MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brtpos Structured version   Unicode version

Theorem brtpos 6854
Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
brtpos  |-  ( C  e.  V  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )

Proof of Theorem brtpos
StepHypRef Expression
1 brtpos2 6851 . . . . 5  |-  ( C  e.  V  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C ) ) )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C ) ) )
3 opex 4654 . . . . . . . . . 10  |-  <. B ,  A >.  e.  _V
4 breldmg 5143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. B ,  A >.  e. 
_V  /\  C  e.  V  /\  <. B ,  A >. F C )  ->  <. B ,  A >.  e. 
dom  F )
543expia 1190 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. B ,  A >.  e. 
_V  /\  C  e.  V )  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. B ,  A >.  e.  dom  F
) )
63, 5mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  V  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. B ,  A >.  e.  dom  F
) )
76adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. B ,  A >.  e.  dom  F ) )
8 opelcnvg 5117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  <->  <. B ,  A >.  e. 
dom  F ) )
98adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  <->  <. B ,  A >.  e.  dom  F ) )
107, 9sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. A ,  B >.  e.  `' dom  F
) )
11 elun1 3621 . . . . . . 7  |-  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  ->  <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
1210, 11syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) ) )
1312pm4.71rd 635 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. B ,  A >. F C  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  <. B ,  A >. F C ) ) )
14 opswap 5424 . . . . . . 7  |-  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >.
1514breq1i 4397 . . . . . 6  |-  ( U. `' { <. A ,  B >. } F C  <->  <. B ,  A >. F C )
1615anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  <. B ,  A >. F C ) )
1713, 16syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. B ,  A >. F C  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C ) ) )
182, 17bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
1918ex 434 . 2  |-  ( C  e.  V  ->  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) ) )
20 brtpos0 6852 . . 3  |-  ( C  e.  V  ->  ( (/)tpos  F C  <->  (/) F C ) )
21 opprc 4179 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
<. A ,  B >.  =  (/) )
2221breq1d 4400 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  (/)tpos  F C ) )
23 ancom 450 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
24 opprc 4179 . . . . . 6  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  -> 
<. B ,  A >.  =  (/) )
2524breq1d 4400 . . . . 5  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( <. B ,  A >. F C  <->  (/) F C ) )
2623, 25sylnbi 306 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. B ,  A >. F C  <->  (/) F C ) )
2722, 26bibi12d 321 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C )  <-> 
( (/)tpos  F C  <->  (/) F C ) ) )
2820, 27syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( C  e.  V  ->  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) ) )
2919, 28pm2.61d 158 1  |-  ( C  e.  V  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   _Vcvv 3068    u. cun 3424   (/)c0 3735   {csn 3975   <.cop 3981   U.cuni 4189   class class class wbr 4390   `'ccnv 4937   dom cdm 4938  tpos ctpos 6844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-fv 5524  df-tpos 6845
This theorem is referenced by:  ottpos  6855  relbrtpos  6856  dmtpos  6857  rntpos  6858  ovtpos  6860  dftpos3  6863  tpostpos  6865
  Copyright terms: Public domain W3C validator