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Theorem brtrclfv2 36390
Description: Two ways to indicate two elements are related by the transitive closure of a relation. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
brtrclfv2  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( X ( t+ `  R ) Y  <->  Y  e.  |^| { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f } ) )
Distinct variable groups:    R, f    U, f    f, V    f, W    f, X    f, Y

Proof of Theorem brtrclfv2
Dummy variables  g 
r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4396 . . . 4  |-  ( X
|^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } Y  <->  <. X ,  Y >.  e.  |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( X |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } Y  <->  <. X ,  Y >.  e.  |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } ) )
3 trclfv 13141 . . . . 5  |-  ( R  e.  W  ->  (
t+ `  R
)  =  |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } )
43breqd 4406 . . . 4  |-  ( R  e.  W  ->  ( X ( t+ `  R ) Y  <-> 
X |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } Y ) )
543ad2ant3 1053 . . 3  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( X ( t+ `  R ) Y  <->  X |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } Y ) )
6 elimasng 5200 . . . 4  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  e.  (
|^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } " { X }
)  <->  <. X ,  Y >.  e.  |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } ) )
763adant3 1050 . . 3  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( Y  e.  (
|^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } " { X }
)  <->  <. X ,  Y >.  e.  |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } ) )
82, 5, 73bitr4d 293 . 2  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( X ( t+ `  R ) Y  <->  Y  e.  ( |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } " { X }
) ) )
9 intimasn 36320 . . . . 5  |-  ( X  e.  U  ->  ( |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } " { X }
)  =  |^| { g  |  E. s  e. 
{ r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } g  =  ( s " { X } ) } )
1093ad2ant1 1051 . . . 4  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } " { X } )  =  |^| { g  |  E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } g  =  ( s " { X } ) } )
11 simpl3 1035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  R  e.  W )
12 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { X }  e.  _V
13 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  f  e. 
_V
1412, 13xpex 6614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { X }  X.  f
)  e.  _V
15 unexg 6611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  W  /\  ( { X }  X.  f )  e.  _V )  ->  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) )  e. 
_V )
1611, 14, 15sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) )  e.  _V )
17 trclfvlb 13149 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  u.  ( { X }  X.  f
) )  e.  _V  ->  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) )  C_  (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) )
1817unssad 3602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  u.  ( { X }  X.  f
) )  e.  _V  ->  R  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  R  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) )
20 trclfvcotrg 13157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) ) 
C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) ) 
C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
22 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  X  e.  U )
23 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  { X } )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  X  e.  { X } )
25 inelcm 3823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  { X }  /\  X  e.  { X } )  ->  ( { X }  i^i  { X } )  =/=  (/) )
2624, 24, 25syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  ( { X }  i^i  { X } )  =/=  (/) )
27 xpima2 5287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { X }  i^i  { X } )  =/=  (/)  ->  ( ( { X }  X.  f
) " { X } )  =  f )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( { X }  X.  f ) " { X } )  =  f )
2916, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) )  C_  (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) )
3029unssbd 3603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  ( { X }  X.  f
)  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
31 imass1 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { X }  X.  f )  C_  (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  -> 
( ( { X }  X.  f ) " { X } )  C_  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )
" { X }
) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( { X }  X.  f ) " { X } )  C_  (
( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) " { X } ) )
3328, 32eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  f  C_  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )
" { X }
) )
34 imaundir 5255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) " ( { X }  u.  f
) )  =  ( ( R " ( { X }  u.  f
) )  u.  (
( { X }  X.  f ) " ( { X }  u.  f
) ) )
35 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  ( R " ( { X }  u.  f )
)  C_  f )
36 imassrn 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { X }  X.  f ) " ( { X }  u.  f
) )  C_  ran  ( { X }  X.  f )
37 rnxpss 5275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  ( { X }  X.  f
)  C_  f
3836, 37sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { X }  X.  f ) " ( { X }  u.  f
) )  C_  f
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( { X }  X.  f ) " ( { X }  u.  f
) )  C_  f
)
4035, 39unssd 3601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( R " ( { X }  u.  f
) )  u.  (
( { X }  X.  f ) " ( { X }  u.  f
) ) )  C_  f )
4134, 40syl5eqss 3462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) " ( { X }  u.  f
) )  C_  f
)
42 trclimalb2 36389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  u.  ( { X }  X.  f
) )  e.  _V  /\  ( ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) "
( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) " { X } )  C_  f )
4316, 41, 42syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  (
( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) " { X } )  C_  f )
4433, 43eqssd 3435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  f  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) " { X } ) )
45 sbcan 3298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r )  /\  f  =  ( r " { X } ) )  <->  ( [. (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  /\  [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]. f  =  ( r " { X } ) ) )
46 sbcan 3298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  <->  ( [. (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. R  C_  r  /\  [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]. (
r  o.  r ) 
C_  r ) )
47 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  e.  _V
48 sbcssg 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  e. 
