem brtrclfv2 36319
Description: Two ways to indicate two elements are related by the transitive closure of a relation. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
brtrclfv2 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> Y e. |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) )
Distinct variable groups:   R, f   U, f   f, V   f, W   f, X   f, Y
Proof of Theorem brtrclfv2
Dummy variables g r s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4403 . . . 4 |- ( X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } )
21a1i 11 . . 3 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } ) )
3 trclfv 13064 . . . . 5 |- ( R e. W -> ( t+ ` R ) = |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } )
43breqd 4413 . . . 4 |- ( R e. W -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y ) )
543ad2ant3 1031 . . 3 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y ) )
6 elimasng 5194 . . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V ) -> ( Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } ) )
763adant3 1028 . . 3 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } ) )
82, 5, 73bitr4d 289 . 2 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) ) )
9 intimasn 36249 . . . . 5 |- ( X e. U -> ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) = |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } )
1093ad2ant1 1029 . . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) = |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } )
11 simpl3 1013 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> R e. W )
12 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- { X } e. _V
13 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- f e. _V
1412, 13xpex 6595 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { X } X. f ) e. _V
15 unexg 6592 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. W /\ ( { X } X. f ) e. _V ) -> ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V )
1611, 14, 15sylancl 668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V )
17 trclfvlb 13072 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V -> ( R u. ( { X } X. f ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
1817unssad 3611 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V -> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
20 trclfvcotrg 13080 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
22 simpl1 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> X e. U )
23 snidg 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. U -> X e. { X } )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> X e. { X } )
25 inelcm 3819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. { X } /\ X e. { X } ) -> ( { X } i^i { X } ) =/= (/) )
2624, 24, 25syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( { X } i^i { X } ) =/= (/) )
27 xpima2 5281 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { X } i^i { X } ) =/= (/) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) = f )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) = f )
2916, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( R u. ( { X } X. f ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
3029unssbd 3612 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( { X } X. f ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
31 imass1 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { X } X. f ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) C_ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) C_ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
3328, 32eqsstr3d 3467 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> f C_ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
34 imaundir 5249 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R u. ( { X } X. f ) ) " ( { X } u. f ) ) = ( ( R " ( { X } u. f ) ) u. ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) )
35 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f )
36 imassrn 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) C_ ran ( { X } X. f )
37 rnxpss 5269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran ( { X } X. f ) C_ f
3836, 37sstri 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) C_ f
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) C_ f )
4035, 39unssd 3610 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) u. ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) ) C_ f )
4134, 40syl5eqss 3476 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( R u. ( { X } X. f ) ) " ( { X } u. f ) ) C_ f )
42 trclimalb2 36318 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V /\ ( ( R u. ( { X } X. f ) ) " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) C_ f )
4316, 41, 42syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) C_ f )
4433, 43eqssd 3449 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
45 sbcan 3310 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) <-> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) ) )
46 sbcan 3310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) <-> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r ) )
47 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V
48 sbcssg 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) )
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r )
50 csbconstg 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R = R )
5147, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R = R
52 csbvarg 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r = ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
5347, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r = ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) )
5451, 53sseq12i 3458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r <-> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
5549, 54bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r <-> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
56 sbcssg 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) )
5747, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r )
58 csbcog 36241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) = ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r o. [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) )
5947, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) = ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r o. [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r )
6053, 53coeq12i 4998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r o. [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
6159, 60eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
6261, 53sseq12i 3458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r <-> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
6357, 62bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r <-> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
6455, 63anbi12i 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r ) <-> ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) )
6546, 64bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) <-> ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) )
66 sbceq2g 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) <-> f = [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) ) )
6747, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) <-> f = [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) )
68 csbima12 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) = ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } )
6953imaeq1i 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } )
70 csbconstg 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } = { X } )
7147, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } = { X }
7271imaeq2i 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } )
