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Theorem brtrclfv2 36319
Description: Two ways to indicate two elements are related by the transitive closure of a relation. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
brtrclfv2  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( X ( t+ `  R ) Y  <->  Y  e.  |^| { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f } ) )
Distinct variable groups:    R, f    U, f    f, V    f, W    f, X    f, Y

Proof of Theorem brtrclfv2
Dummy variables  g 
r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4403 . . . 4  |-  ( X
|^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } Y  <->  <. X ,  Y >.  e.  |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( X |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } Y  <->  <. X ,  Y >.  e.  |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } ) )
3 trclfv 13064 . . . . 5  |-  ( R  e.  W  ->  (
t+ `  R
)  =  |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } )
43breqd 4413 . . . 4  |-  ( R  e.  W  ->  ( X ( t+ `  R ) Y  <-> 
X |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } Y ) )
543ad2ant3 1031 . . 3  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( X ( t+ `  R ) Y  <->  X |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } Y ) )
6 elimasng 5194 . . . 4  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  e.  (
|^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } " { X }
)  <->  <. X ,  Y >.  e.  |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } ) )
763adant3 1028 . . 3  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( Y  e.  (
|^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } " { X }
)  <->  <. X ,  Y >.  e.  |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } ) )
82, 5, 73bitr4d 289 . 2  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( X ( t+ `  R ) Y  <->  Y  e.  ( |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } " { X }
) ) )
9 intimasn 36249 . . . . 5  |-  ( X  e.  U  ->  ( |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } " { X }
)  =  |^| { g  |  E. s  e. 
{ r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } g  =  ( s " { X } ) } )
1093ad2ant1 1029 . . . 4  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } " { X } )  =  |^| { g  |  E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } g  =  ( s " { X } ) } )
11 simpl3 1013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  R  e.  W )
12 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { X }  e.  _V
13 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  f  e. 
_V
1412, 13xpex 6595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { X }  X.  f
)  e.  _V
15 unexg 6592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  W  /\  ( { X }  X.  f )  e.  _V )  ->  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) )  e. 
_V )
1611, 14, 15sylancl 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) )  e.  _V )
17 trclfvlb 13072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  u.  ( { X }  X.  f
) )  e.  _V  ->  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) )  C_  (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) )
1817unssad 3611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  u.  ( { X }  X.  f
) )  e.  _V  ->  R  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  R  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) )
20 trclfvcotrg 13080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) ) 
C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) ) 
C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
22 simpl1 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  X  e.  U )
23 snidg 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  { X } )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  X  e.  { X } )
25 inelcm 3819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  { X }  /\  X  e.  { X } )  ->  ( { X }  i^i  { X } )  =/=  (/) )
2624, 24, 25syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  ( { X }  i^i  { X } )  =/=  (/) )
27 xpima2 5281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { X }  i^i  { X } )  =/=  (/)  ->  ( ( { X }  X.  f
) " { X } )  =  f )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( { X }  X.  f ) " { X } )  =  f )
2916, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) )  C_  (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) )
3029unssbd 3612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  ( { X }  X.  f
)  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
31 imass1 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { X }  X.  f )  C_  (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  -> 
( ( { X }  X.  f ) " { X } )  C_  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )
" { X }
) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( { X }  X.  f ) " { X } )  C_  (
( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) " { X } ) )
3328, 32eqsstr3d 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  f  C_  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )
" { X }
) )
34 imaundir 5249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) " ( { X }  u.  f
) )  =  ( ( R " ( { X }  u.  f
) )  u.  (
( { X }  X.  f ) " ( { X }  u.  f
) ) )
35 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  ( R " ( { X }  u.  f )
)  C_  f )
36 imassrn 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { X }  X.  f ) " ( { X }  u.  f
) )  C_  ran  ( { X }  X.  f )
37 rnxpss 5269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  ( { X }  X.  f
)  C_  f
3836, 37sstri 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { X }  X.  f ) " ( { X }  u.  f
) )  C_  f
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( { X }  X.  f ) " ( { X }  u.  f
) )  C_  f
)
4035, 39unssd 3610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( R " ( { X }  u.  f
) )  u.  (
( { X }  X.  f ) " ( { X }  u.  f
) ) )  C_  f )
4134, 40syl5eqss 3476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) " ( { X }  u.  f
) )  C_  f
)
42 trclimalb2 36318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  u.  ( { X }  X.  f
) )  e.  _V  /\  ( ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) "
( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) " { X } )  C_  f )
4316, 41, 42syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) " { X } )  C_  f )
4433, 43eqssd 3449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  f  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) " { X } ) )
45 sbcan 3310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r )  /\  f  =  ( r " { X } ) )  <->  ( [. (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  /\  [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]. f  =  ( r " { X } ) ) )
46 sbcan 3310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  <->  ( [. (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. R  C_  r  /\  [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]. (
r  o.  r ) 
C_  r ) )
47 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  e.  _V
48 sbcssg 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  e. 