_V  ->  ( [. (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. R  C_  r  <->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ R  C_  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r ) )
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. R  C_  r  <->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ R  C_  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r )
50 csbconstg 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  e. 
_V  ->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ R  =  R )
5147, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ R  =  R
52 csbvarg 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  e. 
_V  ->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ r  =  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
5347, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r  =  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )
5451, 53sseq12i 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ R  C_  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r  <->  R  C_  (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) )
5549, 54bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. R  C_  r  <->  R 
C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
56 sbcssg 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  e. 
_V  ->  ( [. (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( r  o.  r )  C_  r  <->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r  o.  r )  C_  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r ) )
5747, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( r  o.  r )  C_  r  <->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r  o.  r )  C_  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r )
58 csbcog 36312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  e. 
_V  ->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ (
r  o.  r )  =  ( [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r  o.  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r ) )
5947, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r  o.  r )  =  (
[_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ r  o.  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ r
)
6053, 53coeq12i 5003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r  o.  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r )  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
6159, 60eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r  o.  r )  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) )
6261, 53sseq12i 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r  o.  r )  C_  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r  <->  ( (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) ) 
C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
6357, 62bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( r  o.  r )  C_  r  <->  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) ) 
C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )
6455, 63anbi12i 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
[. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]. R  C_  r  /\  [. (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( r  o.  r )  C_  r
)  <->  ( R  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  /\  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) ) )
6546, 64bitri 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  <->  ( R  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  /\  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) ) )
66 sbceq2g 3783 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  e. 
_V  ->  ( [. (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. f  =  ( r " { X } )  <->  f  =  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r " { X } ) ) )
6747, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. f  =  ( r " { X } )  <->  f  =  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r " { X } ) )
68 csbima12 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r " { X } )  =  ( [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ r " [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ { X } )
6953imaeq1i 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ r " [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ { X }
)  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) " [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ { X }
)
70 csbconstg 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  e. 