7368, 69, 723eqtri 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } )
7473eqeq2i 2463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) <-> f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
7567, 74bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) <-> f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
7665, 75anbi12i 703 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) ) <-> ( ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) /\ f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) ) )
7745, 76bitr2i 254 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) /\ f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) ) <-> [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
7877biimpi 198 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) /\ f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) ) -> [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
7919, 21, 44, 78syl21anc 1267 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
8079spesbcd 3350 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
8180ex 436 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) ) )
82 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( g = ( s " { X } ) <-> f = ( s " { X } ) ) )
8382rexbidv 2901 . . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) <-> E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } f = ( s " { X } ) ) )
84 imaeq1 5163 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = r -> ( s " { X } ) = ( r " { X } ) )
8584eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = r -> ( f = ( s " { X } ) <-> f = ( r " { X } ) ) )
8685rexab2 3205 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } f = ( s " { X } ) <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
8783, 86syl6bb 265 . . . . . . . . . 10 |- ( g = f -> ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) ) )
8813, 87elab 3185 . . . . . . . . 9 |- ( f e. { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
8981, 88syl6ibr 231 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> f e. { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } ) )
90 intss1 4249 . . . . . . . 8 |- ( f e. { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f )
9189, 90syl6 34 . . . . . . 7 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f ) )
9291alrimiv 1773 . . . . . 6 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> A. f ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f ) )
93 ssintab 4251 . . . . . 6 |- ( |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } <-> A. f ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f ) )
9492, 93sylibr 216 . . . . 5 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
95 ssintab 4251 . . . . . . 7 |- ( |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } <-> A. g ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ g ) )
9684eqeq2d 2461 . . . . . . . . . 10 |- ( s = r -> ( g = ( s " { X } ) <-> g = ( r " { X } ) ) )
9796rexab2 3205 . . . . . . . . 9 |- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) )
98 simpr 463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> g = ( r " { X } ) )
99 imass1 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R C_ r -> ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) )
10099adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) )
101 imass1 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R C_ r -> ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " ( r " { X } ) ) )
102 imaco 5340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r o. r ) " { X } ) = ( r " ( r " { X } ) )
103 imass1 5203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r o. r ) C_ r -> ( ( r o. r ) " { X } ) C_ ( r " { X } ) )
104102, 103syl5eqssr 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r o. r ) C_ r -> ( r " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) )
105101, 104sylan9ss 3445 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) )
106100, 105jca 535 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) )
107106adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) )
108 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . 14 |- r e. _V
109 imaexg 6730 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r e. _V -> ( r " { X } ) e. _V )
110108, 109ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( r " { X } ) e. _V
111 imaundi 5248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R " ( { X } u. f ) ) = ( ( R " { X } ) u. ( R " f ) )
112111sseq1i 3456 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f <-> ( ( R " { X } ) u. ( R " f ) ) C_ f )
113 unss 3608 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R " { X } ) C_ f /\ ( R " f ) C_ f ) <-> ( ( R " { X } ) u. ( R " f ) ) C_ f )
114112, 113bitr4i 256 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f <-> ( ( R " { X } ) C_ f /\ ( R " f ) C_ f ) )
115 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( r " { X } ) -> ( R " f ) = ( R " ( r " { X } ) ) )
116 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( r " { X } ) -> f = ( r " { X } ) )
117115, 116sseq12d 3461 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( r " { X } ) -> ( ( R " f ) C_ f <-> ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) )
118117cleq2lem 36214 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( r " { X } ) -> ( ( ( R " { X } ) C_ f /\ ( R " f ) C_ f ) <-> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) ) )
119114, 118syl5bb 261 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( r " { X } ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f <-> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) ) )
120110, 119elab 3185 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r " { X } ) e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } <-> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) )
121107, 120sylibr 216 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> ( r " { X } ) e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
12298, 121eqeltrd 2529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
123122exlimiv 1776 . . . . . . . . 9 |- ( E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
12497, 123sylbi 199 . . . . . . . 8 |- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) -> g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
125 intss1 4249 . . . . . . . 8 |- ( g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ g )
126124, 125syl 17 . . . . . . 7 |- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ g )
12795, 126mpgbir 1673 . . . . . 6 |- |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) }
128127a1i 11 . . . . 5 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } )
12994, 128eqssd 3449 . . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } = |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
13010, 129eqtrd 2485 . . 3 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) = |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
131130eleq2d 2514 . 2 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) <-> Y e. |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) )
1328, 131bitrd 257 1 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> Y e. |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   A.wal 1442   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   {cab 2437   =/= wne 2622   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   [.wsbc 3267   [_csb 3363   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   <.cop 3974   |^|cint 4234   class class class wbr 4402   X. cxp 4832   ran crn 4835   "cima 4837   o. ccom 4838   ` cfv 5582   t+ctcl 13049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12214  df-trcl 13051  df-relexp 13084
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