_V  ->  ( [. (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. R  C_  r  <->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ R  C_  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r ) )
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. R  C_  r  <->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ R  C_  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r )
50 csbconstg 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  e. 
_V  ->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ R  =  R )
5147, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ R  =  R
52 csbvarg 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  e. 
_V  ->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ r  =  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
5347, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r  =  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )
5451, 53sseq12i 3458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ R  C_  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r  <->  R  C_  (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) )
5549, 54bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. R  C_  r  <->  R 
C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
56 sbcssg 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  e. 
_V  ->  ( [. (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( r  o.  r )  C_  r  <->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r  o.  r )  C_  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r ) )
5747, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( r  o.  r )  C_  r  <->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r  o.  r )  C_  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r )
58 csbcog 36241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  e. 
_V  ->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ (
r  o.  r )  =  ( [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r  o.  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r ) )
5947, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r  o.  r )  =  (
[_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ r  o.  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ r
)
6053, 53coeq12i 4998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r  o.  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r )  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
6159, 60eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r  o.  r )  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) )
6261, 53sseq12i 3458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r  o.  r )  C_  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r  <->  ( (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) ) 
C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
6357, 62bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( r  o.  r )  C_  r  <->  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) ) 
C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
6455, 63anbi12i 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
[. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]. R  C_  r  /\  [. (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( r  o.  r )  C_  r
)  <->  ( R  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  /\  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) ) )
6546, 64bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  <->  ( R  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  /\  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) ) )
66 sbceq2g 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  e. 
_V  ->  ( [. (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. f  =  ( r " { X } )  <->  f  =  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r " { X } ) ) )
6747, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. f  =  ( r " { X } )  <->  f  =  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r " { X } ) )
68 csbima12 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r " { X } )  =  ( [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ r " [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ { X } )
6953imaeq1i 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r " [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ { X }
)  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) " [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ { X }
)
70 csbconstg 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  e. 