_V  ->  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ { X }  =  { X } )
7147, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ { X }  =  { X }
7271imaeq2i 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) " [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ { X }
)  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) " { X } )
7368, 69, 723eqtri 2497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]_ ( r " { X } )  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )
" { X }
)
7473eqeq2i 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  [_ ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]_ ( r " { X } )  <->  f  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )
" { X }
) )
7567, 74bitri 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. f  =  ( r " { X } )  <->  f  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )
" { X }
) )
7665, 75anbi12i 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
[. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /  r ]. ( R  C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r )  /\  [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. f  =  ( r " { X } ) )  <->  ( ( R  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  /\  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )  C_  (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) )  /\  f  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) ) " { X } ) ) )
7745, 76sylbbr 219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  C_  (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  /\  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) )  o.  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )  C_  ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) )  /\  f  =  ( ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f ) ) ) " { X } ) )  ->  [. ( t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r )  /\  f  =  ( r " { X } ) ) )
7819, 21, 44, 77syl21anc 1291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  [. (
t+ `  ( R  u.  ( { X }  X.  f
) ) )  / 
r ]. ( ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r )  /\  f  =  ( r " { X } ) ) )
7978spesbcd 3338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W
)  /\  ( R " ( { X }  u.  f ) )  C_  f )  ->  E. r
( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  /\  f  =  ( r " { X } ) ) )
8079ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f  ->  E. r ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  /\  f  =  (
r " { X } ) ) ) )
81 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  f  ->  (
g  =  ( s
" { X }
)  <->  f  =  ( s " { X } ) ) )
8281rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  f  ->  ( E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } g  =  ( s " { X } )  <->  E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } f  =  ( s " { X } ) ) )
83 imaeq1 5169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  r  ->  (
s " { X } )  =  ( r " { X } ) )
8483eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  r  ->  (
f  =  ( s
" { X }
)  <->  f  =  ( r " { X } ) ) )
8584rexab2 3193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } f  =  ( s " { X } )  <->  E. r
( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  /\  f  =  ( r " { X } ) ) )
8682, 85syl6bb 269 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  f  ->  ( E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } g  =  ( s " { X } )  <->  E. r
( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  /\  f  =  ( r " { X } ) ) ) )
8713, 86elab 3173 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) }  <->  E. r
( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  /\  f  =  ( r " { X } ) ) )
8880, 87syl6ibr 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f  ->  f  e.  {
g  |  E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } g  =  ( s " { X } ) } ) )
89 intss1 4241 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) }  ->  |^| { g  |  E. s  e. 
{ r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } g  =  ( s " { X } ) }  C_  f )
9088, 89syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f  ->  |^| { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) }  C_  f
) )
9190alrimiv 1781 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  A. f ( ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f  ->  |^| { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) }  C_  f
) )
92 ssintab 4243 . . . . . 6  |-  ( |^| { g  |  E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } g  =  ( s " { X } ) }  C_  |^|
{ f  |  ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f } 
<-> 
A. f ( ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f  ->  |^| { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) }  C_  f
) )
9391, 92sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  |^| { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) }  C_  |^| { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f } )
94 ssintab 4243 . . . . . . 7  |-  ( |^| { f  |  ( R
" ( { X }  u.  f )
)  C_  f }  C_ 
|^| { g  |  E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } g  =  ( s " { X } ) }  <->  A. g
( E. s  e. 
{ r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } g  =  ( s " { X } )  ->  |^| { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f }  C_  g ) )
9583eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  r  ->  (
g  =  ( s
" { X }
)  <->  g  =  ( r " { X } ) ) )
9695rexab2 3193 . . . . . . . . 9  |-  ( E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } g  =  ( s " { X } )  <->  E. r
( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  /\  g  =  ( r " { X } ) ) )
97 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  /\  g  =  (
r " { X } ) )  -> 
g  =  ( r
" { X }
) )
98 imass1 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R 
C_  r  ->  ( R " { X }
)  C_  ( r " { X } ) )
9998adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  ->  ( R " { X } )  C_  (
r " { X } ) )
100 imass1 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R 
C_  r  ->  ( R " ( r " { X } ) ) 
C_  ( r "
( r " { X } ) ) )
101 imaco 5347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  o.  r )
" { X }
)  =  ( r
" ( r " { X } ) )
102 imass1 5209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  o.  r ) 
C_  r  ->  (
( r  o.  r
) " { X } )  C_  (
r " { X } ) )
103101, 102syl5eqssr 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  o.  r ) 
C_  r  ->  (
r " ( r
" { X }
) )  C_  (
r " { X } ) )
104100, 103sylan9ss 3431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  ->  ( R " (
r " { X } ) )  C_  ( r " { X } ) )
10599, 104jca 541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  ->  ( ( R " { X } )  C_  ( r " { X } )  /\  ( R " ( r " { X } ) ) 
C_  ( r " { X } ) ) )
106105adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  /\  g  =  (
r " { X } ) )  -> 
( ( R " { X } )  C_  ( r " { X } )  /\  ( R " ( r " { X } ) ) 
C_  ( r " { X } ) ) )
107 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  r  e. 
