Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brtp Structured version   Unicode version

Theorem brtp 27574
Description: A condition for a binary relation over an unordered triple. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
brtp.1  |-  X  e. 
_V
brtp.2  |-  Y  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brtp  |-  ( X { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. ,  <. E ,  F >. } Y  <->  ( ( X  =  A  /\  Y  =  B )  \/  ( X  =  C  /\  Y  =  D )  \/  ( X  =  E  /\  Y  =  F ) ) )

Proof of Theorem brtp
StepHypRef Expression
1 df-br 4308 . 2  |-  ( X { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. ,  <. E ,  F >. } Y  <->  <. X ,  Y >.  e.  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. ,  <. E ,  F >. } )
2 opex 4571 . . 3  |-  <. X ,  Y >.  e.  _V
32eltp 3936 . 2  |-  ( <. X ,  Y >.  e. 
{ <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. ,  <. E ,  F >. }  <->  ( <. X ,  Y >.  =  <. A ,  B >.  \/  <. X ,  Y >.  =  <. C ,  D >.  \/  <. X ,  Y >.  =  <. E ,  F >. ) )
4 brtp.1 . . . 4  |-  X  e. 
_V
5 brtp.2 . . . 4  |-  Y  e. 
_V
64, 5opth 4581 . . 3  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. A ,  B >.  <->  ( X  =  A  /\  Y  =  B )
)
74, 5opth 4581 . . 3  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. C ,  D >.  <->  ( X  =  C  /\  Y  =  D )
)
84, 5opth 4581 . . 3  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. E ,  F >.  <->  ( X  =  E  /\  Y  =  F )
)
96, 7, 83orbi123i 1177 . 2  |-  ( (
<. X ,  Y >.  = 
<. A ,  B >.  \/ 
<. X ,  Y >.  = 
<. C ,  D >.  \/ 
<. X ,  Y >.  = 
<. E ,  F >. )  <-> 
( ( X  =  A  /\  Y  =  B )  \/  ( X  =  C  /\  Y  =  D )  \/  ( X  =  E  /\  Y  =  F ) ) )
101, 3, 93bitri 271 1  |-  ( X { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. ,  <. E ,  F >. } Y  <->  ( ( X  =  A  /\  Y  =  B )  \/  ( X  =  C  /\  Y  =  D )  \/  ( X  =  E  /\  Y  =  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2987   {ctp 3896   <.cop 3898   class class class wbr 4307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pr 4546
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-rab 2739  df-v 2989  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-br 4308
This theorem is referenced by:  sltval2  27812  sltsgn1  27817  sltsgn2  27818  sltintdifex  27819  sltres  27820  sltsolem1  27824  nodenselem8  27844  nodense  27845  nobndup  27856  nobnddown  27857
  Copyright terms: Public domain W3C validator