_V  ->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ { X }  =  { X } )
7147, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ { X }  =  { X }
7271imaeq2i 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) " [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ { X }
)  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) " { X } )
7368, 69, 723eqtri 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r " { X } )  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )
" { X }
)
7473eqeq2i 2463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ ( r " { X } )  <->  f  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )
" { X }
) )
7567, 74bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. f  =  ( r " { X } )  <->  f  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )
" { X }
) )
7665, 75anbi12i 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]. ( R  C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r )  /\  [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. f  =  ( r " { X } ) )  <->  ( ( R  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /\  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )  C_  (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) )  /\  f  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) " { X } ) ) )
7745, 76bitr2i 254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  C_  (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  /\  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )  /\  f  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) " { X } ) )  <->  [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]. ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  /\  f  =  ( r " { X } ) ) )
7877biimpi 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  C_  (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  /\  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )  /\  f  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) " { X } ) )  ->  [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r )  /\  f  =  ( r " { X } ) ) )
7919, 21, 44, 78syl21anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  [. (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r )  /\  f  =  ( r " { X } ) ) )
8079spesbcd 3350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  E. r
( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  /\  f  =  ( r " { X } ) ) )
8180ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f  ->  E. r ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  /\  f  =  (
r " { X } ) ) ) )
82 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  f  ->  (
g  =  ( s
" { X }
)  <->  f  =  ( s " { X } ) ) )
8382rexbidv 2901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  f  ->  ( E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } g  =  ( s " { X } )  <->  E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } f  =  ( s " { X } ) ) )
84 imaeq1 5163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  r  ->  (
s " { X } )  =  ( r " { X } ) )
8584eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  r  ->  (
f  =  ( s
" { X }
)  <->  f  =  ( r " { X } ) ) )
8685rexab2 3205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } f  =  ( s " { X } )  <->  E. r
( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  /\  f  =  ( r " { X } ) ) )
8783, 86syl6bb 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  f  ->  ( E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } g  =  ( s " { X } )  <->  E. r
( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  /\  f  =  ( r " { X } ) ) ) )
8813, 87elab 3185 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) }  <->  E. r
( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  /\  f  =  ( r " { X } ) ) )
8981, 88syl6ibr 231 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f  ->  f  e.  {
g  |  E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } g  =  ( s " { X } ) } ) )
90 intss1 4249 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) }  ->  |^| { g  |  E. s  e. 
{ r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } g  =  ( s " { X } ) }  C_  f )
9189, 90syl6 34 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f  ->  |^| { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) }  C_  f
) )
9291alrimiv 1773 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  A. f ( ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f  ->  |^| { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) }  C_  f
) )
93 ssintab 4251 . . . . . 6  |-  ( |^| { g  |  E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } g  =  ( s " { X } ) }  C_  |^|
{ f  |  ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f } 
<-> 
A. f ( ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f  ->  |^| { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) }  C_  f
) )
9492, 93sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  |^| { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) }  C_  |^| { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f } )
95 ssintab 4251 . . . . . . 7  |-  ( |^| { f  |  ( R
" ( { X }  u.  f )
)  C_  f }  C_ 
|^| { g  |  E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } g  =  ( s " { X } ) }  <->  A. g
( E. s  e. 
{ r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } g  =  ( s " { X } )  ->  |^| { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f }  C_  g ) )
9684eqeq2d 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  r  ->  (
g  =  ( s
" { X }
)  <->  g  =  ( r " { X } ) ) )
9796rexab2 3205 . . . . . . . . 9  |-  ( E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } g  =  ( s " { X } )  <->  E. r
( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  /\  g  =  ( r " { X } ) ) )
98 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  /\  g  =  (
r " { X } ) )  -> 
g  =  ( r
" { X }
) )
99 imass1 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R 
C_  r  ->  ( R " { X }
)  C_  ( r " { X } ) )
10099adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  ->  ( R " { X } )  C_  (
r " { X } ) )
101 imass1 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R 
C_  r  ->  ( R " ( r " { X } ) ) 
C_  ( r "
( r " { X } ) ) )
102 imaco 5340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  o.  r )
" { X }
)  =  ( r
" ( r " { X } ) )
103 imass1 5203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  o.  r ) 
C_  r  ->  (
( r  o.  r
) " { X } )  C_  (
r " { X } ) )
104102, 103syl5eqssr 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  o.  r ) 
C_  r  ->  (
r " ( r
" { X }
) )  C_  (
r " { X } ) )
105101, 104sylan9ss 3445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  ->  ( R " (
r " { X } ) )  C_  ( r " { X } ) )
106100, 105jca 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  ->  ( ( R " { X } )  C_  ( r " { X } )  /\  ( R " ( r " { X } ) ) 
C_  ( r " { X } ) ) )
107106adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  /\  g  =  (
r " { X } ) )  -> 
( ( R " { X } )  C_  ( r " { X } )  /\  ( R " ( r " { X } ) ) 
C_  ( r " { X } ) ) )
108 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  r  e. 