_V
108 imaexg 6749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  _V  ->  (
r " { X } )  e.  _V )
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r
" { X }
)  e.  _V
110 imaundi 5254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R
" ( { X }  u.  f )
)  =  ( ( R " { X } )  u.  ( R " f ) )
111110sseq1i 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f  <->  ( ( R " { X } )  u.  ( R " f ) ) 
C_  f )
112 unss 3599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R " { X } )  C_  f  /\  ( R " f
)  C_  f )  <->  ( ( R " { X } )  u.  ( R " f ) ) 
C_  f )
113111, 112bitr4i 260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f  <->  ( ( R " { X } )  C_  f  /\  ( R " f
)  C_  f )
)
114 imaeq2 5170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( r " { X } )  -> 
( R " f
)  =  ( R
" ( r " { X } ) ) )
115 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( r " { X } )  -> 
f  =  ( r
" { X }
) )
116114, 115sseq12d 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( r " { X } )  -> 
( ( R "
f )  C_  f  <->  ( R " ( r
" { X }
) )  C_  (
r " { X } ) ) )
117116cleq2lem 36285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( r " { X } )  -> 
( ( ( R
" { X }
)  C_  f  /\  ( R " f ) 
C_  f )  <->  ( ( R " { X }
)  C_  ( r " { X } )  /\  ( R "
( r " { X } ) )  C_  ( r " { X } ) ) ) )
118113, 117syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( r " { X } )  -> 
( ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f 
<->  ( ( R " { X } )  C_  ( r " { X } )  /\  ( R " ( r " { X } ) ) 
C_  ( r " { X } ) ) ) )
119109, 118elab 3173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r " { X } )  e.  {
f  |  ( R
" ( { X }  u.  f )
)  C_  f }  <->  ( ( R " { X } )  C_  (
r " { X } )  /\  ( R " ( r " { X } ) ) 
C_  ( r " { X } ) ) )
120106, 119sylibr 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  /\  g  =  (
r " { X } ) )  -> 
( r " { X } )  e.  {
f  |  ( R
" ( { X }  u.  f )
)  C_  f }
)
12197, 120eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  /\  g  =  (
r " { X } ) )  -> 
g  e.  { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f } )
122121exlimiv 1784 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r ( ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r )  /\  g  =  ( r " { X } ) )  ->  g  e.  { f  |  ( R
" ( { X }  u.  f )
)  C_  f }
)
12396, 122sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } g  =  ( s " { X } )  ->  g  e.  { f  |  ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f } )
124 intss1 4241 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  { f  |  ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f }  ->  |^| { f  |  ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f }  C_  g )
125123, 124syl 17 . . . . . . 7  |-  ( E. s  e.  { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } g  =  ( s " { X } )  ->  |^| { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f }  C_  g )
12694, 125mpgbir 1681 . . . . . 6  |-  |^| { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f }  C_  |^| { g  |  E. s  e. 
{ r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } g  =  ( s " { X } ) }
127126a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  |^| { f  |  ( R " ( { X }  u.  f
) )  C_  f }  C_  |^| { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) } )
12893, 127eqssd 3435 . . . 4  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  |^| { g  |  E. s  e.  {
r  |  ( R 
C_  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r ) } g  =  ( s
" { X }
) }  =  |^| { f  |  ( R
" ( { X }  u.  f )
)  C_  f }
)
12910, 128eqtrd 2505 . . 3  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( |^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) } " { X } )  =  |^| { f  |  ( R
" ( { X }  u.  f )
)  C_  f }
)
130129eleq2d 2534 . 2  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( Y  e.  (
|^| { r  |  ( R  C_  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r ) } " { X }
)  <->  Y  e.  |^| { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f } ) )
1318, 130bitrd 261 1  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( X ( t+ `  R ) Y  <->  Y  e.  |^| { f  |  ( R "
( { X }  u.  f ) )  C_  f } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255   [_csb 3349    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965   |^|cint 4226   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   ran crn 4840   "cima 4842    o. ccom 4843   ` cfv 5589   t+ctcl 13124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-trcl 13126  df-relexp 13161
This theorem is referenced by:  dffrege76  36606
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