MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brtpos Structured version   Unicode version

Theorem brtpos 6967
Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
brtpos  |-  ( C  e.  V  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )

Proof of Theorem brtpos
StepHypRef Expression
1 brtpos2 6964 . . . . 5  |-  ( C  e.  V  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C ) ) )
21adantr 463 . . . 4  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C ) ) )
3 opex 4655 . . . . . . . . . 10  |-  <. B ,  A >.  e.  _V
4 breldmg 5029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. B ,  A >.  e. 
_V  /\  C  e.  V  /\  <. B ,  A >. F C )  ->  <. B ,  A >.  e. 
dom  F )
543expia 1199 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. B ,  A >.  e. 
_V  /\  C  e.  V )  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. B ,  A >.  e.  dom  F
) )
63, 5mpan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  V  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. B ,  A >.  e.  dom  F
) )
76adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. B ,  A >.  e.  dom  F ) )
8 opelcnvg 5003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  <->  <. B ,  A >.  e. 
dom  F ) )
98adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  <->  <. B ,  A >.  e.  dom  F ) )
107, 9sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. A ,  B >.  e.  `' dom  F
) )
11 elun1 3610 . . . . . . 7  |-  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  ->  <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
1210, 11syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) ) )
1312pm4.71rd 633 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. B ,  A >. F C  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  <. B ,  A >. F C ) ) )
14 opswap 5311 . . . . . . 7  |-  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >.
1514breq1i 4402 . . . . . 6  |-  ( U. `' { <. A ,  B >. } F C  <->  <. B ,  A >. F C )
1615anbi2i 692 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  <. B ,  A >. F C ) )
1713, 16syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. B ,  A >. F C  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C ) ) )
182, 17bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
1918ex 432 . 2  |-  ( C  e.  V  ->  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) ) )
20 brtpos0 6965 . . 3  |-  ( C  e.  V  ->  ( (/)tpos  F C  <->  (/) F C ) )
21 opprc 4181 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
<. A ,  B >.  =  (/) )
2221breq1d 4405 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  (/)tpos  F C ) )
23 ancom 448 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
24 opprc 4181 . . . . . 6  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  -> 
<. B ,  A >.  =  (/) )
2524breq1d 4405 . . . . 5  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( <. B ,  A >. F C  <->  (/) F C ) )
2623, 25sylnbi 304 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. B ,  A >. F C  <->  (/) F C ) )
2722, 26bibi12d 319 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C )  <-> 
( (/)tpos  F C  <->  (/) F C ) ) )
2820, 27syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( C  e.  V  ->  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) ) )
2919, 28pm2.61d 158 1  |-  ( C  e.  V  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   _Vcvv 3059    u. cun 3412   (/)c0 3738   {csn 3972   <.cop 3978   U.cuni 4191   class class class wbr 4395   `'ccnv 4822   dom cdm 4823  tpos ctpos 6957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-fv 5577  df-tpos 6958
This theorem is referenced by:  ottpos  6968  relbrtpos  6969  dmtpos  6970  rntpos  6971  ovtpos  6973  dftpos3  6976  tpostpos  6978
  Copyright terms: Public domain W3C validator