_V
109 imaexg 6730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  _V  ->  (
r " { X } )  e.  _V )
110108, 109ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r
" { X }
)  e.  _V
111 imaundi 5248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R
" ( { X }  u.  f )
)  =  ( ( R " { X } )  u.  ( R " f ) )
112111sseq1i 3456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f  <->  ( ( R " { X } )  u.  ( R " f ) ) 
C_  f )
113 unss 3608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R " { X } )  C_  f  /\  ( R " f
)  C_  f )  <->  ( ( R " { X } )  u.  ( R " f ) ) 
C_  f )
114112, 113bitr4i 256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f  <->  ( ( R " { X } )  C_  f  /\  ( R " f
)  C_  f )
)
115 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( r " { X } )  -> 
( R " f
)  =  ( R
" ( r " { X } ) ) )
116 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( r " { X } )  -> 
f  =  ( r
" { X }
) )
117115, 116sseq12d 3461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( r " { X } )  -> 
( ( R "
f )  C_  f  <->  ( R " ( r
" { X }
) )  C_  (
r " { X } ) ) )
118117cleq2lem 36214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( r " { X } )  -> 
( ( ( R
" { X }
)  C_  f  /\  ( R " f ) 
C_  f )  <->  ( ( R " { X }
)  C_  ( r " { X } )  /\  ( R "
( r " { X } ) )  C_  ( r " { X } ) ) ) )
119114, 118syl5bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( r " { X } )  -> 
( ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f 
<->  ( ( R " { X } )  C_  ( r " { X } )  /\  ( R " ( r " { X } ) ) 
C_  ( r " { X } ) ) ) )
120110, 119elab 3185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r " { X } )  e.  {
f  |  ( R
" ( { X }  u.  f )
)  C_  f }  <->  ( ( R " { X } )  C_  (
r " { X } )  /\  ( R " ( r " { X } ) ) 
C_  ( r " { X } ) ) )
121107, 120sylibr 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  /\  g  =  (
r " { X } ) )  -> 
( r " { X } )  e.  {
f  |  ( R
" ( { X }  u.  f )
)  C_  f }
)
12298, 121eqeltrd 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  /\  g  =  (
r " { X } ) )  -> 
g  e.  { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f } )
123122exlimiv 1776 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r ( ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r )  /\  g  =  ( r " { X } ) )  ->  g  e.  { f  |  ( R
" ( { X }  u.  f )
)  C_  f }
)
12497, 123sylbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } g  =  ( s " { X } )  ->  g  e.  { f  |  ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f } )
125 intss1 4249 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  { f  |  ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f }  ->  |^| { f  |  ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f }  C_  g )
126124, 125syl 17 . . . . . . 7  |-  ( E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } g  =  ( s " { X } )  ->  |^| { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f }  C_  g )
12795, 126mpgbir 1673 . . . . . 6  |-  |^| { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f }  C_  |^| { g  |  E. s  e. 
{ r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } g  =  ( s " { X } ) }
128127a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  |^| { f  |  ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f }  C_  |^| { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) } )
12994, 128eqssd 3449 . . . 4  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  |^| { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) }  =  |^| { f  |  ( R
" ( { X }  u.  f )
)  C_  f }
)
13010, 129eqtrd 2485 . . 3  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } " { X } )  =  |^| { f  |  ( R
" ( { X }  u.  f )
)  C_  f }
)
131130eleq2d 2514 . 2  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( Y  e.  (
|^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } " { X }
)  <->  Y  e.  |^| { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f } ) )
1328, 131bitrd 257 1  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( X ( t+ `  R ) Y  <->  Y  e.  |^| { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   {cab 2437    =/= wne 2622   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   [.wsbc 3267   [_csb 3363    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   <.cop 3974   |^|cint 4234   class class class wbr 4402    X. cxp 4832   ran crn 4835   "cima 4837    o. ccom 4838   ` cfv 5582   t+ctcl 13049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12214  df-trcl 13051  df-relexp 13084
This theorem is referenced by:  dffrege76  36535
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